Serafín Moral Departamento de Ciencias de la Computación. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.1/88
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- Alfredo Salinas Mendoza
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1 Modelos de Computación I Tema 2: Autómatas Finitos Serafín Moral Departamento de Ciencias de la Computación Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p./88
2 Contenido Autómata Finito Determinista Autómata Finito No-Determinista Autómata Finito con Transiciones Nulas Expresiones Regulares Gramáticas Regulares Autómatas con Salida: Máquinas de Moore y de Mealy Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.2/88
3 Importancia de los autómatas finitos Son importantes en las siguientes tareas: Software para el diseño y verificación de circuitos digitales. Construcción de analizadores léxicos de compiladores. Software para analizar grandes conjuntos de textos para buscar palabras, estructuras u otros patrones (p.e. páginas web). Software para comprobar la corrección de cualquier tipo de sistemas que tengan un número finito de estados diferenes (p.e. protocolos de comunicación). Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.3/88
4 Ejemplo Introductorio Vamos a diseñar un autómata que reconozca el paso de un alumno por una asignatura, por ejemplo, Modelos de Computación I. El alfabeto de entrada contendrá los siguientes elementos: P: El alumno se presenta a un examen. N: El alumno no se presenta a un examen. A: El alumno aprueba un examen. S: El alumno suspende un examen. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.4/88
5 Ejemplo Introductorio Inicio Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.5/88
6 Ejemplo Introductorio Inicio P Febr. N Dec2 Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.5/88
7 Ejemplo Introductorio Inicio P Febr. S Dec A N Fin Dec2 Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.5/88
8 Ejemplo Introductorio Inicio P Febr. S Dec P Sept. A N Fin Dec2 Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.5/88
9 Ejemplo Introductorio Inicio P Febr. S S Dec P Sept. A Fin2 A N Fin Dec2 Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.5/88
10 Ejemplo Introductorio Inicio P Febr. S S Dec P Sept. A Fin2 A N Dec2 Fin P N Sept2. N Dec3 Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.5/88
11 Ejemplo Introductorio Inicio P Febr. S S Dec P Sept. A Fin2 N Dec2 A Fin P N A Sept2. N Dec3 S Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.5/88
12 Ejemplo Introductorio Inicio P Febr. S S Dec P Sept. A Fin2 N Dec2 A Fin P N A Sept2. N S N Dec3 P Dic. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.5/88
13 Ejemplo Introductorio Inicio P Febr. S S Dec P Sept. A Fin2 N Dec2 A Fin P N A Sept2. N S S N Dec3 P Fin3 A Dic. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.5/88
14 AUTOMATA FINITO DETERMINISTA Un autómata finito es una quintupla M = (Q,A,δ,q,F) donde Q es un conjunto finito llamado conjunto de estados A es un alfabeto llamado alfabeto de entrada δ es una aplicación llamada función de transición δ : Q A Q q es un elemento de Q, llamado estado inicial F es un subconjunto de Q, llamado conjunto de estados finales. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.6/88
15 Ejemplo Sea el autómata M = (Q,A,q,δ,F), donde Q = {q,q,q 2 } A = {a,b} La función de transición viene dada por: δ(q,a) = q, δ(q,b) = q 2, δ(q,a) = q, δ(q,b) = q 2, δ(q 2,a) = q, δ(q 2,b) = q F = {q } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.7/88
16 Diagrama de Transición Es un grafo en el que: Hay un nodo por cada estado Por cada transición δ(q,a) = p hay un arco de q a p con la etiqueta a. El estado inicial está indicado con un ángulo entrante. Los estados finales están indicados con una doble circunferencia. q a q a b b a b q 2 Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.8/88
17 Cálculo Asociado. Traza q q Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.9/88
18 Cálculo Asociado. Traza q q q q Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.9/88
19 Cálculo Asociado. Traza q q q q q q Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.9/88
20 Cálculo Asociado. Traza q q q q q q q q Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.9/88
21 Cálculo Asociado. Traza q q q q q q q q SI q q Estado final Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.9/88
22 PROCESO DE CALCULO Autómata M = (Q,A,δ,q,F) Descripción Instantánea o Configuración: Un elemento de Q A : (q,u). Configuración Inicial para u A : (q,u) Relación paso de cálculo entre dos configuraciones: ((q,au) (p,u)) δ(q,a) = p) De una configuración sólo se puede pasar a lo máximo a una configuración en un paso de cálculo. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p./88
23 Proceso de Cálculo Relación de cálculo entre dos configuraciones: ((q,u) (p,v)) si y solo si existe una sucesión de configuraciones C,...,C n tales que C = (q,u),c n = (p,v) y i n,c i C i+. Lenguaje Aceptado por un Autómata Finito L(M) = {u A : (q,u) (q,ε),q F} Las palabras de L(M) se dicen aceptadas por el autómata. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p./88
24 Ejemplo. Cálculo Asociado (,q ) (,q ) (,q ) (ε,q ) q q (,q ) (ε,q ), aceptada q q q q q q SI q q Estado final Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.2/88
25 Ejemplo q q Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.3/88
26 Ejemplo q q Acepta el conjunto de palabras con un número impar de. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.3/88
27 Comunicaciones Correctas B,D,Z,H R S B S,Z,D Z RF H E B,H,S RD B,D,Z,H,S D R: Estado de espera RF: Estado de recepción de ficheros RD: Recepción de datos E: Error S: Comienza recepción B: Fin de recepción H: Cabecera de fichero Z: Fin de fichero D: Datos Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.4/88
28 Constantes Reales Gramática G = (V,T,P,S), donde T = {+,,E,,,...,9,.} V = {< Signo >,< Digito >,< Natural >,< Entero >,< Real >} S =< Real > P contiene las siguientes producciones < Signo > + < Digito > <Natural> <Digito> <Digito><Natural> <Entero> <Natural> <Signo><Natural> <Real> <Entero> <Entero>. <Real> <Entero>. <Natural> <Real> <Entero>. <Natural> E <Entero> Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.5/88
29 Autómata Finito T es el conjunto de los símbolos terminales. E,+, +,,. q 2 q 8 q,...,9,...,9 5,...,9,...,9.,...,9 E,...,9 E,+,,. q,...,9 q 3 q 4,...,9 q 7 T +, E,+,,. +, E,+,,. q E,+,,. q 6 E,. E,. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.6/88
