Revista Colombiana de Estadística

Transcripción

1 Revista Colombiana de Estadística Volumen 33. Número 1 - junio ISSN Departamento de Estadística Universidad Nacional de Colombia Bogotá - Colombia

2 Revista Colombiana de Estadística revcoles Indexada en: Scopus, Science Citation Index Expanded (SCIE), Web of Science (WoS), SciELO Colombia, Current Index to Statistics, Mathematical Reviews (MathSci), Zentralblatt Für Mathematik, Redalyc, Latindex, Publindex (A 1) Editor Beatriz Piedad Urdinola, Ph.D. Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, Colombia Comité Editorial José Alberto Vargas, Ph.D. Campo Elías Pardo, Ph.D.(c) Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, Colombia Jorge Eduardo Ortiz, Ph.D. Universidad Santo Tomás, Bogotá, Colombia Juan Carlos Salazar, Ph.D. Universidad Nacional de Colombia, Medellín, Colombia Mónica Bécue, Ph.D. Universitat Politècnica de Catalunya, Barcelona, España Adriana Pérez, Ph.D. The University of Texas, Texas, USA María Elsa Correal, Ph.D. Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia Luis Alberto Escobar, Ph.D. Louisiana State University, Baton Rouge, USA Camilo E. Tovar, Ph.D. Bank of International Settlemens, Mexico, Mexico DF Comité Científico Fabio Humberto Nieto, Ph.D. Luis Alberto López, Ph.D. Leonardo Trujillo Oyola, Ph.D. Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, Colombia Sergio Yañez, M.Sc. Universidad Nacional de Colombia, Medellín, Colombia Francisco Javier Díaz, Ph.D. The University of Kansas, Kansas, USA Enrico Colosimo, Ph.D. Universidade Federal de Mina Gerais, Belo Horizonte, Brazil Rafael Eduardo Borges, M.Sc. Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela Julio da Motta Singer, Ph.D. Universidade de São Paulo, São Paulo, Brazil Edgar Acuña, Ph.D. Raúl Machiavelli, Ph.D. Universidad de Puerto Rico, Mayagüez, Puerto Rico Raydonal Ospina Martínez, Ph.D. Universidade Federal de Pernambuco, Pernambuco, Brasil La Revista Colombiana de Estadística es una publicación semestral del Departamento de Estadística de la Universidad Nacional de Colombia, sede Bogotá, orientada a difundir conocimientos, resultados, aplicaciones e historia de la estadística. La Revista contempla también la publicación de trabajos sobre la enseñanza de la estadística. Se invita a los editores de publicaciones periódicas similares a establecer convenios de canje o intercambio. Dirección Postal: Revista Colombiana de Estadística c Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Departamento de Estadística Carrera 30 No Bogotá Colombia Tel: ext Fax: Adquisiciones: Punto de venta, Facultad de Ciencias, Bogotá. Suscripciones: revcoles fcbog@unal.edu.co Solicitud de artículos: Se pueden solicitar al Editor por correo físico o electrónico; los más recientes se pueden obtener en formato PDF desde la página Web. Edición en L A TEX: Patricia Chávez R. Impresión: Universidad Nacional de Colombia, Editorial, Tel , Ext , Bogotá.

3 Revista Colombiana de Estadística Bogotá Vol. 33 N o 1 ISSN COLOMBIA junio-2010 Págs Contenido Himanshu Pandey & Jai Kishun A Probability Model for the Child Mortality in a Family Rafael Alfonso Meléndez, Jaime Antonio Castillo & Carlos Jesús Jiménez Distribución de probabilidad que involucra algunas funciones hipergeométricas generalizadas Santiago Gallón & Karoll Gómez Nonparametric Time Series Analysis of the Conditional Mean and Volatility Functions for the COP/USD Exchange Rate Returns Javier Castañeda & Bart Gerritse Appraisal of Several Methods to Model Time to Multiple Events per Subject: Modelling Time to Hospitalizations and Death Hanwen Zhang, Hugo Andrés Gutiérrez Rojas & Edilberto Cepeda Cuervo Confidence and Credibility Intervals for the Difference of Two Proportions Juan Camilo Sosa & Luis Guillermo Díaz Estimación de las componentes de un modelo de coeficientes dinámicos mediante las ecuaciones de estimación generalizadas Luis Alfonso Muñoz & Jorge Humberto Mayorga Bondad de ajuste empleando la función generadora de momentos Álvaro Mauricio Montenegro Díaz & Edilberto Cepeda Cuervo Synthesizing the Ability in Multidimensional Item Response Theory Models Ramón Giraldo Henao & Jimmy Corzo Salamanca Un test de similitud entre dos secuencias dicotómicas ordenadas

