UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

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1 UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA DISEÑO Y SIMULACIÓN DE UN INSTRUMENTO PARA LA ESTIMACIÓN DE TORQUE DE UN MOTOR PASO A PASO MEMORIA PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL ELECTRICISTA RODRIGO ORLANDO BADÍNEZ LARA PROFESOR GUÍA: JORGE OSVALDO ROMO LÓPEZ MIEMBROS DE LA COMISIÓN: HÉCTOR MILER AGUSTO ALEGRÍA JORGE MARCO ANTONIO LÓPEZ HIDALGO SANTIAGO DE CHILE JUNIO 27

2 RESUMEN DE LA MEMORIA PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL ELECTRICISTA POR: RODRIGO BADÍNEZ LARA FECHA: 2/8/ 27 PROF. GUÍA: Sr. JORGE ROMO LÓPEZ DISEÑO Y SIMULACIÓN DE UN INSTRUMENTO PARA LA ESTIMACIÓN DE TORQUE DE UN MOTOR PASO A PASO El objetivo general del presente trabajo de título, fue diseñar y simular un instrumento para la estimación de torque de un motor paso-a-paso, utilizando sólo mediciones de corrientes y voltajes, con el fin de proveer una herramienta que permita realizar mantenimiento predictivo, a partir de los síntomas que la señal de torque pueda indicar. Para la realización de esta investigación, fue necesario en primer lugar efectuar un análisis respecto a las características de diseño y operación de los motores paso-a-paso, también conocidos como stepper motors. A partir de esto, se obtuvo un modelo que permite simular computacionalmente el comportamiento de este motor. Con el fin de estimar la posición del rotor, necesaria para el cálculo del torque, se realizó una implementación del algoritmo Filtro de Kalman Extendido. Como resultado final, se crearon dos códigos de subprograma en Matlab. El primero de ellos, permite simular el motor en distintas condiciones de operación; el segundo, permite estimar el torque desarrollado por el motor utilizando sólo las corrientes y voltajes de sus fases, cumpliendo así con el objetivo general de esta Memoria. En particular, el instrumento diseñado es capaz de detectar situaciones anómalas de la carga, como por ejemplo cambios bruscos de ésta, que se traducen en estimaciones aceptables de la posición, de la velocidad, de las corrientes y del torque del motor. En efecto, el error en la estimación del torque desarrollado por el motor no supera el 3% en ningún instante y el error en la estimación del torque medio desarrollado es menor a un 1%. Se concluye que se diseñó con éxito un estimador para el torque desarrollado por un motor paso-a-paso de imán permanente, con una precisión aceptable, el cual únicamente utiliza mediciones de voltajes y corrientes de fase. Cabe señalar que el programa realizado sólo permite efectuar estimaciones para motores bifásicos, pero que las ecuaciones encontradas hacen posible el desarrollo nuevos subprogramas para motores con más fases, dejando esto como un desafío para futuras investigaciones. Finalmente, se propone que el estimador diseñado en este trabajo sea llevado a la práctica, desarrollando físicamente un instrumento electrónico que lo implemente.

3 Dedicado a los Pioneros

4 Agradecimientos Este trabajo no podría haberlo concretado sin el apoyo de personas que han sido fundamentales para mí en este proceso. En primer lugar debo agradecer a los profesores que me han formado como ingeniero, en especial al Sr. Jorge Romo, mi profesor guía, quien me apoyó incluso en los momentos cuando no obtenía resultados satisfactorios. También debo mencionar a los profesores Sr. Héctor Agusto y Sr. Jorge López, quienes me ayudaron con las correcciones del presente informe. No puedo dejar de nombrar al Sr. Pedro Mardones, quien amablemente me orientó y ayudó a elegir el tema de memoria, mostrándome la necesidad desarrollar un instrumento como el diseñado. Por supuesto debo agradecer también a mis amigos, quienes me ayudaron a sobrevivir en la universidad al brindarme su impagable amistad y una cantidad innumerable de momentos divertidos, entretenidos y chistosos. Imposible no nombrar a Rodolfo (Loli), Roberto (Ñoño), Niolai (Choo) y David (Chen), como tampoco es posible omitir a los que me han acompañado desde la época del colegio: Juan José y Conrado. Pero la mayor de los agradecimientos se lo debo a mi familia, la cual me ha brindado su apoyo incondicional, tanto económico como moral, durante todos estos años. Pero más importante que eso, mi familia me ha entregado amor y comprensión, tanto en los momentos de felicidad como en los de cansancio y frustración. En especial agradezco a mi madre Jeannette, quien me ha apoyado desde siempre, y siempre ha estado ahí para enseñarme cosas tan fundamentales como a valorar las cosas realmente importantes de la vida. También agradezco a mi padre Orlando, quien también siempre ha estado cuando lo he necesitado, apoyándome en las buenas y en las malas. Gracias especiales le doy a mi alegre hermana menor Natalia, ya que es mi compinche invaluable quien me ha ayudado infinitamente a hacer maldades. Y muchas gracias también a mi incondicional abuelita, quien es el mejor apoyo del mundo y se merece lo mejor. El más especial y afectuoso de los agradecimientos es a la mujer que me ha acompañado día y noche mientras terminaba esta memoria, mi polola Romina. Te quiero mucho.

5 Índice general Índice general Índice de figuras Índice de tablas i iii v Capítulo 1 Introducción Objetivos Específicos Estado del arte Hipótesis de trabajo y metodología Alcances Estructura de la memoria... 4 Capítulo 2 Motores Paso-a-Paso Características básicas de los motores paso-a-paso Tipos de motores paso-a-paso Detalles constructivos de los motores de imán permanente Datos de motores en los que se aplicará el estudio Comentarios Capítulo 3 Relación corriente-torque en motores stepper de imán permanente Modelo del Motor Paso-a-Paso Ecuaciones mecánicas y eléctricas para el motor paso-a-paso PM Ecuaciones correspondientes al motor a simular Comentarios Capítulo 4 Observadores y Filtro de Kalman Observadores Filtro de Kalman Modelo del proceso a estimar Algoritmo discreto del filtro de Kalman Determinación de los parámetros Inicialización del filtro Limitaciones del filtro de Kalman Filtro de Kalman Extendido Linealización Discretización... 3 i