30 Autómatas Finitos No Deterministas Un autómata finito no determista es una quintupla M = (Q,A,δ,q,F) en la que Q es un conjunto finito llamado conjunto de estados A es un alfabeto llamado alfabeto de entrada δ es una aplicación llamada función de transición δ : Q A (Q) q es un elemento de Q, llamado estado inicial F es un subconjunto de Q, llamado conjunto de estados finales. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.7/88
31 Ejemplo,, q q q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 Se pueden usar también diagramas de transición. Puede haber estados que para una entrada tenga dos transiciones. Por ejemplo, q cuando lee puede quedarse en q o pasar a q. También puede haber estados que para una entrada no tengan ninguna transición: desde q no se puede leer el. Acepta el conjunto de las palabras que tienen a como subcadena: palabras que se pueden leer pasando de q a un estado final. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.8/88
32 Ejemplos También es no-determinista: b r a r c r 2 Acepta cadenas formadas por una a, una sucesión de b y una c. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.9/88
33 Ejemplos También es no-determinista: b r a r c r 2 Acepta cadenas formadas por una a, una sucesión de b y una c. Se puede transformar en uno determinista que acepte el mismo lenguaje añadiéndole un estado de error donde vayan todas las transiciones no definidas en el autómata anterior: b r a r c r 2 b,c a a,b,c r 3 a,b,c Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.9/88
34 Ejemplo: Constantes reales Autómata determinista: E,+, +,,. q 2 q 8 q,...,9,...,9 5,...,9,...,9.,...,9 E,...,9 E,+,,. q,...,9 q 3 q 4,...,9 q 7 T +, E,+,,. +, E,+,,. q E,+,,. q 6 E,. E,. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.2/88
35 Ejemplo: Constantes reales Autómata no determinista: q 2 q 8 q,...,9,...,9 5,...,9,...,9.,...,9 E,...,9 q,...,9 q 3 q 4,...,9 +, +, q q 6 Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.2/88
36 PROCESO DE CALCULO Autómata no determinista M = (Q,A,δ,q,F) Descripción Instantánea o Configuración: Un elemento de Q A : (q,u). Configuración Inicial para u A : (q,u) Relación paso de cálculo entre dos configuraciones: ((q,au) (p,v)) p δ(q,a)) De una configuración se puede pasar a varias configuraciones distintas en un paso de cálculo, e incluso a ninguna. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.22/88
37 Proceso de Cálculo Relación de cálculo entre dos configuraciones: ((q,u) (p,v)) si y solo si existe una sucesión de configuraciones C,...,C n tales que C = (q,u),c n = (p,v) y i n,c i C i+. Lenguaje Aceptado por un AF no-determinista L(M) = {u A : q F,(q,u) (q,ε)} Las palabras de L(M) se dicen aceptadas por el autómata. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.23/88
38 Definiciones Dado un autómata M = (Q,A,δ,q,F), definimos Si B Q, δ (B,a) = q Bδ(q,a) Si B Q, δ (B,ε) = B δ (B,au) = δ (δ (B,a),u) δ (q,u) = δ ({q},u) δ (B,u) es igual a todos los estados a los que se puede llegar desde cualquiera de los estados de B después de leer la palabra u. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.24/88
39 Equivalencia Aut. Deterministas No-Determis Podemos considerar que todos los autómatas deterministas son también autómatas no-deterministas, en los que δ(q,a) tiene siempre un y sólo un estado. Así, todo lenguaje L aceptado por un autómata determinista es aceptado también por un autómata no-determinista (él mismo). Con los autómatas no-deterministas no aceptamos más lenguajes que con los deterministas: todo lenguaje aceptado por un autómata no-determinista lo será también por uno determinista (lo veremos a continuación). Con los autómatas no-deterministas no ampliamos la familia de lenguajes aceptados por los autómtas deterministas. Simplemente, tenemos más opciones para representar un lenguaje. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.25/88
40 Aut. No Determinista Aut. Determinista Dado un AFND M = (Q,A,δ,q,F) se llama autómata determinista asociado a M, al autómata M = ( Q,A, δ, q, F) dado por Q = (Q) q = {q } δ(b,a) = δ (B,a) = q B δ(q,a) F = {B (Q) B F /} Dado un autómata no determinista se le hace corresponder uno determinista que recorre todos los caminos al mismo tiempo. Un autómata no-determinista y su determinista asociado aceptan el mismo lenguaje Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.26/88
41 Ejemplo,, q q q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 {q } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.27/88
42 Ejemplo,, q q q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 {q } {q,q } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.27/88
43 Ejemplo,, q q q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 {q } {q,q } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.27/88
44 Ejemplo,, q q q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 {q } {q,q } {q,q 2 } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.27/88
45 Ejemplo,, q q q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 {q } {q,q } {q,q 2 } {q,q,q 3 } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.27/88
46 Ejemplo,, q q q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 {q } {q,q } {q,q 2 } {q,q,q 3 } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.27/88
47 Ejemplo,, q q q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 {q } {q,q } {q,q 2 } {q,q,q 3 } {q,q,q 4 } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.27/88
48 Ejemplo,, q q q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 {q } {q,q } {q,q 2 } {q,q,q 3 } {q,q,q 4 } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.27/88
49 Ejemplo,, q q q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 {q } {q,q } {q,q 2 } {q,q,q 3 } {q,q,q 4 } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.27/88
50 Ejemplo,, q q q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 {q } {q,q } {q,q 2 } {q,q,q 3 } {q,q 2,q 5 } {q,q,q 4 } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.27/88
51 Ejemplo,, q q q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 {q } {q,q } {q,q 2 } {q,q,q 3 } {q,q 2,q 5 } {q,q,q 4 } {q,q,q 3,q 6 } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.27/88
52 Ejemplo,, q q q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 {q } {q,q } {q,q 2 } {q,q,q 3 } {q,q 2,q 5 } {q,q,q 4 } {q,q,q 3,q 6 } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.27/88
53 Ejemplo,, q q q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 {q } {q,q } {q,q 2 } {q,q,q 3 } {q,q 2,q 5 } {q,q,q 4 } {q,q,q 4,q 6 } {q,q,q 3,q 6 } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.27/88
