ESTRUCTURAS IV VERIFICACIÓN SECCIONAL EN ESTRUCTURAS DE MADERA

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1 ESTRUCTURAS IV VERIFICACIÓN SECCIONAL EN ESTRUCTURAS DE MADERA Al igual que todos los materiales entregados por las fuerzas de la vida, la madera es bastante más adaptable y menos rígida y esquemática que otros materiales. - Eduardo Torroja INTRODUCCIÓN La madera, el material estructural más conocido desde tiempos remotos, es popular por varias razones: es el único material importante que es orgánico en su origen; es un material renovable y se puede ensamblar en construcciones con unas cuantas y relativamente simples herramientas manuales y portátiles. La madera utilizada en construcción, proviene del tronco de los árboles. Los mismos están conformados por células de sección tubular alargadas (1 a 8 mm) que se orientan, en su mayoría, en dirección paralelaa al eje del tronco. Los haces de células conforman lo que denominamos fibras longitudinales. El crecimiento del tronco se da por anillos periféricos anuales sucesivos, en dos capas de células: unas correspondientes a la primavera y principios del verano, grandes y de paredes delgadas; y otras correspondientes a finales de verano y principios de otoño, más pequeñas y de paredes gruesas. Esta conformación celular, convierte a la madera en material anisótropo,, es decir, todas sus propiedades físicas y mecánicas dependen de si se miden paralelas o perpendiculares a la fibra. En general, la madera se agrupa en dos grandes grupos: coníferas y frondosas. La diferencia fundamental entre ambas, es que en las frondosas las células están cerradas en los extremos, por lo que la savia debe circular externamente a ellas, por otras células llamadas vasos o canales, mientras que las coníferas presentan suss células abiertas, pudiendo la savia circular por el interior de las mismas. Otra particularidad de la madera es la de ser un material higroscópico.. Esto significa que tiende a perder o absorber agua según la humedad relativa ambiente. Recién cortada, puede llegar a tener un contenido de humedad de hasta el 200% de su peso y se considera que con un contenido de humedad del 30% la maderaa alcanza lo que se conoce como punto de saturación del las fibras. Si se continúa secando por debajo de este punto de saturación, se llega a un valor de equilibrio con la humedad ambiente conocido como humedad de equilibrio, y que depende, obviamente, del lugar de emplazamiento de la madera. Estas variaciones de humedad provocan cambios dimensionales en la madera, que dependerán de las fluctuaciones en las condiciones atmosféricas. Por ello se aconseja que en el momento de su puesta en obra, tenga un contenido de humedad lo más parecido posible a la humedad de equilibrio correspondiente al lugar de implantación de la construcción. FORMAS COMERCIALES La madera se encuentra comercialmente de diversas formas: 1

2 - Madera aserrada: es el más simple de los productos de madera elaborada, el más fácil de producir ya que se obtiene directamente del árbol y el que se utiliza desde hace más tiempo. - Madera Laminada: son piezas de eje recto o curvo, constituidas por láminas o tablas unidas con un adhesivo específicamente formulado. El espesor normal de las láminas varía entre 20 y 45 mm. Muy utilizada en la actualidad. - Madera Recompuesta: Placas conformadas por astillas de madera en diversas direcciones, encoladas con adhesivos plásticos y prensadas. - Madera Compensada: Placas formadas por un número impar de chapas de madera superpuestas, alternando la dirección de las fibras en forma perpendicular. Las chapas son adheridas mediante la aplicación de resinas especiales y procesos de presión a alta temperatura. CAPACIDAD RESISTENTE Las fibras de la madera son bastantes resistentes en sentido longitudinal a la tracción, a la compresión y a la flexión transversal, y muy poco resistentes al corte. Por el contrario, la resistencia al corte perpendicular a las fibras es buena, pero las capacidades resistentes a la tracción, compresión y flexión longitudinal son muy bajas. tracción paralela compresión paralela corte longitudinal flexión transv. tracción perpendicular compresión perpendicular flexión longitudinal corte transversal 2

