Resistencia requerida y resistencia de diseño. Estados Límites.

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1 Resistencia requerida y resistencia de diseño. Estados Límites. Se define Estado Límite aquel que corresponde a las máximas solicitaciones que pueden resistir los miembros estructurales sin llegar a alcanzar las condiciones de inseguridad de comportamientos tales como rotura frágil, fisuración excesiva, pandeo, rotaciones inadmisibles, fatiga, vibraciones peligrosas o pérdidas de funcionalidad y equilibrio. Los estados límites se clasifican en: Estado límite de agotamiento resistente Estado límite de servicio El estado límite de agotamiento resistente se alcanza para la más desfavorable de las solicitaciones que producen las combinaciones de las cargas factorizadas que actúan sobre la estructura que se analiza, mientras que el estado límite de servicio corresponde a los efectos de segundo orden que resultan de la combinación más desfavorable de las cargas de servicio. A) Estado límite de agotamiento resistente Los estados límites de agotamiento resistente U son producidos por las cargas factorizadas que actúan en las estructuras, dando origen a solicitaciones de: Flexión simple Flexión compuesta Compresión Flexo-tracción Corte Deslizamiento Torsión Punzonado Las cargas actuantes en los miembros y nodos de una estructura pueden presentarse separadamente o en combinación simultánea, y se toma en cada caso con el sentido que resulte más desfavorable para el sistema, según se indica a continuación. Combinaciones de cargas para el Estado Límite de Agotamiento Resistente U = 1.4(CP+CF) U = 1.2(CP+CF+CT)+1.6(CV+CE)+0.5CVt U = 1.2CP+1.6CVt+(γ CV ó ± 0.8 W) U = 1.2CP ± 1.6 W + γ CV +0.5 CVt U = 1.2 CP + γ CV ± S U = 0.9CP ± 1.6 W U = 0.9 CP ± S U = 0.9CP ± 1.6 CE

2 Donde, CP = carga fija o permanente CV = carga variable o accidental CF = carga de fluidos con altura controlada CT = acción debida a cambios de temperatura CE = carga debida al empuje de tierra o granos CVt = carga variable de techos y cubiertas (terraza) S = solicitaciones debidas a acciones sísmicas W = solicitaciones debidas al viento Las cargas actuantes se afectan de factores de mayoración, mientras que las resistencias se multiplican por los factores de minoración φ. Este factor toma en consideración la probabilidad de variación en la calidad de los materiales empleados y en las dimensiones de los miembros, así como la inexactitud de los métodos de análisis y diseño. Factores de minoración de la Resistencia Teórica Resistencia Teórica Flexión o flexión simultánea con carga axial a) Secciones controladas por compresión i) Miembros zunchados con refuerzo helicoidal continuo ii) Miembros con ligaduras cerradas como refuerzo transversal b) Secciones controladas por tracción del acero c) Secciones en la zona de transición entre los controles de tracción y compresión d) Flexión en ménsula Corte Para todos los miembros estructurales, incluyendo los muros que no pertenezcan al sistema que resiste cargas de sismo Para los muros estructurales que formen parte del sistema resistente a sismo Factor de minoración φ * En los nodos y vigas de acoplamiento interceptados por barras en diagonal 0.85 Torsión 0.75 Aplastamiento del concreto 0.65 Flexión, corte, compresión y aplastamiento en miembros estructurales de concreto simple o no reforzado 0.55

3 Los factores de minoración de resistencias (φ < 1) toman en cuenta la posibilidad de variación en la calidad de los materiales y las dimensiones de los miembros, así como en la falta de precisión de los métodos de cálculo y diseño. Los valores de φ varían asimismo según la importancia del miembro estructural y el tipo de solicitaciones actuantes. Nótese que φ es menor en columnas que en vigas. El criterio que rige es el de columna fuerte y viga más flexible, dado que la falla de una columna es siempre más peligrosa que la de una viga para la estabilidad de la estructura. B) Estado límite de servicio El estado límite de uso o servicio es el que se refiere a los efectos de segundo orden que afectan a las estructuras por la acción de cargas no factorizadas. Este estado límite se alcanza cuando bajo cargas de servicio se producen efectos importantes de deformación, derivas, asentamientos, desplazamientos laterales totales, creep, flechas instantáneas o diferidas y vibraciones importantes, en fin, efectos que pueden afectar seriamente la resistencia y durabilidad prevista de una construcción. Limitar las deformaciones por: a) Flechas b) Alargamientos c) Acortamientos d) Derivas e) Diferencias de temperatura f) Asentamientos diferenciales g) Creep o fluencia lenta h) Distorsiones i) Deslizamientos diferenciales. Clasificación de solicitaciones Las cargas actuantes en las estructuras provocan diferentes solicitaciones. Para diseñar las secciones de los elementos estructurales es necesario conocer con exactitud el tipo y la magnitud de la solicitación que actúa en cada caso, y además las deformaciones que producen, de modo de poder determinar las dimensiones necesarias de las secciones de concreto y la correcta ubicación de la armadura resistente, de acuerdo con las características y resistencia de los materiales empleados.