54 Ejemplo,, q q q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 {q } {q,q } {q,q 2 } {q,q,q 3 } {q,q 2,q 5 } {q,q,q 4 } {q,q,q 4,q 6 } {q,q,q 3,q 6 } {q,q 2,q 6 } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.27/88
55 Ejemplo,, q q q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 {q } {q,q } {q,q 2 } {q,q,q 3 } {q,q 2,q 5 } {q,q,q 4 } {q,q,q 6 } {q,q,q 4,q 6 } {q,q,q 3,q 6 } {q,q 2,q 6 } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.27/88
56 Ejemplo,, q q q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 {q } {q,q } {q,q 2 } {q,q,q 3 } {q,q 2,q 5 } {q,q,q 4 } {q,q,q 6 } {q,q,q 4,q 6 } {q,q,q 3,q 6 } {q,q 2,q 5,q 6 } {q,q 2,q 6 } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.27/88
57 Ejemplo,, q q q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 {q } {q,q } {q,q 2 } {q,q,q 3 } {q,q 2,q 5 } {q,q,q 4 } {q,q,q 6 } {q,q,q 4,q 6 } {q,q,q 3,q 6 } {q,q 2,q 5,q 6 } {q,q 2,q 6 } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.27/88
58 Ejemplo,, q q q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 {q } {q,q } {q,q 2 } {q,q,q 3 } {q,q 2,q 5 } {q,q,q 4 } {q,q,q 6 } {q,q,q 4,q 6 } {q,q,q 3,q 6 } {q,q 6 } {q,q 2,q 5,q 6 } {q,q 2,q 6 } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.27/88
59 Ejemplo,, q q q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 {q } {q,q } {q,q 2 } {q,q,q 3 } {q,q 2,q 5 } {q,q,q 4 } {q,q,q 6 } {q,q,q 4,q 6 } {q,q,q 3,q 6 } {q,q 6 } {q,q 2,q 5,q 6 } {q,q 2,q 6 } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.27/88
60 Ejemplo,, q q q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 {q } {q,q } {q,q 2 } {q,q,q 3 } {q,q 2,q 5 } {q,q,q 4 } {q,q,q 6 } {q,q,q 4,q 6 } {q,q,q 3,q 6 } {q,q 6 } {q,q 2,q 5,q 6 } {q,q 2,q 6 } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.27/88
61 Ejemplo,, q q q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 {q } {q,q } {q,q 2 } {q,q,q 3 } {q,q 2,q 5 } {q,q,q 4 } {q,q,q 6 } {q,q,q 4,q 6 } {q,q,q 3,q 6 } {q,q 6 } {q,q 2,q 5,q 6 } {q,q 2,q 6 } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.27/88
62 Ejemplo,, q q q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 {q } {q,q } {q,q 2 } {q,q,q 3 } {q,q 2,q 5 } {q,q,q 4 } {q,q,q 6 } {q,q,q 4,q 6 } {q,q,q 3,q 6 } {q,q 6 } {q,q 2,q 5,q 6 } {q,q 2,q 6 } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.27/88
63 Ejemplo,, q q q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 {q } {q,q } {q,q 2 } {q,q,q 3 } {q,q 2,q 5 } {q,q,q 4 } {q,q,q 6 } {q,q,q 4,q 6 } {q,q,q 3,q 6 } {q,q 6 } {q,q 2,q 5,q 6 } {q,q 2,q 6 } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.27/88
64 Ejemplo,, q q q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 {q } {q,q } {q,q 2 } {q,q,q 3 } {q,q 2,q 5 } {q,q,q 4 } {q,q,q 6 } {q,q,q 4,q 6 } {q,q,q 3,q 6 } {q,q 6 } {q,q 2,q 5,q 6 } {q,q 2,q 6 } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.27/88
65 AF No Deterministas con Transiciones Nulas Un autómata finito no determinista con transiciones nulas es una quintupla M = (Q,A,δ,q,F) en la que Q es un conjunto finito llamado conjunto de estados A es un alfabeto llamado alfabeto de entrada δ es una aplicación llamada función de transición δ : Q (A {ε}) (Q) q es un elemento de Q, llamado estado inicial F es un subconjunto de Q, llamado conjunto de estados finales. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.28/88
66 Opciones q j ε q k ε q s q i a ε q l a q m ε q n ε q r a q t ε q w Desde el estado q i se puede llegar a los estados: q j,q k,q s,q m,q n,q t,q w después de leer una a. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.29/88
67 Ejemplo 2 q ε q ε q 2 Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.3/88
68 Ejemplo 2 q ε q ε q 2 El lenguaje aceptado es L = { i j 2 k : i, j,k }. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.3/88
69 Ejemplo a,ε c,ε q q q 2 b b q 3 Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.3/88
70 Ejemplo a,ε c,ε q q q 2 b b q 3 El lenguaje generado es L = {a i b 2 j c k : i,k =, y j }. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.3/88
71 Utilidad Conjunto de palabras que tienen a o a como subcadena.,, q q q 2 q 3 q 4,, p p p 2 p 3 p 4 Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.32/88
72 Utilidad Conjunto de palabras que tienen a o a como subcadena.,, q q q 2 q 3 q 4 r,, p p p 2 p 3 p 4 Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.32/88
73 Utilidad Conjunto de palabras que tienen a o a como subcadena. r ε ε,, q q q 2 q 3 q 4,, p p p 2 p 3 p 4 Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.32/88
74 PROCESO DE CALCULO Para un Autómata Finito con Transiciones Nulas M = (Q,A,δ,q,F) Descripción Instantánea o Configuración: Un elemento de Q A : (q,u). Configuración Inicial para u A : (q,u) Relación paso de cálculo entre dos configuraciones: ((q,u) (p,v)) si y solo si se da una de las condiciones ((u = av) p δ(q,a)) ((u = v) p δ(q,ε)) (caso: ((q,av) (p,v))) (caso: ((q,v) (p,v))) De una configuración se puede pasar a varias configuraciones distintas en un paso de cálculo, e incluso a ninguna. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.33/88
75 Proceso de Cálculo Relación de cálculo entre dos configuraciones: ((q,u) (p,v)) si y solo si existe una sucesión de configuraciones C,...,C n tales que C = (q,u),c n = (p,v) y i n,c i C i+. Lenguaje Aceptado por un ε-af no-determinista L(M) = {u A : q F,(q,u) (q,ε)} Las palabras de L(M) se dicen aceptadas por el autómata. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.34/88
76 AFD ε-afnd Dado un autómata finito determinista M existe un autómata no determinista con transiciones nulas M que acepta el mismo lenguaje: L(M) = L(M) Es inmediato: sería un autómata en el que para cada símbolo del alfabeto de entrada hay siempre una opción y para cada estado δ(q,ε) = /. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.35/88
77 AFD ε-afnd Dado un autómata finito determinista M existe un autómata no determinista con transiciones nulas M que acepta el mismo lenguaje: L(M) = L(M) Es inmediato: sería un autómata en el que para cada símbolo del alfabeto de entrada hay siempre una opción y para cada estado δ(q,ε) = /. Dado un autómata finito no determinista con transiciones nulas M existe un autómata finito determinista M que acepta el mismo lenguaje: L(M) = L(M) Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.35/88
78 Ejemplo 2 q ε q ε q 2 {q,q,q 2 } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.36/88
