INTERSECCIONES. POSICIONES RELATIVAS. DISTANCIAS

Transcripción

1 INTERSECCIONES. POSICIONES RELATIVAS. DISTANCIAS OBJETIVOS Recordar los principios que rigen las intersecciones geo - métricas entre recta y plano y de estos entre sí, para apli - car, con dominio, el método más idóneo en cada caso Recordar y manejar con claridad mental los fundamentos o prin cipios geométricos que rigen en el espacio sobre pa - ra le lismo y perpendicularidad entre rectas y planos. Resolver problemas de mínimas distancias entre puntos, rec tas y planos del espacio, utilizando, como herramienta ba se, el sistema diédrico de representación. 1 INTERSECCIÓN ENTRE PLANOS Dos planos no paralelos se cortan según una recta. Para hallarla bastará determinar dos de sus puntos, o bien, un solo punto, si se conoce la dirección de esta recta. Tres planos no paralelos o no comunes con una recta se cortan en un punto. Si los planos α (α 1 - α 2 ) y β ( β 1 - β 2 ) vienen dados por sus trazas (fig. 1), la recta intersección i(i - i ) se obtiene uniendo los puntos de intersección I 1 e I 2 de las trazas correspondientes u homónimas de cada plano. Las trazas horizontales α 1 y β 1 se cortan en I 1 (punto traza horizontal de la recta intersección), y las trazas verticales α 2 y β 2 se cortan en I 2 (punto traza vertical de la recta intersección). En diédrica la unión de las proyecciones homónimas de los puntos traza, determina las proyecciones i e i de la recta intersección. 2 INTERSECCIÓN DE RECTA Y PLANO La intersección de una recta r con un plano α se conoce como punto de intersección (I). Una recta atraviesa un plano si la recta no es paralela al plano. En general, para hallar el punto común se siguen los pasos siguientes (fig.2): - Por la recta r se hace pasar un plano auxiliar π cualquiera (preferentemente, por su sencillo trazado y singular posición, un proyectante). - Se halla la recta i de intersección del plano α dado con el plano proyectante horizontal π. - El punto I, común a la recta r con la recta i obtenida, determina el punto intersección de la recta r con el plano α dado. 2.1 Punto intersección de una recta con un plano dado por sus trazas. Sea la recta r y el plano α dado por sus trazas. Siguiendo los pasos anteriores, se comienza por trazar un plano auxiliar π (proyectante) que contenga a la recta r (fig. 2.1) y, a continuación se determina la recta i (intersección de α con π) que corta a la recta r en el punto I buscado. - Paso 1.- En la ilustración se ha trazado el plano de corte π, proyectante horizontal, que contiene a la recta r : su proyección horizontal r es coincidente con la traza π 1 y con la proyección horizontal i de la recta intersección i del plano proyectante π con el ABC. Obtenidos directamente los puntos 1 y 2 se hallan sus correspondientes 1 y 2 que definen la proyección i (el punto 1 está situado en la recta AB y el punto 2 en la recta AC). - Paso 2.- La proyección vertical i de la recta intersección corta a la proyección r de la recta dada en el punto I, proyección vertical del punto intersección buscado. Su correspondiente proyección horizontal I, dado que el punto pertenece a la recta, es inmediata. En los ejercicios de intersección de recta y plano se supone que el plano es opaco; lo que trae consigo que a partir del punto común de la recta con el plano, ésta quede oculta. El análisis de la posición relativa de la recta y el plano, permite determinar la visibilidad de la recta en proyección. Este análisis se efectúa mediante la observación de las coordenadas relativas de un punto de la recta, aparentemente común con el plano. Así, para analizar partes vistas y ocultas en la proyeccion vertical (alzado), se verifica su correspondencia de alejamientos relativos sobre la proyección horizontal (planta): será visto el elemento geométrico más próximo al observador. Paralelo análisis cabe realizar para obtener partes vistas y ocultas en la proyección horizontal (planta), pero ahora verificando su correspondencia relativa de cotas en la proyección vertical (alzado). 2.2 Intersección de recta y plano dado por tres puntos o dos rectas coplanarias. Método del plano de corte proyectante. En la práctica los planos que componen los cuerpos están delimitados por rectas (aristas) y puntos (vértices) que definen sus caras poligonales. Por ello, lo común es considerar un plano dado por tres puntos A,B,C o por dos rectas (fig.2.2). En la ilustración se parte de considerar como datos, la recta r y el plano ABC. Para hallar el punto común de la recta y el plano se sigue el mismo proceso que en el caso anterior cuando se conocían las trazas del plano; el denominado método del plano de corte proyectante. 133

