11 Soluciones a las actividades de cada epígrafe

Transcripción

1 oluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN 6 Pág. Irene, además de 4 pantalones y 6 camisetas, tiene 3 gorras. uántas indumentarias de pantalón-camiseta-gorra puede llevar? = Puede llevar indimuntarias distintas. uántos partidos han de jugar amigos,, B,, D, E, para completar un campeonato de pimpón, todos contra todos, a una vuelta? - B B - - D D - E - B - D - E - D - E B - E En total, partidos. 3 Lanzamos un dado y extraemos una carta de una baraja de 4 cartas. uántos resultados distintos podemos obtener? on cada resultado del dado hay 4 cartas de la baraja. omo hay 6 resultados del dado, en total existen 6 4 = 4 posibles resultados. 4 En una carrera compiten 4 corredores, P, Q, R,, y se entregan dos copas: una grande al campeón y otra pequeña al segundo. De cuántas formas se puede hacer el reparto Hay 4 posibles campeones. Para cada posible campeón, hay 3 posibles subcampeones. En total, hay 4 3 = formas de hacer el reparto de los trofeos. Unidad. ombinatoria

2 oluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN 8 Pág. lberto, Beatriz y laudia van a ver a su abuelo. l irse, este les dice: Escoged cada uno el libro que queráis de estos, y les muestra libros distintos. De cuántas formas pueden hacer su elección? El primer nieto: elegirá libro de entre libros distintos. El segundo nieto: por cada una de las posibilidades que ha tenido el primer nieto tiene 9 posibilidades: 9 = 9 posibilidades. El tercer nieto: por cada una de las 9 posibilidades que hay al haber elegido ya el segundo nieto tiene 8 posibilidades. En total tienen 9 8 = formas de hacer la elección. Unidad. ombinatoria

3 oluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN 9 Resuelve cada enunciado de dos formas: a) Realizando un diagrama en árbol o razonando como si lo realizaras. b) Reconociendo el modelo de variaciones con repetición y aplicando la fórmula. Pág. uántos números de 4 cifras se pueden formar con las cifras impares? a) Para cada cifra del número hay posibilidades, las cinco cifras impares. Fijada la primera cifra, hay posibles resultados para la segunda; fijadas las dos primeras, hay resultados para la tercera, y así sucesivamente. En total habrá = 6 posibles números de cuatro cifras. b) Disponemos de cifras impares (, 3,,, 9). Podemos repetirlos y el orden influye. on VR, 4 = 4 = 6 números de cuatro cifras. Lanzamos un dado 4 veces. Importa el orden en que salen los números. uántos resultados distintos pueden darse? a) Hay 6 posibilidades en cada tirada, lo que significa que, fijado el primer lanzamiento, hay 6 posibilidades para el segundo, y así sucesivamente. En total habrá = 96 resultados. b) Hay 6 posibilidades en cada tirada. Puede repetirse el resultado e influye el orden. Hemos de hacer grupos de 4. on VR 6, 4 = 6 4 = 96 resultados. 3 Disponemos de colores con los que hemos de pintar las tres franjas adjuntas. uántas banderas salen? Notas:. ada franja hay que llenarla con un solo color.. Dos o las tres franjas pueden ser del mismo color. 3. Dos banderas con los mismos colores colocados en distinto orden son distintas. a) Para cada franja disponemos de colores, es decir, fijado el color de la primera franja, hay colores para la segunda y otros para la tercera. En total habrá = 343 banderas. b) Tenemos elementos (los colores) y hacemos grupos de tres elementos. Influye el orden y podemos repetirlos, luego son VR,3. alen: VR, 3 = 3 = 343 banderas. 4 uántas quinielas hemos de rellenar para acertar, con seguridad, los resultados? a) Para acertar un partido hay 3 posibilidades (, X o ); a cada una de esas tres posibilidades le corresponden las tres que se necesitan para acertar otro partido, habrá pues 9 posibilidades; a cada una de estas 9 le corresponden otras tres y así sucesivamente. omo hay partidos, en total habrá que hacer: = 3 = quinielas. 443 veces b) Disponemos de tres elementos (, X, ) y hemos de hacer grupos de elementos. Podemos repetirlos e influye el orden. on VR 3, = 3 = quinielas. Unidad. ombinatoria