4 Solicitaciones, esfuerzos y deformaciones en las estructuras Solicitaciones Deformaciones Axial de tracción Axial de compresión Flexión Corte Torsión Alargamiento Acortamiento Curvatura Distorsión plana Distorsión alabeada Clasificación de solicitaciones, tensiones y deformaciones Tipo de solicitación Axial tracción Esquema de los esfuerzos Deformaciones producidas Alargamiento Esfuerzos característicos Miembro estructural Tensor Axial compresión Acortamiento Normales Puntal columna o Flexión Curvatura Normales de tracción y de compresión Viga Corte Distorsión plana Tangenciales de corte y punzonado Torsión Distorsión plana O alabeada Tangenciales de torsión

5 Flexión y Corte. Diseño de Vigas Teoría de la rotura Flexión simple. La resistencia de los miembros de concreto armado, sujetos a flexión simple se determina a partir de ciertas hipótesis entre las cuales se pueden enumerar: 1.- La distribución de las deformaciones en la sección transversal es lineal. 2.- El concreto no resiste esfuerzos de tracción. 3.- La deformación unitaria máxima del concreto es ε c = 0, No existe deslizamiento relativo entre las barras de acero y el concreto. 5.- La distribución de esfuerzos en la zona de compresión del concreto adopta la forma rectangular. 0,65 β1 = (1,05- ) β1 f c 0, , ,80 350

6 Sección simplemente armada La figura muestra la distribución de esfuerzos y deformaciones de una sección rectangular simplemente armada. Para que la sección sea dúctil se debe cumplir ε su > ε y c es la profundidad del eje neutro en el límite de agotamiento de la resistencia y ε y es la deformación en el acero correspondiente al esfuerzo cedente a tracción. ε y = Es= ε C = 0,85 f c a. b T = As fy = ρbd fy La cuantía geométrica ρ = (a) Por equilibrio C = T 0,85 f c a. b = As fy a = Utilizando la relación del triángulo de la figura anterior, obtenemos: = ε ; Multiplicamos y dividimos por Es = 2.1 x 10 6 Kgf/cm 2 = c = x d (1) c= ku d ; a = β1. c a = β1. ku. d

7 a = β1. Ku. d = = igualando (1) y (2) ρ Ku = β ρ (2) Ku = β ρ = ρ bal = β x x Se define así mismo la cuantía mecánica de la sección. ω = ρ (b) Para asegurar el comportamiento dúctil de la sección flexada se debe limitar el valor de ω en secciones simplemente armadas. Así ω 0.75 ωb y ω 0.50 ωb para zonas sísmicas ωb es la cuantía mecánica de la sección balanceada. El brazo del par de fuerzas j.ud = d - ; a = β1. c = ju.d = d - = d - [ ] = d [ ρ ] = d d[ ρ ] ju.d = d d[ ρ ] Sabemos que ω = ρ Por lo tanto: ju.d = d d[ ] ju d = d [ ω] ju= [ ω]

8 El momento de agotamiento puede así mismo expresarse por: a = β1. Ku. d = 0,85 f c. b. a ju d = 0,85 f c. b. β1. Ku. d ju d, no olvidemos que Ku = β ρ y ρ = = 0,85 f c. b. β1. β ρ. d ju d = 0,85. b. ρ. d ju d = 0,85. b.. d ju d no olvidemos que ju = [ ω] = f c b d 2 [ ω] = 0.90 El coeficiente adimensional μ resulta: μ = = 0.90 [ ω], La tabla 2.1 relaciona los valores de μ con la cuantía mecánica ω y el factor ju que permite hallar el brazo del par interno o brazo mecánico de la sección, ju d, donde ju = [ ω] En diseño para asegurar la ductilidad del elemento flexado se adoptará el valor de ω = 0.18 al que corresponde un μ = y ju = la ecuación despejada nos queda: d μ La altura total resulta: h = d + c d d + c c + d b1 + d b /2 Donde d b1 es el diámetro de la barra del estribo y d b el diámetro de la mayor barra traccionada, la cual debe colocarse siempre en la fila más próxima al borde traccionado.