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8 ! "# ú è¾çëëì Þ ô ÉÕÎØÎÏâ ÌÊÍÌÏÎÙÓ ÌÊÝÐÊÓ ÐÊÍ ÙÔÌÒÍ ÚÉÏÓÐÒÌÓ ÎËÓÌÚÐÓÎË ÏÎËÜÒÓ ÝÏÉÚ ÖÉÉÏâ ÌÊÐÍÎòÜÐÓÎ ÐÊÍ ÌÊÙÉÚÖÒÎÓÎ ÍÐÓÐâ ÎËÖÎÙÌÐÒÒ ÌÊ ÍÎØÎÒÉÖÌÊà ÙÉÜÊÓÏÌÎËÞ íéëó ÍÎÐÓÔË ÉÜÓËÌÍÎ ÔÉËÖÌÓÐÒ ÖÏÎÚÌËÎË ÕÎÏÎ ÊÉÓ ÏÎÙÉÏÍÎÍ ÐÊÍ ÓÔÐÓ ÚÐÊ ÖÎÉÖÒÎ ÍÉ ÊÉÓ ÏÎÙÉÏÍ ÌÊÝÐÊÓ ÍÎÐÓÔË ÑÎÙÐÜËÎ ÓÔÎ ÉÊÒ ñîîö ÓÏÐÙñ ÉÝ ËÜÙÔ ÉÙÙÜÏÏÎÊÙÎ ÐË ÚÌËÝÉÏÓÜÊÎËâ ÐÊÍ ÕÔÎÊ ÏÎÙÉÏÍÎÍâ ÓÔÎ ÐàÎ ÐÓ ÍÎÐÓÔ ÕÎÏÎ ÎÌÓÔÎÏ ÜÊÍÎÏ ÉÏ ÉØÎÏËÓÐÓÎÍ Þ å Ô Î ÍÌÏÎÙÓ ÚÎÐËÜÏÎË ÉÝ ÚÉÏÓÐÒÌÓ ÑÎÌÊà ÊÉÓ ÏÎÒÌÐÑÒÎâ ÓÔÎ ÖÏÉÑÒÎÚ ÚÐ ÑÎ ÉØÎÏÛ ÙÉÚÎ Ñ ÓÔÎ ÏÎÙÎÊÓÒ ÍÎØÎÒÉÖÎÍ ÚÉÍÎÒ ÑÜÌÒÍÌÊà ÐÖÖÏÉÐÙÔÎË ÕÔÌÙÔ ÚÐñÎ ÌÓ ÖÉËËÌÑÒÎ ÓÉ ÉÑÓÐÌÊ ÎËÓÌÚÐÓÎË ÝÏÉÚ ÌÊÝÉÏÚÐÓÌÉÊ ÉÓÔÎÏ ÓÔÐÊ ØÌÓÐÒ ËÓÐÓÌËÓÌÙËÞ ã Ê ÓÔÌË ÙÉÊÊÎÙÛ ÓÌÉÊâ õïìøðëóðøð è üü¾ì ÔÐË ÑÎÎÊ ÖÏÉÖÉËÎÍ Ð ÖÏÉÑÐÑÌÒÌÓ ÚÉÍÎÒ ÝÉÏ ÓÔÎ ÍÌËÓÏÌÑÜÓÌÉÊ ÉÝ ÝÐÚÌÒ ÐÙÙÉÏÍÌÊà ÓÉ ÊÜÚÑÎÏ ÉÝ ÙÔÌÒÍ ÍÎÐÓÔË èßîðóôë ÕÌÓÔÌÊ ÓÔÎ äïëó äøî ÎÐÏË ÉÝ ÒÌÝÎì Þ å ÔÎ ÚÐÌÊ ÉÑ$ÎÙÓÌØÎ ÉÝ ÓÔÌË ÖÐÖÎÏ ÌË ÓÉ ÚÉÍÌÝ ÓÔÎ õïìøðëóðøð è üü¾ì ÚÉÍÎÒ Ñ ÓÐñÌÊà ÓÔÎ äêìóî ÏÐÊàÎÞ %Ä #$%&'&()(*+,%-.) ÿîó x ÍÎÊÉÓÎ ÓÔÎ ÊÜÚÑÎÏ ÉÝ ÙÔÌÒÍ ÍÎÐÓÔË ÌÊ Ð ÝÐÚÌÒ ÐÓ ÓÔÎ ËÜÏØÎ ÖÉÌÊÓ Þ å ÔÎÊ ÓÔÎ ÍÌËÓÏÌÑÜÓÌÉÊ ÉÝ x ÌË ÍÎÏÌØÎÍ ÜÊÍÎÏ ÓÔÎ ÝÉÒÒÉÕÌÊà ÐËËÜÚÖÓÌÉÊÞ ¾ Þ ÊÒ ÓÔÉËÎ ÝÐÚÌÒÌÎË ÐÏÎ ÙÉÊËÌÍÎÏÎÍ ÌÊ ÕÔÌÙÔ ÐÓ ÒÎÐËÓ ÉÊÎ ÑÌÏÓÔ ÖÏÌÉÏ ÓÉ ÓÔÎ ËÜÏØÎ ÔÐË ÉÙÙÜÏÏÎÍ Þ Þ ùó ÓÔÎ ËÜÏØÎ ÖÉÌÊÓâ Ð ÝÐÚÌÒ ÎÌÓÔÎÏ ÔÐË ÎïÖÎÏÌÎÊÙÎÍ Ð ÙÔÌÒÍ ÒÉËË ÉÏ ÊÉÓ Þ ÿîó α ÐÊ Í (1 α) ÑÎ ÓÔÎ ÏÎËÖÎÙÓÌØÎ ÖÏÉÖÉÏÓÌÉÊËÞ ú Þ ÜÓ ÉÝ α ÖÏÉÖÉÏÓÌÉÊ ÉÝ ÝÐÚÌÒÌÎËâ ÒÎÓ β ÑÎ ÓÔÎ ÖÏÉÖÉÏÓÌÉÊ ÉÝ ÝÐÚÌÒÌÎË ÌÊ ÕÔÌÙÔ ÉÊÒ ÉÊÎ ÙÔÌÒÍ ÍÎÐÓÔ ÔÐË ÉÙÙÜÏÏÎÍ Þ & Þ þîúðìêìêà (1 β)α ÖÏÉÖÉÏÓÌÉÊ ÉÝ ÝÐÚÌÒÌÎËâÎïÖÎÏÌÎÊÙÌÊà ÚÜÒÓÌÖÒÎ ÙÔÌÒÍ ÍÎÐÓÔËâ ÝÉÒÒÉÕË Ð ÍÌËÖÒÐÙÎÍ àîéúîóïìù ÍÌËÓÏÌÑÜÓÌÉÊ ÕÌÓÔ ÖÐÏÐÚÎÓÎÏ p ÐÙÙÉÏÍÌÊà ÓÉ ÓÔÎ ÊÜÚÑÎÏ ÉÝ ÙÔÌÒÍ ÍÎÐÓÔËÞ éêíîï ÓÔÎËÎ ÐËËÜÚÖÓÌÉÊËâ ÓÔÎ ÖÏÉÑÐÑÌÒÌÓ ÍÌËÓÏÌÑÜÓÌÉÊ ÉÝ X ÌË àìøîê Ñ P[X = 0] = (1 α), k = 0 P[X = 1] = αβ, k = 1 (1 β)αpqk 2 P[X = k] = 1 q N, k = 2, 3,..., N 'ÔÎÏÎ p ÍÎÊÉÓÎË ÓÔÎ ËÜÙÙÎËË ÉÝ ÙÔÌÒÍ ÍÎÐÓÔË ÌÊ Ð ÝÐÚÌÒ ÐÊÍ q = 1 p Þ ãý ÕÎ ÖÜÓ q N = 0 â ÓÔÎÊ ÓÔÎ ÖÏÉÖÉËÎÍ ÚÉÍÎÒ è¾ì ÏÎÍÜÙÎÍ ÓÉ õïìøðëóðøð è üü¾ì Þ å ÔÎ ÖÏÉÖÉËÎÍ ÚÉÍÎÒ è¾ì ÌË ÐÊ ÌÚÖÏÉØÎÚÎÊÓ ÉØÎÏ ÓÔÎ õïìøðëóðøð è üü¾ì ÚÉÍÎÒ Ñ ÓÐñÌÊà Ð ÙÉÊÙÎÖÓ ÉÝ äêìóî ÏÐÊàÎ ÚÉÍÎÒ Ì Þ ÎÞ k = 0, 1, 2, 3,..., N Þ ()*) +,-./ /1/42- å Ô Î ÚÎÓÔÉÍ ÉÝ ÚÉÚÎÊÓË ÌË ÍÌËÙÜËËÎÍ ÓÉ ÎËÓÌÚÐÓÎ ÓÔÎ ÝÉÜÏ ÖÐÏÐÚÎÓÎÏË α â β â p ÐÊ Í N ÉÝ ÓÔÎ ÖÏÉÑÐÑÌÒÌÓ ÝÜÊÙÓÌÉÊ è¾ì Þ áéõ ÌÓ ÌË ÍÌ8ÙÜÒÓ ÓÉ ÎËÓÌÚÐÓÎ ÐÒÒ ÓÔÎËÎ ² µ ª µ ¹ è¾ì