4 oluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN Pág. Enuncia un problema similar al de las banderas de la página anterior que se resuelva mediante variaciones ordinarias y resuélvelo razonadamente (diagrama en árbol) y aplicando la fórmula. Disponemos de colores y hemos de hacer banderas con tres franjas. uántas banderas salen si no podemos repetir colores? Enumerando los colores del al : colores distintos 3 colores distintos 4 colores distintos colores distintos 6 colores distintos colores distintos Empezando por el han salido 6 = 3 posibilidades distintas. omo hay seis más, tendremos 6 = posibles banderas. Otra forma de resolverlo es por variaciones ordinarias: Disponemos de colores y tres franjas para pintar, pero no podemos repetir colores. on la fórmula: V, 3 = 6 = banderas distintas. 6 En los ejercicios propuestos y resueltos en los dos apartados anteriores, identifica cuáles responden al modelo de variaciones con repetición, de variaciones ordinarias o de permutaciones, y resuélvelos mediante las fórmulas. ctividades de la página 6:. No responde a ningún modelo.. No responde a ningún modelo. 3. No responde a ningún modelo. 4. Variaciones de 4 elementos tomados de en : V 4, = 4 3 = Página 8: Ejercicio resuelto: Variaciones de elementos tomados de 3 en 3: V,3 = = 3 ctividad : Variaciones de elementos tomados de 3 en 3: V,3 = 9 8 = Unidad. ombinatoria

5 oluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN Pág. En un monte hay puestos de vigilancia contra incendios y cada uno de ellos está unido a los demás por un camino. uántos caminos habrá en total? De cada puesto salen 6 caminos. omo hay puestos en total, habría 6 = 4 caminos, pero están contados dos veces (el camino 8 B es el mismo que el camino B 8 ). Entonces, el total de caminos será: 6 = caminos. Vicente quiere regalar a su amigo arlos 3 discos, y los quiere elegir entre los que más le gustan. De cuántas formas puede hacerlo? i influyera el orden en que él regala los tres discos, sería V, 3 = 9 8 = formas. omo no influye el orden y hay 3 = 6 formas distintas de ordenar tres discos, tiene = formas de regalarle los tres discos. 3 Unidad. ombinatoria

6 oluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN Pág. Tenemos 6 puntos en el espacio de tal modo que no hay tres alineados ni cuatro coplanarios. uántas rectas podemos trazar uniendo dos de estos puntos? uántos planos que se apoyen en tres de ellos? (LINEDO: obre la misma línea recta. OPL- NRIO: obre el mismo plano). Para trazar una recta se necesitan dos puntos: número de rectas: 6, = 6 = rectas. Para definir un plano se necesitan tres puntos no alineados: número de planos: 6, 3 = = planos. uántas posibles mezclas de dos colores, en idénticas cantidades, se pueden hacer con 8 tarros de pintura de distintos colores? uántas mezclas de tres colores? Y de cuatro colores? No importa el orden en que se mezclen los colores: dos colores: 8, = 8 = 8 mezclas. tres colores: 8, 3 = = 6 mezclas. cuatro colores: 8, 4 = = mezclas. Unidad. ombinatoria

7 oluciones a Ejercicios y problemas PÁGIN 3 Pág. Practica Formar agrupaciones Dos amigos juegan al tenis y acuerdan que será vencedor el primero que logre ganar dos sets. Escribe todas las formas en que puede desarrollarse el partido. Hacemos un diagrama en árbol. En cada ramificación indicamos quién gana un set, el jugador o el jugador B.. er ET.º ET 3. er ET TORNEO B B B B B FIN FIN FIN FIN FIN FIN B BB B BB BB Hay 6 posibles desarrollos del torneo. a) Forma todos los números de cuatro cifras que se puedan hacer con los dígitos y. uántos son? b) uántos números de cifras se pueden hacer con los dígitos y? Ten en cuenta que = no es un número de cinco cifras. a) Hacemos un diagrama de árbol: En total hay 6 números de cuatro cifras con los dígitos y. Unidad. ombinatoria

8 oluciones a Ejercicios y problemas b) Pág. Hay 6 números de cifras compuestos solo por y. 3 i queremos hacer lápices bicolores de doble punta y disponemos de los colores rojo, azul, negro, verde y amarillo, cuántos modelos se pueden formar? Escríbelos todos. Llamamos: R - rojo; - azul; N - negro, V - verde; M - amarillo El lápiz bicolor de punta R, por ejemplo, es el mismo que el de punta R. Los modelos de lápices bicolor son: R N NV VM RN V NM RV M RM En total hay modelos. 4 i tienes tres pantalones (ZUL, NEGRO, BLNO) y cuatro camisetas (ZUL, RO- J, VERDE, BLN), describe todas las indumentarias que puedes vestir sin que coincidan el color de las dos prendas. Llamamos, N y B a los pantalones, y, R, V y B a las camisetas. Las posibles combinaciones son: R V B N NR NV NB Te puedes vestir de formas diferentes. B BR BV BB Unidad. ombinatoria

