Unidad 13 Combinatoria

Transcripción

1 Unidad 13 Combinatoria PÁGINA 216 SOLUCIONES Fracciones. Simplifica las siguientes fracciones: a) = b) = c) = d) = Opera y simplifica: a) 2 = b) = c)3: = = d) =

2 PÁGINA 218 SOLUCIONES 1.a) Por el principio fundamental de enumeración puede vestirse de 5 4 = 20 formas diferentes. b) Podría vestirse de 20 4 = 80 formas diferentes. 2.Existen = 30 menús diferentes. 3.Un dado tiene 6 posibilidades diferentes, y una baraja española 40 cartas distintas, luego podrán producirse 6 40 = 240 resultados diferentes. 4.En realidad tiene tres clases diferentes, de dos, tres y dos ejemplares cada una, así, puede realizar = 12 combinaciones distintas.

3 PÁGINA 219 SOLUCIONES 5. a) P 5 = 120 b) P 6 = 720 c) P 3 = 6 d) P 2 = 2 e) P 10 = La manera de sentarse es una permutación de seis elementos, luego pueden sentarse de P 6 = 720 maneras diferentes. 7. Si tener en cuenta el orden pude colocarlos de P 16 = 16! = maneras diferentes. Si no los quiere mezclar, entonces tiene formas distintas. P 8 = 8! = P 8 P 8 = Se pueden formar tantas palabras como combinaciones de cinco letras sean posibles, es decir P 5 = 5! = 120.

4 PÁGINA 220 SOLUCIONES 9. 4! 8! 7! a) 4,3 = = 24 b) 8,4 = = c) 7,4 = = 210 (4 3)! (8 4)! (7 4)! 10! 12! d) 10,3 = = e) 12,6 = = (10 3)! (12 6)! 10. Estamos hablando de variaciones de nueve elementos tomados de cinco en cinco sin repetir ninguno, es decir: 9! 9,5 = = 24. (9 5)! Tendríamos 24 posibilidades. 11. Serían variaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3 sin repetir ninguno, es decir: 5! 5,3 = = 20. (5 3)! Tendrían 20 posibilidades diferentes.

5 PÁGINA 221 SOLUCIONES 12. a) R 3 = 4 = 64 b) R 6 = 2 = 64 c) R 4 = 3 = 81 4,3 2,6 3,4 d) R = 5 = 25 e) R = 10 = ,2 10,5 13. Estamos hablando de variaciones con repetición de 7 elementos tomados de 4 en 4, es decir: R = = 7, Tendríamos posibilidades. 14. En cada tirada hay 6 posibilidades, pero necesitamos que los resutados sean distintos, luego estamos hablando de variaciones de 6 elementos tomados de 2 en 2, es decir: 6! 6,2 = = 30 (6 2)! Tendríamos 30 resultados posibles. 15. Estamos hablando de variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 2 en 2, es decir: R = = 6, Tendríamos 36 números diferentes.

6 PÁGINA 222 SOLUCIONES 16. a)

7 b) c)

8 17.

9 PÁGINA 223 SOLUCIONES 18. 3! 7! 10! a) C3,2 = = 3 b) C7,2 = = 21 c) C10,5 = = 252 2! (3 2)! 2! (7 2)! 5! (10 5)! 4! 10! d) C4,3 = = 4 e) C10,10 = = 1 3! (4 3)! 10! (10 10)! 19. Estaríamos hablando de combinaciones de 6 elementos tomados de 4 en 4, es decir: 6! C 6,4 = = 15. 4! (6 4)! Habría 15 combinaciones posibles.

10 PÁGINA 224 SOLUCIONES 20. 7! a) C7,3 = = 35 3! (7 3)! C 7,4 7! = = 35 4! (7 4)! 8! b) C8,1 = = 8 1! (8 1)! 7! 7! c) C7,4 = = 35 C7,3 = = 35 4! (7 4)! 3! (7 3)! C 8,4 8! = = 70 4! (8 4)! C + C = C 7,4 7,3 8, ! ! a) = = = 611 = !(12 10)! 10! ! ! b) = = = !(10 4)! 432 6! 8 8! 8 7 6! c) = = = !(8 2)! 2 6! 40 40! ! d) = = = !(40 38)! 38! 2