6 Algoritmo Estimación de parámetros desconocidos Comentarios Implementación del EKF para el motor paso-a-paso Comentarios Capítulo 5 Simulaciones y Resultados Simulación motor paso-a-paso Simulación en modo full-step Simulación en modo microstepping Simulación Filtro de Kalman Extendido con carga conocida Simulación Filtro de Kalman Extendido con carga desconocida Simulación asumiendo una carga nominal constante Simulación utilizando la carga como parámetro a estimar Comentarios Capítulo 6 Conclusiones Recapitulación del trabajo realizado Aspectos positivos y negativos del trabajo Eventuales aplicaciones del trabajo desarrollado Sugerencias para futuras investigaciones sobre el tema Comentarios finales Referencias 47 Anexo A - Códigos Matlab 5 A.1 stepper_rbl.m... 5 A.2 run_stepper.m... 5 A.3 torque_carga.m A.4 genera_voltajes.m A.5 alman_iteracion_v2.m A.6 ejecución_alman_codigo.m A.7 ejecucion_ekf_codigo.m... 6 A.8 ejecucion_ekf2_codigo.m Anexo B - Diagramas Simulin 75 B.1 sistema_stepper_rbl.mdl ii

7 Índice de figuras Figura Sistema de motor paso-a-paso [14]...6 Figura Esquema del motor VR de 3 fases y de sus devanados [2, 21]...7 Figura 2.3 Avance de un paso en el motor paso-a-paso VR [2, 21]...7 Figura 2.4 Movimientos obtenidos al conmutar las 3 fases en el motor VR [2, 21]...8 Figura Esquema de motor PM con rotor de 2 polos y 2 fases [2, 22]...8 Figura Esquema de motor PM con rotor...8 Figura Estructura del rotor de un motor híbrido [2, 21]...9 Figura Estructura de un motor híbrido simple de 12 pasos por revolución [24]...1 Figura Recorrido en modo Full-Step [24]...11 Figura Paso intermedio en modo Half-Step (entre d y c) [24]...11 Figura 2.11 Esquema de un motor híbrido de 2 fases (4 polos por fase)...12 Figura 2.12 Un motor PM Can-Stac...13 Figura 2.13 Partes principales del motor Can-Stac [24]...13 Figura Motor PM de 24 polos, construcción real Can-Stac [27]...14 Figura Visualización de la interacción dientes del estator con rotor [24]...14 Figura 2.16 Detalle del estator del motor PM Can-stac [27]...15 Figura 3.1 Motor paso a paso genérico (con P=3 y N=4) [15]...18 Figura 4.1 Esquema de un observador...25 Figura 4.2 Diagrama del algoritmo del filtro de Kalman en su versión discreta...27 Figura Modelo del motor paso-a-paso de 2 fases en Simulin (anexo B.1)...37 Figura 5.2 Respuesta del motor a una secuencia de pulsos...37 Figura 5.3 Respuesta del motor a una secuencia de pulsos Figura 5.4 Respuesta del motor a entradas sinusoidales (microstepping)...38 Figura 5.5 Respuesta del motor a entradas sinusoidales (microstepping) iii

8 Figura 5.6 Simulación Filtro de Kalman Extendido con carga conocida...4 Figura 5.7 Corriente de fase medida, estimada y real...41 Figura 5.8 Simulación asumiendo una carga nominal constante...42 Figura 5.9 Simulación utilizando la carga como parámetro a estimar...43 iv

9 Índice de tablas Tabla 3.1 Ecuaciones del motor paso-a-paso PM genérico Tabla 3.2 Ecuaciones simplificadas para el motor paso-a-paso PM de 2 fases y 1 polos. 23 Tabla 4.1 Ecuaciones de predicción del filtro de Kalman discreto Tabla 4.2 Ecuaciones de corrección del filtro de Kalman discreto Tabla 4.3 Sistema lineal obtenido al aproximar el sistema no-lineal... 3 Tabla 4.4 Parámetros del sistema discretizado Tabla 4.5 Parámetros aproximados del sistema discretizado Tabla 4.6 Aproximación lineal discretizada de un sistema no-lineal Tabla 4.7 Ecuaciones de predicción del filtro de Kalman discreto Tabla 4.8 Ecuaciones de corrección del filtro de Kalman discreto Tabla 4.9 Formulación en variables de estado del modelo del motor paso-a-paso Tabla 5.1 Parámetros del motor simulado Tabla 5.2 Parámetros simulación filtro de Kalman Extendido Tabla 5.3 Parámetros simulación filtro de Kalman Extendido para carga desconocida v

10 Capítulo 1 Introducción En general, un motor cumple con la tarea de efectuar algún movimiento o trabajo mecánico, ya sea de empuje o tracción. Un motor eléctrico es un dispositivo que transforma energía eléctrica en energía mecánica; son altamente eficientes y por ello ampliamente utilizados en instalaciones y procesos industriales. Los motores eléctricos pueden ser de baja o alta potencia y, según sea el caso, cumplir el rol de actuador de potencia (como por ejemplo en compresores, ventiladores, correas transportadoras, prensas, etc.) o bien de actuador de control (control de válvulas, posicionadores de instrumentación, rotación controlada a baja velocidad, etc.) [25]. Los motores, como toda maquinaria, sufren desgaste y deterioro progresivo debido al uso y al paso del tiempo. Más allá de que el deterioro puede ser más rápido o más lento, según como sean las características propias de cada motor y las condiciones de uso, es indispensable aplicar las tareas de mantenimiento para extender así su vida útil. El mantenimiento se puede clasificar como correctivo, preventivo o bien predictivo. El mantenimiento correctivo es el más rudimentario y se basa en intervenir el equipo para repararlo o cambiarlo cuando se produce una falla grave. El mantenimiento preventivo, en cambio, tiene como objetivo evitar eventuales fallas, mediante intervenciones periódicas programadas. Ambos tipos de mantenimiento resultan potencialmente costosos y engorrosos cuando el equipo (motor, en este caso) forma parte de sistemas complejos y de gran tamaño. El mantenimiento predictivo o sintomático está orientado a detectar fallas incipientes, cuando recién se están comenzando a gestar. La falla que se está gestando se detecta observando en línea alguna variable (corriente, velocidad, temperatura, vibraciones, etc.). Mediante un análisis del registro de ésta puede determinarse si existe alguna anomalía que se deba a una falla incipiente. Si es así, habrá tiempo para programar adecuadamente la salida de operación del equipo, para efectuar las reparaciones y ensayos correspondientes. Se evita así que se llegue a una falla franca que detenga el proceso productivo en forma imprevista. La presente Memoria está orientada al mantenimiento que se requiere en los avanzados observatorios astronómicos del norte de Chile, que emplean instrumentos mantenidos a temperaturas criogénicas. El problema específico que aquí se aborda son los motores eléctricos paso-a-paso (o stepper/stepping motors), bifásicos, los que fallan cuando se producen condiciones de alta fricción que alteran el torque del motor, terminando por bloqueando. En el 1

