PROYECTO DOCENTE ASIGNATURA: "Análisis Funcional y Ecuaciones en Derivadas Parciales"

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1 PROYECTO DOCENTE ASIGNATURA: "Análisis Funcional y Ecuaciones en Derivadas Parciales" Grupo: Análisis Funcional y Ecuaciones en Derivadas Parciales(957104) Titulacion: Grado en Matemáticas Curso: DATOS BÁSICOS DE LA ASIGNATURA/GRUPO Titulación: Año del plan de estudio: Centro: Asignatura: Código: Tipo: Curso: Período de impartición: Ciclo: Grupo: Créditos: Horas: Área: Departamento: Dirección postal: Dirección electrónica: Grado en Matemáticas 2009 Facultad de Matemáticas Análisis Funcional y Ecuaciones en Derivadas Parciales Optativa 4º Primer Cuatrimestre 0º Análisis Funcional y Ecuaciones en Derivadas Parciales (1) Análisis Matemático (Área principal) Ecuaciones Diferenciales y Análisis Num. (Departamento responsable) C/ TARFIA, S/N, 41012, SEVILLA COORDINADOR DE LA ASIGNATURA FERNANDEZ CARA, ENRIQUE PROFESORADO 1 FERNANDEZ CARA, ENRIQUE Curso académico: 2014/2015 Última modificación: de 5

2 OBJETIVOS Y COMPETENCIAS Objetivos docentes específicos Comprender las ideas y resultados fundamentales del análisis funcional y su motivación, en especial, en el marco de las ecuaciones diferenciales (ordinarias y en derivadas parciales). Aplicar estas ideas y resultados a la resolución teórica de problemas diferenciales. Ser capaz de aplicar estas herramientas al tratamiento de problemas con origen en Física y otras Ciencias. Competencias Competencias transversales/genéricas G01. Poseer los conocimientos básicos y matemáticos de los distintos módulos que, partiendo de la base de la educación secundaria general, y apoyándose en libros de texto avanzados, se desarrollan en la propuesta de título de Grado en Matemáticas que se presenta. G02. Saber aplicar los conocimientos básicos y matemáticos de cada módulo a su trabajo o vocación de una forma profesional y poseer las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de las matemáticas y ámbitos en que se aplican directamente. G03. Saber reunir e interpretar datos relevantes (normalmente de carácter matemático) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética. G04. Poder transmitir información, ideas, problemas y sus soluciones, de forma escrita u oral, a un público tanto especializado como no especializado. G05. Haber desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía. G06. Utilizar herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos. Competencias específicas E01, E04, E05 y E06. E01. Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de las matemáticas, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos. E04. Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales, y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos. E05. Resolver problemas matemáticos, planificando su resolución en función de las herramientas disponibles y de las restricciones de tiempo y recursos. E06. Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan. CONTENIDOS DE LA ASIGNATURA Relación sucinta de los contenidos (bloques temáticos en su caso) 1.- Teorema de Lax-Milgram. Espacios de Sobolev. Solución variacional de problemas elípticos. 2.- Teoría espectral y problemas elípticos. Formulación variacional-espectral de problemas de evolución. Relación detallada y ordenación temporal de los contenidos 1. Generalidades: 1. Motivación. Las EDPs como herramientas para la descripción de fenómenos reales. 2. Soluciones clásicas y soluciones generalizadas. Interpretaciones. 2. Formulación variacional de problemas elípticos: 1. Operadores lineales continuos en espacios de Hilbert. Propiedades. 2. El teorema de Lax-Milgram. 3. El teorema de la proyección. 4. Distribuciones. Motivación, propiedades y ejemplos. 5. Los espacios de Sobolev H_0^1, H^1 y H^{-1}. Propiedades. 6. Resolución de la formulación débil de problemas elípticos. 3. Teoría espectral de operadores compactos y aplicaciones a las EDPs de evolución: 1. Operadores lineales compactos. Propiedades. Ejemplos. 2. El teorema de alternativa de Fredholm. Primeras aplicaciones. 3. El espectro de un operador lineal compacto. Aplicaciones. Curso académico: 2014/2015 Última modificación: de 5

3 4. El teorema de Hilbert-Schmidt. 6. El caso de un operador elíptico autoadjunto. 7. Soluciones débiles de problemas de evolución. Casos particulares. ACTIVIDADES FORMATIVAS Relación de actividades formativas del cuatrimestre Clases teóricas Exposición del profesor + intercambio de información con los estudiantes + ejercicios resueltos en clase por los estudiantes Exposiciones y seminarios Presentación de un tema o aplicación por parte del alumno. Exámenes Clases Prácticas en aula Exposición del profesor + intercambio de información con los estudiantes + ejercicios resueltos en clase por los estudiantes Curso académico: 2014/2015 Última modificación: de 5

4 BIBLIOGRAFÍA E INFORMACIÓN ADICIONAL Información adicional [1] Adams, R.A. Sobolev spaces. Academic Press, [2] Barbu, V. Partial dierential equations and boundary value problems. Kluwer Academic Publishers, [3] Brezis, H. Análisis Teoría y aplicaciones. Alianza Editorial, [4] Casas, E. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales. Publicaciones de la Universidad de Cantabria (Santander), [5] Dautray, R.; Lions, J.L. Analyse Mathématique et Calcul Numérique pour les sciences et les techniques. Masson, [6] Gilbarg, D.; Trudinger, N.S.. Elliptic partial dierential equations of second order, 2nd Ed. Springer- Verlag, [7] Hochstadt, H. Integral equations. John Wiley & Sons, [8] John, F. Partial dierential equations, 4th Ed. Springer-Verlag, [9] Kreyszig, E. Introductory Functional Analysis with applications. John Wiley & Sons, [10] Peral, I. Primer curso de ecuaciones en derivadas parciales. Addison-Wesley (Universidad Autónoma de Madrid), [11] Trenogin, V.A. y otros. Problemas y ejercicios de Análisis Mir, [12] Weinberger, H.F. Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Reverte, Sistema de evaluación Trabajos propuestos Se propondrán trabajos cuyo contenido estará directamente relacionado con la asignatura. La correcta ejecución podrá ser tenida en cuenta en la calificación final. Exposiciones en clase La correcta exposición de un tema propuesto por el profesor podrá ser tenida en cuenta en la calificación final. Asistencia a clase Se valorará positivamente la asistencia a las clases. Pruebas de control periódico A lo largo del curso se realizarán pruebas de evaluación de los conocimientos adquiridos. Examen final Exámenes correspondientes a las convocatorias oficiales. Curso académico: 2014/2015 Última modificación: de 5

5 CALENDARIO DE EXÁMENES Consulte al Centro para obtener información sobre el calendario de exámenes. ANEXO 1: HORARIOS DEL GRUPO DEL PROYECTO DOCENTE Los horarios de las actividades no principales se facilitarán durante el curso. GRUPO: Análisis Funcional y Ecuaciones en Derivadas Parciales (957104) Calendario del grupo CLASES DEL PROFESOR: FERNANDEZ CARA, ENRIQUE Lunes Fecha: Aula: Del 22/09/2014 al 28/11/2014 Hora: De 12:00 a 14:00 AULA 1.1. FACULTAD DE MATEMATICAS Miércoles Fecha: Aula: Del 22/09/2014 al 28/11/2014 Hora: De 17:30 a 19:30 AULA 1.1. FACULTAD DE MATEMATICAS Curso académico: 2014/2015 Última modificación: de 5