11 PÁGINA 225 SOLUCIONES 22. Binomio de Newton: n n n n n n ( a+ b) = a + a b+ a b a b + ab + b n 2 n 1 n n n n n n 1 n n 2 2 n 2 n 2 n n 1 n ( a+ b) = a a b+ a b... + a b ab + b n 2 n 1 n n n n 1 n n 2 n 1 n n a) ( a b) a a b a b a b a b a b = = a + 5a b+ 10a b + 10a b + 5ab + b b) ( a+ b) = a + a b+ a b + a b + a b + a b + a b = a + 6a b+ 15a b + 20a b + 15a b + 6ab + b c) ( a b) a a b a b a b a b a b = + + = a 5a b+ 10a b 10a b + 5ab b a) ( x 1) x x 1 x 1 x 1 x = = x + 4x + 6x + 4x b) ( x 2) = x x 2 + x 2 x 2 = x x x

12 c) (2x+ 1) = ( 2x) + ( 2x) 1+ ( 2x) 1 + ( 2x) 1 + ( 2x) 1 = x 32x 24x 8x

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14 SOLUCIONES Utilización del producto para contar. 24. Por el principio fundamental de enumeración podemos obtener = 30 enchufes diferentes. 25. Puede montar el móvil de 5 3 = 15 formas distintas. 26. Puede hacer = 350 muñecos diferentes. Permutaciones. Factorial de un número. 27. a) P 8 = 8! = b) P 15 = 15! = c) P 10 = a) P 5 = 5! = 120 b) P 9 = 9! = c) P 1 = 1 d) P 11 = 11! = a) 5! = 120 b) 2 3! = 8 c) 6! = 720 d) 3 3! = Si no tenemos en cuenta el orden, entonces, estamos hablando de permutaciones de cinco elementos, es decir, existen 5! = 120 maneras de colocar los libros. 31. Hablamos de permutaciones de cinco elementos, esto es, 5! = 120 números distintos con dichos dígitos. 32. Corresponderían a permutaciones de ocho elementos, es decir, 8! = palabras diferentes. 33. Supongamos que las palabras pueden tener sentido o no tenerlo. Como la primera letra es fija, entonces, el problema se reduce a calcular el número de permutaciones de seis elementos. 6! = 720. Existen 720 palabras diferentes, con o sin sentido.

15 ariaciones ! 10! a) 7,4 = = 840 b) 10,6 = = (7 4)! (10 6)! 15! 10! c) 15,3 = = 2730 d) 10,8 = = (15 3)! (10 8)! 35. a) R 2 = 4 = 16 b) R 3 = 5 = 125 4,2 5,3 c) R = 2 = 32 d) R = 3 = ,5 3, ! 16! a) 6,4 = = 360 d) 16,1 = = 16 (6 4)! (16 1)! 20! 25! b) 20,7 = = e) 25,2 = = 600 (20 7)! (25 2)! 9! c) = = 72 f) (9 2)! 9,2 15,5 15! = = (15 5)! 37. a) R 2 = 4 = 16 d) R 2 = 7 = 49 4,2 7,2 b) R = 2 = 4096 e) R = 5 = ,12 5,4 c) R = 4 = 4096 f) R = 3 = ,6 3,6 38. Trabajamos con variaciones de 7 elementos tomados de 3 en 3, puesto que necesitamos que sean números distintos, luego importa el orden. 7! 7,3 = = 210 (7 3)! Existen 210 números diferentes. 39. Serían variaciones de 7 elementos tomados de cuatro en cuatro, es decir, 7! 7,4 = = 840 (7 4)! Existen 840 palabras, con o sin sentido.