3 Dimensionado en n Madera - Estructuras IV RESISTENCIA CARACTERÍSTICA DE LA MADERA La verificación seccional de piezas estructurales de madera, según la Norma Brasileña NBR que hemos adoptado, se basa en la determinación de las Resistencias Características (fk ) y Módulos de Elasticidad medios (Em) para las diferentes especies. Estas características mecánicas surgen fundamentalmente fundamental del ensayo a compresión paralela a las fibras, mediante el cual se obtiene estadísticamente la resistencia a compresión paralela a las fibras (fc0k) y también el módulo de elasticidad medio (Em ). A partir del valor de resistencia a compresión paralela para a las fibras y mediante lo que se llama caracterización simplificada, simplificada se obtienen los valores de resistencias a otras solicitaciones: Resistencia a tracción paralela a las fibras: Resistencia a compresión perpendicular pendicular a las fibras: Resistencia a corte paralelo a las fibras (coníferas): ( Resistencia a corte paralelo a las fibras (frondosas) ( ft0k = fc0k /0,77 fc90k = fc0k 0,25 fv0k = fc0k 0,15 fv0k = fc0k 0,12 RESISTENCIA DE DISEÑO DE LA MADERA Obtenidas las resistencias características es necesario determinar,, para cada estructura en particular, las resistencias de diseño (o de cálculo), aplicando al valor de fk coeficientes modificadores Kmod en función del tiempo de aplicación de las cargas sobre la estructura es (Kmod1), de la humedad relativa ambiente del lugar de implantación de la estructura (Kmod2) y de la categoría de la madera (Kmod3). Los Kmod se obtienen de las siguientes tablas: se debe dividir además por un coeficiente de seguridad γ = 1,4 para cubrir las incertidumbres que se tienen sobre el material y sobre defectos en la construcción. 3

4 Para simplificar el cálculo de las resistencias de diseño, se presenta la siguiente Tabla, que sintetiza los valores indicados anteriormente: CLASES DE CARGAS COEFICIENTES PARA CÁLCULO f c0d HUMEDAD REL. AMB. > 75% < 75% Permanentes 0,34 0,27 Larga Duración (> 6 meses) 0,40 0,32 Media Duración(1 a 24 seman.) 0,48 0,39 Corta Duración (< 1 semana) 0,57 0,46 Instantáneas 0,63 0,50 Mediante el uso de esta Tabla, la resistencia de diseño de una determinada madera resulta del producto de la resistencia característica f k por el coeficiente correspondiente a las características de cargas y humedad ambiente de cada estructura en particular. PROCESO DE VERIFICACION SECCIONAL DE UNA ESTRUCTURA DE MADERA Como en todo proceso de dimensionado, ya sea manual o por medio de programas de cálculos, lo primero que debemos hacer es predimensionar cada uno de los componentes del sistema estructural propuesto. Para ello, podemos basarnos en la experiencia previa con respecto a las secciones que pueden resultar, en función de las luces a cubrir y las cargas a soportar, o podemos utilizar algunos coeficientes como los provistos en la siguiente tabla, siempre teniendo en cuenta, que son sólo aproximaciones a las dimensiones seccionales y que siempre deberán ser verificadas por el cálculo posterior. SISTEMA ESTÁTICO DESCRIPCIÓN PENDIENTE LUCES (m) ALTURA DE LA SECCIÓN Viga recta de altura constante < 5º < 40 H = L/17 Viga a dos aguas 3º a 10º Viga a dos aguas con intradós curvo 3º a 15º H 0 = L/30 H 1 = L/16 H 0 = L/30 H 1 = L/16 Viga curva H = L/17 Viga en voladizo con tensor < 10º < 30 H = L/10 Pórtico triarticulado > 14º H = L/30 4

5 Viga en voladizo sección variable < 10º < 30 H = L/10 Pórtico triarticulado con puntal y tensor Pórtico triarticulado de sección variable > = 14º >= 14º H 1 = (S 1 + S 2 )/15 H 1 = (S 1 + S 2 )/15 Arco triarticulado f/l >= 0, H = L/50 Pórtico triarticulado con unión rígida metálica Pórtico triarticulado con columna descompuesta >= 14º >= 14º H 1 = (S 1 + S 2 )/13 H 1 = (S 1 + S 2 )/14 Viga continua 0º H = L/20 Viga Vierendel 0º H = L/12 Cercha reticulada > 10º H = L/10 VERIFICACIÓN SECCIONAL DE UNA ESTRUCTURA DE MADERA LAMINADA Se trata de verificar la estructura principal del Predio Ferial para el Ayuntamiento de Marbella (España), proyecto de los Arqs. Rafael Martínez y Antonio Solano, con una superficie de 72 x 56 mts. 5