11 contexto del mantenimiento predictivo, lo ideal sería detectar la aparición de estos torques de roce en sus inicios, para programar adecuadamente su salida de servicio y reparación. En general, para cualquier motor eléctrico, y en especial si son del tipo paso-a-paso, la única forma de realizar un análisis del torque del motor es extrayéndolo físicamente del equipo al que pertenece para enfrentarlo a pruebas directas usando un torquímetro. No existe manera de hacerlo mientras el motor esté en operación, lo cual conlleva a que el tipo de mantenimiento practicable sea preventivo y no predictivo. Considerando lo expuesto, el objetivo de esta Memoria es diseñar un instrumento que permita estimar en tiempo real el torque de un motor paso-a-paso durante su operación, midiendo las corrientes de sus fases y mostrando la forma del torque a partir de los registros de dichas corrientes. Este trabajo tuvo su origen en el Observatorio Europeo Austral, cuyos sistemas requieren de una herramienta como la planteada Objetivos Específicos Los objetivos específicos de este trabajo son los siguientes: Analizar las características de diseño y operación de los motores paso-a-paso, en particular relacionando la corriente con el torque desarrollado por el motor. Desarrollo de un diseño teórico de un instrumento para la estimación de torque en tiempo real para motores paso-a-paso bifásicos, basado en mediciones de corrientes de sus fases de alimentación. Simular el comportamiento del sistema propuesto Estado del arte En el mercado existe una gran variedad de torquímetros capaces de efectuar análisis de torque a motores paso-a-paso. Los más extendidos son transductores de torque por reacción, transductor de torque rotativo y el transductor de torque por LVDT (Linear Variable Differential Transformer). Sin embargo todos ellos requieren, para su utilización, la extracción del motor de su lugar de operación pues necesitan acceso al eje. No existe en el mercado un dispositivo que permita estimar de manera externa el torque de un motor paso-a-paso en operación. En cuanto al desarrollo teórico, existen a la fecha varios artículos de publicaciones científicas que señalan métodos para estimar algunas o todas las variables de estado de un motor paso-apaso (en general sólo para motores de 2 fases), utilizando diversa información de entrada para ello. Los resultados de las estimaciones son de distinta precisión según el método utilizado. En [1] se muestra un algoritmo optimizado del Filtro de Kalman Extendido utilizado para estimar la posición y velocidad del rotor, midiendo las corrientes en cada fase. En [2] los mismos autores muestran para el mismo sistema una versión Steady-State del filtro de Kalman, el cual necesita menos capacidad computacional. Existen también artículos [3-7] que tratan sobre controladores 2

12 de posición y/o velocidad por retroalimentación, los cuales mejoran sustancialmente el desempeño del motor paso-a-paso comparándolo con el esquema clásico de lazo abierto, y algunos utilizan estimaciones del estado para la retroalimentación, como por ejemplo en [8-9]. Las publicaciones [1-11] tratan sobre como maximizar la eficiencia del motor usando información estimada del torque, y sobre la identificación de parámetros de un motor paso-apaso, respectivamente. Además de las publicaciones anteriores, [12-13] tratan sobre la implementación de torquímetros sin sensores para motores de inducción, los cuales usan información de voltajes y corrientes para realizar la estimación. No se encontraron implementaciones similares para motores paso-a-paso Hipótesis de trabajo y metodología La hipótesis de trabajo fundamental fue suponer que utilizando sólo mediciones de la corriente consumida por el motor, es posible obtener una buena estimación del torque. Por ello se tuvo como restricción que el instrumento diseñado debía utilizar como entrada sólo las mediciones de corriente en las fases del motor. La metodología de trabajo fue la siguiente: primero se realizó una investigación teórica sobre los motores paso-a-paso, para conocer sus características y comprender su funcionamiento. Una vez concluida esa etapa, se desarrolló un modelo del motor paso-a-paso, adecuado para las siguientes etapas. Luego se efectuaron simulaciones computacionales del modelo, para un motor de las características deseadas. Posteriormente se realizó una nueva investigación teórica, para encontrar un observador adecuado que permitiera estimar el torque buscado. Finalmente, se simuló el desempeño del observador, para analizar su desempeño. En resumen, se dividió el trabajo en 2 etapas consecutivas: una orientada hacia el motor pasoa-paso y la otra hacia el observador. En ambas se cubrieron los siguientes aspectos: Investigación teórica Desarrollo de un modelo del sistema Validación del diseño utilizando simulaciones computacionales 1.4. Alcances Este trabajo de titulación se centró principalmente en el desarrollo teórico del instrumento. Se limitó el diseño específicamente a un motor paso-a-paso de imán permanente, de 2 fases. Para una implementación más precisa del diseño, se requeriría realizar un adecuado proceso de identificación de los parámetros del motor, tarea que se consideró fuera del alcance del trabajo. 3

13 1.5. Estructura de la memoria La presente Memoria se ha estructurado dividiéndola en 6 capítulos, que se describen a continuación: El Capítulo 1 entrega un marco general del documento y del trabajo mismo. Se muestra la motivación, objetivos, hipótesis del trabajo, junto con un breve resumen de la metodología utilizada y los alcances que tuvo este trabajo de título. El Capítulo 2 proporciona antecedentes generales sobre los motores paso-a-paso, y antecedentes específicos sobre el tipo de motor que se ha considerado en esta memoria. En el Capítulo 3 se desarrolla un modelo para el motor paso-a-paso, obteniendo así la expresión que relaciona el torque desarrollado por el motor con las corrientes de fase. El Capítulo 4 trata sobre observadores y el filtro de Kalman. Resume sus antecedentes y distintas versiones, junto con sus algoritmos. El Capítulo 5 entrega los resultados de las simulaciones, tanto del modelo del sistema como del observador. El Capítulo 6 resume los resultados obtenidos del trabajo, y muestra las conclusiones obtenidas. 4