16 40. Que no empiecen por N necesariamente existirían 360 palabras. 6! 6,4 = = 360 (6 4)! Si queremos que empiecen por N, entonces, estamos fijando uno de los elementos y trabajaríamos con variaciones de 5 elementos tomados de cuatro en cuatro. 5! 5,4 = = 120 (5 4)! Es decir, 120 palabras que empiecen por N. 41. Existirían 2401 números diferentes. 4 R 7,4 = 7 = Mantenemos el último dígito fijo, siendo un número par, luego tenemos cinco posibilidades diferentes. El resto de número los combinamos de cuatro en cuatro 9! 9,4 = = (9 4)! Por el principio fundamental de la enumeración, tenemos existirían = números diferentes. 43. Mantenemos el último dígito fijo, siendo 0 ò 5, luego tenemos dos posibilidades diferentes. El resto de número los combinamos de cuatro en cuatro 6! 6,4 = = 360 (6 4)! Por el principio fundamental de la enumeración, tenemos existirían = 720 números diferentes. 44. Como los números tienen que ser menores que , y no podemos repetir cifras, el problema se reduce a calcular el número de variaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4. 10! 10,4 = = (10 4)! Existen números menores de , con cifras diferentes ! 7,5 = = (7 5)! Existen palabras distintas, no necesariamente con sentido.

17 46. En este caso tenemos que tener en cuenta las palabras de 4, 5, 6, 7 y 8 letras, es decir: 4 R = 6 = R R R R 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 = = = = = = = = En total palabras diferentes ! 7,5 = = (7 5)! Pueden formarse números diferentes.

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19 SOLUCIONES 48. Mantenemos el último dígito fijo, siendo un número par, luego tenemos tres posibilidades diferentes: 2, 4, 6. El resto de número los combinamos de cuatro en cuatro 6! 6,4 = = 360 (6 4)! Por el principio fundamental de la enumeración, tenemos existirían = números diferentes ! 6,3 = = 120 (6 3)! Existen 120 números distintos, suponiendo que no podemos repetir los dígitos. Si pudiéramos repetir los dígitos habría 3 R 6,3 = 6 = 216 números distintos. 50. Mantenemos el último dígito fijo, siendo un número par, luego tenemos cinco posibilidades diferentes: 0, 2, 4, 6, 8. El resto de número los combinamos de tres en tres 9! 9,3 = = 720 (9 3)! Por el principio fundamental de la enumeración, tenemos existirían = números diferentes. 51. En este caso tenemos que tener en cuenta los números de 1, 2, 3, 4 y 5 dígitos, es decir: 1 R = 4 = 4 R R R R 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 = = = = = = = = En total números diferentes.

20 Diagramas de árbol Existen 12 opciones distintas. Las cuatro primeras serían:

21 Las ocho restantes: Combinaciones. Número combinatorio ! 10! 50! a) C7,2 = = 21 b) C10,3 = = 120 c) C50,2 = = ! (7 2)! 3! (10 3)! 2! (50 2)! 6! 8! d) C6,3 = = 20 e) C8,5 = = 56 3! (6 3)! 5! (8 5)! a) = 5 c) = e) = b) = d) = 1 f) = ! 12 12! a) = C18,16 = = 153 d) = C12,3 = = ! (18 16)! 3 3! (12 3)! 9 9! ! b) = C9,2 = = 36 e) = C1 000,998 = 2 2! (9 2)! ! ( )! = ! ! c) = C10,7 = = 120 f) = C1 250,2 = 7 7! (10 7)! 2 2! ( )! = C = 10! 10, ! (10 3)! = Podemos elegirlos de 120 formas diferentes.

22 59. C = 9! 9, ! (9 5)! = Puede confeccionar 126 equipos distintos. 60. C = 10! 10, ! (10 6)! = Puede hacer 210 exámenes diferentes. 61. C = 15! 15, ! (15 4)! = Pueden elegirlas de formas diferentes. 62. C = 6! 6,3 20 3! (6 3)! = Pueden sentarse de 20 formas diferentes. Propiedades de los números combinatorios a) = 1 d) = ! ! b) = 1 e) + = = = ! (16 13)! 13! 32 = ! ! c) = = 50 f) + = + 20 = + 20 = + 20 = ! (20 18)! 18! 2