6 La estructura está conformada por 14 arcos tri-articulados de madera laminada de 55 m de luz de secciones con alturas variables y un ancho de 13,5 cm. Dichos arcos tienen sus apoyos al nivel de las losas de entrepisos laterales, los que a su vez, están cubiertos por arcos secundarios de 12 m de luz, que se apoyan en los principales y en el plano de fachada. Una viga recta de 13,5 x 35,5 cm de sección suaviza la inflexión entre ambos arcos. La separación entre arcos es de 4 m. Sobre ellos se arma la cubierta con correas de madera aserrada de 7 x 20,5 cm separadas cada 2 m, sobre las que van chapas opacas y translucidas alternadamente. MATERIAL: Los datos del material madera laminada (de alerce) son: Densidad: 500 kg/m 3 Resistencia característica f C0k = 240 kg/cm 2 Resistencia de Diseño,,, 82,3 kg/cm : *Nota: Utilizando las Tablas simplificadas daría: f C0d = 0, = 81,6 kg/cm 2 82,3 Módulo de Elasticidad Medio: E m = kg/cm 2 Para la determinación de las deformaciones y para la verificación a pandeo en piezas comprimidas, la Norma establece que se debe utilizar un E "efectivo", que considera la deformación diferida (a lo largo del tiempo) de la madera. El E ef se calcula aplicando al E m los mismos K mod que se aplican a la resistencia característica. Entonces: Módulo de Elasticidad efectivo: E K K K ,6 1 0, kg/cm 6

7 MODELO ESTRUCTURAL: Para obtener las solicitaciones, se modela el conjunto de los tres arcos (principal y laterales) y la viga entre ellos, con el programa Strap. - Apoyos articulados - Articulación en la clave del arco - Luz: 55 m - Flecha: 11,9 m - Relación f/l = 0,22 - Secciones del arco principal: Variables desde 115 x 13,5 cm en los arranques hasta 75 x 13,5 cm en la clave. Predimensionado (según Tabla): d = L/50 = 55/50 = 1,1 m (aceptable) - Sección arcos laterales: 2 x 8,5 x 35,5 cm (sección compuesta) Predimensionado (según Tabla): d = L/50 = 12/50 = 0,24 m (sección excesiva) - Sección vigas: 13,5 x 35,5 cm Predimensionado (según Tabla): d = L/17 = 8,3/17 = 0,48 m (sección escasa) CARGAS APLICADAS: Se aplican las siguientes combinaciones de cargas con sus factores de mayoración: I) Cargas Permanentes solas II) Cargas Permanentes + Nieve + Sobrecarga de Uso (sólo en una mitad de la estructura) Peso Propio (calculado por Strap) Carga de Cubierta (0,14 t/m) Sobrecarga de Uso (0,1 t/m) Sobrecarga de nieve (0,16 t/m) RESULTADOS: 7

8 Se analizan los resultados correspondientes a la combinación de cargas permanentes, nieve y sobrecarga de uso, que resulta la más desfavorable. Reacciones: (en toneladas) Deformación máxima: 10,3 cm Deformación máxima aceptable: L/200 = 5500/200 = 27cm > 10,3 cm (verifica) Momento Flector máximo: 18,5 tm Esfuerzo de Corte Máximo: 5 t Esfuerzo Normal Máximo: 23 t 8

9 NUMEROS DE BARRAS PLANILLA DE RESULTADOS: Se consideran sólo los resultados de la combinación II por ser los más desfavorables. BARRAS, RESULTADOS de la combinación 2 (Unids: ton, ton*metro) Cargas Permanentes + Nieve + Sobrec. Barra Nudo Axil V2 M VERIFICACIÓN DE SECCIONES Barra Nº 7: Datos de material - Madera laminada: f C0d = 83,2 kg/cm 2 E ef = kg/cm 2 Datos Geométricos: Sección: 113 x 13,5 cm (se toma una altura de sección promedio) Área: 1525,5 cm 2 Módulo Resistente S x = cm 3 9