9 & À!ut!w{ Á! Âut ÖÐÏÐÚÎÓÎÏËâ ËÉ ÌÓ ÌË ÐËËÜÚÎÍ ÓÔÐÓ N ÌË ÓÔÎ ÚÐïÌÚÜÚ ÊÜÚÑÎÏË ÉÝ ÙÔÌÒÍ ÍÎÐÓÔË ÉÙÙÜÏÏÎÍ Þ ÿîó (x, f) ÑÎ Ð ÝÏÎòÜÎÊÙ ÍÌËÓÏÌÑÜÓÌÉÊ ÕÔÉËÎ ÖÐÏÐÚÎÓÎÏË ÓÉ ÑÎ ÎËÓÌ Û ÚÐÓÎÍ ÝÏÉÚ ÓÔÎ ÉÑËÎÏØÎÍ ÍÌËÓÏÌÑÜÓÌÉÊË ÉÝ ÝÐÚÌÒÌÎË ÐÙÙÉÏÍÌÊà ÓÉ ÓÔÎ ÊÜÚÑÎÏ ÉÝ ÙÔÌÒÍ ÍÎÐÓÔËÞ å Ô Î ÝÉÒÒÉÕÌÊà ÎËÓÌÚÐÓÌÉÊ ÓÎÙÔÊÌòÜÎ ÌË ÎÚÖÒÉ ÎÍ ÝÉÏ ÎËÓÌÚÐÓÌÊà ÏÎËÓ ÉÝ ÓÔÎ ÖÐÏÐÚÎÓÎÏÞ 9òÜÐÓÌÊà ÖÏÉÖÉÏÓÌÉÊË ÉÝ :ÎÏÉ th ÙÎÒÒâäÏËÓ ÙÎÒÒ ÝÏÎòÜÎÊÙ ÐÊÍ ËÌÚÖÒÎ ÚÎÐÊ ÓÉ ÓÔÎÌÏ ÙÉÏÏÎËÖÉÊÍÌÊà ÉÑËÎÏØÎÍ ØÐÒÜÎË ÏÎËÖÎÙÓÌØÎÒ â ÕÔÌÙÔ ÌË ÙÉÊØÎÏÓÎÍ ÌÊÓÉ ÓÔÎ ÝÉÒÒÉÕÌÊà ÎòÜÐÓÌÉÊËâ 'ÔÎÏÎâ X = αβ + (1 β)α f 0 f = 1 α f 1 f = αβ [( ) 1 q N 1 f 0 = Ñ ËÎÏØÎÍ ØÐÒÜÎ ÉÝ :ÎÏÉ th ÙÎÒÒ ÝÏÎòÜÎÊÙ f 1 = Ñ ËÎÏØÎÍ ØÐÒÜÎ ÉÝ äïëó ÙÎÒÒ ÝÏÎòÜÎÊÙ f = åéóðò ÊÜÚÑÎÏ ÉÝ ÉÑËÎÏØÐÓÌÉÊË = i f i X = õðúö ÒÎ ÚÎÐÊ ÉÝ ÓÔÎ ÉÑËÎÏØÎÍ ØÐÒÜÎËÞ ()() ;./</ =.>4?.5116 p(1 q N ) NqN 1 (1 q N ) + 1 (1 q N ) å Ô Î ÖÏÉÖÉËÎÍ ÚÉÍÎÒ ÌÊØÉÒØÎË ÝÉÜÏ ÖÐÏÐÚÎÓÎÏË α â β â p ÐÊÍ N ÓÉ ÑÎ ÎËÓÌÚÐÓÎÍ ÝÏÉÚ ÓÔÎ ÉÑËÎÏØÎÍ ÍÌËÓÏÌÑÜÓÌÉÊ ÉÝ ÝÐÚÌÒÌÎË ÐÙÙÉÏÍÌÊà ÓÉ ÓÔÎ ÊÜÚÑÎÏ ÉÝ ÙÔÌÒÍ ÍÎÐÓÔËâ ÑÜÓ ÌÓ ÙÐÊÊÉÓ ÑÎ ÖÉËËÌÑÒÎ ÓÉ ÎËÓÌÚÐÓÎ ÐÒÒ ÓÔÎËÎ ËÌÚÜÒÓÐÊÎÉÜËÒ Ñ ÓÔÌË ÚÎÓÔÉÍâ ËÉ ÓÔÎ ØÐÒÜÎ ÉÝ N ÔÐË ÑÎÎÊ ÓÐñÎÊ ÐË ÚÎÓÔÉÍ ÉÝ ÚÉÚÎÊÓËÞ ÿîó x1, x 2, x 3,...,x n ÑÎ Ð ÏÐÊÍÉÚ ËÐÚÖÒÎ ÉÝ ËÌ:Î N ÝÏÉÚ ÓÔÎ ÖÉÖÜÒÐÓÌÉÊ è¾ì Þ å ÔÎ ÒÌñÎÒÌÔÉÉÍ ÝÜÊÙÓÌÉÊ L ÝÉÏ ÓÔÎ àìøîê ËÐÚÖÒÎ ÙÐÊ ÑÎ ÎïÖÏÎËËÎÍ ÐË [ ] f2 [ (1 β)αp α{1 β (1 β)p} L = (1 α)f 0 (αβ)f 1 1 q N 1 q N åðñìêà log ÑÉÓÔ ËÌÍÎËâ ÕÎ àîó [ (1 β)αp log L = f 0 log(1 α) + f 1 log(αβ) + f 2 log 1 q N (f f 0 f 1 f 2 )log ] + [ α(1 β) ] è ì èúì è&ì ] f f0 f 1 f 2 èîì { 1 }] p 1 q N áéõâ ÖÐÏÓÌÐÒÒ ÍÌðÎÏÎÊÓÌÐÓÌÊà ÕÞÏÞ Ó Þ α â β ÐÊ Í p ÏÎËÖÎÙÓÌØÎÒ ÐÊÍ ÎòÜÐÓÌÊà ÓÉ :ÎÏÉÞ è@ì log L α = f 0 (1 α) + f f 0 = 0 α ² µ ª µ ¹

