Capítulo 3. Modelado de aeronaves

Transcripción

1 Capítulo 3. Modelado de aeronaves Capítulo 3. Modelado de aeronaves 3.1 Introducción En el contexto de la Ingeniería, modelar consiste en crear una representación matemática de un sistema real de forma que, con cierto nivel de exactitud, puedan reproducirse y predecirse los comportamientos del mismo. No hay que olvidar que un modelo no es más que una aproximación al mundo real que es siempre demasiado complejo para ser contemplado en su totalidad. Además, en función de la aplicación, un modelo demasiado detallado puede ser contraproducente, pues supone un gran costo de desarrollo y computación que puede no aporta información relevante para el caso a estudio. La importancia de los modelos en el mundo de la aeronáutica en general, y para los UAS en particular depende de tres puntos: - Permiten determinar las actuaciones (performance) del aparato, de forma que es crucial en el proceso de diseño o rediseño (modificaciones, cargas de pago específicas ) - Pueden ser empleados para desarrollar algoritmos de control mediante técnicas de control basado en modelo, tales como el control predictivo, pole placement - Permiten realizar simulaciones que ayudan tanto al entrenamiento de pilotos como al ajuste y validación del sistema de control de vuelo (FCS, Flight Control System). Esto resulta de vital importancia, ya que el coste de realizar ensayos en vuelo, así como el riesgo que supone testar por primera vez un complejo entramado de hardware, algoritmos de estimación, algoritmos de control es elevadísimo 3.2 Sistemas de referencia Para describir el movimiento de la aeronave es necesario empelar diferentes sistemas de coordenadas, ya que diferentes variables se proyectan con mayor facilidad sobre determinados ejes. Los más relevantes son (Pamadi 2004): - Sistemas ECEF (Earth Centered Eath Fixed): sistema con origen en el centro de masas de la Tierra y que se mueve solidariamente a él. El eje x coincide con la intersección entre el meridiano de Greenwich y el ecuador y el eje z con el de rotación terrestre. - Sistema ejes navegación: se define tangente a la superficie de la tierra en un punto de referencia. El eje apunta hacia el centro de la Tierra y el hacia el norte - Sistema ejes cuerpo origen en el centro de masas de la aeronave. Las direcciones son, según cierta referencia, hacia delante, hacia la derecha y hacia abajo respectivamente. Dos casos particulares son: Pág. 33

2 Modelado, Control y Percepción en Sistemas Aéreos Autónomos - Sistema Ejes estabilidad : El eje coincide con la posición de equilibrio y el eje es perpendicular al plano de simetría (de haberlo) - Sistema Ejes viento : El eje está alineado con la corriente aguas arriba. - Todos estos sistemas pueden apreciarse en la Figura 1. Fig Sistemas de referencia empleados 3.3 Modelado mecánico Aunque en la realidad una aeronave se comporta como un sólido deformable, con apreciables deflexiones, como en el caso de la flexión alar, los efectos aeroelásticos son poco significativos excepto en casos muy concretos, como el flutter o la divergencia. Así pues puede emplearse en un amplio régimen de funcionamiento que el modelo como sólido rígido es suficientemente preciso para analizar la dinámica. Las ecuaciones que rigen este tipo de cuerpo son las ecuaciones de Euler (Pamadi 2004): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Pág. 34

3 Capítulo 3. Modelado de aeronaves A partir de las cuáles se obtiene el movimiento conocidas las fuerzas, que en el caso de aviones son: Donde - u, v, w son las proyecciones sobre cada eje de la velocidad lineal -,, y,, son las componentes de los vectores de fuerzas y momentos torales y - p, q, r son las componentes del vector velocidad angular -,, son los ángulos de Euler y sus respectivas derivadas 3.4 Modelado de fuerzas Fuerzas másicas Son las debidas a la fuerza gravitatoria. Puesto que las ecuaciones se plantean en ejes cuerpo, la proyección del vector de la gravedad es: ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) Fuerzas aerodinámicas El cálculo de fuerzas aerodinámicas se realiza habitualmente en ejes viento por ser el planteamiento natural del problema. Las fuerzas en la dirección de los ejes viento se denominan resistencia, fuerza lateral y sustentación. La transformación de un sistema a otro es ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) Asimismo es común sustituir las velocidades ( ) por los valores ( ), siendo ( ) ( ) Por último, para reducir el número de variables independientes, se definen unos coeficientes adimensionales obtenidos del análisis dimensional de las ecuaciones de Euler: Pág. 35