9 El recubrimiento neto del acero a tracción c c no debe ser menor que el diámetro d b de la mayor de las barras ni inferior a la dimensión máxima del agregado grueso aumentado en 5 mm. Reiterando, para el diseño de vigas de concreto armado se debe tomar en cuenta dos tipos de cuantías: la geométrica y la mecánica. Cuantía geométrica ρ = Cuantía mecánica ω = ρ La condición de acero mínimo en secciones rectangulares o en T, resulta: As min = 0.79 b w d f c 315 kgf/cm 2 As As min = b w d f c < 315 kgf/cm 2 Para asegurar un comportamiento dúctil de la sección flexada se debe limitar el valor de ω, así: ω 0.5 ω bal Para: ρ bal = β x x ω bal = ρ bal Si no se cumple la condición ω 0.5 ω bal, la sección debe armarse doblemente para preservar su ductilidad

10 Debemos recordar que en una sección balanceada la falla del concreto y el acero es simultánea, es decir ε s = ε y = y en el concreto se alcanza ε u = La falla balanceada es de tipo frágil, violenta. Las normas para el caso de flexión obligan a utilizar ρ < ρ bal garantizando así la falla por tracción. La sección balanceada tendría mucho acero y relativamente poco concreto. Las secciones de concreto armado se clasifican en: a) Secciones controladas por compresión: cuando el concreto en compresión alcanza su máxima deformación ε cu = y simultáneamente la deformación neta a tracción en el acero de refuerzo no logra superar la deformación de fluencia ε y, es decir ε s < ε y b) Secciones controladas por tracción: cuando el concreto en compresión alcanza su máxima deformación ε cu = y simultáneamente la deformación neta a tracción en el acero de refuerzo ε s > c) Secciones en transición: cuando las secciones están comprendidas en una situación como la que sigue: ε y <ε s < En miembros solicitados a flexión, la deformación neta a tracción será mayor que 0.004, por lo tanto la cuantía máxima se calculará para la condición: ρ max 0.025

11 TABLA 2.1 Diseño de secciones en estado limite de agotamiento resistente Momento específico µ ju µ ju µ ju µ ju µ ju µ ju µ ju µ ju µ ju µ ju µ ju µ ju µ ju µ ju µ ju µ ju µ ju µ ju µ ju µ ju µ ju µ ju µ ju

12 Separación del acero de refuerzo La separación libre entre barras paralelas de una capa no será menor que d b ni menor que 2,5 cm. Cuando las barras paralelas del refuerzo se colocan en dos o más capas, las capas superiores se deben colocar en la misma alineación de las capas inferiores, con una separación libre no menor de 2,5 cm. En miembros comprimidos ligados o zunchados la separación libre entre barras longitudinales no será menor a 1.5 d b ni 4 cm. Los valores límites para la separación libre entre las barras se aplicarán también para la separación libre entre los empalmes por solape y entre éstos y las barras adyacentes. En losas y placas macizas la separación del refuerzo principal no será mayor que 3 veces el espesor ni más de 45 cm. Con respecto al grupo de barras, se permite disponer barras paralelas en contacto para que actúen como una unidad, en vigas y columnas. Todo grupo de barras debe cercarse con estribos o ligaduras con ganchos a 135 aunque el paquete no esté en una esquina. El número máximo de barras en paquete es de 4 en edificaciones con ND1 y se limita a 2 en miembros con ND2 o ND3. En vigas no se debe colocar grupos de barras mayores al N 11 (1 3/8 ). En los tramos interiores de los miembros flexionados, las barras individuales dentro del grupo se cortarán en puntos diferentes, escalonándose a una distancia de 40 d b como mínimo. En columnas las barras en grupos estarán firmemente amarradas a la esquina de la ligadura que la circunda. Las limitaciones de separación y recubrimiento de un grupo de barras serán las correspondientes al diámetro equivalente que resulta del área total de las barras colocadas en el paquete. Para grupos de barras el recubrimiento mínimo a usar será igual al diámetro del área equivalente al grupo, pero no es necesario que sea mayor a 5 cm, salvo para el caso de concreto vaciado sobre el terreno y en contacto permanente con el mismo, para lo cual se utilizará un recubrimiento mínimo de 7.5 cm. La figura siguiente muestra algunos ejemplos de lo que se ha expuesto.