23 El binomio de Newton a) ( a+ b) = a + a b+ a b + a b = a + 3a b+ 3ab + b b) ( a b) = a a b+ a b a b = a 3a b+ 3ab b a) (1 x) x 1 x 1 x 1 x x = = = 1+ 5x+ 10x + 10x + 5x + x b) ( x 1) = x x 1+ x 1 x 1 + x 1 x x x x x x = = c) ( x 2) x x 2 x 2 x 2 x = = x x x x = d) ( x + 1) = x + x 1+ x 1 + x ( ) ( ) ( ) ( ) x 4x 6x 4x = ( ) 4 + x 4 1 = a) (2x 1) = ( 2x) ( 2x) 1+ ( 2x) 1 ( 2x) 1 = 8x 12x + 6x b) ( x+ 3) = ( x) + ( x) 3+ ( x) 3 + ( x) 3 + ( x) 3 = x x x x = c) (2x 3) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) x 36x 54x = = d) ( 2x 3) = ( 2x) ( 2x) 3+ ( 2x) 3 ( 2x) 3 + ( 2x) 3 = = x + x + x + x

24 a) x = x x x x x x = x x 3 1 x 3 1 x 1 x x x b) = = x 3 3 x 3 x 3 x 27x 9x x c) 3 + = ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) = d) x+ = ( x) + ( x) ( ) ( ) x x = x + x x

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26 SOLUCIONES 68. Queremos relacionar 5 elementos, sin repetirlos, tomados de dos en dos, es decir: 5! C 5,2 = = 10 2!(5 2)! Solución: Pueden repartirse los premios de 10 formas diferentes. 69. Queremos repartir 3 elementos entre seis personas, pero nadie nos dice que no podamos darle dos artículos a una misma personas, luego: 6 R3,6 = 3 = 729 Solución: Pueden repartirse los artículos de 729 maneras diferentes. Si suponemos que no podemos dar dos artículos a una misma persona, entonces 6! 6,3 = = 120 (6 3)! Solución: Pueden repartirse los artículos de 120 maneras diferentes. 70. Queremos repartir 3 elementos entre cinco personas, luego: 5! C5,3 = = 10 3!(5 3)! Solución: Pueden repartirse las entradas de 10 maneras diferentes. Observación : Suponemos que las entradas no están numeradas. 71. Por el principio fundamental de enumeración puede elegirse el coche de = 40 formas diferentes. 72. Si por cada pregunta hay que mandar un mensaje y son cinco preguntas, entonces, necesitamos enviar 5 3 = 15 mensajes para acertar con seguridad. Si cada mensaje cuesta 20 ctm, los 15 costarán 30. Frente a los del premio, compensa mandar todos los mensajes. 73. Como no podemos repetir letras y queremos hacer grupos de 4, hay que calcular el número de variaciones de 7 elementos que tenemos tomados de cuatro en cuatro.

27 7! 7,4 = = 840 (7 4)! Solución: Pueden construirse 840 palabras diferentes. Si queremos que las palabras empiecen por B, estamos fijando uno de los elementos, y por lo tanto, sólo podemos variar los tres restantes: 6! 6,3 = = 120 (6 3)! Solución: Pueden construirse 120 palabras diferentes que empiecen por B. 74. Queremos hacer grupos de tres sabores con los 12 que tenemos. El orden no nos interesa, luego estamos trabajando con combinaciones de 12 elementos tomados de 3 en 3. 12! C 12,3 = = 220 3!(12 3)! Solución: Pueden hacerse 220 helados diferentes. 75. No estamos trabajando con todos los dígitos a la vez, y al ordenar números tenemos que tener en cuenta el orden, luego, suponiendo que no podemos repetir ningún dígito, hay que calcular el número de variaciones de 6 elementos tomados de 4 en 4. 6! 6,4 = = 30 (6 4)! Solución : Pueden construirse 30 números diferentes. 1 Si suponemos que podemos repetir el mismo dígito, entonces, habría que contar el número de variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 4 en 4. 4 R 6,4 = 6 = Solución : Pueden formarse distintos Estudiamos las letras primero. Tenemos 21 letras para combinar (no contamos LL, Ñ ni vocales). Importa el orden y podemos repetirlas, luego hay que calcular el número de variaciones con repetición de 21 elementos tomados de 3 en 3. 3 R 21,3 = 21 = Por otra parte, tenemos 10 dígitos combinables de cuatro en cuatro, que también podemos repetir, y en los que hay que tener en cuenta el orden, es decir 4 R 10,4 = 10 = Por el principio fundamental de la enumeración tenemos: = Solución: Existen de matrículas diferentes.