4 Modelado, Control y Percepción en Sistemas Aéreos Autónomos El cálculo de las fuerzas aerodinámicas se reduce a calcular estos coeficientes para condición de vuelo. Como la resolución del problema aerodinámico es en sí mismo es muy complejo, es común en la literatura se emplea la aproximación de Byron que establece una dependencia lineal de cada fuerza y momento con cada variable. A las pendientes de estas rectas se les denomina derivadas de estabilidad (Nelson 1998). Un elemento importante a tener en cuenta con la definición de derivadas de estabilidad es que si se definen como la derivada respecto un valor adimensional respecto a cada variable, será un valor dimensional. Para solucionarlo se emplean las derivadas adimensionalizadas que son de la forma: Donde si { } { } { } { } El cálculo de las derivadas de estabilidad puede realizarse por cuatro medios: - Modelos analíticos simplificados - Ensayos experimentales - Relaciones semiempíricas - Cálculo numérico Este último caso es el más empleado por proporcionar una buena aproximación a la realidad sin necesidad de llevar a cabo costosos ensayos. Pág. 36

5 Capítulo 3. Modelado de aeronaves Cálculo de derivadas de estabilidad El problema aerodinámico se reduce al cálculo de los coeficientes anteriores. Tal y como se indicó anteriormente se opta por el cálculo numérico. Existen diferentes algoritmos capaces de resolver el flujo en torno a un avión. De entre ellos uno de los más eficientes en complejidad frente a precisión es el Vortex Lattice Method o Método de la malla de torbellinos (Mason 1998). En él, se suplen las superficies sustentadores por una serie de singularidades de tipo torbellino y se calculan el campo de velocidades y, a partir de él, el de presiones. Es importante destacar que el VLM es un método potencial y, por tanto, es incapaz de retener efectos viscosos. Este algoritmo se encuentra implementado en diferentes software, varios de ellos de carácter libre. Uno de los más habituales es AVL (Drela, AVL User guide 2006) (Athena Vortex Lattice) o Tornado (Ltd. 2008). El funcionamiento básico de estos programas consiste en definir la geometría y las condiciones de contorno e iniciales mediante una API a modo de preprocesador. Posteriormente se ejecuta el algoritmo y a continuación se puede acceder a los resultados, entre los cuales, se hallan las derivadas de estabilidad Fuerzas propulsivas El sistema propulsor es la fuente de la energía de la aeronave y, por tanto, responsable último del movimiento. Si el motor está alineado con la línea de referencia del avión, las acciones que éste produce sobre el mismo son, en ejes cuerpo: ( ) ( ) En el caso de aviones de hélice consta de dos elementos claramente diferenciados: el motor y la hélice. La relación entre ambos es, evidentemente, que la velocidad de giro común a ambos viene dada por los momentos que cada uno induce en el eje. Matemáticamente: Así son necesarios los modelos de los momentos producidos. Una vez determinada la velocidad de giro, el estudio de la hélice proporciona el empuje obtenido Motor eléctrico Existen formas de relacionar la potencia de entrada frente al par producido en un motor eléctrico. Habitualmente las fuentes de alimentación son de tensión y la variable de control es un potenciómetro que regula la tensión de entrada, siendo ésta la variable manipulable. Pág. 37