13 Tabla Recubrimientos mínimos Cc Característica del ambiente Piezas al abrigo de la intemperie Piezas expuestas a la intemperie en ambientes no agresivos. Diámetro del acero de refuerzo, d b db N 5(16 M) y alambres con db< 16 mm N 6 a N 11 (20 M a 36 M) N 14 y N 18 (40M y mayor) db N 5(16 M) y alambres con db< 16 mm Recubrimiento mínimo 1, cm. Vigas y Losas y muros Cáscaras columnas placas y placas plegadas 4, ,0 db>n 6 (20M) 5,0 1,5 2,0 Piezas vaciadas sobre el Todos los terreno y diámetros 7,5 permanentemente en No aplica contacto con el mismo. 1. Para grupos de barras, véase la Subsección Notas 2. Al recubrimiento mínimo de protección se sumará el diámetro del acero de refuerzo transversal y se designará Cc.

14 Número máximo de barras que caben en los anchos de vigas b (cm) Φ ½ Φ 5/8 Φ 3/4 Φ 7/8 Φ Requisitos de ND2 y ND3 para el diseño por flexión - vigas- Como requisito sismo resistentes adicionales para los niveles superiores de diseño, se citan los siguientes: I) Requisitos de ND2 Adicionalmente a los requisitos establecidos para el diseño en flexión de vigas, se exige en ND2 que en las caras de los apoyos, el acero de refuerzo en el lecho inferior de la viga debe ser tal que la capacidad para resistir momentos positivos sea por lo menos 1/3 de la capacidad para resistir momentos negativos.

15 Además, en cualquier sección a lo largo del miembro, la capacidad resistente tanto para momentos positivos como negativos en cada tramo de la viga, será al menos igual a 1/5 de la capacidad resistente de la sección en la cara del apoyo, en el extremo donde el momento sea mayor. II) Requisitos de ND3 Adicionalmente a los requisitos previamente mencionados para el diseño en flexión de vigas, en el ND3 se exige cumplir con las siguientes condiciones geométricas: a) La luz libre Ln debe ser como mínimo 4 veces la altura h. Si esto no se cumple, la viga será tratada como de gran altura. h b) La relación de la sección transversal de la viga 0,3 c) La altura h de la viga debe ser mayor o igual a 15 veces el diámetro de la mayor barra longitudinal de la columna donde se apoya. d) El ancho mínimo b de la viga es de 25 cm. e) El ancho b de la viga no debe exceder el lado de la columna donde apoya, medido en un plano perpendicular al eje de la viga. f) Se acepta el diseño de las vigas para que las rótulas plásticas en flexión se formen alejadas de las columnas.

16 g) En cualquier sección de un miembro flexado, el área de acero de refuerzo mínimo en los lechos superior e inferior se calculará con las ecuaciones: As min = 0.79 b w d f c 315 kgf/cm 2 As As min = b w d f c < 315 kgf/cm 2 h) En cada sección de la viga habrá por lo menos una barra continua no menor a ½ en cada esquina. Además, el detallado del acero de refuerzo longitudinal cumplirá con las siguientes condiciones: En las caras de los apoyos, el acero de refuerzo en el lecho inferior de la viga debe ser tal que la capacidad para resistir momentos positivos sea por lo menos ½ de la capacidad para resistir momentos negativos. En cualquier sección a lo largo del miembro, la capacidad resistente tanto para momentos positivos como negativos en cada tramo de la viga, será al menos igual a ¼ de la capacidad resistente de la sección en la cara del apoyo, en el extremo donde el momento sea mayor. La disposición de las barras longitudinales del miembro cumplirá con los requisitos de empalmes y anclajes de la sección.

17 Armadura de paramento Cuando la altura útil de la viga (d) es mayor a 75 cm se debe colocar un acero longitudinal de paramento A sk adicional, que se distribuya uniformemente en las caras laterales del miembro a una distancia h/2 de la cara traccionada. A sk será por lo menos el 10% del área de la armadura de tracción. El acero de paramento se puede incluir en el cálculo de la resistencia del miembro cuando se realiza un análisis de compatibilidad de deformaciones para determinar las tensiones en cada una de las barras. Para momentos positivos la armadura de paramento se ubica en la mitad inferior de la altura de la viga, y para momentos negativos en la mitad superior de la misma. La armadura de paramento cumple la función de limitar la fisuración en el alma de la viga evitando que allí la abertura de las fisuras alcance valores superiores a las que se producen a nivel de las barras traccionadas del acero de refuerzo principal.