28 77. a) La manera de sentarse las siete personas coincide con el número de permutaciones de siete elementos, es decir 7! = maneras diferentes. b) Contemos a Ana y a Alberto como una única persona, entonces, habría que ver las distintas formas de colocar a 6 personas, es decir, permutaciones de 6 elementos (720 maneras diferentes). Por otra parte, Ana y Alberto pueden cambiarse de sitio, luego, sus posiciones coincidirían con el número de permutaciones de 2 elementos (2 formas diferentes). Por el principio fundamental de la enumeración: P 6 P 2 = Solución: Existen maneras de colocar a todos los amigos, estando Ana y Alberto juntos. c) A todas las posibilidades de colocar a los siete amigos (7! = 5 040) hay que quitarle las veces que coinciden Ana y Alberto (2!), es decir, quedarían: P 7 - P 6 P 2 = Solución: formas diferentes. 78. P 10 = 10! = formas diferentes. 79. Cada uno de los bloques se ordenaría, respectivamente de las siguientes formas posibles: Álgebra: P 5 = 5! = 120 Análisis: P 4 = 4! = 24 Geometría: P 6 = 6! = 720 Estadística: P 3 = 3! = 6 Como además podemos permutar los cuatro bloques entre sí, el producto de todas ellas por P 4 nos da todas las posibilidades. Solución: Existen de posibilidades diferentes ! C 4,3 = = 4 3!(4 3)! Solución: Puede hacerse de cuatro formas diferentes ! 7,4 = = 840 (7 4)! Solución: Pueden sentarse de 840 formas diferentes.

29 82. El número de pesas coincide con el número de permutaciones de 6 elementos: 6! = 720 formas diferentes de pesar. 6+ C6,2 + C6,3 + C6,4 + C6,5 + 1= 63 Solución: Puede elegir los libros de 63 formas diferentes ! C 15,3 = = 455 3!(15 3)! Solución: Puede elegir los libros de 455 formas diferentes a) R = 10 = ,3 Solución: Podemos formar números diferentes. R = = 5 b) 10, Solución: Podemos formar números diferentes. c) Si queremos que sean pares, mantemos fija la última cifra, que tiene que ser par: 0, 2, 4, 6 u 8, es decir, cinco opciones diferentes. Por otra parte, cuento con 10 cifras para formar números de 4 dígitos, luego son tantas opciones como 4 variaciones con repetición de 10 elementos tomados de cuatro en cuatro, es decir, 10. En total cuento con = Solución: Existen posibilidades diferentes. 3 d) 3 primeros dígitos: R10,3 = 10 = Último dígito: 0 ò 5. Solución: números diferentes. 85. Un número PIN tiene cuatro cifras, luego hay tantas posibilidades como permutaciones de 4 elementos, P 4 = 4! = 240 posibilidades distintas. 86. Tenemos dos posibilidades: 11! a) Elegir tres colores diferentes: 11,3 = = 990. (11 3)!

30 11! b) Elegir dos colores y colocar uno en medio: 11,2 = = 110 (11 2)! Existen posibilidades distintas a) R = 6 = 216 6,3 Solución: Podemos formar 216 palabras diferentes. R = = 4 b) 6, Solución: Podemos formar palabras diferentes. 2 c) R6,2 = 6 = 36 R + R + R = ,2 6,3 6,4 Solución: Existen posibilidades diferentes. d) R = P = 6! = 720 6,2 6 Solución: 720 palabras diferentes. e) Fijamos la primera letra y estudiamos las combinaciones posibles de las 3 siguientes: R = = 6, Solución: Podemos formar 216 palabras diferentes. f) Fijamos la primera y la última letra y estudiamos las combinaciones posibles de las 4 restantes: R = = 6, Solución: Podemos formar palabras diferentes. 6! 6! 6! 6! 6! g) 6,2 + 6,3 + 6,4 + 6,5 + 6,6 = = = ! 3! 2! 1! 0! Solución: Podemos formar palabras diferentes. 88. Nos da igual el orden, luego, trabajamos con combinaciones de 12 elementos cogidos de 4 en 4. 12! C 12,4 = = 495 4!(12 4)! Solución: Puede elegir las chapas de 495 formas diferentes.

