MÉTODO ALGEBRÁICO PARA DETERMINAR LA DEFORMACIÓN POR DEFLEXIÓN EN VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

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Ricardo Felipe Vera Domínguez
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1 ISSN MÉTODO ALGEBRÁICO PARA DETERMINAR LA DEFORMACIÓN POR DEFLEXIÓN EN VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS Juan José Martínez Cosgalla Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, Instituto Politécnico Nacional jmartinezc@ipn.mx J. Santana Villarreal Reyes Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, Instituto Politécnico Nacional svillarreal@ipn.mx Fredy Donis Sánchez Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, Instituto Politécnico Nacional fdonis@ipn.mx Abstract En el estudio de la Resistencia de Materiales, se presenta el análisis de la deformación por flexión en las vigas estáticamente indeterminadas, teniendo este nombre porque presentan un número de reacciones mayor que el de las ecuaciones de equilibrio estático que pueden emplearse para su cálculo. Es por ello que existen métodos específicos para determinar esta defección a fin de establecer una ecuación de continuidad que al formar un sistema con las ecuaciones de equilibrio, se logre eliminar la hiperestaticidad. Un método muy empleado es el de la doble integración, el cual en ocasiones se complica a los estudiantes por no recordar el cálculo integral, por tal razón se propone un método algebraico más sencillo y accesible para los estudiantes. Palabras clave: elástica, deflexión, función de singularidad, hiperestática. En el desarrollo de la asignatura de Resistencia de Materiales, o Mecánica de Materiales como se le llama ahora en muchos planes de estudio, se presenta el tema de vigas hiperestáticas, las cuales reciben ese nombre porque el número de reacciones que poseen es mayor que el de las ecuaciones de equilibrio que pueden emplearse para determinarlas. Por tal razón, es necesario generar una ecuación de compatibilidad a partir de las condiciones de deformación de la viga, Ejemplar 1. Julio-diciembre de 015 1

ISSN 007-1957 para que con esta ecuación y una de equilibrio estático, se pueda formar un sistema de ecuaciones algebraicas que permitan obtener los valores de las reacciones que hacían la

2 ISSN para que con esta ecuación y una de equilibrio estático, se pueda formar un sistema de ecuaciones algebraicas que permitan obtener los valores de las reacciones que hacían la hiperestaticidad. Un método muy utilizado para la ecuación de compatibilidad, es el de la doble integración en el cual simplemente se debe de integrar dos veces esta ecuación, sin embargo a muchos estudiantes se les complica por no tener mucha práctica en el uso del cálculo integral. Por esta razón se propone un método algebraico para la ecuación de compatibilidad, lo que permite establecer rápidamente y de manera fácil el sistema de ecuaciones algebraicas que permitan calcular los valores de las reacciones redundantes. previamente, de tal forma que quien no tenga claro el manejo de estas herramientas matemáticas, difícilmente podría utilizar este método de solución. Para explicar el uso de este método, se calculará la deformación por flexión en el punto B de la viga mostrada en la figura 1, fabricada de acero estructural con un módulo de elasticidad E = 00 GPa. Fig, 1.- Viga hiperestática, empotrada y apoyada El diagrama de cuerpo libre de esta viga, quedará de la forma siguiente: Método de la doble integración Existen diversos métodos que sirven para determinar la deformación por flexión en cualquier sitio del claro de una viga estáticamente indeterminada, ya sea esta del tipo empotrada-apoyada o doblemente empotrada, aunque el problema en estas vigas comienza con el cálculo de las reacciones redundantes, para ello se tiene que establecer una ecuación de compatibilidad en función de las deformaciones de la viga, para de esta manera conformar un sistema de ecuaciones algebraicas y al resolverlo convertir la viga en isostática. Un método muy empleado es el de la doble integración, donde es necesario el manejo del cálculo integral estudiado Fig..- Diagrama de cuerpo libre. Como se puede observar, esta viga presenta tres reacciones:m A, R A y R C. Las ecuaciones de equilibrio estático que se puede utilizar son: ΣM = 0 y ΣF Y = 0. Por lo tanto es una viga hiperestática. Para resolverla emplearemos las funciones de singularidad, mostradas en la tabla 1, con las cuales podremos Ejemplar 1. Julio-diciembre de 015

