Fundamentos de Visión por Computador

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1 Fundamentos de Visión por Computador Sistemas Informáticos Avanzados Índice Definiciones Geometría de una curva Curvas digitales Representaciones de curvas Ajustes de curvas Medidas de error Ajuste poligonal Ajuste en arcos circulares Ajuste en secciones cónicas Ajuste en splines cúbicas 2

2 Definiciones iniciales Representación de contornos. Criterios: Eficiente: simple y compacta. Exacta. Efectiva: facilitar operaciones. Definiciones: Lista de puntos borde: Conjunto ordenado de puntos o fragmentos. Contorno: Curva o lista de puntos borde. Frontera: Contorno cerrado que rodea una región. 3 Índice Definiciones Geometría de una curva Curvas digitales Representaciones de curvas Ajustes de curvas Medidas de error Ajuste poligonal Ajuste en arcos circulares Ajuste en secciones cónicas Ajuste en splines cúbicas 4

3 Geometría de una curva u n Forma explícita Forma implícita r Forma paramétrica k = r Curvatura Longitud de la curva Vector unitario tangente Vector normal 5 Índice Definiciones Geometría de una curva Curvas digitales Representaciones de curvas Ajustes de curvas Medidas de error Ajuste poligonal Ajuste en arcos circulares Ajuste en secciones cónicas Ajuste en splines cúbicas 6

4 Curvas digitales Contorno Puntos borde K-pendiente θ i θ i p i k / 2 pi+ k / 2 K-pendiente izquierda p i k p i K-pendiente derecha p i p i + k 7 Curvas digitales K-curvatura K = i θi θi+ Variación de la pendiente Longitud del contorno 8

5 Índice Definiciones Geometría de una curva Curvas digitales Representaciones de curvas Ajustes de curvas Medidas de error Ajuste poligonal Ajuste en arcos circulares Ajuste en secciones cónicas Ajuste en splines cúbicas 9 Código cadena 45º ( x, y ) ( x, y ) 5, 6, 6, 7, 6 6 0

6 Representaciones θ Signatura o caracterización para reconocimiento p(u) u H (θ ) Histograma de pendientes de una curva θ θn Extracción de contornos. Barrer imagen hasta encontrar un píxel s de la región: s S 2. c=s; píxel actual. 3. b B; píxel fondo. 4. Recorrer b=n,,ni, n8 hasta encontrar un ni S 5. c=ni; b=ni- 6. Volver a Paso 4 hasta c=s (píxel inicial). n2 n3 n4 b= n c n5 n8 n7 n6 2

7 Índice Definiciones Geometría de una curva Curvas digitales Representaciones de curvas Ajustes de curvas Medidas de error Ajuste poligonal Ajuste en arcos circulares Ajuste en secciones cónicas Ajuste en splines cúbicas 3 Ajuste de curvas Ajuste de curvas a partir de puntos borde. Modelos de curvas: Segmentos de línea Arcos circulares Secciones cónicas Splines cúbicas Polinomios de orden superior Elección del modelo: Dependiente de la aplicación. 4

8 Medidas de error Distancia del punto i a la curva Máximo Error Absoluto Error Cuadrático Medio Máximo Error Normalizado Proporción S/D (líneas) 5 Índice Definiciones Geometría de una curva Curvas digitales Representaciones de curvas Ajustes de curvas Medidas de error Ajuste poligonal Ajuste en arcos circulares Ajuste en secciones cónicas Ajuste en splines cúbicas 6

9 Representación poligonal ( x, y 2 2) ( x, y ) ( x n, yn ) ( x, y n n) a b c a x + b y + c = 0 7 Distancia de un punto a una recta ( x, y ) D d ( x, y 2 2) ( u, v) d = r / D ( x 2, y2) No aplicable en estos casos ( x, y ) 8

10 División en poli-líneas d max 9 Unión en segmentos de línea Añadir píxeles mientras error de ajuste menor que umbral. 20