79 Ejemplo 2 q ε q ε q 2 {q,q,q 2 } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.36/88
80 Ejemplo 2 q ε q ε q 2 {q,q,q 2 } {q,q 2 } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.36/88
81 Ejemplo 2 q ε q ε q 2 {q,q,q 2 } {q,q 2 } 2 {q 2 } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.36/88
82 Ejemplo 2 q ε q ε q 2 {q,q,q 2 } {q,q 2 } 2 {q 2 } / Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.36/88
83 Ejemplo 2 q ε q ε q 2 {q,q,q 2 } {q,q 2 } 2 {q 2 } / Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.36/88
84 Ejemplo 2 q ε q ε q 2 {q,q,q 2 } {q,q 2 } 2 2 {q 2 } / Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.36/88
85 Ejemplo 2 q ε q ε q 2 {q,q,q 2 } {q,q 2 } 2 2, {q 2 } / Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.36/88
86 Ejemplo 2 q ε q ε q 2 {q,q,q 2 } {q,q 2 } 2 2, {q 2 } / 2 Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.36/88
87 Ejemplo 2 q ε q ε q 2 {q,q,q 2 } {q,q 2 } 2 2, {q 2 } / 2,,2 Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.36/88
88 Ejemplo 2 q ε q ε q 2 {q,q,q 2 } {q,q 2 } 2 2, {q 2 } / 2,,2 Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.36/88
89 ε-afnd autómata determinista Dado M = (Q,A,δ,q,F) se define: Clasura de un estado: Cl(q) = {p : p,..., p n, p = q,q n = p, p i δ(p i,ε) (i = 2,...,n Clasura de un conjunto de estados: Cl(P) = q PCl(q) Autómata Finito Determinista M = (Q,A,δ,q,F) Q = (Q) δ(p,a) = Cl( q P δ(q,a)) q = Cl(q ) F = {P : P F /} Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.37/88
90 Ejemplo a,ε c,ε q q q 2 b b q 3 {q,q,q 2 } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.38/88
91 Ejemplo a,ε c,ε q q q 2 b b q 3 {q,q,q 2 } a {q,q 2 } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.38/88
92 Ejemplo a,ε c,ε q q q 2 b b q 3 {q,q,q 2 } b {q 3 } a {q,q 2 } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.38/88
93 Ejemplo a,ε c,ε q q q 2 b b q 3 {q,q,q 2 } b {q 3 } a c {q,q 2 } {q 2 } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.38/88
94 Ejemplo a,ε c,ε q q q 2 b b q 3 {q,q,q 2 } b {q 3 } a c {q,q 2 } {q 2 } / a Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.38/88
95 Ejemplo a,ε c,ε q q q 2 b b q 3 b {q,q,q 2 } b {q 3 } a c {q,q 2 } {q 2 } / a Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.38/88
96 Ejemplo a,ε c,ε q q q 2 b b q 3 b {q,q,q 2 } b {q 3 } a {q,q 2 } c c {q 2 } / a Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.38/88
97 Ejemplo a,ε c,ε q q q 2 b b q 3 b {q,q,q 2 } b {q 3 } a c a,c {q,q 2 } c {q 2 } / a Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.38/88
98 Ejemplo a,ε c,ε q q q 2 b b q 3 b b b {q,q,q 2 } {q 3 } a c a,c c {q,q 2 } {q 2 } / a Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.38/88
99 Ejemplo a,ε c,ε q q q 2 b b q 3 b b {q,q,q 2 } b {q 3 } a {q,q 2 } c c {q 2 } a,c a,b,c / a Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.38/88
100 Ejemplo a,ε c,ε q q q 2 b b q 3 b b {q,q,q 2 } b {q 3 } a {q,q 2 } c c {q 2 } a,c a,b,c / a a,b,c Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.38/88
101 EXPRESIONES REGULARES Si A es un alfabeto, una expresión regular sobre este alfabeto se define de la siguiente forma: / es una expresión regular que denota el lenguaje vacío. ε es una expresión regular que denota el lenguaje {ε}. Si a A, a es una expresión regular que denota el lenguaje {a} Si r y s son expresiones regulares denotando los lenguajes R y S entonces definimos las siguientes operaciones: Unión: (r + s) es una expresión regular que denota el lenguaje R S. Concatenación: (rs) es una expresión regular que denota el lenguaje RS. Clausura: r es una expresión regular que denota el lenguaje R. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.39/88
102 A = {,} Ejemplos Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.4/88
103 A = {,} Ejemplos El conjunto {} Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.4/88
104 Ejemplos A = {,} El conjunto {} + Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.4/88
105 A = {,} Ejemplos El conjunto {} + Conjunto de palabras que empiezan por y después tienen una sucesión de unos. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.4/88
106 A = {,} Ejemplos El conjunto {} + Conjunto de palabras que empiezan por y después tienen una sucesión de unos. ( + ) Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.4/88
107 A = {,} Ejemplos El conjunto {} + Conjunto de palabras que empiezan por y después tienen una sucesión de unos. ( + ) Conjunto de palabras en las que los ceros están precedidos siempre por unos Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.4/88
108 A = {,} Ejemplos El conjunto {} + Conjunto de palabras que empiezan por y después tienen una sucesión de unos. ( + ) Conjunto de palabras en las que los ceros están precedidos siempre por unos ( + ) Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.4/88
109 A = {,} Ejemplos El conjunto {} + Conjunto de palabras que empiezan por y después tienen una sucesión de unos. ( + ) Conjunto de palabras en las que los ceros están precedidos siempre por unos ( + ) Conjunto de palabras que terminan en Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.4/88
110 A = {,} Ejemplos El conjunto {} + Conjunto de palabras que empiezan por y después tienen una sucesión de unos. ( + ) Conjunto de palabras en las que los ceros están precedidos siempre por unos ( + ) Conjunto de palabras que terminan en Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.4/88
111 A = {,} Ejemplos El conjunto {} + Conjunto de palabras que empiezan por y después tienen una sucesión de unos. ( + ) Conjunto de palabras en las que los ceros están precedidos siempre por unos ( + ) Conjunto de palabras que terminan en Conjunto de palabras formadas por una sucesión de ceros seguida de una suceción de unos. Ambas sucesiones pueden ser vacías Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.4/88
112 A = {,} Ejemplos El conjunto {} + Conjunto de palabras que empiezan por y después tienen una sucesión de unos. ( + ) Conjunto de palabras en las que los ceros están precedidos siempre por unos ( + ) Conjunto de palabras que terminan en Conjunto de palabras formadas por una sucesión de ceros seguida de una suceción de unos. Ambas sucesiones pueden ser vacías Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.4/88