3 ISSN determinar la ecuación de momentos flexionantes de toda la viga. Tabla 1.- Funciones de singularidad para los diferentes tipos de cargas Caso Carga Momento flexionante EI d y dx = M a x R A x 0 1 Integrando: 14 x x 5 1 M 0 0 P 1 EI d y dx dx = M a x 0 0 dx + R A x 0 1 dx 7 x 0 dx q 4 q b + 7 x 5 dx EI dy dx = EIθ = M a x R A x 0 7 x x 5 + C 1 Integrando nuevamente: La ecuación de momentos flexionantes de toda la viga quedará de la forma siguiente: M x = M a x R A x 0 1 EI dy dx dx = M a + R A 7 x 0 1 dx x 0 dx x 0 dx 14 x x 5 dx + C 1 dx + 14 x 5 Entonces, la ecuación diferencial de la elástica queda de la siguiente manera: EI d y dx = M EIy = M a x 0 + R A x x x C 1 x + C Considerando los valores de frontera en la viga se tiene: Ejemplar 1. Julio-diciembre de 015

4 ISSN θ 0 = 0 0 = M a 0 + R A C 1 C 1 = 0 y 0 = 0 0 = M a 0 + R A C C = 0 y 8 = 0 0 = M a 8 + R A Quedando la ecuación de compatibilidad siguiente: M a + 85.R A = 4.08 A Ahora, calculando momentos estáticos con respecto al punto C: M C = 0 M a + R A = 0 M a + 8R A = 85 B Resolviendo el sistema de ecuaciones (A) y (B): M a = 8.7 kn m R A = 58.4 kn Ahora, sumando fuerzas con respecto al eje y: R C = kn Así se han encontrado los valores de las reacciones y con la ecuación particular de la elástica encontraremos la deflexión en el punto B, donde x = 5. EIy B = EIy B = kn m Consultando las tablas del fabricante, se observa que para el perfil W410 0, el momento de inercia es: I x = 1 10 mm 4 Así que, substituyendo valores queda: y B = = m 4.18 mm y B = = m 4.18 mm Como puede observarse, el método de la doble integración, aunque es sencillo, también es bastante laborioso y se hace complejo para quienes no manejan el cálculo integral de manera aceptable. Por tal razón, se buscó simplificar el trabajo, integrando previamente dos veces las funciones de singularidad, como se muestra en la tabla. ΣF y = R C = 0 Ejemplar 1. Julio-diciembre de 015 4

5 ISSN Tabla.- funciones algebraicas de singularidad para los diferentes tipos de cargas Caso Carga Momento flexionante 1 M 0 P M C = 0 M A + R A = 0 M a + 8R A = 85 Resolviendo el sistema de ecuaciones: M a = 8.7 kn m R A = 58.4 kn Sumando fuerzas con respecto al eje y: q 4 4 F y = R C = 0 4 q 10b 5 Considerando: R C = kn x = 5 Método algebraico Para el caso de la misma viga hiperestática analizada por el método de la doble integración, se desarrolla la ecuación de la elástica, considerando los valores de las funciones de singularidad, mostradas en la tabla : y 8 = 0 = M a x 0 + R A x x x 5 4 M a 8 + R A = 0 M a + 85.R A = Calculando momentos estáticos con respecto a C: EIy 5 = = kn m Substituyendo los valores de E e I: y 5 = m 4.17 mm Como se puede observar, el resultado obtenido es igual al determinado por el método anterior, sólo que se emplearon menos operaciones y no se hizo necesario el conocimiento del cálculo integral. Sólo se ocupó el álgebra elemental que se estudia en el nivel de educación media básica. Conclusión Como se ha podido comprobar, el resultado obtenido con ambos métodos es igual, lo cual comprueba la validez de Ejemplar 1. Julio-diciembre de 015 5

6 ISSN nuestra propuesta como un método de enseñanza fácil y confiable. Cabe mencionar que aún se sigue trabajando con este método para el caso de otros diferentes tipos de vigas hiperestáticas, para aplicarlo en problemas de ingeniería inclusive en la práctica profesional. La idea es simplificar el trabajo de calcular las deflexiones en las vigas hiperestáticas de una manera fácil pero confiable, teniendo presente que a mayor número de operaciones a realizar, mayor probabilidad de equivocarse se tiene Referencias R. R. Craig Jr. (00). Mecánica de Materiales (ª ed.). México: CECSA R. C. Hibbeller. Mecánica de Materiales (er ed.). México: Prentice Hall. M. C. Lechuga. (008). Ecuaciones Universales de la Curva Elástica (1ª ed.). México: IPN. W. F. Riley, L. D. Sturges, D. H. Morris. (1999). Mechanics of Materials (5 th ed.). USA: John Wiley&Sons, Inc. E. P. Popov. (000). Mecánica de Sólidos (ª ed.). México: Pearson Educación. A. Pytel, F. L. Singer. (1994). Resistencia de Materiales (4ª ed.). México: Alfaomega. Ejemplar 1. Julio-diciembre de 015

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