10 ! "# î log L β = f 1 β + f f 0 f 1 = 0 1 β èëì log L p = f [( ) 2 1 q N pn(1 p) N 1] p ( 1 q N) [( ) ] 1 q N pn(1 P) N 1 (f f 0 f 1 f 2 ) [( ) 1 p N p ]( 1 p N) = 0 èêì õéòøìêà ÎòÜÐÓÌÉÊË è@ìâ èëì ÐÊÍ èêìâ ÓÔÎ ÎËÓÌÚÐÓÎ ÉÝ α â β ÐÊÍ p ÙÐÊ ÎÐËÌÒ ÑÎ ÉÑÓÐÌÊÎÍ ÐË α = f f 0 f β = f 1 f f 0 p ( 1 q N ) = f 2 f f 0 f 1 å Ô Î ËÎÙÉÊÍ ÖÐÏÓÌÐÒ ÍÎÏÌØÐÓÌØÎË ÉÝ log L ÉÑÓÐÌÊÎÍ ÌË 2 log L α 2 = f 0 (1 α) 2 f f 0 α 2 ( 2log L ) ( ( p 2 ) f = 2[N(1 N)(1 p) (N 2)] ) ( 1 q N ) 2 log L β 2 = f 1 β 2 f f 0 f 1 (1 β) 2 è¾üì ( f f 0 f 1 f 2 ) [{{ (1 q ) 2p ( 1 q )} { N(N 1)p(1 p) (N 2) }}] [ (1 q N) 2 ] áéõâ ÖÐÏÓÌÐÒ ÍÎÏÌØÐÓÌØÎ ÉÝ log L α ÓÌØÎÒ ÕÎ àîó ÐË ÝÉÒÒÉÕÌÊàâ ôîïîâ â log L β ÐÊÍ log L p 2 log L α β = 2 log L β p = 2 log L p α = 0 E(f 0 ) = f(1 α) E(f 1 ) = fαβ f(1 β)αp E(f 2 ) = 1 q N { } p E(f f 0 f 1 f 2 ) = fα(1 β) 1 1 q N èçì ÕÞÏÞ Ó Éâ β â p ÐÊÍ α ÏÎËÖÎÙÛ è¾ ì ² µ ª µ ¹

11 @ À!ut!w{ Á! Âut éëìêà ÓÔÎ ÐÑÉØÎ ÝÐÙÓËâ ÓÔÎ ÎïÖÎÙÓÎÍ ØÐÒÜÎ ÉÝ ÓÔÎ ËÎÙÉÊÍ ÖÐÏÓÌÐÒ ÍÎÏÌØÐÓÌØÎË ÉÑÓÐÌÊÎÍ ÐË [ ] 2 log L α è¾úì 2 φ 11 = E φ 22 = E φ 22 = E f [ ] 2 log L β 2 f [ ] 2 log L β 2 f = [ 1 1 α + 1 ] α [ 1 = α 1 β + 1 ] β [ 1 = α 1 β + 1 ] β ÓÔÎ ÙÉØÐÏÌÐÊÙÎ ÑÎÓÕÎÎÊ ÓÔÎ ÎËÓÌÚÐÓÉÏË ÑÎÙÉÚÎË :ÎÏÉ ËÌÊÙÎ E ( 2 ) log L = E α β ( 2 ) log L = E βδp ( 2 ) log L = 0 α p å Ô ÜËâ ÓÔÎ ÐË ÚÖÓÉÓÌÙ ØÐÏÌÐÊÙÎË ÉÝ ÓÔÎ ÎËÓÌÚÐÓÉÏ ÙÐÊ ÑÎ ÉÑÓÐÌÊÎÍ ÐË AÄ " BB )(Ç'*(%2 V ( α) = 1 φ 11, V ( β) = 1 φ 22, V ( p) = 1 φ 33 å Ô Î ËÜÌÓÐÑÌÒÌÓ ÉÝ ÓÔÎ ÖÏÉÖÉËÎÍ ÚÉÍÎÒ ÌË ÎïÐÚÌÊÎÍ ÓÉ ÓÔÎ ËÓÜÍ ÓÔÐÓ ÔÐË ÑÎÎÊ ÙÉÊÍÜÙÓÎÍ ÌÊ áéïóôû 9 ÐËÓÎÏÊ ÿìñ Ð ËÓÏÎÓÙÔÌÊà ÝÏÉÚ ÎÊàÔÐ:Ì ÓÉ 9ÚËÐÐÍ Þ C ÏÉÚ ÓÔÎ ËÓÜÍ ÐÏÎÐâ ë ÒÉÙÐÒÌÓÌÎË ÉÜÓ ÉÝ ë ÔÐØÎ ÑÎÎÊ ËÎÒÎÙÓÎÍ Ñ ÖÏÉÑÐÑÌÒÌÓ ÖÏÉÖÉÏÓÌÉÊÐÒ ÓÉ ÊÜÚÑÎÏË ÉÝ ÝÐÚÌÒÌÎË ÌÊ ÓÔÎ ÒÉÙÐÒÌÓÌÎËÞ å Ô Î ÍÐÓÐ ÉÊ ÝÎÏÓÌÒÌÓ ÐÊÍ ÚÉÏÓÐÒÌÓ ÜÊÍÎÏ ÐàÎ î ÐÒÉÊà ÕÌÓÔ ËÉÚÎ ÉÓÔÎÏ ÍÎÚÉàÏÐÖÔÌÙ ÙÔÐÏÐÙÓÎÏÌËÓÌÙË ÔÐØÎ ÑÎÎÊ ÙÉÒÒÎÙÓÎÍ ÝÏÉÚ ¾â î ÙÉÜÖÒÎË ÉÝ ÙÔÌÒÍÑÎÐÏÌÊà ÐàÎË ÉÝ ËÎÒÎÙÓÎÍ ÒÉÙÐÒÌÓÌÎËÞ ùñéüó ÉÊÎÛÓÔÌÏÍ èúî Þ ë ÖÎÏÙÎÊÓì ÉÝ ÓÔÎ ÌÊØÎËÓÌàÐÓÎÍ ÚÉÓÔÎÏË ÔÐØÎ ÒÉËÓ ÐÓ ÒÎÐËÓ ÉÊÎ ÙÔÌÒÍ Þ å ÔÎ ÖÎÏÙÎÊÓÐàÎ ÉÝ ÚÜÒÓÌÖÒÎ ÙÔÌÒÍ ÒÉËË ÚÉÓÔÎÏË ÌË ¾¾ Þ ú ÐÊÍ ÓÔÎËÎ ÚÉÓÔÎÏË ÔÐØÎ àìøîêâ ÉÊÎ ÐÊ ÐØÎÏÐàÎâ ¾ü ÉÏ ÚÉÏÎ ÑÌÏÓÔËÞ å Ô Î ÍÌðÎÏÎÊÓÌÐÒ ÌÊ ÙÔÌÒÍ ÒÉËË Ñ ÝÎÏÓÌÒÌÓ ÒÎØÎÒ ÌË ÔÌàÔÒ ËÌàÊÌäÙÐÊÓ Þ ôéõîøîïâ ÙÔÌÒÍ ÚÉÏÓÐÒÌÓ ÓÉ ÚÉÓÔÎÏË ÔÐØÌÊà ÒÉÕÎÏ ÐÊÍ ÍÌðÎÏÎÊÓÌÐÒ ÌÊ ÙÔÌÒÍ ÚÉÏÓÐÒÌÓ Ñ ÝÎÏÓÌÒÌÓ ÌÊ ÊÉÏÓÔÛÎÐËÓÎÏÊ ÿìñ Ð ú î ÚÎÍÌÜÚ è@ ÎØÎÏ ÑÉÏÊ ÙÔÌÒÍÏÎÊì ÝÎÏÓÌÒÌÓ ÌË ËÌÚÌÒÐÏÞ å ÔÌ Ë ËÓÜÍ ÌÊÍÌÙÐÓÎË ÓÔÐÓ ÔÌàÔ ÖÐÏÌÓ ÐÊÍ ÔÌàÔ ÚÉÏÓÐÒÌÓ ÚÉØÎ ÌÊ ÓÔÎ ËÐÚÎ ÍÌÏÎÙÓÌÉÊ è ÔÜ ÐÊ ø ßÎÉàÏÐÓÌÐË ¾çççì ÐÊÍ ÉÊÎ ËÎÓ ÉÝ ÍÐÓÐ ÔÐË ÑÎÎÊ ÓÐñÎÊ ÝÏÉÚ Ð ôéüëîôéòí õðúöòî õüïøî ÌÊ ÏÐ:ÌÒ ÌÊ ¾çêë Þ ßÎÓÐÌÒË ÐÏÎ àìøîê ÌÊ õðëóï è¾ççëì Þ ÓÔÎÏ ÓÕÉ ËÎÓ ÉÝ ËÐÚÖÒÎ ÍÐÓÐ ÕÎÏÎ ÙÉÒÒÎÙÓÎÍ ÜÊÍÎÏ Ð õüïøî ÎÊÓÌÓÒÎÍ D9ðÎÙÓ ÉÝ ÑÏÎÐËÓÝÎÎÍÌÊà ÉÊ ÝÎÏÓÌÒÌÓ ÌÊ áéïóô þüïðò ãêíìðe ÌÊ ¾ççî ÐÊÍ Dù ßÎÚÉàÏÐÖÔÌÙ ËÜÏØÎ ÉÊ ÝÎÏÓÌÒÌÓ ÐÊÍ ÚÉÏÓÐÒÌÓ ÌÊ ÏÜÏÐÒ áîöðòf ù õóüí ÉÝ öðòöð ÐÊÍ þüöðêíîôì ßÌËÓÏÌÙÓËE ÌÊ üüü Þ å ÔÎ ÍÎÓÐÌÒË ÉÝ ÓÔÎËÎ ÓÕÉ ËÎÓ ÉÝ ÍÐÓÐ ÐÏÎ àìøîê ÌÊ õïìøðëóðøð è üü¾ì Þ å Ô Î ÖÐÏÐÚÎÓÎÏË ÉÝ ÓÔÎ ÖÏÉÖÉËÎÍ ÚÉÍÎÒ ÔÐØÎ ÑÎÎÊ ÎËÓÌÚÐÓÎÍ Ñ ÓÔÎ ÚÎÓÔÉÍ ÉÝ ÚÉÚÎÊÓ ÐÊÍ ÚÎÓÔÉÍ ÉÝ ÚÐïÌÚÜÚ ÒÌñÎÒÌÔÉÉÍ Þ å ÔÎ ÎËÓÌÚÐÓÎÍ ØÐÒÜÎË ÉÝ ÍÌðÎÏÎÊÓ ÖÐÏÐÚÎÓÎÏË ÐÏÎ àìøîê ÌÊ ÓÐÑÒÎË ¾ ÓÉ & ÝÉÏ ÓÔÎ ÙÔÌÒÍ ÍÎÐÓÔËÞ è¾&ì è¾îì è¾@ì è¾ëì ² µ ª µ ¹

