Matemáticas Discretas. Tema 2. Introducción a la teoría de núm

Transcripción

1 Matemáticas Discretas. Tema Departamento de Ciencias Computacionales. Universidad Autónoma del Estado de Morelos. October 3, 2016

2 Tabla de contenidos. 1 Del temario. 2

3 Contenido del subtema 2.3 Criptografía de clave publica. Cifrado y descifrado del sistema criptográfico RSA.

4 Teorema. () Si p es un número primo, a Z, y p a, entonces a p 1 1(modp).

5 Ejemplo. Calcular (mod13). Solución. Por el teorema pequeño de Fermat, tenemos que si p es primo, entonces 7 p 1 1(modp). Sea p = 13 entonces (mod13). Así (mod13); (7 12 ) (mod13); (7 12 ) (mod13) Por lo tanto, (mod13) = (mod13) (mod13)

6 Teorema. Si p es primo, entonces para toda a Z, a p a(modp). Teorema. Sea n Z con n > 1. Si existe a Z tal que a n a(modn), entonces n no es primo.

7 Definición. (Cifradores de corrimiento.) Los cifradores de corrimiento se basan en encriptar mediante desplazar cada letra un número dado de posiciones en el alfabeto. Por lo anterior, usan funciones del tipo f(p) = (p + k)(mod26) Mientras que para la desencriptación se usa f 1 (p) = (p k)(mod26) El entero k es llamado la llave de encriptación. Para que esta encriptación funcione esta llave debe ser privada, por lo que los cifradores de corrimiento pertenecen a la encriptación de clave privada.

8 Figure : Asignación de numérica del alfabeto.

9 Por ejemplo, supongamos que queremos cifrar la palabra hola. Los valores numéricos correspondientes son 8, 15, 12, 1. Así, usando el cifrador de desplazamiento, con k = 1, se tiene f(8) = 9 mod 27 = 9 i ; f(15) = 16 mod 27 = 16 p ; f(12) = 13 mod 27 = 13 m ; f(1) = 2 mod 27 = 2 b ; (Recordar que a mod b = c si y solo si a b = k + c para algún k Z, esto es c es el residuo de dividir a entre b). Así la palabra hola se cifra en ipmb.

10 Definición. (Cifradores afines.) Los cifradores afines se basan en los de corrimiento, pero usan funciones del tipo f(p) = (ap + b)(mod26) donde a, b Z son elegidos de tal forma que f sea una biyección (lo cual sucede si y solo si mcd(a, 26) = 1). Para la desencriptación, supongamos que c = (ap + b)(mod26) con mcd(a, 26) = 1. Ahora hay que expresar a p en terminos de c, así p ā(c b)(mod26), donde ā es el inverso de a módulo 26.

11 Definición. (Criptosistema.) Es una cinco-tupla (P, C, K, E, D), donde P es el conjunto de cadenas de texto, C es el conjunto de cadenas cifradas, K es el espacio de llaves (claves), E es el conjunto de funciones de encriptación, y D es el conjunto de funciones de desencriptación. Denotamos por E k a la función en E que corresponde a la clave k y por D k a la función de desencriptación en D que desencripta el texto cifrado por E k, esto es, D k (E k (p)) = p para todas las cadenas de texto p. Ejemplo. Describir la familia de cifradores de corrimiento como un criptosistema.

12 Sistema RSA. Cada individuo tiene una clave de encriptación (n, e) donde n es el módulo y se define como el producto de dos números primos grandes (digamos de 200 digitos cada uno), esto es, n = pq; y e es el exponente tal que mcd(e, (p 1)(q 1)) = 1. Para encriptar mensajes usando una llave (n, e) primero es necesario traducir cada letra del mensaje en un número de dos digitos. Esto es, incluimos un cero inicial a los números correspondientes a las letras de la A a la J. Entonces concatenamos esos números de dos digitos en una cadena. Luego dividimos ésta cadena en bloques de 2N digitos, donde 2N es el mayor entero par tal que el número con 2N digitos no excede a n.

13 (Cuando sea necesario se agregan x s para homogenizar el tamaño del último bloque con los demas.) Ahora se ha traducido el mensaje M en una sucesión de enteros m 1, m 2,..., m k para algún entero k. Definición. (Encriptación RSA.) La encriptación RSA transforma cada bloque m i en un bloque cifrado c i, mediante la función c i = m e i (modn). (1)

14 Ejemplo. Encriptar STOP usando RSA con llave (2537,13). Solución. Primero debemos expresar a n = 2537 como un producto de dos primos, para esto notemos que 2537 = (43)(59), con lo cual p = 43 y q = 59; también hay que verificar que mcd(e, (p 1)(q 1)) = 1, y en efecto mcd(13, (42)(58)) = 1. Ahora, para encriptar, primero traducimos STOP a su equivalente numérico. Luego agrupamos los números correspondientes en bloques de 4 digitos ya que 2525 < 2537 < Y obtenemos S 18, T 19, O 14, P 15, al agrupar 1819 y Ahora se usa la ecuación (1) para obtener los bloques encriptados

15 Ejemplo (mod2537) = 2081 y (mod2537) = Con lo que el mensaje encriptado es Para descriptar usando RSA se usa la función M = C d (modn), donde d es un inverso de e módulo (p 1)(q 1).

16 Ejemplo. Desencriptar si el mensaje fue encriptado como en el ejemplo anterior. Se usaron n = (43)(59) y e = 13, entonces se necesita encontrar un d inverso de e módulo (42)(58) = En este caso d = 937. Y la función de descifrar es M = C 937 (mod2537) Con lo cual, (mod2537) = 0704 y (mod2537) = Y al traducir los digitos a letras el mensaje es HELP.