9 oluciones a Ejercicios y problemas Utilizar las fórmulas Pág. 3 alcula: a) VR 4, 3 b) VR 3, 4 c) V, 3 d) P e) 6, 4 f ) V 9, g) P P 8 h), 8 a) VR 4, 3 = 4 3 = 64 b) VR 3, 4 = 3 4 = 8 c) V,3 = 6 = d) P =! = 4 e) 6, 4 = V 6, 4 = P = f ) V 9, = = g) P P 8 =! 8! = 9 8! 8! = 9 h), 8 = V, 8 P 8 = = 9 = 4 6 alcula: a) V,, 3 b) VR 6, 4, c) a) V,, 3 = 4 V, 3 P 3 = b) VR 6, 4, = d) P P 3 =! 3! 6 = 36 V 4, P = 4 3! 3! = 36 6 = 6 c) P 4 V 4, 3 = = e) P P 9 =! 9! P 4 V 4, 3 d) P P 3 e) P P 9 f ) P P 9 = = 4! 4 3 = = f ) P = 9! = 3 P 9 9! Las expresiones VR 8, ; P 8 ; V 8, ; 8, son las soluciones de los siguientes apartados a), b), c), d), pero no en ese orden. signa a cada apartado su solución: a) Palabras de ocho letras, con o sin sentido, que se pueden hacer con las letras de PELÍNO. b) Posibles parejas que se pueden formar para jugar un torneo de ajedrez entre 8 personas. c) Números de dos cifras que se pueden formar con los dígitos,, 3, 4,, 6, y 8. d) Posibles formas de dar el primer y segundo premios de un concurso literario con 8 participantes. a) P b) 8, c) VR 4, d) V 8, 8 Ocho problemas muy parecidos. En cada uno de los siguientes problemas la pregunta es: De cuántas formas se puede hacer? a) 3 chicos van a comprarse un polo cada uno a una heladería en la que hay 6 clases de polos. Unidad. ombinatoria

10 oluciones a Ejercicios y problemas b) 6 chicos van a comprarse un polo cada uno a una heladería en la que hay 3 clases de polos. c) Repartir 3 polos distintos entre 6 chicos. d) Repartir 3 polos iguales entre 6 chicos. e) Un chico escoge 3 polos entre 6 distintos. f ) Un chico escoge 3 polos entre 6 iguales. g) Repartir 6 polos distintos entre 6 chicos. h) Repartir 3 polos de fresa y 3 de vainilla entre 6 chicos. us soluciones son: 3 6, P 6, VR 3 6,, VR 6 3, V 3 6. Están dadas en otro orden y se pueden repetir. a) VR 3 6 = 63 = 6 formas b) VR 6 3 = 36 = 9 formas c) V 6 3 = formas d) 3 6 = formas e) V6 3 = formas f ) forma g) P 6 = formas h) 3 6 = formas Pág. 4 9 De cuántas formas pueden repartirse 3 entradas para un concierto de rock entre 6 amigos y amigas sin que ninguno pueda llevarse más de una? Hay V 6 3 = formas de repartirse las entradas. Para formar un equipo de baloncesto, hacen falta jugadores y el entrenador dispone de. a) uántos equipos distintos puede formar? b) i elige a dos jugadores y los mantiene fijos, cuántos equipos distintos podrá hacer con los ocho que le quedan? a) on jugadores se quieren formar equipos de. El orden no influye y no se pueden repetir., = = equipos distintos 4 3 b) i el entrenador decide mantener dos jugadores fijos, habrá: 8, 3 = 8 6 = 6 equipos distintos 3 e van a celebrar elecciones en una comunidad de vecinos y hay que elegir al presidente, al secretario y al tesorero. De cuántas maneras se pueden elegir estos tres cargos, si se presentan ocho candidatos? No se pueden repetir y, además, influye el orden porque no es lo mismo ser presidente, que secretario, que tesorero. on variaciones ordinarias: V 8, 3 = 8 6 = 336 formas distintas. Unidad. ombinatoria