2 2.3 Intersección de recta y plano dado por tres puntos o dos rectas coplanarias. Método de la vista auxiliar (plano de canto). Este método también puede emplearse para encontrar la intersección entre una recta y un plano. En la fig. 2.3 se dan como datos la recta t, definida por los puntos M y N, y el plano dado por tres puntos A, B,C. Para hallar el punto intersección de ambos elementos se procede como sigue: - Paso 1.- En este método el plano ABC se debe visualizar como un plano de canto (proyectante vertical), lo que trae consigo determinar una vista auxiliar que le sitúe en esa posición; de tal mane - ra que todos los puntos que están sobre él se encuentran representados sobre una recta de canto. Con apoyo de una recta horizontal h(h -h ) del plano ABC se consigue la dirección de proyección hacia el nuevo plano vertical de referencia (V 1 ) que transforma el plano oblicuo en proyectante vertical. La nueva proyección de la recta t se obtiene, asimismo, manteniendo constantes las cotas de dos cualesquiera de sus puntos, tales como M y N; resultando el segmento M 1 N 1 co - mo nueva proyección vertical de la recta. - Paso 2.- El punto intersección I 1, obtenido en la proyección auxiliar, se traslada siguiendo las direcciones de proyección entre vistas para determinar I y I como proyecciones horizontal y vertical del punto intersección, en sus vistas diédricas iniciales. 3 INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS DADOS POR TRES PUNTOS Ya analizamos al inicio de esta Unidad Didáctica la intersección entre planos, estudiando su obtención cuando se partía de conocer las trazas de ambos. En este caso, la recta intersección quedaba definida por la unión de los puntos de corte de las trazas homónimas. Ahora vamos a plantear cómo resolver el problema de intersección de dos planos, cuando estos vienen dados por tres puntos o por dos rectas coplanarias. Al igual que se ha visto en la intersección de recta y plano, expondremos su resolución por los dos métodos ya conocidos: - Mé todo de la vista auxiliar y - Método del plano de corte proyectante. 3.1 Método de la vista auxiliar. En la fig. 3.1, se parte de conocer las vistas alzado y planta de dos planos dados por tres puntos A,B, C y P,Q,R respectivamente; y lo que se desea es determinar la recta intersección entre ambos. Método.- Se crea una vista auxiliar que conduzca a uno de los planos (en la figura el correspondiente al triángulo PQR), a proyectarse como un plano proyectante vertical (de canto). El plano ABC, condicionado por la nueva proyección vertical, dibuja la proyección A 1 B 1 C 1 conservando todos sus puntos las cotas iniciales. En esta vista auxiliar, la vista de canto de PQR atraviesa al plano ABC por los puntos L y N. Trasladados dichos puntos a las vistas iniciales (primero sobre la planta y después sobre el alzado) se obtiene la recta intersección entre los planos en su posición inicial. Por úl - timo, se visualizan las partes vistas y ocultas de cada proyección diédrica. 134

3 3.2 Método del plano de corte proyectante. Como en el método anterior, se parte de conocer la proyección vertical (alzado) y la correspondiente proyección horizontal (planta) de los planos ABC y PQR (los mismos que se han planteado para explicar el método anterior), y se requiere determinar la recta intersección entre ellos por medio de planos de corte proyectantes. El método consiste en hallar dos puntos de la recta común a ambos planos; los cuales se obtienen mediante la intersección de una recta perteneciente a uno de ellos con el otro, por partida doble (fig. 3.2). - Paso 1.- En la ilustración se ha determinado el punto M como intersección de la recta PR perteneciente al plano PQR con el plano ABC. - Paso 2.- Análogamente, el punto N es la intersección de la recta BC, perteneciente al plano ABC, con el plano PQR. El segmento MN define la recta común de los planos considerados. El proceso seguido es idéntico al expuesto en el epígrafe 2.2,donde se estudia la determinación del punto intersección de una recta con un plano; allí se hizó pasar por la recta un plano proyectante horizontal y en la ilustración que nos ocupa se ha trabajado con planos proyectantes verticales (de canto). - Paso 3.- Una vez determinados los dos puntos M(M -M ) yn(n -N ) y con ello el segmento MN común a los dos planos, se hace necesario determinar las partes vistas u ocultas de cada uno de ellos. Las partes vistas y ocultas en cada proyección, se consigue con el análisis de las distancias relativas en la zona común. 4 PARALELISMO Todos los sistemas de representación fundamentados en la proyección cilíndrica, como sucede con el sistema diédrico, mantienen invariables dos propiedades básicas para la representación: la proporcionalidad entre segmentos y el paralelismo entre rectas, entre planos y entre rectas y planos. 4.1 Paralelismo entre rectas. Recordemos (fig. 4.1.a), que: «Si dos rectas a y b son paralelas también lo son sus proyecciones a y b sobre un plano π cualquiera». No es cierto, en cambio, lo recíproco (condición necesaria pero no suficiente), ya que aunque sean paralelas las proyecciones, por ejemplo b y c sobre un mismo plano π de las rectas del espacio b y c, no se puede asegurar que las rectas (b y c) lo sean. No olvidemos (fig. 4.1.b), que: «Cuando son paralelas las proyecciones de dos rectas sobre dos planos distintos secantes las rectas del espacio son, también, paralelas». Si la proyección a es paralela a la b y además la proyección a es paralela a la b las rectas a y b son paralelas. En diédrico las rectas de perfil son una excepción de esta propiedad. Todas ellas tienen sus proyecciones horizontales y verticales perpendiculares a la LT y, por tanto, paralelas entre sí; sin embargo no son, en general, paralelas. 135