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18 Revista Colombiana de Estadística Junio 2010, volumen 33, no. 1, pp. 13 a 24 Distribución de probabilidad que involucra algunas funciones hipergeométricas generalizadas Probability Distributions Involving on Generalized Hypergeometric Functions Rafael Alfonso Meléndez a, Jaime Antonio Castillo b, Carlos Jesús Jiménez c Centro de Investigaciones, Grupo de Investigación GIMA, Universidad de la Guajira, Riohacha, Colombia Resumen Se define una nueva función de probabilidad que involucra algunas funciones hipergeométricas generalizadas; se encontraron algunas propiedades y casos especiales como la gamma y la exponencial. Se establecieron algunas funciones básicas asociadas a la nueva distribución de probabilidad, como la media, momentos, función característica, y se obtienen representaciones gráficas para esta nueva función de probabilidad. Palabras clave: función de densidad de probabilidad, función hipergeométrica generalizada, función generadora de momento, función característica. Abstract We define a new function of probability that involves some generalized hypergeometric functions, we found some properties and special cases such as gamma and exponential. We establish some basic functions associated with the new probability distribution like mean, the moments, characteristic function and several graphic representations are obtained for this new function of probability. Key words: Probability function, Generalized hypergeometric functions, The moments, Characteristic function. a Profesor asociado. melendez24@hotmail.com b Profesor titular. jacas68@yahoo.es c Profesor asociado. carlosj114@gmail.com 13

19 14 Rafael Alfonso Meléndez, Jaime Antonio Castillo & Carlos Jesús Jiménez 1. Introducción Muchas funciones especiales de matemáticas aplicadas pueden expresarse en términos de funciones hipergeométricas, las cuales son clases importantes de funciones especiales. La función hipergeométrica y sus generalizaciones han sido usadas en varios problemas de la estadística (Lebedev 1965, Nakhi & Kalla 2005), particularmente en el estudio de nuevas funciones de densidad de probabilidad generalizadas y sus propiedades estadísticas, las cuales tienen diversas aplicaciones no solo en la teoría de confiabilidad, sino también en algunos problemas asociados con tasas demográficas, biomedicina, datos de tráfico y fallas de equipos electrónicos (Virchenko et al. 2001). Consideremos el problema de resolver la ecuación diferencial lineal z(1 z)u + [γ (α + β + 1)z]u αβu = 0 (1) donde z es una variable compleja, y γ,α,β son parámetros que pueden tomar valores reales o complejos. Reduciendo (1) a la forma estándar dividiendo por el coeficiente u, obtenemos una ecuación cuyos coeficientes son funciones analíticas de z en el dominio 0 < z < 1. Esto sigue de la teoría general de ecuaciones diferenciales lineales, donde (1) tiene una solución particular (Virchenko et al. 2001). u = z s c k z k k=0 donde c 0 0, s es número convenientemente escogido, y así la serie de potencia converge en z < 1. Para valores de γ 0, 1, 2,..., una solución particular está dada por u = F(α, β; γ; z) = k=0 (α) k (β) k (γ) k que se conoce como la serie hipergeométrica de Gauss. A continuación veremos algunas distribuciones de probabilidad establecidas recientemente por diferentes autores. Good (1953) introdujo la siguiente distribución gaussiana inversa 1 g(t) = A(α, a, b) tα 1 e at b/t donde a, b, t > 0; < α < [ A(α, a, b) = 0 z k k! ] 1 t α 1 e at b/t dt esta distribución gaussiana inversa se plantea como la función de densidad de primer paso de tiempo con movimiento browniano con derivada positiva (Jorgensen 1982). Tales modelos han sido usados por Hoem (1976) y Jorgensen (1982) en la teoría de confiabilidad y teoría de tasas demográficas; este último estudió varias Revista Colombiana de Estadística 33 (2010) 13 24