14 Capítulo 2 Motores Paso-a-Paso Los motores paso-a-paso, conocidos también como motores stepping/stepper, son dispositivos electromecánicos que convierten una entrada de pulsos digitales a movimientos discretos e incrementales. Fueron creados a partir de la necesidad de disponer de un dispositivo capaz de producir un desplazamiento angular definido y de mantener su posición frente a un torque aplicado al eje. Se caracterizan por tener la capacidad de proveer posicionamiento preciso, con excelente repetibilidad, sin necesidad de emplear retroalimentación [15, 2]. Con la masificación de la computación y sistemas digitales, y el desarrollo del control digital en el campo del control automático, los motores paso-a-paso han tenido un gran auge reemplazando a los motores de corriente continua en diversas aplicaciones, debido principalmente a su naturaleza digital (no necesitan utilizar conversores D/A) [26]. Aplicaciones de este tipo de motores se encuentran por ejemplo en robótica, periféricos computacionales, cámaras digitales, máquinas de control numérico CNC, control de procesos como controladores de válvulas, instrumentos de medición y maquinaria industrial automatizada, entre otras [16, 2]. El presente capítulo entrega una visión general sobre el funcionamiento electromecánico de los motores paso-a-paso, además de una descripción y diferenciación de los distintos tipos de motores existentes. Adicionalmente se incluye información específica sobre los motores de imán permanente utilizados en esta memoria Características básicas de los motores paso-a-paso La característica distintiva de un motor paso-a-paso es, como lo indica su nombre, su capacidad de avanzar por pasos. Cada paso de rotación es respuesta a un pulso de entrada y se refiere un incremento angular constante en la posición del rotor. El motor es capaz tanto de mantenerse detenido en cierta posición, avanzar o retroceder un número cualquiera de pasos, como también girar a una velocidad proporcional a la frecuencia de los pulsos de entrada, siempre como una sucesión de avances discretos o pasos. 5

15 Un sistema de motor paso-a-paso consiste de tres elementos básicos, algunas veces combinados con una interfaz al usuario (como un computador o PLC), como se muestra en la Figura 2.1 [14]. El primer elemento, el controlador, es un microprocesador capaz de generar pulsos y señales de dirección al driver. El driver o amplificador, convierte las señales de pulsos generados por el controlador en el voltaje necesario para energizar los devanados del motor. El último elemento es el motor paso-a-paso en sí. Figura Sistema de motor paso-a-paso [14] En general los motores paso-a-paso son comparativamente de bajo costo, robustos, de rápida aceleración y respuesta. No contienen escobillas, lo que los hace más duraderos en el tiempo y con menor necesidad de mantenimiento con respecto a los motores DC. Su error de posición no es acumulativo si son controlados de manera correcta, esto es sin producir saltos de pasos. Pueden lograr un amplio rango de velocidades modificando la frecuencia de los pulsos. Permiten un control digital de la posición y velocidad [15]. Una de las ventajas más significativas de los motores paso-a-paso con respecto a otros motores eléctricos es su capacidad de poder ser controlado con precisión con un esquema de control de lazo abierto. Un control de lazo abierto implica que no es necesario retroalimentar al controlador con información de la posición, eliminando la necesidad de utilizar sensores de posición [16]. Los problemas típicos que presentan estos motores son resonancia a altas velocidades [17], torque decreciente al aumentar la velocidad, y la existencia de sobreoscilación con un tiempo relativamente lento de asentamiento para los pasos [18]. Muchos de estos problemas se resuelven o reducen al utilizar un esquema de control de lazo cerrado por retroalimentación de la posición, lo cual aumenta considerablemente el rendimiento del motor [5,7] con la desventaja de aumentar bastante el costo del sistema Tipos de motores paso-a-paso Los tres tipos básicos de motores paso-a-paso son el motor de reluctancia variable, el motor de imán permanente y el motor híbrido, que resulta de una combinación de los dos anteriores. En todos ellos, sólo en el estator existen bobinas. El estator está formado por una serie de polos inductores rodeados por sus devanados de excitación, y puede ser de un número variable de fases. El rotor en cambio puede ser de acero laminado, o bien ser un imán de magnetización permanente, según el tipo de motor. 6

16 Figura Esquema del motor VR de 3 fases y de sus devanados [2, 21] Motor paso-a-paso de reluctancia variable (VR) Este tipo de motor se caracteriza por no poseer imán permanente, en vez de ello su rotor es un bloque dentado de acero o hierro dulce laminado, con salientes y ranuras como se observa en la Figura 2.2. Cuando los devanados del estator son excitados por corrientes, los polos del mismo se magnetizan y atraen al material magnéticamente permeable del rotor. A la vez, esto mismo se puede entender aplicando el principio de minimizar la reluctancia a través de la trayectoria del campo magnético aplicado. El rotor gira hasta encontrar el punto de menor reluctancia, lo que ocurre al alinearse los polos energizados del estator con los más cercanos del rotor. Al alternarse las bobinas energizadas del estator, el campo magnético inducido va girando, produciendo el desplazamiento del rotor como se ilustra en las figuras 2.3 y 2.4 para un motor VR de 3 fases. [14, 26] Figura 2.3 Avance de un paso en el motor paso-a-paso VR [2, 21] En este tipo de motor, cuando no hay excitación no existe ningún flujo magnético, por lo cual el rotor gira libremente (no existe el llamado torque de detención). Cabe mencionar que en estos motores el número de polos del rotor siempre es menor al del estator, para de esta manera asegurar que sólo un conjunto de polos del estator y rotor se puedan alinear en cualquier instante [19]. Estos motores permiten velocidades de giro mayores que los motores de imanes permanentes, y presentan inercias menores ya que el peso del rotor es menor. Pero tienen un menor rendimiento (salvo para altas velocidades), por lo que son aptos para el movimiento de cargas pequeñas. Además son indiferentes a la polaridad de la corriente, por lo que requieren de una configuración distinta de drivers que el resto de los motores paso-a-paso. 7