113 A = {,} Ejemplos El conjunto {} + Conjunto de palabras que empiezan por y después tienen una sucesión de unos. ( + ) Conjunto de palabras en las que los ceros están precedidos siempre por unos ( + ) Conjunto de palabras que terminan en Conjunto de palabras formadas por una sucesión de ceros seguida de una suceción de unos. Ambas sucesiones pueden ser vacías Conjunto de palabras formadas por una sucesión de ceros seguida de una suceción de unos. Niguna de las sucesiones puede ser vacía Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.4/88
114 A = {,} Ejemplos El conjunto {} + Conjunto de palabras que empiezan por y después tienen una sucesión de unos. ( + ) Conjunto de palabras en las que los ceros están precedidos siempre por unos ( + ) Conjunto de palabras que terminan en Conjunto de palabras formadas por una sucesión de ceros seguida de una suceción de unos. Ambas sucesiones pueden ser vacías Conjunto de palabras formadas por una sucesión de ceros seguida de una suceción de unos. Niguna de las sucesiones puede ser vacía A r r se le denota como r +. La última expresión regular quedaría + + Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.4/88
115 Ejemplos - Alfabeto {, } Construir una expresión regular para las palabras con un número par de ceros. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.4/88
116 Ejemplos - Alfabeto {, } Construir una expresión regular para las palabras con un número par de ceros. ( ) Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.4/88
117 Ejemplos - Alfabeto {, } Construir una expresión regular para las palabras con un número par de ceros. ( ) Construir una expresión regular para las palabras que contengan a como subcadena. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.4/88
118 Ejemplos - Alfabeto {, } Construir una expresión regular para las palabras con un número par de ceros. ( ) Construir una expresión regular para las palabras que contengan a como subcadena. ( + ) ( + ) Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.4/88
119 Ejemplos - Alfabeto {, } Construir una expresión regular para las palabras con un número par de ceros. ( ) Construir una expresión regular para las palabras que contengan a como subcadena. ( + ) ( + ) Construir una expresión regular para el conjunto de palabras que empiezan por y después no aparece nunca más esta cadena. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.4/88
120 Ejemplos - Alfabeto {, } Construir una expresión regular para las palabras con un número par de ceros. ( ) Construir una expresión regular para las palabras que contengan a como subcadena. ( + ) ( + ) Construir una expresión regular para el conjunto de palabras que empiezan por y después no aparece nunca más esta cadena. ()( + + ) Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.4/88
121 Ejemplos - Alfabeto {, } Construir una expresión regular para las palabras con un número par de ceros. ( ) Construir una expresión regular para las palabras que contengan a como subcadena. ( + ) ( + ) Construir una expresión regular para el conjunto de palabras que empiezan por y después no aparece nunca más esta cadena. ()( + + ) Construir una expresión regular para el conjunto de palabras que tienen a o a como subcadena Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.4/88
122 Ejemplos - Alfabeto {, } Construir una expresión regular para las palabras con un número par de ceros. ( ) Construir una expresión regular para las palabras que contengan a como subcadena. ( + ) ( + ) Construir una expresión regular para el conjunto de palabras que empiezan por y después no aparece nunca más esta cadena. ()( + + ) Construir una expresión regular para el conjunto de palabras que tienen a o a como subcadena ( + ) ( + )( + ) Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.4/88
123 Propiedades de las Expresiones Regulares. r + r 2 = r 2 + r 2. r + (r 2 + r 3 ) = (r + r 2 ) + r 3 3. r (r 2 r 3 ) = (r r 2 )r 3 4. rε = r 5. r/ = / 6. r + / = r 7. ε = ε 8. r (r 2 + r 3 ) = r r 2 + r r 3 9. (r + r 2 )r 3 = r r 3 + r 2 r 3. r + + ε = r. r + ε = r 2. (r + ε) = r 3. (r + ε) + = r 4. (r + r 2 ) = (r + r 2 ) 5. (r r 2 ) = (r + r 2 ) Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.42/88
124 La primera transformación es más útil, ya que inicialmente los lenguajes se representan mediante expresiones regulares y después necesitamos algoritmos (autómatas) Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.43/88 que reconozcan estos lenguajes. Equivalencia Autómatas - Expresiones Regular La familia de los lenguajes aceptados por los autómatas finitos coincide con la familia de lenguajes que pueden representarse mediante expresiones regulares. Esto se demostrará comprobando: Dada una expresión regular, existe un autómata que acepta el mismo lenguaje que el representado por la expresión regular. Dado un autómata finito existe siempre una expresión regular que representa el lenguaje aceptado por el autómata.
125 Expresión Regular Autómata Dada una expresión regular existe un audómata finito que acepta el lenguaje asociado a esta expresión regular. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.44/88
126 Expresión Regular Autómata Dada una expresión regular existe un audómata finito que acepta el lenguaje asociado a esta expresión regular. Vamos a demostrar que existe un AFND con transiciones nulas. A partir de él se podría construir el autómata determinista asociado. La construcción del autómata va a ser recursiva. Para las expresiones regulares iniciales tenemos los siguiente autómatas: Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.44/88
127 Expresión Regular Autómata Dada una expresión regular existe un audómata finito que acepta el lenguaje asociado a esta expresión regular. Vamos a demostrar que existe un AFND con transiciones nulas. A partir de él se podría construir el autómata determinista asociado. La construcción del autómata va a ser recursiva. Para las expresiones regulares iniciales tenemos los siguiente autómatas: / Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.44/88
128 Expresión Regular Autómata Dada una expresión regular existe un audómata finito que acepta el lenguaje asociado a esta expresión regular. Vamos a demostrar que existe un AFND con transiciones nulas. A partir de él se podría construir el autómata determinista asociado. La construcción del autómata va a ser recursiva. Para las expresiones regulares iniciales tenemos los siguiente autómatas: / q Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.44/88
129 Expresión Regular Autómata Dada una expresión regular existe un audómata finito que acepta el lenguaje asociado a esta expresión regular. Vamos a demostrar que existe un AFND con transiciones nulas. A partir de él se podría construir el autómata determinista asociado. La construcción del autómata va a ser recursiva. Para las expresiones regulares iniciales tenemos los siguiente autómatas: / q ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.44/88