20 Distribución de probabilidad generalizada 15 aplicaciones de la distribución anterior, asociadas con daños de equipos de aire acondicionados y datos de tráfico. En Lebedev (1965) y Mathais (1993) se presentan otras aplicaciones de las funciones especiales a la teoría de confiabilidad. En un trabajo reciente, Agarwal & Kalla (1996) desarrollaron una nueva distribución tipo gamma generalizada, con función de densidad: donde f(x) = βαm/β Γ λ (m/β, n) xm 1 ( αx β + n ) λ e αx β, α, m, n < 0 Γ λ (m, n) = 0 x m 1 e x (x + n) λ dx, m > 0 siendo esta la función gamma generalizada de Kobayashi (1991), la cual es esencialmente una función hipergeométrica confluente de segunda clase (Agarwal & Kalla 1996). Motivados por sus resultados, Agarwal & Kalla (1996) y Ghitany (1998) obtienen algunas propiedades adicionales para esta distribución. Recientemente, Al-Musallam & Kalla (1998), Al-Saqabi et al. (2002),Virchenko et al. (2001) y Virchenko (1999) definieron y desarrollaron algunas funciones hipergeométricasτ y confluente-τ que son generalizaciones de las funciones hipergeométricas de Gauss y funciones hipergeométricas confluentes Kummer. El presente trabajo tiene como objeto definir una nueva función de densidad generalizada a partir de algunas funciones hipergeométricas generalizadas; para esto se hará uso de las representaciones integrales y en serie doble; a partir de esta función de densidad f(x) se encuentran algunas propiedades que permiten caracterizarla, como la función generadora de momento, los momentos, la función característica, la función tasa de riesgo y algunos casos especiales. Se muestran algunas figuras las cuales corresponden a la simulación de esta nueva función de densidad para diferentes valores de los parámetros. Galué et al. (2005) definen algunas generalizaciones que involucran a cuatro series de Appell definidas por Humbert (1920), introducen dos nuevos parámetros τ y τ y definen sus representaciones en serie e integrales. A partir de estas se obtienen nuevas distribuciones de probabilidad que involucran estas generalizaciones. Con esta nueva función de densidad generalizada se encuentran casos especiales como una generalización con menos parámetros, la gamma y la exponencial, los momentos y sus casos particulares como el valor esperado y la varianza, la función generadora de momento, función característica, la función tasa de riesgo. 2. Generalización de algunas funciones hipergeométricas de dos variables La generalización de las funciones hipergeométricas de dos variables está asociada con la generalización de la función hipergeométrica de Gauss propuesta por Virchenko (1999), quien la introdujo de la siguiente forma: 2R τ 1 (z) 2R 1 (a, b; c; τ; z) = Γ(c) Γ(a)Γ(b) k=0 Γ(a + k)γ(b + τk) z k Γ(c + τk) k! (2) Revista Colombiana de Estadística 33 (2010) 13 24

21 16 Rafael Alfonso Meléndez, Jaime Antonio Castillo & Carlos Jesús Jiménez τ > 0, z < 1, c 0, 1, 2,... Esta función tiene la siguiente representación integral: Para 2R 1 (a, b; c; τ; z) = Γ(c) 1 t b 1 (1 t) c b 1 (1 zt τ ) a dt (3) Γ(a)Γ(c b) 0 τ > 0, R(c) > R(b) > 0 τ = 1, 2 R 1 (a, b; c; τ; z) = 2 F 1 (a, b; c; z) donde 2 F 1 es la función hipergeométrica de Gauss. Similarmente la función hipergeométrica confluente se define como Φ τ = Φ τ (a; b; c) = Γ(c) Γ(a) k=0 Γ(a + k) z k Γ(c + τk) k! (4) τ > 0, z < 1, c 0, 1, 2,... Anteriormente se presentaron algunas generalizaciones de funciones hipergeométricas de dos variables donde se introduce el parámetro τ y a continuación se relacionan unas generalizaciones que involucran algunas funciones de Humbert Generalización de algunas funciones de Humbert Siete formas confluentes de las cuatro series de Appell fueron definidas por Humbert (1920), denotadas por: Φ 1, Φ 2, Φ 3, Ψ 1, Ψ 2, Ξ 1, Ξ 2. Recientemente Galué et al. (2005) consideraron una extensión de las funciones de Humbert Ψ 1, Ψ 2, Ξ 1 y Ξ 2 introduciendo parámetros adicionales τ, τ, y establecieron sus representaciones en serie e integral. Las generalizaciones τ de las funciones confluentes de dos variables Ξ 1 y Ξ 2 pueden expresarse en términos de la función 2 R 1 (a, b; c; τ; w) en la forma siguiente: Ξ τ,τ 1 (a, a, b; c; w, z) = Γ(c) Γ(a)Γ(a ) k,l=0 Γ(a + τk)γ(a + τ l) w k z l Γ(c + τk + τ l) k! l! (5) Ξ τ,τ 1 (a, a, b; c; w, z) = Γ(c) Γ(a ) l=0 Γ(a + τ l) Γ(c + τ l) 2 R 1 (b, a; c + τ l; τ; w) zl l! (6) τ, τ > 0, w < 1, c + τ l 0, 1, 2,... Ξ τ 2(a, b; c; w, z) = Γ(c) Γ(a) k,l=0 Γ(a + τk)(b) k w k z l Γ(c + τk + l) k! l! (7) Revista Colombiana de Estadística 33 (2010) 13 24