6 Modelado, Control y Percepción en Sistemas Aéreos Autónomos Un modelo de motor brushless es (Drela, First order DC electric model 2007): (( ) ) Hélice Determinar las características de la hélice equivale a calcular los valores del empuje, el momento resistivo y la potencia necesaria para condición de vuelo. Habitualmente éstas tres magnitudes se representan de forma adimensional de forma que el número de variables independientes se minimiza. Así se definen los coeficientes adimensionales de empuje, par y potencia como 2 : Se puede demostrar que los tres coeficientes dependen de una sola variable denominada radio de avance J, que se define como: Existen, al igual que en el caso de las derivadas de estabilidad, códigos CFD que proporcionan los valores ( ), ( ) y ( ). 3.5 Trimado A priori la condición inicial de cada uno de los estados no es conocida, sino que sólo se conocen la altura y la velocidad. Para relacionar ambos se impone la condición de equilibrio (se supone que en el instante inicial el avión está trimado) y se determinan los valores de los estados y los actuadores asociados. Para ello se realiza una aproximación analítica que desprecian términos de orden superior (tales como el incremento de resistencia producida por la deflexión de los alerones frente a la resistencia total del aparato). El procedimiento se realiza partiendo de una altura de operación y una velocidad de vuelo, a partir de ellos: 1. Se supone que el avión es simétrico, de forma que si la posición de equilibrio es de vuelo simétrico, no aparecen fuerzas lateral-direccionales. 2. Se calcula analíticamente el trimado longitudinal suponiendo posición estacionaria. 2 Existen diferentes definiciones de estos coeficientes. Cuál se emplee es independiente siempre y cuando se sea coherente en el método de cálculo. Pág. 38

7 Capítulo 3. Modelado de aeronaves 3. Se calcula numéricamente el punto de funcionamiento del motor 4. Se calcula las acciones de los alerones necesarias para compensar el momento de la hélice. Evidentemente este proceso es sólo una aproximación, pero proporciona resultados satisfactorios. Una vez determinado el trimado se puede simular para velocidad y altura el vuelo de la aeronave. 3.6 Programación La forma de resolverlo es mediante los comandos ode de Matlab. Existen diferentes solvers que implementan distintos algoritmos. Para decantarse por uno u otro existen dos aspectos a tener en cuenta: implementación implícita frente a explícita y rigidez del sistema. Para más información consultar la ayuda de Matlab (Mathworks 2009). 3.7 Linealización Las técnicas habituales de control se basan en sistemas lineales (transformada de Laplace, descripción en variables de estado), de modo que, a priori, el sistema descrito no es útil para el diseño de un controlador. Para superar esta limitación es habitual recurrir a una linealización del sistema en el punto de equilibrio (Slotine 1991) de forma que las técnicas de control lineal sean aplicables. Donde ( ) Linealización ( ) ( ) Esta linealización puede llevarse a cabo de forma analítica o numérica. Al relizarla según el primer procedimiento, puede demostrarse que el problema se reduce a dos movimientos desacoplados: uno longitudinal y otro lateral direccional. De esta forma se reduce las dimensiones del sistema. Esta separación presenta la ventaja de permitir analizar y controlar el movimiento de la aeronave más fácilmente, fundamentalmente mediante la compensación de modos como el Phogoide, el Short Period, el Dutch Roll y el espiral (Etkin 1959). 3.8 Aplicación Lo expuesto en los apartados anteriores se ha aplicado al caso del Viewer, un UAV de pequeñas dimensiones (3,2 m de envergadura, 8 kg de MTOW). La Fig. 3-2 muestra un modelo Pág. 39

8 Modelado, Control y Percepción en Sistemas Aéreos Autónomos realizado mediante Diseño asistido por ordenador (CAD, Computer Assisted Design) que reproduce fielmente la fisionomía del Viewer. Hay que tener en cuenta que este tipo de representaciones, si bien es cierto que son muy útiles para ciertos aspectos como la creación de planos o la ubicación de sistemas, es innecesariamente detallado para otros como puede ser ciertos cálculos aerodinámicos. En efecto, a efectos de sustentación la forma específica del fuselaje no es significativa. Además, el algoritmo CFD empleado se basa en trabajar con superficies sustentadoras, siendo su aplicación dudosa para cuerpos esbeltos. Por todo ello, a efectos aerodinámicos se desarrolló el modelo mostrado en la Fig. 3-3, donde se busca reproducir fielmente las superficies sustentadoras (ala y estabilizadores) en detrimento del fuselaje. Fig Modelo CAD del Viewer Fig Modelo empleado para el cálculoo aerodinámico Pág. 40