10 Momento de Inercia I x = cm 4 Radio de Giro: 32,6 cm Solicitaciones: - Axial: N = 19,4 t - Corte: V = 4,95 t - Momento Flector: M f = 9,8 tm Se deberá verificar a flexo - compresión. Para ello, la norma NBR7190 establece que se debe cumplir la siguiente condición: 1 donde: σ NCd es el valor de la tensión normal provocada por la fuerza axial de compresión (19,4 t) y σ Md es el valor de la tensión provocada por el momento flector (9,8 tm) Verificación: ,72 / 1525, ,11 / 12,72 83,2 2 34,11 83,2 0,023 0,41 0,43 1 Verifica a flexo - compresión. Pandeo: En la verificación anterior, no se ha considerado el efecto de inestabilidad lateral por pandeo, que debe ser contemplado en toda pieza sometida a compresión. La posibilidad de pandeo de una barra está directamente relacionada con su esbeltez (λ), considerada ésta como la relación entre la longitud que puede pandear y el radio de giro: En el caso de los arcos tri-articulados, la longitud de pandeo se suele tomar como la recta que une el apoyo con la articulación central. Pero en el caso particular de la estructura que estamos analizando, la barra 7 pertenece a un tramo de 5,7 m entre el apoyo y el arco y vigas laterales, que restringen la posibilidad de pandeo. Por ello se tomará esta medida como longitud de pandeo "l " para el análisis de dicha barra 7. Entonces: 17,5 < 40 esto significa que no es necesario considerar el, efecto de pandeo para esta barra. 10

11 Nota Importante: Si la esbeltez alcanza un valor entre 40 y 80, se consideran piezas medianamente esbeltas, y si supera 80, piezas muy esbeltas. En ambas situaciones será necesario verificar el riesgo de pandeo. En ningún caso la esbeltez podrá superar el valor de 140. Más adelante se hará la verificación a Corte de la misma barra Barra Nº 11: Datos de material - Madera laminada: f C0d = 83,2 kg/cm 2 Datos Geométricos: Sección: 102 x 13,5 cm Área: 1377 cm 2 Módulo Resistente S x = cm 3 Momento de Inercia I x = cm 4 Radio de Giro: 29,4 cm Solicitaciones: - Axial: 23 t - Corte: 0,54 t - Momento Flector: 18,5 tm La barra 11 también está flexo -comprimida: Verificación: ,7 / 1377 E ef = kg/cm ,03 / 16,7 83,2 2 +, 83,2 = 0, ,95 = 0,99 1 Verifica a flexo - compresión Barra Nº 17: Datos de material - Madera laminada: f C0d = 83,2 kg/cm 2 E ef = kg/cm 2 La barra 17 pertenece al tramo que va desde la unión viga -arco y la articulación central. La longitud de pandeo, entonces, es mucho mayor, ya que se debe tomar dicha distancia que es: 22,4 m. Verificación a pandeo: 11

12 Dado que la verificación a pandeo para piezas muy esbeltas es bastante compleja, se podría adoptar como criterio de diseño fijar primero la sección de la pieza de modo tal que no supere una esbeltez de 80 (medianamente esbelta). Entonces, a partir de una esbeltez λ = 80, se puede calcular el radio de giro necesario de la sección según el eje con respecto al cual puede producirse el pandeo (en nuestro caso sería el radio de giro i x máximo), ya que con respecto al otro eje, la posibilidad de pandeo está impedida por las correas que sostienen la cubierta.: ; 80 = 28 cm Se requiere un radio de giro de 28 cm. La altura (d) necesaria para la sección, saldrá de hacer : d = i 3,45 = 28 cm 3,45 = 97 cm Adoptamos esa altura y mantenemos el b = 13,5 cm. Datos Geométricos: Sección: 97 x 13,5 cm Área: 1309,5 cm 2 Módulo Resistente S x = cm 3 Momento de Inercia I x = cm 4 Radio de Giro: 28 cm Solicitaciones: - Axial: 17,7 t - Corte: 1,47 t - Momento Flector: 11,8 tm Verificación por pandeo: Para verificar pandeo, se debe calcular primero la excentricidad e 1 que surge como suma de dos excentricidades: - Excentricidad inicial (e i ) : relación entre el momento flector y el esfuerzo normal, 0,67 67, - Excentricidad accidental (e a ): Entonces: e 1 = e i + e a = ,4 = 74,4 cm Por otro lado, se debe calcular la carga crítica F E : 7,4 3, ,3 12