17 Figura 2.4 Movimientos obtenidos al conmutar las 3 fases en el motor VR [2, 21] Existe una versión del motor de reluctancia variable llamada multistac, en la cual el motor es dividido -según su largo axial- en secciones aisladas magnéticamente, lo que permite obtener ángulos de paso menores que en la versión tradicional. En este tipo de motor, cada stac corresponde a una fase, y se tiene el mismo número de dientes tanto en el estator como en el rotor. Por cada fase, las bobinas de polos contiguos producen magnetizaciones opuestas debido al sentido de las espiras. En el rotor cada stac o sección está desfasada de la siguiente en un ángulo correspondiente al del ancho de un polo dividido por el número de stacs [2]. Motor paso-a-paso de imán permanente (PM) Los motores paso-a-paso de este tipo funcionan según la interacción que se produce entre el rotor, permanentemente magnetizado, y el campo electromagnético creado por las bobinas del estator. A diferencia del motor de reluctancia variable, el rotor acá no presenta dientes salientes, sino que está magnetizado radialmente con un número variable de polos, de polaridades Norte y Sur alternadas a lo largo de la circunferencia del rotor [14-16]. Las Figuras 2.5 y 2.6 muestran esquemas motores de magnetización permanente de 2 y 4 polos respectivamente, ambas de dos fases. Figura Esquema de motor PM con rotor de 2 polos y 2 fases [2, 22] Figura Esquema de motor PM con rotor de 6 polos y 2 fases [16] El flujo magnético inducido por el estator interactúa con el flujo magnético proveniente del imán permanente del rotor. Cuando ambos flujos están alineados en el mismo sentido, el motor está en un punto de equilibrio estable y no hay torque producido. Cuando los flujos están alineados pero con sentidos opuestos, el rotor está en un punto de equilibrio inestable sin torque 8

18 [19]. Cualquier otra posición angular produce torque en el rotor que tiende a llevarlo al punto de equilibrio estable; el máximo torque se produce al estar los flujos magnéticos perpendiculares entre sí. El motor paso-a-paso de imán permanente es el tipo más extendido en aplicaciones no industriales, pues es el que tiene menor costo de producción. Tiene como ventaja frente a los motores de reluctancia variable, que cuando no está excitado, debido a la atracción entre el imán permanente y el estator, mantiene un torque residual de detención; esto evita que el motor gire libremente al estar desenergizado. La magnetización del rotor mejora la característica de torque de este motor, si se compara con el motor de reluctancia variable. Pese a ello, en la misma comparación, el torque disminuye más abruptamente al aumentar la velocidad [16], por lo que los motores de imán permanente se utilizan esencialmente para bajas velocidades (bajo 1 pasos por segundo). Otra característica importante de estos motores es que, a diferencia de los paso-a-paso de reluctancia variable, son sensibles a la polaridad de la corriente de excitación. Esto implica que necesariamente los drivers para este tipo de motores son más elaborados, puesto que requieren manejar las dos direcciones de corriente en cada una de las fases. Los motores paso-a-paso de magnetización permanente presentan el inconveniente que, como es difícil lograr una magnetización radial con más de 5 polos [16], sus pasos angulares son generalmente grandes, típicamente en el rango de 3º a 7,5º. Por ello son motores de baja resolución angular. Motor paso-a-paso Híbrido El motor híbrido comparte los principios de operación de los motores paso-a-paso de magnetización permanente y los de reluctancia variable. Su rotor es de acero laminado dentado, como en los motores de reluctancia variable, pero su núcleo es un imán permanente concéntrico al eje del motor, magnetizado axialmente con solamente dos polos [2]. Además, el rotor está dividido en dos secciones separadas, ambas desfasadas angularmente entre sí por la mitad del ángulo entre dientes, como se muestra en la Figura 2.7. Por la disposición de las secciones, cada una de ella toma una polaridad magnética distinta. Figura Estructura del rotor de un motor híbrido [2, 21] 9

19 Los dientes del rotor se utilizan para dirigir al flujo magnético, aumentando la eficiencia del motor. Para ilustrar de mejor manera el principio de operación de este tipo de motores, a continuación se detalla el funcionamiento de un motor híbrido simple[24]. Figura Estructura de un motor híbrido simple de 12 pasos por revolución [24] En este caso el rotor tiene 3 salientes por cada sección, y el estator posee 4 polos a lo largo de la extensión del rotor completo (Figura 2.8). Al energizar una de las bobinas, se producen dos polos Norte y Sur los cuales atraen a los salientes del rotor de polaridad opuesta (Figura 2.9.a). Notar que como las secciones del rotor están desfasadas por la mitad del ángulo de separación entre dientes, el resultado neto es análogo a tener un rotor magnetizado radialmente con polos Norte y Sur intercalados. En esta situación sólo hay 3 posiciones estables para el motor, igual a la cantidad de dientes del rotor. Si se cambia la excitación a la otra fase, ahora el campo generado por el estator esta girado en 9º con respecto el anterior. Como resultado de esto se tiene que el rotor gira 3º (Figura 2.9.b). Alternando de ésta manera la excitación de las bobinas (invirtiendo ahora la polaridad de las corrientes por las bobinas), se vuelve a una situación análoga a la original, avanzando 9º (Figuras 2.9.c y d). 1

20 Figura Recorrido en modo Full-Step [24] Si entre los pasos anteriores, se energizan las dos bobinas al mismo tiempo, se obtiene el modo Half-step en el cual el motor avanza en medios pasos angulares como se observa en la Figura 2.1. Este modo de operación es aplicable en todos los motores paso-a-paso Figura Paso intermedio en modo Half-Step (entre d y c) [24] Los motores híbridos reales tienen un número mucho mayor de dientes en el rotor, típicamente 5 por sección, y pueden ser de 2 a 5 fases, lo cual permite alcanzar resoluciones angulares en el esquema normal, de 1.8º hasta.72º por paso respectivamente. El estator de estos motores tiene una construcción de polos salientes dentados, como se muestra en la Figura Sus fases generalmente agrupan varios polos, y utilizan ambas polaridades de corriente. Por esto último utilizan los mismos drivers que los motores de magnetización permanente. 11