18 Ejercicio 1. : Verificación de resistencia. Calcular el momento límite de agotamiento resistente de la viga simplemente armada de la figura, considerando un f c = 280 kgf/cm 2 y fy = 4200 kgf/cm 2. Determine si la sección está controlada por la tracción y halle la máxima carga factorizada uniformemente distribuida que puede soportar. Se exige ND3. La viga se apoya en columnas cuya sección transversal se indica en el dibujo.

19 Solución.- Se debe verificar si la sección cumple los requisitos geométricos de ND3 a) = = 12,26 > 4 Cumple b) = = 0,48 > 0,30 Cumple c) h= 62 cm > 15 x 2,54 cm = 38,1 cm Cumple d) b= 30 cm > 25 cm Cumple e) b=30 cm < B col = 40 cm Cumple f) La viga se asume simplemente apoyada en sus extremos, por lo tanto las rótulas plásticas no se forman en las caras de columnas. g) El área de acero mínimo es 0 0 Cumple La cuantía geométrica se obtiene: La cuantía mecánica es: Por lo tanto la sección resulta dúctil, de manera que podemos concluir que está controlada por la tracción. Para verificarlo, se halla el valor de εs. Con el valor de se lee en la tabla 2.1 los valores de La profundidad del eje neutro resulta, c= ku d = 0,1947 x 55 = 10,7 cm La altura del bloque rectangular de compresión es a= β1 c = 0.85 x 10,7 cm = 9,1 cm El brazo del par interno se obtiene: 0 Por triángulos semejantes: , por lo tanto se asume fs = fy por el comportamiento elasto-plástico del acero. La sección resulta por lo tanto controlada por la tracción.

20 La resultante de la compresión se obtiene: C= 0,85f c.a.b = 0,85 x 280 x 9,1 x 30 = 65 t La resultante de la tracción: T = As.fy = 15,48 x 4200 = 65 t El momento límite de agotamiento resistente de la sección resulta: Mr = 0,90 x T x ju.d Mr = 0,90 x 65 x 0,505 = 29,54 tm. La máxima carga factorizada uniformemente distribuida, actuando sobre la viga, será: Se debe colocar acero mínimo en la cara comprimida de la viga: As min = 5,5 cm 2 < 5,69 cm 2 que es el área correspondiente a 2 φ ¾ Ejercicio 2. Diseño de viga simplemente armada. Diseñe la viga de azotea con ND3, apoyada sobre muros de mampostería armada, para las siguientes cargas de servicio. La viga pertenece a un entrepiso arriostrado y está debidamente anclada en los muros perimetrales. CP = 1,25 t/m; CV = 3,4 t/m; CVt = 1,5 t/m; f c = 250 kgf/ cm 2 ; fy = 2800 kgf/cm 2 ; b= 25 cm

21 Cargas factorizadas: 1,4 CP = 1,4 x 1,25 = 1,75 t/m 1,2 CP + 1,6 CV + 0,5 CVt = 1,2 x 1,25 + 1,6 x 3,4 + 0,5 x 1,5 = 7,69 t/m se impone 1,2 CP + 1,6 CVt +0,5 CV = 1,2 x 1,25 + 1,6 x 1,5 + 0,5 x 3,4 = 5,6 t/m 2 0 se adopta d = 52 cm La sección está controlada por la tracción, pues 0 8. Se asume 0 para simplificar el análisis Se colocan en dos filas tal como se indica en la figura siguiente. Para un c d = 8 cm, se adopta h = 60 cm El centroide del área de las barras se obtiene tomando momento estático de las áreas con respecto al borde traccionado de la sección de concreto. Resulta c d = 8 cm y h= 60 cm

22 La viga cumple con todos los requisitos geométricos de ND3. El momento resistente factorizado es: Ejercicio 3. Diseño de acero de paramento Diseñe el acero de paramento para la viga alta, continua, de la figura, con acero de tracción en momento positivo de los tramos de y acero de tracción en momentos negativos de los apoyos de. Se exige ND3, tome fy = 4200 kgf/cm 2 Verificar que se cumpla:

23 En los apoyos el acero inferior debe cumplir: + As > - As/2 = 25,35/2 = 12,67 cm En el tramo el acero superior debe cumplir: - Asmin > - As1/4 = 25,35 /4 = 6,33 cm Se coloca un acero de paramento de (10 % As principal) en cada caso, distribuido uniformemente en cada cara una altura de d/2 = 38 cm respectivamente. 0,1 x 25,35 = 2,54 cm 2 8 en la altura d/2 superior 0,1 x 20,28 = 2,03 cm 2 8 en la altura d/2 inferior La separación en cada caso resulta: Por norma: 2 Por condición geométrica: se impone