22 Distribución de probabilidad generalizada 17 Ξ τ 2(a, b; c; w, z) = l=0 1 2R 1 (b, a; c + l; τ, w) zl (c) l l! (8) τ > 0, w < 1, c 0, 1, 2,... donde (c) n denota el símbolo de Pochhammer (c) n = Γ(c + n)/γ(c) Funciones de Bessel A continuación se define la función de Bessel modificada de primera clase I υ (z) = k=0 (z/2) υ+2k, z <, arg z < π (9) Γ(k + 1)Γ(k + υ + 1) A continuación se muestra una representación integral definida por Galué para la función Ξ 2 y algunas propiedades, las cuales permitirán encontrar la nueva distribución de probabilidad generalizada y sus propiedades Representación integral Galué et al. (2005) presentó además la representación integral para la generalización τ de la función de Humbert Ξ 2, de la siguiente forma: 0 x α 1 e px Ξ τ 2(a, b; c; w, xz)dx = Γ(α) p α Ξτ,1 1 τ, Re p, Reα, Re(p z) > 0, w < 1 ( a, α, b; c; w, z ) p (10) Algunas propiedades. Galué et al. (2005) establecieron también algunas propiedades para las extensiones de Humbert de la siguiente manera: Ξ τ,τ 1 (a, a, b; c; w, 0) = 2 R 1 (b, a; c; τ; w); w < 1 (11) Ξ τ 2(a, b; c; w, 0) = 2 R 1 (b, a; c; τ; w); w < 1 (12) Ξ τ,τ 1 (a, a, b; c; 0, z) = 1 Φ τ 1 (a ; c; z) (13) Ξ τ 2 (a, b; c; 0, z) = Γ(c) z (c 1)/2 I c 1 (2 z) (14) Revista Colombiana de Estadística 33 (2010) 13 24

23 18 Rafael Alfonso Meléndez, Jaime Antonio Castillo & Carlos Jesús Jiménez 2.4. Función gamma incompleta y gamma generalizada Una nueva función gamma generalizada puede considerarse utilizando Ξ τ 2 definida en (7), de la siguiente manera: τγ(α, p; a, b; c; w, x) = 0 t α 1 e pt Ξ τ 2 (a, b; c; w, tz)dt (15) τ R, τ, Re p, Re α, Re(p z) > 0 Definimos la siguiente función gamma generalizada incompleta w τγ 0 (α, p; a, b; c; w, x) = w 0 t α 1 e pt Ξ τ 2 (a, b; c; w, tz)dt (16) τ, Re p, Re α, Re(p z) > 0 La función gamma incompleta generalizada complementaria se define como τ Γw (α, p; a, b; c; w, x) = w τ, Re p, Re α, Re(p z) > 0 t α 1 e pt Ξ τ 2(a, b; c; w, tz)dt (17) 3. Una función de densidad de probabilidad generalizada En esta sección usaremos la generalización de la función hipergeométrica de dos variables Ξ τ 2, establecida por Galué et al. (2005), para definir la siguiente función de densidad de probabilidad. Propiedades: f(x) = pα x α 1 e px Ξ τ 2 (a, b; c; w, xz) Γ(α) Ξ τ,1 1 (a, α, b; c; w, z/p) (18) τ, Re p, Re α, Re(p z) > 0, w < 1, x > 0 i) f(x) = 0 para α > 1 y x = 0 ii) f(x) = pα x α 1 e α 1 Γ(α) para b = α > 1 y z = 0 iii) f(x) cuando x 0 + y α < 1 iv) f(x) 0 cuando x y α < 1 Revista Colombiana de Estadística 33 (2010) 13 24

24 Distribución de probabilidad generalizada Algunos casos especiales 1. Para τ = 1, obtenemos una nueva función de densidad de probabilidad involucrando la generalización τ de la función confluente de dos variables Ξ 2. f(x) = pα x α 1 e px Ξ 2 (a, b; c; w, xz) Γ(α) Ξ τ,1 1 (a, α, b; c; w, z/p) (19) Rep, Re α, Re(p z) > 0, w < 1 2. Para τ = 1, w = 0, y utilizando las propiedades (13) y (14) en (18) se obtiene una distribución con cuatro parámetros f(x) = pα x 2(α c 1) e px Γ(c) z (c 1)/2 I c 1 (2 xz) Γ(α) 1 Φ 1 (a ; c; z/p) (20) Re p, Reα, Re(p z) > 0 3. Para z = 0 y a = b = α y utilizando las propiedades (10) y (11) en (18) obtenemos la distribución gamma f(x) = pα x α 1 Γ(α) e px (21) 4. Para α = 1 en (21) Re p, Reα > 0, w < 1 f(x) = p e px (22) Re p > 0, x > 0 se obtiene la bien conocida distribución exponencial Los momentos El n-ésimo momento µ n con respecto al origen de una variable aleatoria continua X con función de densidad f(x) se define como µ n = x n f(x)dx Para la función de densidad f(x), dada por (18) se consideran distribuciones de soporte positivo, dado que estas involucran funciones tipo gamma, la cual es continua sobre los reales positivos. µ n = E(xn ) = 0 x n+α 1 px Γ(c) e Γ(a) k,l=0 Γ(a + τk)(b) k w k Γ(c + τk + l) k! (xz) l dx. l! Revista Colombiana de Estadística 33 (2010) 13 24

25 20 Rafael Alfonso Meléndez, Jaime Antonio Castillo & Carlos Jesús Jiménez Usando la expresión de la serie de la función Ξ τ 2 dada por (7) se tiene Ξ τ Γ(c) 2 (a, b; c; w, z) = Γ(a) k,l=0 Γ(a + τk)(b) k w k z l Γ(c + τk + l) k! l! resolviendo la integral se tiene el siguiente resultado 0 x n+α+l 1 e px dx µ n = (α) n Ξ τ,1 1 (a, α + n; c; w, z/p) p n Ξ τ,1 1 (a, α, b; c; w, z/p) (23) τ, Re p, Reα, Re(p z) > 0, w < 1, n = 1, 2, 3,... Casos especiales. El momento µ n para n = 1, denotado por E(x), llamado la media, está dado por µ 1 = E(x) = Γ(α + 1) Γ(α) p Ξ τ,1 1 (a, α + 1; c; w, z/p) Ξ τ,1 1 (a, α; c; w, z/p) (24) La varianza de una variable aleatoria X de la función de probabilidad f(x) definida por (13) con media µ 1, está dada por V ar(x) = E(x 2 ) [E(x)] 2 donde E(x 2 ) = µ 2 = (α) 2 Ξ τ,1 1 (a, α + 2; c; w, z/p) Γ(α)p 2 Ξ τ,1 1 (a, α; c; w, z/p) (25) τ, Re p, Re α, Re(p z) > 0, w < 1, x > Función generadora de momento La función generadora de momento, de una variable aleatoria X, es definida para cada real t, se denota por M x (t) es definida por M x (t) = E(e xt ) = e xt f(x)dx (26) Para la función de densidad f(x) definida por (18), se tiene la función generadora de momento M x (t) = 0 p α x α 1 e (p t)x Ξ τ 2(a, b; c; w, xz) Γ(α) Ξ τ,1 dx (27) 1 (a, α, b; c; w, z/p) Aquí se han tenido en cuenta las mismas consideraciones dadas en 3.2 para tener distribuciones de soporte positivo. Revista Colombiana de Estadística 33 (2010) 13 24