21 Figura 2.11 Esquema de un motor híbrido de 2 fases (4 polos por fase) La presencia la magnetización permanente en el rotor aumenta el torque de detención (detent), de contención (holding) y mejora las características dinámicas, si se compara el motor híbrido con los otros tipos de motores paso-a-paso. Estas características, junto a su gran resolución (típicamente desde 3.6º a.72º), hacen que sea el motor paso-a-paso más usado en aplicaciones comerciales. Sin embargo, son por mucho los que tienen mayor costo, debido a su compleja construcción Detalles constructivos de los motores de imán permanente Considerando que en la aplicación de esta Memoria se utiliza un motor del tipo imán permanente, se entregan a continuación detalles constructivos del mismo. La construcción real de un motor de magnetización permanente es considerablemente diferente a los esquemas mostrados en las Figuras 2.5 y 2.6 de la sección anterior, sobretodo en cuanto al estator. Con el fin de obtener un motor económico con la mayor resolución angular posible, se utiliza el estilo de construcción llamado Can-Stac (en español se puede traducir como Pila de Tarros ) [27]. En la Figura 2.12 se muestra un motor de este tipo desensamblado, y en la Figura 2.13 un diagrama detallando sus componentes. 12

22 Figura 2.12 Un motor PM Can-Stac Figura 2.13 Partes principales del motor Can-Stac [24] Las bobinas de cada fase están envueltas por una cáscara de acero con forma de rosquilla, con dientes o dedos salientes apuntando hacia su centro, como se observa en la Figura Cuando una bobina es energizada, magnetiza los extremos superior e inferior con polaridades opuestas. Los dientes de cada extremo están dispuestos de manera intercalada. Si el rotor tuviera, por ejemplo 24 polos magnéticos, cada extremo de la rosquilla tendría 12 dientes para así tener la misma cantidad de polos por fases que el rotor. La Figura 2.15 muestra como estos dientes magnetizados interactúan con el rotor permanentemente magnetizado [27]. 13

23 Figura Motor PM de 24 polos, construcción real Can-Stac [27] Figura Visualización de la interacción dientes del estator con rotor [24] Si en nuestro ejemplo de motor se invirtiera la polaridad de esa fase, el rotor se desplazaría 36º/25=15º, pero sin tener una dirección de giro predefinida. Sin embargo, si se energiza primero el devanado φ-1 seguido por φ-2, el rotor se moverá 7.5º ya que por construcción φ-1 está desplazado 7.5º de φ-2, pues esa es la separación equivalente a 9º eléctricos en este motor, como se ilustra en la Figura 2.16 [27]. 14

24 Figura 2.16 Detalle del estator del motor PM Can-stac [27] En resumen, el esquema de construcción Can-stac permite obtener una gran cantidad de polos en el estator a partir de una sola bobina, y por ser de una construcción muy sencilla resulta de bajo costo Datos de motores en los que se aplicará el estudio Los motores paso-a-paso que se utilizaron como base para el estudio, son los que se encuentran en las disqueteras de 3.5. La función de estos motores es posicionar el cabezal de lectura/escritura magnética; para ello tienen incorporado un tornillo de avance para poder actuar como posicionadores lineales. Pese a la carencia de su documentación oficial, debido a que estos motores son desarrollados a pedido por las empresas, teniendo así diseños propietarios, se lograron recopilar las siguientes características generales: Son motores paso-a-paso de imán permanente, de construcción Can-Stac Son del tipo bipolar, es decir, la corriente circula por ambas direcciones en las bobinas, según lo indique el driver. Poseen 2 fases, y 2 bobinas en el estator (4 cables de salida al exterior) Son de 5 Volts, y los valores comunes para las bobinas son: resistencias de 2 ohms, inductancias de 3mH, y corriente nominal típica de 3mA por fase. Cada paso fundamental es de 18º, por lo cual se tienen 2 pasos por revolución y 5 pares de polos magnéticos en el rotor. Cabe mencionar que los motores empleados en los instrumentos astronómicos del Observatorio Europeo Austral (ESO), que motivaron la presente memoria, son del mismo tipo que los recién especificados. Debido a la imposibilidad de contar con los datos de diseño de los motores de ésta organización, se decidió trabajar con los motores de las disqueteras antes señaladas ya que comparten el mismo principio de funcionamiento. 15

25 2.5. Comentarios Los motores paso-a-paso son actuadores digitales, capaces de proveer posicionamiento y movimiento preciso en cantidades discretas. Requieren de un driver para su utilización, y existen 3 tipos básicos: El motor paso-a-paso de reluctancia variable, el de imán permanente y el híbrido. Los más utilizados son estos dos 2 últimos, y el híbrido es el que presenta las mejores prestaciones en cuanto a resolución y torque. Sin embargo el motor de imán permanente se destaca por su bajo costo, debido a su esquema de construcción llamado Can-Stac, y esto hace que sea el más empleado en aplicaciones no industriales. Los motores paso-a-paso utilizados para el presente trabajo corresponden a este tipo. El próximo capítulo ahonda más en la teoría de este tipo de motores, para encontrar la relación entre corriente de fase y torque del motor, en la que se basó el instrumento desarrollado. 16

26 Capítulo 3 Relación corriente-torque en motores stepper de imán permanente Los motores eléctricos son máquinas electromagnéticas y electromecánicas, en el sentido de que utilizan relaciones electromagnéticas para transformar energía eléctrica a energía mecánica. El torque desarrollado en los diversos tipos de motores eléctricos es producto de la interacción de un campo magnético rotatorio, creado por el estator, con un segundo elemento derivado de rotor, el cual puede ser un imán permanente, material ferromagnético permeable o un segundo campo magnético inducido. En cualquiera de los casos, el rotor buscará seguir el movimiento del campo magnético rotatorio creado por el estator 1. La magnitud del torque generado es proporcional a la intensidad de los campos magnéticos en interacción, y esta intensidad es a su vez función de la magnitud de las corrientes por las fases del motor. Esto ocurre en todos los motores eléctricos. En los que emplean rotor de imán permanente, interactúan dos campos magnéticos, uno de ellos es generado por el imán permanente por lo cual resulta de intensidad constante, y el otro resulta inducido por circulación de corriente en bobinas, de acuerdo con la Ley de Ampère. En los motores en los cuales la interacción del campo se produce con algún material ferromagnético permeable, la generación del campo magnético rotatorio también es consecuencia de circulación de corrientes en el estator. De esta manera, en ambos casos, el torque desarrollado es una función de la corriente consumida por el estator. Además de ser dependiente de la intensidad de los campos magnéticos, la intensidad del torque desarrollado también depende de la posición de los elementos interactuantes. Cuando dos campos magnéticos rotatorios interaccionan se genera un torque que intenta alinearlos, que resulta función de su desfase angular, teniendo su mayor fuerza cuando éste es de 9 grados. Cuando un campo magnético rotatorio interactúa con un material ferromagnético, éste resulta atraído con una fuerza que también resulta dependiente de sus posiciones relativas, ya que sigue el principio de minimizar la reluctancia variable del circuito magnético equivalente. 1 Salvo para los motores de corriente continua (C.C.), donde el torque es producido por la interacción entre un campo magnético fijo generado por el estator, y otro rotatorio inducido producido por el rotor. 17