130 Expresión Regular Autómata Dada una expresión regular existe un audómata finito que acepta el lenguaje asociado a esta expresión regular. Vamos a demostrar que existe un AFND con transiciones nulas. A partir de él se podría construir el autómata determinista asociado. La construcción del autómata va a ser recursiva. Para las expresiones regulares iniciales tenemos los siguiente autómatas: / q ε q Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.44/88
131 Expresión Regular Autómata Dada una expresión regular existe un audómata finito que acepta el lenguaje asociado a esta expresión regular. Vamos a demostrar que existe un AFND con transiciones nulas. A partir de él se podría construir el autómata determinista asociado. La construcción del autómata va a ser recursiva. Para las expresiones regulares iniciales tenemos los siguiente autómatas: / q ε q a Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.44/88
132 Expresión Regular Autómata Dada una expresión regular existe un audómata finito que acepta el lenguaje asociado a esta expresión regular. Vamos a demostrar que existe un AFND con transiciones nulas. A partir de él se podría construir el autómata determinista asociado. La construcción del autómata va a ser recursiva. Para las expresiones regulares iniciales tenemos los siguiente autómatas: / q ε a q q a q Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.44/88
133 Autómatas Compuestos: Unión Si M es el autómata que acepta el mismo lenguaje que el representado por r y M 2 el que acepta el mismo lenguaje que el de r 2, entonces Unión (r + r 2 ) q q q i M q 2 q 2 q j2 M 2 Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.45/88
134 Autómatas Compuestos: Unión Si M es el autómata que acepta el mismo lenguaje que el representado por r y M 2 el que acepta el mismo lenguaje que el de r 2, entonces Unión (r + r 2 ) q q M q i q q 2 q 2 q j2 M 2 Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.45/88
135 Autómatas Compuestos: Unión Si M es el autómata que acepta el mismo lenguaje que el representado por r y M 2 el que acepta el mismo lenguaje que el de r 2, entonces Unión (r + r 2 ) q q M ε q i q ε q 2 q 2 q j2 M 2 Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.45/88
136 Unión: Expresión Matemática En lenguaje matemático, la unión se puede expresar de la siguiente forma. Si M = (Q,A,δ,q,F ) y M 2 = (Q 2,A,δ 2,q 2,F 2) con Q Q 2 = /, entonces el autómata que acepta la unión es M = (Q,A,δ,q,F) donde Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.46/88
137 Unión: Expresión Matemática En lenguaje matemático, la unión se puede expresar de la siguiente forma. Si M = (Q,A,δ,q,F ) y M 2 = (Q 2,A,δ 2,q 2,F 2) con Q Q 2 = /, entonces el autómata que acepta la unión es M = (Q,A,δ,q,F) donde Q = Q Q 2 {q },donde q (Q Q 2 ) es un nuevo estado. δ viene definida por δ(q,a) = δ (q,a) si q Q δ(q,a) = δ 2 (q,a) si q Q 2 δ(q,a) = / si a A δ(q,ε) = {q,q2 } F = F F 2 Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.46/88
138 Autómatas Compuestos: Concatenación Concatenación:El autómata para la expresión (r r 2 ) es q q 2 q q 2 q i q j2 M M 2 Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.47/88
139 Autómatas Compuestos: Concatenación Concatenación:El autómata para la expresión (r r 2 ) es q q 2 q q 2 q i q j2 M M 2 Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.48/88
140 Autómatas Compuestos: Concatenación Concatenación:El autómata para la expresión (r r 2 ) es q q ε q 2 q i ε q 2 q j2 M M 2 Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.48/88
141 Concatenación: Expresión Matemática En lenguaje matemático, la concatenación se puede expresar de la siguiente forma. Si M = (Q,A,δ,q,F ) y M 2 = (Q 2,A,δ 2,q 2,F 2) con Q Q 2 = /, entonces el autómata que acepta la concatenación es M = (Q,A,δ,q,F) donde: Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.49/88
142 Concatenación: Expresión Matemática En lenguaje matemático, la concatenación se puede expresar de la siguiente forma. Si M = (Q,A,δ,q,F ) y M 2 = (Q 2,A,δ 2,q 2,F 2) con Q Q 2 = /, entonces el autómata que acepta la concatenación es M = (Q,A,δ,q,F) donde: Q = Q Q 2. δ viene definida por δ(q,a) = δ (q,a) si q Q F δ(q,a) = δ (q,a) si q F,a A q = q δ(q,ε) = δ (q,ε) {q 2 } si q F δ(q,a) = δ 2 (q,a) si q Q 2 F = F 2 Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.49/88
143 Autómatas Compuestos: Clausura Clausura: El autómata para r es q q q i M Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.5/88
144 Autómatas Compuestos: Clausura Clausura: El autómata para r es ε q q q i M ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.5/88
145 Autómatas Compuestos: Clausura Clausura: El autómata para r es ε q ε q q M q i ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.5/88
146 Clausura: Expresión Matemática En lenguaje matemático: si M = (Q,A,δ,q,F ), entonces el autómata que acepta la clausura es M = (Q,A,δ,q,F) donde: Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.5/88
147 Clausura: Expresión Matemática En lenguaje matemático: si M = (Q,A,δ,q,F ), entonces el autómata que acepta la clausura es M = (Q,A,δ,q,F) donde: Q = Q {q }, donde q Q. δ viene definida por δ(q,a) = δ (q,a) si q Q F δ(q,a) = δ (q,a) si q F,a A δ(q,ε) = δ (q,ε) {q } si q F δ(q,a) = / si a A δ(q,ε) = {q } q F = F {q } Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.5/88
148 Ejemplo Encontrar un autómata que acepte el mismo lenguaje que el asociado a la expresión regular ( + ) Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.52/88
149 Ejemplo Encontrar un autómata que acepte el mismo lenguaje que el asociado a la expresión regular ( + ) q q 2 Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.52/88
150 Ejemplo Encontrar un autómata que acepte el mismo lenguaje que el asociado a la expresión regular ( + ) q q 2 q 3 q 4 Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.52/88
151 Ejemplo Encontrar un autómata que acepte el mismo lenguaje que el asociado a la expresión regular ( + ) ε q q 2 q 3 q 4 Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.52/88
152 Ejemplo Encontrar un autómata que acepte el mismo lenguaje que el asociado a la expresión regular ( + ) q 5 q 6 q q ε 2 q 3 q 4 Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.52/88