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32 SOLUCIONES 89. Tenemos que ver las distintas posibilidades de elegir cada tipo de jugador y luego combinarlas: Porteros: C = 3 3,1 Defensas: C = 35 7,4 Centrocampistas: C = 10 6,3 5,3 Delanteros: C = = Solución: Puede constituir el equipo de formas diferentes R 2,6 = 2 = 64 Solución: Podemos formar 64 números diferentes ! a) C6,3 = = 20 3!(6 3)! Solución: Tengo 20 opciones. 5! b) C5,3 = = 10 3!(5 3)! Solución: Tengo 10 opciones. 92. Como no importa el orden, estamos hablando de combinaciones. 10! 15! C10,2 = = 45 C15,2 = = 105 2!(10 2)! 2!(15 2)! Solución: Un polígono de 10 vértices tiene 45 diagonales y uno de 15 tiene 105 diagonales ! C 8,3 = = 56 3!(8 3)! Solución: Pueden construirse 56 triángulos. 94. Si los tres números que tenemos están ordenados, actúan como si fueran uno solo. Para el número que me falta tengo 10 opciones: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Y uno de estos dígitos con los

33 tres anteriores puede combinarse de dos formas diferentes, luego, existen 2 10 = 20 alternativas distintas. 95. a) La manera de sentarse las diez personas coincide con el número de permutaciones de diez elementos, es decir 10! = maneras diferentes. b) Contemos a los tres hermanos como una única persona, entonces, habría que ver las distintas formas de colocar a 8 personas, es decir, permutaciones de 8 elementos ( maneras diferentes). Por otra parte, los tres hermanos pueden cambiarse de sitio, luego, sus posiciones coincidirían con el número de permutaciones de 3 elementos (6 formas diferentes). Por el principio fundamental de la enumeración: P 8 P 3 = Solución: Existen maneras de colocar a todos los amigos, estando los tres hermanos juntos. c) A todas las posibilidades de colocar a los diez amigos (10! = ) hay que quitarle las veces que coinciden los tres hermanos (3!), es decir, quedarían: P 10 / P 3 = Solución: formas diferentes ! a) R3,5 = 3 = 243 b) C15,5 = = = !(15 5)! 5! c) P6 = 6! = 720 d) 5,2 = = 20 (5 2)! ! ! a) = = = = = !2! 148! ! ! b) = = = !( )! ! c) = = ! d) 5,3 P3 = 3! = = 360 (5 3)! 2

34 3. Por el principio fundamental de enumeración puede hacer el regalo de = 280 formas diferentes R 6,3 = 6 = 216 números diferentes. 5. P 5 = 5! = 120 palabras diferentes. 6. 7! C 7,4 = = 840 4!(7 4)! Solución: Pueden sentarse de 840 formas diferentes. 7. P 10 = 10! = formas diferentes. 8. 4! C 4,3 = = 4 3!(4 3)! Solución: Pueden formarse 4 grupos distintos. 9. Contamos a Roberto y a Alicia como una única persona, entonces, habría que ver las distintas formas de colocar a 5 personas, es decir, permutaciones de 5 elementos (120 maneras diferentes). Por otra parte, los Roberto y Alicia pueden cambiarse de sitio, luego, sus posiciones coincidirían con el número de permutaciones de 2 elementos (2 formas diferentes). Por el principio fundamental de la enumeración: P 5 P 2 = 240. Solución: Existen 240 maneras de colocar a todos los amigos, estando Roberto y Alicia juntos. 10. Tenemos que ver las distintas posibilidades de elegir cada tipo de trabajador para combinarlas:

35 Mecánicos: C = 21 8,3 7,2 Aprendices: C = 10 5,3 Soldadores: C = 6 4,2 Torneros: C = = Solución: Puede constituir el equipo de trabajo de formas diferentes.

36 PÁGINA 232 SOLUCIONES x+ y+ z = a x y z b = 2 2xy = z Sustituyendo la tercera ecuación en la segunda tenemos: ( x+ y) = b 2 2 Luego, b= x+ y. Despejando de la primera tenemos: a x y = z z = a b Igualando la primera y la tercera llegamos a la ecuación de segundo grado: 2 2 b± b 2( a b) 2y 2 by+ ( a b) = 0, que tiene como soluciones y = 2 Las soluciones a nuestro sistemas son: x= b y 2 2 b± b 2( a b) y = 2 z = a b 2 2