27 En este capítulo se analiza el modelo físico del motor paso-a-paso, en particular del tipo imán permanente bifásico, para con él encontrar la relación adecuada entre torque, corriente y posición que se utilizará como base para el diseño el instrumento Modelo del Motor Paso-a-Paso La idea básica de funcionamiento de un motor paso-a-paso es similar a la de un motor síncrono, en donde existe un campo magnético rotatorio generado por las bobinas del estator, que se desplaza mediante conmutación de sus fases. A pesar de estas similitudes, el motor paso-apaso tiene la ventaja de poder rotar al campo magnético a distintas velocidades e incluso poder mantenerlo en alguna posición, según como sea la conmutación de sus fases. Un buen modelo de un motor paso-a-paso debe considerar tres aspectos fundamentales: su comportamiento mecánico, su comportamiento eléctrico, y la relación que existe entre ellos. Consideremos un motor paso-a-paso genérico, como el que se muestra en la Figura 3.1. Figura 3.1 Motor paso a paso genérico (con P=3 y N=4) [15] Denominando P al número de pares de polos del rotor, y N al número de fases del estator. Designando por θ al ángulo de referencia tomado a partir de la alineación del polo de la fase I con el polo A del rotor, y con sentido creciente según la convención regla de la mano derecha. Las ecuaciones que rigen el comportamiento mecánico del sistema son las siguientes: dω J = Tm + dt ( TC + TV TF ) (3.1) dθ ω = (3.2) dt 18

28 La ecuación (3.1) es el balance de torque: J es el momento de inercia del sistema (motor más su carga); la velocidad angular es ω; el par de giro o torque desarrollado por el motor es T m ; el torque producido por la carga en el eje del motor es T c, y los torques de fricción viscosa y estática son T v y T f. La ecuación (3.2) es la definición de velocidad angular. Usualmente el roce viscoso se modela proporcional a la velocidad, como lo muestra la ecuación (3.3). T V = B ω (3.3) Las ecuaciones eléctricas del sistema son las siguientes[7]: dφ j V j ( t) = i j ( t) R j + ( i1, K, in, θ ) dt j = 1K,, N (3.4) dφ N j φ j i φ j = + ω dt i t θ (3.5) = 1 En las ecuaciones anteriores j denota a la fase: V j son los voltajes, I j las corrientes, R j las resistencias de cada fase. El flujo magnético enlazado por las bobinas de la fase j se denota por φ j. La ecuación (3.4) corresponde a los circuitos de cada fase. La ecuación (3.5) es el desarrollo de la derivada total. En estos motores es común despreciar las inductancias mutuas entre las bobinas del estator, ya que por consecuencia del diseño su efecto es despreciable si se compara con el de las autoinductancias[7][21]. De esta manera al reemplazar en (3.5) la definición de auto-inductancia y considerando (3.6), se obtiene la ecuación (3.7). M i dφ φ j = = i dt j = L j i j t para φ j + ω θ j (3.6) (3.7) El torque desarrollado por el motor se puede obtener a partir de la expresión (3.8), en la cual W es la llamada co-energía magnética almacenada por el sistema [7]. T = W m (3.8) θ 19

29 La definición de co-energía magnética es la expresión (3.9) [7]. Sin embargo, como los motores paso a paso están diseñados para trabajar en la zona lineal de la relación corriente flujo magnético enlazado, es posible despreciar los efectos de saturación magnética. En esta situación, es posible demostrar que la co-energía magnética y la energía magnética almacenada resultan tener el mismo valor. Las ecuaciones (3.1), (3.11) y (3.12) son distintas expresiones para la energía magnética almacenada[28], designada por W. W = W = N i j j= 1 φ ( i1 ', K, i ', θ ) di ' (3.9) j N φ j i j ( N d j j= 1 1 ',, φ ', θ ) φ ' N j φ K (3.1) N N N W = Li ii + M ij ii i j 2 i= 1 2 i= 1 j> i (3.11) 1v W i T r = L 2 (3.12) [ ] i Así, al igualar (3.9) con (3.12) y reemplazarlo en (3.8) se obtiene la expresión (3.13) la cual relaciona las corrientes de fase, con la posición y las componentes de la matriz de inductancia L del motor[3]. 1v T [ L] r Tm ( i 1, K, in, θ ) = i i (3.13) 2 θ Caso particular: motor de reluctancia variable En estos motores, es usual asumir la dependencia del flujo magnético enlazado con respecto a la posición como una función sinusoidal más una constante. Así se obtienen mínimos de reluctancia cuando los polos salientes del rotor se alinean con los polos del estator de alguna de las fases, y valores mayores para el resto de las posiciones. La ecuación (3.14) expresa lo anterior, para el flujo magnético φ j enlazado por las bobinas de la fase j, con L y L 1 constantes del motor. ( j 1) 2π φ j = { L L1 cos 2P θ } i j (3.14) N Lo anterior, al usarse junto con las ecuaciones (3.8) y (3.9), permite obtener la siguiente expresión para el torque en función de las corrientes de fase y la posición[7]: T m = ( P L ) 1 N j= 1 i 2 j ( j 1) 2π sin 2P θ (3.15) N Caso particular: motor de imán permanente En estos motores se tiene que, por la simetría del rotor, las auto-inductancias de todas las fases tienen el mismo valor, independiente de la posición del rotor [3][21]. 2