9 Capítulo 3. Modelado de aeronaves Una vez realizado el cálculo aerodinámicos se puede simular el modelo. Los resultados obtenidos se muestras en las Fig. 3-4 a Fig Para mostrar los resultados se ha optado por representar para cada variable de control la evolución de la variable dominante (por ejemplo, ángulo de alabeo en función de los aleones). Cada figura contiene dos curvas correspondientes a la simulación del sistema real no lineal (en azul) y al sistema linealizado numéricamente (en rojo). Fig Respuesta ante un escalón en δe Fig Respuesta ante un escalón en δa Pág. 41

10 Modelado, Control y Percepción en Sistemas Aéreos Autónomos Fig Respuesta ante un escalón en δr Fig Respuesta ante un escalón en δt De las gráficas anteriores puede apreciarse que: Pág. 42

11 Capítulo 3. Modelado de aeronaves 1- La respuesta del sistema real (no lineal) es físicamente consistente en el sentido que el modelo hace lo que cabría esperar. Por ejemplo, al aumentar la potencia aumenta la velocidad de vuelo. 2- El sistema linealizado muestra un comportamiento muy similar al no lineal 3.9 Otros tipos de aeronaves En este capítulo se ha tratado el modelado de aeronaves de ala fija, sin tratarse, hasta ahora, aquellas cuya sustentación se basa rotores. Sin embargo puede apreciarse que existen numerosos robots aéreos basados en este tipo de plataformas. Principalmente en el mundo de la investigación, el empleo de helicópteros, quadrotors y aparatos similares llega incluso a superar a la tipología de avión. Por tanto se dedicará una sección para dar unas pinceladas acerca del modelado de estos aparatos Quadrotors Los quadrotors son un tipo de aeronaves de ala rotatorias muy empleados para el desarrollo de controladores por su simplicidad y su gran estabilidad. Un quadrotor consta de una estructura ligera, típicamente cruciforme, que soporta en sus extremos cuatro rotores. El sentido de giro de dos de ellos es siempre opuesto al de los otros dos de forma que se obtenga estabilidad de azimuth. El movimiento ascensional se consigue modificando la potencia de forma uniforme mientras que el giro sobre cualquier eje se consigue modificando de forma diferencial la potencia de los rotores dos a dos. Un modelo detallado de la dinámica de un quadrotor puede obtenerse de (Bouabdallah 2005) Por último comentar que el concepto de quadrotor se ha generalizado y existen aparatos con diferente número de rotores, denominado como polirrotores y de todas las dimensiones. Como ejemplo sirva el MD de microdrones (diámetro 1,01 m., MTOW 5,550 kg) Helicópteros Aunque la dinámica de un helicóptero es significativamente más compleja que la de los quadrotors, las prestaciones y la flexibilidad de peso que estos proporcionan es muy superior a los anteriores. La aerodinámica de un helicóptero es un problema complejo en el que, por la interacción de la estela de cada pala con la siguiente y el fuerte carácter rotacional no es posible aplicar algoritmos como el VLM. Existen aproximaciones sencillas de la aerodinámica, de entre la que cabe destacar la teoría del elemento de pala (BET, Blade Elementum Theory). Textos como (Bramwell 2001) muestran cómo aplicar el BET para realizar estimaciones de las derivadas de estabilidad. Para el caso de helicópteros de pequeño tamaño, donde la relación de masas entre rotor principal y fuselaje es muy significativa, la velocidad rotacional de las palas es mayor y la Pág. 43

12 Modelado, Control y Percepción en Sistemas Aéreos Autónomos rigidez de la unión pala-cabeza del rotor es más elevada que la de los habituales rotores flexibles de los helicópteros habituales, es posible emplear modelos mecánicos específicos que simplifican las ecuaciones (Du 2008). Pág. 44