4 4.2 Paralelismo entre recta y plano. «Para que una recta sea paralela a un plano basta que sea paralela a una recta de dicho plano». En la fig. 4.2, la recta p es paralela al plano α si es paralela a la recta q contenida en dicho plano. En este caso la recta p no corta al plano en ningún punto (condición de paralelismo de recta y plano). 4.3 Paralelismo entre planos. «Dos planos paralelos cortan a un tercer plano según rectas paralelas». En la fig.4.3, si los planos α y β son paralelos y cortan a un tercer plano H o V, las trazas horizontales α 1 y β 1, así como sus correspondientes trazas verticales α 2 y β 2, son paralelas entre sí. En consecuencia, en el sistema diédrico, los planos paralelos tienen sus trazas homónimas paralelas: α 1 paralela a β 1 y α 2 paralela a β 2. 5 PERPENDICULARIDAD En el sistema diédrico, en contra de lo que sucede en paralelismo, dos rectas que son perpendiculares, o dos planos que son perpendiculares, no guardan relación singular entre sí; es decir, que la perpendicularidad no se conserva en el paso de la realidad del espacio a la proyección. 5.1 Recta perpendicular a un plano. Recordemos que si una recta r es perpendicular a un plano α (fig.5), será perpendicular a todas las rectas contenidas en él y, por consiguiente, a su traza horizontal α 1 ; por ello, la proyección r de la recta será perpendicular a la traza α 1 del plano. Idéntico razonamiento puede hacerse con respecto al plano vertical de proyección. Por tanto, puede decirse que: «Para que una recta sea perpendicular a un plano ha de verificarse que las proyecciones de la recta sean perpendiculares a las trazas homónimas del plano». Así, si por un punto P se desea trazar una recta r perpendicular al plano α (fig. 5.1), será suficiente con dibujar por P y P las proyecciones r y r de la recta perpendiculares a las respectivas trazas del plano, como se observa en la ilustración. 5.2 Plano que pasa por un punto dado y es perpendicular a una recta. Análogamente, para trazar por un punto Q un plano α perpendicular a una recta r (fig. 5.2), bastará con trazar por las proyecciones del punto (Q -Q ) una horizontal h del plano α, cuya proyección h será perpendicular a la proyección horizontal r de la recta dada. El problema también puede resolverse utilizando una recta frontal del plano α, cuya proyección vertical f ha de ser perpendicular a la proyección vertical r de la recta dada. En la fig. 5.2 puede verse cómo por el punto traza vertical H 2 de la horizontal h, que pasa por el punto Q, se ha dibujado la traza α 2, perpendicular a r ; y por el punto de corte de dicha traza con la línea de tierra se dibuja la traza horizontal α 1, perpendicular, asimismo, a la proyección horizontal r de la recta considerada. 6 DISTANCIAS 6.1 Distancia de un punto P a un plano α. Es la magnitud del segmento PI, comprendido entre el punto P y el pie de la perpendicular trazada al plano α, desde dicho punto (fig. 6.1). 6.2 Distancia de un punto Q a una recta r. Es la magnitud del segmento QJ, perpendicular a la recta r. Esta distancia se consigue trazan - do por el punto Q, un plano α perpendicular a la recta r que la atraviesa en punto J. 6.3 Distancia entre rectas paralelas r y s. Viene dada por la magnitud del segmento MN, perpendicular a ambas rectas. Este problema se reduce al caso anterior, al tener que determinar la mínima distancia de un punto cualquiera M de una de las rectas, a la otra. 6.4 Distancia entre planos paralelos. Es la magnitud del segmento AB cuyos extremos son los puntos de intersección de los planos considerados, con una recta perpendicular a ambos: por un punto A de uno de ellos, se traza la perpendicular que corta al plano paralelo en B. 136

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