153 Ejemplo Encontrar un autómata que acepte el mismo lenguaje que el asociado a la expresión regular ( + ) ε + q 5 q 6 q 7 ε ε q q 2 q 3 q 4 Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.52/88
154 Ejemplo Encontrar un autómata que acepte el mismo lenguaje que el asociado a la expresión regular ( + ) q 8 ε q 7 ε ε q 5 q 6 ( + ) ε ε q q 2 q 3 q 4 ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.52/88
155 Ejemplo Encontrar un autómata que acepte el mismo lenguaje que el asociado a la expresión regular ( + ) ε ε q 5 q 6 ( + ) ε ε ε q 8 q 7 q 9 q q q 2 q 3 q 4 ε ε q q 2 q 3 q 4 ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.52/88
156 Ejemplo Encontrar un autómata que acepte el mismo lenguaje que el asociado a la expresión regular ( + ) ε ε q 5 q 6 ε ε ε ε q 8 q 7 q 9 q q q 2 q 3 q 4 ε ε q q 2 q 3 q 4 ε ε ε ( + ) Autómata Resultado Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.52/88
157 Autómata Expresión Regular Si L es aceptado por un autómata finito determinista, entonces puede venir expresado mediante una expresión regular. Sea el autómata M = (Q,A,δ,q,F), Q = {q,...,q n } y q es el estado inicial. Sea R k i j el conjunto de las cadenas de A que premiten pasar del estado q i al estado q j y no pasa por ningún estado intermedio de numeración mayor que k (q i y q j si pueden tener numeración mayor que k). R k i j se puede definir de forma recursiva: R i j = { {a : δ(q i,a) = q j } si i j {a : δ(q i,a) = q i } {ε} si i = j Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.53/88
158 Demostración Para k, tenemos que R k i j palabras: está compuesto de dos tipos de Palabras que para ir de q i a q j no pasan por q k : pertenecen a R k i j Palabras que para ir de q i a q j pasan por q k. Una palabra de este lenguaje está compuesta de tres partes: Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.54/88
159 Demostración Para k, tenemos que R k i j palabras: está compuesto de dos tipos de Palabras que para ir de q i a q j no pasan por q k : pertenecen a R k i j Palabras que para ir de q i a q j pasan por q k. Una palabra de este lenguaje está compuesta de tres partes: q i x R k ik q k Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.54/88
160 Demostración Para k, tenemos que R k i j palabras: está compuesto de dos tipos de Palabras que para ir de q i a q j no pasan por q k : pertenecen a R k i j Palabras que para ir de q i a q j pasan por q k. Una palabra de este lenguaje está compuesta de tres partes: q i x R k ik... q k Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.54/88
161 Demostración Para k, tenemos que R k i j palabras: está compuesto de dos tipos de Palabras que para ir de q i a q j no pasan por q k : pertenecen a R k i j Palabras que para ir de q i a q j pasan por q k. Una palabra de este lenguaje está compuesta de tres partes: q i y R k kk... x R k ik q k y m R k kk Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.54/88
162 Demostración Para k, tenemos que R k i j palabras: está compuesto de dos tipos de Palabras que para ir de q i a q j no pasan por q k : pertenecen a R k i j Palabras que para ir de q i a q j pasan por q k. Una palabra de este lenguaje está compuesta de tres partes: q i y R k kk... x R k ik q k y m R k kk z R k k j q j Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.54/88
163 Demostración q i y R k kk... x R k ik q k y m R k kk z R k k j q j Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.55/88
164 Demostración q i y R k kk... x R k ik q k y m R k kk z R k k j q j Como la palabra y...y m ( R k ), kk entonces la palabra completa está en R k ik ( ) R k R k kk k j Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.55/88
165 Demostración q i y R k kk... x R k ik q k y m R k kk z R k k j q j Como la palabra y...y m ( R k ), kk entonces la palabra completa está en R k ik ( ) R k R k kk k j Uniendo las dos partes, obtenemos: R k i j = R k i j R k ik ( ) R k R k kk k j Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.55/88
166 Demostración Expresión regular asociada a R k i j rk ij Para k = es inmediato. { r a a l si i j ij = a a l + ε si i = j donde {a,...,a l } es el conjunto {a : δ(q i,a) = q j }. Si este conjunto es vacío la expresión regular sería: r ij = { / si i j ε si i = j Cálculo de las expresiones r k i j, calculadas las rk i j R k i j = Rk i j R k ik (R k kk ) R k k j r k ij + r k ik (rk kk ) r k kj Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.56/88
167 Demostración Expresión Regular del lenguaje aceptado por el autómata L(M) = q j F R n j Por tanto, L(M) viene denotado por la expresión regular r n j r n j k donde F = {q j,...,q jk }. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.57/88
168 Ejemplo q q 2 q 3, Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.58/88
169 Ejemplo q q 2 q 3, r = ε r2 = r3 = r2 = r22 = ε r23 = r3 = / r32 = + r33 = ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.58/88
170 Ejemplo r = ε r2 = r3 = r2 = r22 = ε r23 = r3 = / r32 = + r33 = ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.59/88
171 Ejemplo r = ε r = r + r (r ) r r 2 = r 3 = r 2 = r 22 = ε r 23 = r 3 = / r32 = + r33 = ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.59/88
172 Ejemplo r = ε r = r + r (r ) r = ε + ε(ε) ε r 2 = r 3 = r 2 = r 22 = ε r 23 = r 3 = / r32 = + r33 = ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.59/88
173 Ejemplo r = ε r = r + r (r ) r = ε + ε(ε) ε = ε r 2 = r 3 = r 2 = r 22 = ε r 23 = r 3 = / r32 = + r33 = ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.59/88
174 Ejemplo r = ε r = r + r (r ) r = ε + ε(ε) ε = ε r 2 = r 2 = r 2 + r (r ) r 2 r 3 = r 2 = r 22 = ε r 23 = r 3 = / r32 = + r33 = ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.59/88
175 Ejemplo r = ε r = r + r (r ) r = ε + ε(ε) ε = ε r 2 = r 2 = r 2 + r (r ) r 2 = + ε(ε) r 3 = r 2 = r 22 = ε r 23 = r 3 = / r32 = + r33 = ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.59/88
176 Ejemplo r = ε r = r + r (r ) r = ε + ε(ε) ε = ε r 2 = r 2 = r 2 + r (r ) r 2 = + ε(ε) = r 3 = r 2 = r 22 = ε r 23 = r 3 = / r32 = + r33 = ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.59/88
177 Ejemplo r = ε r = r + r (r ) r = ε + ε(ε) ε = ε r 2 = r 2 = r 2 + r (r ) r 2 = + ε(ε) = r 3 = r 3 = r 3 + r (r ) r 3 = + ε(ε) r 2 = r 22 = ε r 23 = r 3 = / r32 = + r33 = ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.59/88
178 Ejemplo r = ε r = r + r (r ) r = ε + ε(ε) ε = ε r 2 = r 2 = r 2 + r (r ) r 2 = + ε(ε) = r 3 = r 3 = r 3 + r (r ) r 3 = + ε(ε) = r 2 = r 22 = ε r 23 = r 3 = / r32 = + r33 = ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.59/88
