MODELADO Y CONTROL DE UNA INSTALACIÓN PARA ENSAYOS DE SISTEMAS DE INTERCAMBIO DE PRESIÓN

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1 MODELADO Y CONTROL DE UNA INSTALACIÓN PARA ENSAYOS DE SISTEMAS DE INTERCAMBIO DE PRESIÓN Isabel Jurado, Pablo Millán, Carlos Vivas Dpto. Ingeniería de Sistemas y Automática Universidad de Sevilla. ijurado,pmillan,vivas@cartuja.us.es Resumen Este artículo versa sobre el control de una planta de ensayo de Sistemas de Intercambio de Presión en plantas de desalación por Ósmosis Inversa. A partir del modelo hidraúlico no lineal de la planta, se obtiene un modelo linealizado, describiéndose asimismo el procedimiento de caracterización de las incertidumbres de modelado. Para este sistema linealizado, se desarrolla un controlador H de sensibilidad mixta, incluyendo un procedimiento para la elección de la matrices de ponderación del sistema. Los resultados obtenidos muestran un comportamiento más que satisfactorio del sistema controlado, verificando las especificaciones de diseño impuestas. Palabras clave: Control Robusto, H lineal, desalación. 1. INTRODUCCIÓN La desalación de agua ha experimentado un gran auge en la actualidad, que ha motivado multitud de estudios y desarrollos durante los últimos años. Dentro de estas tecnologías se está imponiendo cada vez más la desalación por ósmosis inversa ([4]). El hecho motivador que está situando la ósmosis inversa por encima de las demás tecnologías, es la reducción del gasto energético que se está logrando gracias a distintos avances en la técnica. En este punto aparecen las tecnologías conocidas como Sistemas de Intercambio de Presión (SIP) (ver, por ejemplo, [1], [7]-[10], [13] y [16]). Estos recientes dispositivos, aún no implantados en la industria en número significativo, vienen a sustituir a las máquinas hidráulicas tradicionales, que se utilizan para aprovechar la energía que contiene la salmuera de rechazo del sistema de membranas de ósmosis inversa. En un sistema industrial de desalación se trabaja con un ratio de conversión que rara vez suele superar el 45 %. Lo anterior quiere decir que del caudal de agua de mar que se introduce a alta presión en las membranas, el 45 % se convierte en agua desalada, mientras que el 55 % es salmuera concentrada a alta presión que hay que evacuar. La presión de esta salmuera es normalmente superior a 65 bar. Evidentemente resulta impensable no aprovechar esta energía de presión, que previamente se le ha proporcionado a todo caudal de agua de mar para que entrara en las membranas. Tradicionalmente el aprovechamiento ha sido la descarga del caudal en una turbina Pelton para producir energía eléctrica, o bien en un turbocharger para ayudar a elevar la presión del agua de mar. El principio físico que utilizan los SIP es distinto. Se trata de poner en contacto la salmuera de rechazo con un caudal equivalente de agua de mar, y conseguir que la salmuera comunique su energía de presión al agua que tiene que entrar en las membranas. Esto tiene dos ventajas muy importantes con respecto los sistemas tradicionales: 1. La eficiencia en la transmisión de energía es muy superior, ya que se trata de un intercambio que no implica conversión de un tipo de energía a otro. De hecho, el rendimiento de estos dispositivos ronda el 95 %. 2. Con los SIP la bomba de alta presión sólo tiene que impulsar un caudal aproximadamente igual al caudal de permeado, con lo que el caudal que impulsa se reduce a menos de la mitad y la bomba puede ser más pequeña EL PROBLEMA DE CONTROL Y SIMULACIÓN Los SIP son equipos relativamente poco implantados en la industria. Actualmente, cuando ya está razonablemente divulgado el conocimiento de esta tecnología, el interés se centra en la realización de ensayos en planta para determinar las prestaciones que los distintos modelos de SIP son capaces de ofrecer. En este artículo se propone una configuración concreta para la planta de ensayos de SIP y se resuelve el problema de control que surge en la misma, a través de la técnica de diseño H. La metodología seguida consiste en el diseño apropiado de las funciones de ganancia para el problema de sensi-