30 φ i j j = L j = L (3.16) Lo anterior reemplazado en (3.7) y (3.4) permite despejar la derivada de la corriente: di dt j = 1 V L j ( t) i j ( t) R j φ j ω θ j = 1K,, N (3.17) Por otra parte, el imán permanente del rotor se puede modelar utilizando una corriente ficticia i f del rotor, de magnitud constante [3][7]. Se asume una dependencia sinusoidal flujo enlazado por las bobinas producido por el rotor, con respecto a la posición, como se muestra en la ecuación (3.18) donde L m y L m1 son parámetros constantes del modelo. ( j 1) π φ j = L i j + { Lm + Lm 1 cos P θ } i f j = 1K,, N (3.18) N Con lo anterior, se puede calcular la derivada del flujo magnético con respecto a la posición, la cual al reemplazar en la ecuación (3.17) se obtiene la ecuación diferencial (3.19) para el comportamiento eléctrico, donde m es un parámetro del motor dado por (3.2): di dt j = 1 V L j ( t) i j ( t) R j + ω K K m m ( j 1) π sin P θ N j = 1K,, N (3.19) = i L 1 P (3.2) f m La ecuación (3.18) muestra que pese a que las inductancias mutuas entre las fases son nulas, la inductancia mutua entre una fase y la bobina ficticia del rotor no lo es[3]. Al incluir el concepto de corriente y bobina ficticia en el sistema para modelar el imán permanente, es deseable también considerar el efecto de la auto-inductancia de la bobina ficticia. Para hacerlo, se puede utilizar la ecuación (3.21) como expresión para la auto-inductancia ficticia L ff, donde L f y L f4 son constantes[3]. L ff = L f + L f 4 cos(4 P ) (3.21) θ Para incluir lo anterior, se puede generar la matriz de inductancia L extendida, simétrica y de dimensión N+1, que considera a las inductancias ficticias del rotor. Las inductancias mutuas L jf de la bobina ficticia se obtienen directamente de la ecuación (3.18). La ecuación (3.23) muestra la forma de la matriz de inductancia. L jf = L m ( j 1) π + Lm 1 cos P θ j = 1K,, N (3.22) N 21

31 L L1 f O M [ L] = (3.23) L L Nf L1 f L LNf L ff Finalmente para encontrar la expresión del torque desarrollado, se reemplaza las ecuaciones (3.21) y (3.22) en (3.23), y ésta a su vez en (3.13). Se obtiene así la ecuación (3.24)[7], la cual es una expresión para el torque en función de las corrientes de fase y de la posición angular, donde d es un parámetro definido por (3.25), que representa al torque de detención debido a la interacción entre el rotor de imán permanente y el material ferromagnético de los polos del estator[9]: N ( j 1) π Tm = Km i j sin P θ Kd sin(4 P θ ) (3.24) j= 1 N K d = (3.25) 2 2 L f 4 P i f 3.2. Ecuaciones mecánicas y eléctricas para el motor pasoa-paso PM En resumen, las ecuaciones necesarias para modelar un motor paso a paso de imán permanente son las siguientes: di dt j Tabla 3.1 Ecuaciones del motor paso-a-paso PM genérico dω J = Tm + dt ( TC + TV TF ) (3.1) dθ ω = (3.2) dt ( j 1) π 1 = V j ( t) i j ( t) R j + ω Km sin( P θ ) j = 1K,, N (3.19) L N N ( j 1) π T = K i sin P θ K sin(4 P θ ) (3.24) m m j d j= 1 N 3.3. Ecuaciones correspondientes al motor a simular. En el caso del motor a simular, el número de fases es 2, y el número de pares de polos del rotor es 5, por lo que las ecuaciones resultan: 22

32 Tabla 3.2 Ecuaciones simplificadas para el motor paso-a-paso PM de 2 fases y 1 polos di dt di dt dω J = Tm + + dt 1 L 1 V L ( TC TV TF ) (3.1) dθ ω = (3.2) dt ( V ( t) i ( t) R + ω K sin(5 )) 1 = θ 1 1 m ( ( t) i ( t) R ω K cos(5 )) 2 = θ 2 2 m (3.26) (3.27) T m = K m i1 sin( 5θ ) + K m i2 cos(5θ ) K d sin(2θ ) (3.28) La ecuación (3.28) es la relación corriente-torque buscada Comentarios Según se observa de las ecuación (3.28) del modelo obtenido, la relación corriente-torque resulta dependiente de la posición del rotor. Esto contraviene la hipótesis fundamental asumida para el trabajo, que sostenía que utilizando sólo mediciones de corriente se podía realizar una buena estimación del torque. Sin embargo, como el propósito original del trabajo era proveer un método de estimación de torque, que no necesitara un acceso directo al motor, o la extracción del mismo de su lugar de operación, resulta conveniente relajar esta hipótesis. Resultaría tentador utilizar directamente un sensor de posición, pero esto necesariamente implicaría un acceso al eje del motor, situación que se desea evitar. La solución adecuada entonces, consiste en medir otras variables de acceso externo al motor, que permitan junto con las mediciones de corriente observar la posición del rotor, para con ella poder finalmente estimar el torque. Las únicas variables disponibles con estas características resultan ser los voltajes de fase, y por ello el siguiente capítulo trata sobre como usarlos para estimar la posición del rotor. 23

33 Capítulo 4 Observadores y Filtro de Kalman Un observador se refiere a un algoritmo capaz de producir una estimación (observar) de una variable de estado no-medible de un sistema. Un estado no-medible o no-disponible es una variable de sistema que resulta engorrosa, económicamente costosa, o físicamente inaccesible de medir. Existen básicamente dos tipos de estimadores de variables de estados: los noretroalimentados y los retroalimentados. La diferencia entre ellos es que los segundos poseen un término de corrección, relacionado con el error de estimación, que ajusta la respuesta del estimador. Esto mejora considerablemente el rendimiento del estimador, pues evita que el error de estimación crezca y diverja con el tiempo, como generalmente sucede en los estimadores noretroalimentados. La retroalimentación se refiere a que el estimador utiliza como entrada las salidas del sistema, que sí son variables medibles. A los estimadores con retroalimentación de medición se les denomina observadores. Este capítulo entrega una pequeña introducción sobre los observadores, para luego profundizar en el filtro de Kalman como el observador idóneo para estimar la posición y el torque desarrollado del motor paso-a-paso Observadores Como se menciona en la introducción anterior, los observadores utilizan las mediciones de la salida de la planta más un modelo del sistema, para producir sus estimaciones. Comparan la salida real de la planta con la salida estimada con el modelo, y retroalimentan el error en la estimación para corregir su desviación. La Figura 4.1 muestra esto en un esquema del sistema real con observador. Los observadores se pueden clasificar de acuerdo a la representación utilizada para la planta que se desea observar. Esto significa que el observador puede ser determinístico o estocástico, según la forma como esté descrita la planta. Los observadores más extendidos para ambos tipos de representaciones son el observador de Luenberger y el filtro de Kalman, respectivamente. 24