11 División y unión Alternar unión y división: Después de división recursiva Unir segmentos adyacentes utilizando el Error Normalizado Hasta no más uniones y divisiones. Después de una unión, un segmento puede ser dividido por un punto diferente. Error Normalizado Longitud de la curva Múltiples segmentos de línea se ajustan con menos error que una sola línea. 2 Índice Definiciones Geometría de una curva Curvas digitales Representaciones de curvas Ajustes de curvas Medidas de error Ajuste poligonal Ajuste en arcos circulares Ajuste en secciones cónicas Ajuste en splines cúbicas 22

12 Arcos circulares Ecuación de la circunferencia Origen de coordenadas en p 23 Arcos circulares p, p2, p3 en espacio ( x', y' ) Resolviendo para 24

13 Arcos circulares r q Medida de error 25 Arcos circulares v v 2 l v 3 v 4 v 5 Punto medio. Criterios: Vértice más lejano a cuerda. Punto de la curva más lejano a cuerda. Vértice en mitad de la secuencia v, v n Punto medio del contorno. 26

14 Índice Definiciones Geometría de una curva Curvas digitales Representaciones de curvas Ajustes de curvas Medidas de error Ajuste poligonal Ajuste en arcos circulares Ajuste en secciones cónicas Ajuste en splines cúbicas 27 Secciones cónicas Nódulo Cada cónica viene definida por: 2 puntos (nódulos) 2 tangentes (en los nódulos) punto adicional 28

15 Secciones cónicas Partimos de representación poligonal K i+ V i+ Tangente K i K i K i+ Nódulos V V i i+ 2 Posición del nódulo 29 Secciones cónicas Punto adicional 30

16 Secciones cónicas ν i K i V i+ ν i+ K i+ V V i i+ 2 Esta representación engloba a otras ν V i+ = 0 i+ = i+ k Línea recta k i V i+ ν i+ = 0 ν i = k i = V i+ = k i+ Colapsan formando una esquina 3 Secciones cónicas Tangentes AC BC Cuerda AB AB ρ diferente AC BC AB Forma guiada de una cónica (familia de cónicas) 32

17 Secciones cónicas Algoritmo: Calcular aproximación poligonal del contorno. Clasificar vértices: Blandos Esquinas Fijar esquinas. Situar nódulos. Calcular parámetros cónica de la forma guiada entre nódulos/esquinas contiguas: Elegir ρ (tipo de cónica de la familia) 33 Secciones cónicas Esquina Vértice blando A A > 80º + T ó A < 80º + T Esquina V i V i+ Acercar nódulo a vértice más suave ν = i i A i Ai A + A i+ A i+ 34

18 Índice Definiciones Geometría de una curva Curvas digitales Representaciones de curvas Ajustes de curvas Medidas de error Ajuste poligonal Ajuste en arcos circulares Ajuste en secciones cónicas Ajuste en splines cúbicas 35 Splines cúbicas Spline: Curva a trozos de funciones de cualquier tipo. Spline cúbica: polinomio de orden 3. Curvas: Geométricamente equivalentes: representan los mismos puntos. Paramétricamente equivalentes: ecuaciones idénticas. 36

19 Splines cúbicas: Muy utilizadas. Curvas de trazo libre. Utilizan información de: Punto borde (coordenadas). Valor del gradiente en el punto: - normal a la curva en el punto Splines cúbicas a u [0,] a a 0,, 2, a 3 son vectores a, a ix ) ( iy 37 Splines cúbicas 8 parámetros: Posiciones puntos inicial y final: 4 restricciones. Continuidad de la tangente en los nódulos: 2 restricciones: Minimización de la diferencia de curvatura en los nódulos. p ( 0) = ( x(0), y(0)) p ( ) = ( x(), y()) 38

20 Splines cúbicas Minimización de la diferencia de la curvatura ti p i (0) p( u), p( u),... pn( u) p () = p (0) i i Perpendicular al gradiente en el punto. Spline ti p () = i i p (0) Continuidad de la tangente 39 Bibliografía Básico: Jain, R.; Kasturi, R.; and Schunck, B.G.; Machine Vision, McGraw-Hill Inc., 995. Complementario: Sonka, M.; Hlavac, V. and Voyle, R.; Image Processing, Analysis and Machine Vision, Chapman & Hall Ed,