179 Ejemplo r = ε r = r + r (r ) r = ε + ε(ε) ε = ε r 2 = r 2 = r 2 + r (r ) r 2 = + ε(ε) = r 3 = r 3 = r 3 + r (r ) r 3 = + ε(ε) = r 2 = r 2 = r 2 + r 2 (r ) r = + (ε) ε r 22 = ε r 23 = r 3 = / r32 = + r33 = ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.59/88
180 Ejemplo r = ε r = r + r (r ) r = ε + ε(ε) ε = ε r 2 = r 2 = r 2 + r (r ) r 2 = + ε(ε) = r 3 = r 3 = r 3 + r (r ) r 3 = + ε(ε) = r 2 = r 2 = r 2 + r 2 (r ) r = + (ε) ε = r 22 = ε r 23 = r 3 = / r32 = + r33 = ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.59/88
181 Ejemplo r = ε r = r + r (r ) r = ε + ε(ε) ε = ε r 2 = r 2 = r 2 + r (r ) r 2 = + ε(ε) = r 3 = r 3 = r 3 + r (r ) r 3 = + ε(ε) = r 2 = r 2 = r 2 + r 2 (r ) r = + (ε) ε = r 22 = ε r 22 = r 22 + r 2 (r ) r 2 = ε + (ε) r 23 = r 3 = / r32 = + r33 = ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.59/88
182 Ejemplo r = ε r = r + r (r ) r = ε + ε(ε) ε = ε r 2 = r 2 = r 2 + r (r ) r 2 = + ε(ε) = r 3 = r 3 = r 3 + r (r ) r 3 = + ε(ε) = r 2 = r 2 = r 2 + r 2 (r ) r = + (ε) ε = r 22 = ε r 22 = r 22 + r 2 (r ) r 2 = ε + (ε) = ε + r 23 = r 3 = / r32 = + r33 = ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.59/88
183 Ejemplo r = ε r = r + r (r ) r = ε + ε(ε) ε = ε r 2 = r 2 = r 2 + r (r ) r 2 = + ε(ε) = r 3 = r 3 = r 3 + r (r ) r 3 = + ε(ε) = r 2 = r 2 = r 2 + r 2 (r ) r = + (ε) ε = r 22 = ε r 22 = r 22 + r 2 (r ) r 2 = ε + (ε) = ε + r 23 = r 23 = r 23 + r 2 (r ) r 3 = + (ε) r 3 = / r32 = + r33 = ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.59/88
184 Ejemplo r = ε r = r + r (r ) r = ε + ε(ε) ε = ε r 2 = r 2 = r 2 + r (r ) r 2 = + ε(ε) = r 3 = r 3 = r 3 + r (r ) r 3 = + ε(ε) = r 2 = r 2 = r 2 + r 2 (r ) r = + (ε) ε = r 22 = ε r 22 = r 22 + r 2 (r ) r 2 = ε + (ε) = ε + r 23 = r 23 = r 23 + r 2 (r ) r 3 = + (ε) = + r 3 = / r32 = + r33 = ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.59/88
185 Ejemplo r = ε r = r + r (r ) r = ε + ε(ε) ε = ε r 2 = r 2 = r 2 + r (r ) r 2 = + ε(ε) = r 3 = r 3 = r 3 + r (r ) r 3 = + ε(ε) = r 2 = r 2 = r 2 + r 2 (r ) r = + (ε) ε = r 22 = ε r 22 = r 22 + r 2 (r ) r 2 = ε + (ε) = ε + r 23 = r 23 = r 23 + r 2 (r ) r 3 = + (ε) = + r 3 = / r 3 = r 3 + r 3 (r ) r = / + /(ε) ε r32 = + r33 = ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.59/88
186 Ejemplo r = ε r = r + r (r ) r = ε + ε(ε) ε = ε r 2 = r 2 = r 2 + r (r ) r 2 = + ε(ε) = r 3 = r 3 = r 3 + r (r ) r 3 = + ε(ε) = r 2 = r 2 = r 2 + r 2 (r ) r = + (ε) ε = r 22 = ε r 22 = r 22 + r 2 (r ) r 2 = ε + (ε) = ε + r 23 = r 23 = r 23 + r 2 (r ) r 3 = + (ε) = + r 3 = / r 3 = r 3 + r 3 (r ) r = / + /(ε) ε = / r32 = + r33 = ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.59/88
187 Ejemplo r = ε r = r + r (r ) r = ε + ε(ε) ε = ε r 2 = r 2 = r 2 + r (r ) r 2 = + ε(ε) = r 3 = r 3 = r 3 + r (r ) r 3 = + ε(ε) = r 2 = r 2 = r 2 + r 2 (r ) r = + (ε) ε = r 22 = ε r 22 = r 22 + r 2 (r ) r 2 = ε + (ε) = ε + r 23 = r 23 = r 23 + r 2 (r ) r 3 = + (ε) = + r 3 = / r 3 = r 3 + r 3 (r ) r = / + /(ε) ε = / r32 = + r33 = ε r 32 = r 32 + r 3 (r ) r 2 = + + /(ε) Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.59/88
188 Ejemplo r = ε r = r + r (r ) r = ε + ε(ε) ε = ε r 2 = r 2 = r 2 + r (r ) r 2 = + ε(ε) = r 3 = r 3 = r 3 + r (r ) r 3 = + ε(ε) = r 2 = r 2 = r 2 + r 2 (r ) r = + (ε) ε = r 22 = ε r 22 = r 22 + r 2 (r ) r 2 = ε + (ε) = ε + r 23 = r 23 = r 23 + r 2 (r ) r 3 = + (ε) = + r 3 = / r 3 = r 3 + r 3 (r ) r = / + /(ε) ε = / r32 = + r33 = ε r 32 = r 32 + r 3 (r ) r 2 = + + /(ε) = + Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.59/88
189 Ejemplo r = ε r = r + r (r ) r = ε + ε(ε) ε = ε r 2 = r 2 = r 2 + r (r ) r 2 = + ε(ε) = r 3 = r 3 = r 3 + r (r ) r 3 = + ε(ε) = r 2 = r 2 = r 2 + r 2 (r ) r = + (ε) ε = r 22 = ε r 22 = r 22 + r 2 (r ) r 2 = ε + (ε) = ε + r 23 = r 23 = r 23 + r 2 (r ) r 3 = + (ε) = + r 3 = / r 3 = r 3 + r 3 (r ) r = / + /(ε) ε = / r32 = + r33 = ε r32 = r 32 + r 3 (r ) r2 = + + /(ε) = + r33 = r 33 + r 3 (r ) r3 = ε + /(ε) Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.59/88
190 Ejemplo r = ε r = r + r (r ) r = ε + ε(ε) ε = ε r 2 = r 2 = r 2 + r (r ) r 2 = + ε(ε) = r 3 = r 3 = r 3 + r (r ) r 3 = + ε(ε) = r 2 = r 2 = r 2 + r 2 (r ) r = + (ε) ε = r 22 = ε r 22 = r 22 + r 2 (r ) r 2 = ε + (ε) = ε + r 23 = r 23 = r 23 + r 2 (r ) r 3 = + (ε) = + r 3 = / r 3 = r 3 + r 3 (r ) r = / + /(ε) ε = / r32 = + r33 = ε r32 = r 32 + r 3 (r ) r2 = + + /(ε) = + r33 = r 33 + r 3 (r ) r3 = ε + /(ε) = ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.59/88
191 Ejemplo r 2 = r + r 2 (r 22 ) r 2 = ε + (ε + ) r = ε r2 = r3 = r2 = r22 = ε + r23 = + r3 = / r32 = + r33 = ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.6/88
192 Ejemplo r 2 = r + r 2 (r 22 ) r 2 = ε + (ε + ) = () r = ε r2 = r3 = r2 = r22 = ε + r23 = + r3 = / r32 = + r33 = ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.6/88
193 Ejemplo r 2 = r + r 2 (r 22 ) r 2 = ε + (ε + ) = () r = ε r 2 = r 3 = r 2 2 = r 2 + r 2 (r 22 ) r 22 = + (ε + ) (ε + ) r2 = r22 = ε + r23 = + r3 = / r32 = + r33 = ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.6/88
194 r = ε r 2 = r 3 = Ejemplo r 2 = r + r 2 (r 22 ) r2 = r2 2 = r 2 + r 2 (r 22 ) r22 = ε + (ε + ) = () + (ε + ) (ε + ) = () r2 = r22 = ε + r23 = + r3 = / r32 = + r33 = ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.6/88
195 r = ε r 2 = r 3 = Ejemplo r 2 = r + r 2 (r 22 ) r2 = ε + (ε + ) = () r2 2 = r 2 + r 2 (r 22 ) r22 = + (ε + ) (ε + ) = () r3 2 = r 3 + r 2 (r 22 ) r23 = + (ε + ) ( + ) r2 = r22 = ε + r23 = + r3 = / r32 = + r33 = ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.6/88
196 r = ε r 2 = r 3 = Ejemplo r 2 = r + r 2 (r 22 ) r2 = ε + (ε + ) = () r2 2 = r 2 + r 2 (r 22 ) r22 = + (ε + ) (ε + ) = () r3 2 = r 3 + r 2 (r 22 ) r23 = + (ε + ) ( + ) = r2 = r22 = ε + r23 = + r3 = / r32 = + r33 = ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.6/88
197 r = ε r 2 = r 3 = Ejemplo r 2 = r + r 2 (r 22 ) r2 = ε + (ε + ) = () r2 2 = r 2 + r 2 (r 22 ) r22 = + (ε + ) (ε + ) = () r3 2 = r 3 + r 2 (r 22 ) r23 = + (ε + ) ( + ) = r2 2 = r 2 + r 22 (r 22 ) r2 = + (ε + )(ε + ) r2 = r22 = ε + r23 = + r3 = / r32 = + r33 = ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.6/88
198 r = ε r 2 = r 3 = Ejemplo r 2 = r + r 2 (r 22 ) r2 = ε + (ε + ) = () r2 2 = r 2 + r 2 (r 22 ) r22 = + (ε + ) (ε + ) = () r3 2 = r 3 + r 2 (r 22 ) r23 = + (ε + ) ( + ) = r2 2 = r 2 + r 22 (r 22 ) r2 = + (ε + )(ε + ) = () r2 = r22 = ε + r23 = + r3 = / r32 = + r33 = ε Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos p.6/88
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