11 oluciones a Ejercicios y problemas PÁGIN 4 Pág. e van a repartir tres regalos entre seis personas. alcula de cuántas formas se pueden repartir en cada uno de los siguientes casos: a) Los regalos son distintos (una bicicleta, unos patines y un chándal) y no puede tocarle más de un regalo a la misma persona. b) Los regalos son iguales y no puede tocarle más de un regalo a la misma persona. c) Los regalos son distintos y puede tocarle más de uno a la misma persona. a) No se pueden repetir los regalos y sí influye el orden porque no es lo mismo que toque una bicicleta, que unos patines, que un chándal. on variaciones ordinarias V 6, 3 = 6 4 = formas b) hora el orden no influye: 6, 3 = 6 4 = formas 3 c) Pueden repetirse e influye el orden: VR 6, 3 = 6 3 = 6 formas 3 Los participantes de un concurso tienen que ordenar a ciegas seis tarjetas en las que está escrita cada una de las letras de la palabra PREMIO. a) uántas ordenaciones distintas pueden salir? b) Les ofrecen fijar la P en el lugar que le corresponde y reducir el premio a la mitad. uántas ordenaciones posibles se pueden obtener de esta forma? a) Disponemos de las 6 letras de la palabra premio para agruparlas; ninguna letra está repetida y el orden influye. P 6 = = ordenaciones distintas. b) omo p está fija, ahora se dispone de letras: P = 4 3 = ordenaciones distintas. 4 De cuántas formas pueden sentarse tres personas en un banco de asientos? Y si el banco es de 3 asientos? No se pueden repetir y el orden influye: i el banco es de asientos: V, 3 = 4 3 = 6 formas. i el banco es de 3 asientos: P 3 = 3 = 6 formas. Estás haciendo la maleta para irte de vacaciones y quieres llevarte cuatro de las ocho camisetas que tienes. De cuántas formas las puedes seleccionar? No puedes repetirlas y no influye el orden: 8, 4 = 8 6 = formas distintas El lenguaje de un ordenador se traduce a secuencias de dígitos formados por ceros y unos. Un byte es una de estas secuencias y está formado por 8 dígitos. Por ejemplo:. uántos bytes diferentes se pueden formar? Disponemos de dos elementos y los agrupamos de 8 en 8: VR, 8 = 8 = 6 bytes diferentes se pueden formar. Unidad. ombinatoria

12 oluciones a Ejercicios y problemas plica lo aprendido Pág. El número está formado por dos cincos y tres sietes. uáles son los números que podemos formar con dos cincos y tres sietes? notamos, en un diagrama de árbol, las posibilidades de cada cifra del número: En total hay números formados por dos cincos y tres sietes. 8 En unos almacenes emplean el siguiente código para marcar los artículos: La primera cifra indica la sección correspondiente y es un número entre el y el 9. Después, hay tres cifras, cada una de ellas del al 9, que corresponden al número del proveedor. uántas marcas distintas se pueden hacer? Por cada cifra correspondiente a la sección habrá VR, 3 = marcas distintas. omo hay 9 cifras correspondientes a la sección, en total se podrán hacer 9 = 9 marcas distintas. 9 eis amigos, 3 chicos y 3 chicas, van al cine. De cuántas formas pueden sentarse si quieren estar alternados? i primero se sienta un chico, se han de colocar así: O O O En este caso, los chicos pueden sentarse de P 3 = 3 = 6 formas. Las chicas pueden sentarse de P 3 = 3 = 6 formas. En total, si se sienta un chico primero, hy 6 6 = 36 formas. i se sienta una chica primero hay otras 36 formas. En total, hay = formas. Unidad. ombinatoria

13 oluciones a la utoevaluación PÁGIN 43 onoces los agrupamientos combinatorios clásicos (variaciones, permutaciones, combinaciones), las fórmulas para calcular su número y los aplicas a la resolución de problemas? Pág. En un examen, el profesor ha puesto problemas, de los que hay que elegir. uántas elecciones se puede plantear un alumno?, = V, P = uántos números de cuatro cifras se pueden hacer con los dígitos, y 3? VR 3, 4 = 3 4 = 8 números. 3 De cuántas formas podemos elegir al delegado y al subdelegado de un curso en el que hay siete candidatos? V, = 6 = 4 formas de elección. Utilizas el diagrama en árbol y otras estrategias para formar o contar agrupaciones siguiendo ciertos criterios? 4 on las letras de la palabra, cuántas ordenaciones, con o sin sentido, podemos formar? Escríbelas todas. notamos en un diagrama de árbol las posibilidades de cada letra de la palabra: En total, podemos formar ordenaciones. Unidad. ombinatoria