13 Con e 1 y F E ya se puede calcular e d : 112,3 74,4 88,32 112,3 17,7 Entonces, el momento flector con el cual habrá que calcular la tensión por flexión σ Md será: 17,7 0,88 15,58 Con este valor de Momento 15,58 tm, mayor que el momento flector máximo (11,8 tm) se realiza la verificación a flexo - compresión de la barra. Verificación a flexo - compresión: Verificación: ,5 / 1309, ,59 / 13,5 83,2 2 +, 83,2 = 0, ,88 0,91 < 1 Verifica a flexo - compresión Barra Nº 1: Corresponde al arco lateral de 12 m de luz, conformado por dos secciones rectangulares paralelas separadas entre sí por 13,5 cm. Datos de material - Madera laminada: f C0d = 83,2 kg/cm 2 Datos Geométricos: Sección: 2 x 8,5 x 35,5 cm Área: 603,5 cm 2 Módulo Resistente S x = 3571 cm 3 Momento de Inercia I x = cm 4 Radio de giro (máximo): i x = 10,2 cm Solicitaciones: - Axial: N = 5,84 t - Corte: V = 0,66 t - Momento Flector: M f = 0,33 tm E ef = kg/cm 2 Se debe verificar a compresión simple. Se toma como longitud de pandeo la distancia entre el punto de apoyo y la unión con la viga que vincula ambos arcos: 6,6 m. 13

14 64,7, Se trata de una pieza medianamente esbelta. Como en este caso no hay momento flector en la barra, la excentricidad e 1 = e a Excentricidad accidental (e a ): Entonces: e 1 = 2,2 cm Se calcula la carga crítica F E : 2,2 3, ,9 Con e 1 y F E ya se puede calcular e d : 2,2,,, 2,37 (0,024 m) Luego, el pandeo se verifica considerando un momento originado por el mismo de: 5,84 0,024 0,14 Verificación: ,67 / 603, ,92 / 9,67 83,2 2 3,92 83,2 0,013 0,047 0,06 1 Verifica (Recordar que el predimensionado había dado una sección excesiva) Barra Nº 47: (corresponde a la viga que vincula ambos arcos) Datos Geométricos: Luz: 8,3 m Predimensionado: d = l/17 = 8,3/17 = 0,48 m Sección: 35,5 x 13,5 cm (en este caso la altura d de la sección, según lo indicado en la documentación encontrada es bastante inferior a lo que aconseja el predimensionado) Módulo Resistente S x = 2836 cm 3 Solicitaciones: - Axial: 2 t 14

15 - Corte: 1 t - Momento Flector: 4,23 tm Por ser muy pequeño el esfuerzo axial, se verifica directamente a flexión simple. La seguridad a flexión queda garantizada si se cumple que: ,2 / No Verifica a flexión. Será necesario dar otras dimensiones a la viga, por ejemplo 13,5 x 48 cm (lo que indicaba el predimensionado): S x = 5184 cm 3 81,6 83,2 / Verifica a Flexión Verificación a Corte Barra Nº 7: La seguridad al corte se verifica si la tensión máxima de corte es menor o igual a la resistencia de diseño al corte de la madera. Resistencia al Corte de la madera (Alerce: conífera): Se puede obtener la resistencia de diseño al corte, a partir de la resistencia de diseño a la compresión paralela a las fibras: f V0d = f C0d 0,12 (coníferas) (ó 0,10 para frondosas) Resistencia de diseño a compresión f C0d = 82,3 kg/cm 2 Resistencia de Diseño al Corte: f V0d = 82,3 0,12 = 9,87 kg/cm 2 Datos Barra Nº 7: Sección: 113 x 13,5 cm Corte: V = 4,95 t La máxima tensión de corte será: 1,5 1,5, 4,87 9,87 Verifica al Corte

16 16 Dimensionado en Madera - Estructuras IV

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