26 Distribución de probabilidad generalizada 21 Resolviendo la integral en (27) usando la definición (7) de Ξ τ 2 se obtiene finalmente la función generadora de momento para f(x) definida en (18) ( ) α p Ξ τ,1 1 (a, α + n; c; w, z/(p t)) M x (t) = p t Ξ τ,1 1 (a, α, b; c; w, z/p) (28) 3.4. Función característica τ, Re p, Reα, Re(p t) > 0, w < 1 La función característica de X está dada por E(e itx ) = usando (29) y la función f(x) definida en (18) Ϝ [f(x)] (t) = E(e itx ) = pα Γ(α) Γ(c) Γ(a) 0 k,l=0 e itx f(x) dx (29) Γ(a+τk)(b) k Γ(c+τk+l) w k z l k! l! Ξ τ,1 1 (a, α, b; c; w, z/p) 0 x α+l 1 e (p it)x dx resolviendo la integral y utilizando la definición (5) de Ξ τ,1 1 se tiene ( ) α p Ξ τ,1 1 (a, α; c; w, z/(p it)) Ϝ [f(x)] (t) = p it Ξ τ,1 1 (a, α, b; c; w, z/p) (30) 3.5. La función tasa de riesgo La función tasa de riesgo se define como h(x) = f(x) S(x) (31) donde S(x) es la función de sobrevida de x S(x) = 1 F(x), para x > 0 (32) siendo F(x) la función de densidad acumulada F(x) = x 0 f(u)du La función S(x) tiene origen en la teoría de confiabilidad. En este caso la función w de densidad f(x) definida por (18) donde τγ0 (α, p; a, b; c; w, x) está definida por (16) w F(x) = pα τγ 0 (α, p; a, b; c; w, x) Γ(α) Ξ τ,1 1 (a, α; c; w, z/p) (33) Revista Colombiana de Estadística 33 (2010) 13 24

27 22 Rafael Alfonso Meléndez, Jaime Antonio Castillo & Carlos Jesús Jiménez luego la función de sobrevida S(x) está dada por S(x) = Γ(α) Ξτ,1 la función de tasa de riesgo está expresada por 1 (a, α; c; w, z/p) pα τγ 0 (α, p; a, b; c; w, x) Γ(α) Ξ τ,1 1 (a, α; c; w, z/p) p α x α 1 e px Ξ τ,1 2 (a, b; c; w, xz) h(x) = Γ(α) Ξ τ,1 1 (a, α; c; w, z/p) w pα τγ 0 (α, p; a, b; c; w, x) w (34) 3.6. Representaciones gráficas Las siguientes figuras representan la función de densidad de probabilidad (fdp) generalizada dada por (18) para diferentes valores tanto de α como de τ; se observa la variación en los gráficos cuando se consideran valores distintos en dichos parámetros. Tomando los valores p = 2.5, a = 1.5, b = 2, c = 3, w = 0.8, α = 2.8 y τ = 2.2 y p = 2.5, a = 1.5, b = 3, c = 1, 5, w = 0.8, α = 3.4 y τ = 3.4, se tienen respectivamente las figuras 1 y 2. En la figura 3 se consideran los mismos parámetros de la figura 1 y se gráfica el semilog de la función de densidad de probabilidad dada en (18) z=1 z=2 z= Figura 1: fdp para diferentes valores de z y τ = Conclusiones Este trabajo contiene una nueva función de densidad de probabilidad generalizada, la cual se obtuvo a partir de funciones generalizadas de tipo hipergeométrico desarrolladas recientemente; se encuentran algunas propiedades que permiten caracterizarla, como la función generadora de momento, los momentos, la función característica, la función tasa de riesgo y algunos casos especiales tales como exponencial y la gamma. Revista Colombiana de Estadística 33 (2010) 13 24

28 Distribución de probabilidad generalizada z=1 z=2 z= Figura 2: fdp para diferentes valores de z y τ = z=3 z=2 z= Figura 3: semilog(fdp) para diferentes valores de z y τ = 2.2. ˆRecibido: diciembre de 2008 Aceptado: enero de 2010 Referencias Agarwal, S. K. & Kalla, S. L. (1996), A Generalized Gamma Distribution and its Applications in Reliability Comm Statist, Theory Method, Oxford. Al-Musallam, F. & Kalla, S. L. (1998), Further Results on a Generalized Gamma Functions Ocurring in Diffraction Theory, Statist, Theory Methods 7, Al-Saqabi, B. N., Kalla, S. L. & Shafea, A. (2002), On a Probability Distribution Involving a τ-confluent Hypergeometric Function of Two Variables, Algebras Groups and Geometries 19(2), Galué, L., Al-Zamel, A. & Kalla, S. L. (2005), An Extension of Some Humbert s Functions, International Journal of Applied Mathematics 17, Revista Colombiana de Estadística 33 (2010) 13 24

29 24 Rafael Alfonso Meléndez, Jaime Antonio Castillo & Carlos Jesús Jiménez Ghitany, M. E. (1998), On a Recent Generalization of Gamma Distribution, Statist, Theory Methods 27, Good, I. J. (1953), The Population Frequencies of Species and the Estimation of Population Parameters, Biometrika 40, Hoem, J. N. (1976), The Statistical Theory of Demographics Rates, Scandinavian Journal of Statistics 3, Humbert, P. (1920), The Confluent Hypergeometric Functions of Two Variables, Proceedings Royal Society of Edinburgh 41, Jorgensen, B. (1982), Statistical Propertiers of Generalized Inverse Gaussians Distributions, Lecture Notes in Statistics, New York. Kobayashi, K. (1991), On a Generalized Gamma Functions Occurring in Diffraction Theory, Journal of the Physical Society of Japan 60, Lebedev, N. N. (1965), Special Functions and Their Applications, primera edn, Dover Publications, Inc., New York. Mathais, A. M. (1993), A Handbook of Special Functions for Statistical and Physical Sciences, Clarendon Press, Oxford. Nakhi, B. & Kalla, S. L. (2005), On a Generalized Mixture Distribution, Applied Mathematics and Computation 169, Virchenko, N. (1999), On Some Generalizations of the Functions Hypergeometric Type, Integral Transforms and Special Functions 2, Virchenko, N., Kalla, S. L. & Al-Zamel, A. (2001), Some Result on a Generalized Hypergeometric Function, Integral Transforms and Special Functions 12, Revista Colombiana de Estadística 33 (2010) 13 24

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