2 bilidad mixta que tiene lugar en el diseño de la estructura del controlador H. En los últimos años, se han publicados muchos artículos en los cuales se resuelven distintos problemas de control mediante esta aproximación (véase [14], [2] y [12]). Sin embargo, a pesar de la importancia del diseño de las funciones de ganancia, en estos artículos no aparece metodología acerca de la elección de las funciones adecuadas. 2. DESCRIPCIÓN DE LA INSTALACIÓN La instalación que se propone para el ensayo de Sistemas de Intercambio de Presión (SIP) se muestra en la Fig. 1: Lo anterior representa de manera Figura 1: Esquema de planta para ensayo de SIP esquemática el circuito hidraúlico que hace posible la medida de los parámetros de interés en estos dispositivos. Se han obviado la instrumentación necesaria para realizar esas medidas (manómetros, caudalímetros, etc.), así como la valvulería asociada, a excepción de aquellos elementos que son de importancia para el control y la simulación de la planta. La planta consta de los siguientes elementos: Depósito de salmuera: este depósito se usa para alimentar el SIP de salmuera. En un proceso de desalación industrial, la salmuera proviene del rechazo de las membranas y está a muy alta presión. Bomba sumergible B2 y válvula actuada V2: la actuación sobre estos dos elementos para el control de la planta es de vital importancia. La bomba se actúa a través de un variador de frecuencia y la válvula también es actuada. Depósito de agua de mar: este depósito abastece el SIP de agua de mar. El agua de mar entra a baja presión en el SIP y sale a alta, una vez que la salmuera le ha transferido su presión. Bomba sumergible B1 y válvula V1: ambas se encargan de fijar el caudal y la presión con la que entra el agua de mar al intercambiador. El control de estos elementos no es crucial. Bomba B3 y válvula V3: la bomba B3 es la denominada bomba booster. En una planta de desalación, esta bomba se encarga de proporcionar la presión que le resta por alcanzar al agua de mar para poder introducirse en el sistema de membranas, que no suele ser superior a 5 ó 6 bares. Por tanto, se dispone de un sistema multivariable en el que las variable medidas para control son la presión de entrada en membranas p m, la presión del rechazo p s y el caudal de rechazo Q s ; y las variables de control son las referencias a los variadores de frecuencia VF01 y VF02, y la posición de la válvula V2. Todas las magnitudes de control han sido normalizadas, de modo que para los variadores de frecuencia el valor 0 implica velocidad de giro nula, mientras que el valor 1 corresponde a la velocidad de giro máxima. Respecto a la válvula, el valor 0 supone posición cerrada y el valor 1 completamente abierta. Además de los elementos mencionados anteriormente, se han incluido en la planta una entrada de agua de red y un depósito de salmuera de alta concentración, para el ajuste de salinidades en los depósitos de agua de mar y de salmuera respectivamente. Lo anterior es necesario debido a un fenómeno que presentan los SIP conocido como mezcla o mixing. Al ponerse en contacto directamente el agua de mar y la salmuera, existe un fenómeno de mezcla parcial que disminuye la salinidad de la salmuera aumentando la del agua de mar. El aumento de salinidad del agua de mar no suele ser superior al 6 %. 3. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA En una instalación que desala agua de mar de salinidad determinada, la presión a la que las membranas necesitan que le sea introducido el caudal a desalar se denotará por p m. La presión con la que sale el rechazo de salmuera de las membranas será p s. El caudal de rechazo se designará por Q s. En las membranas estas tres magnitudes vienen fijadas por dos parámetros:

3 El caudal de agua desalada que se desea, o caudal de permeado (Q p ). El ratio de recuperación (r), que es la relación entre el caudal de permeado Q p y el caudal que se introduce en las membranas Q m. La planta que se propone en este artículo tiene la ventaja de hacer posible el ensayo de SIP sin tener físicamente instalado un sistema de membranas de ósmosis inversa. Estos elementos encarecerían en exceso el banco hidráulico de pruebas, que se pretende sea sencillo y barato a la vez que totalmente fiable. Lo anterior es el punto de partida del problema de control que se plantea. Es decir, se precisa que en el banco de ensayos el SIP trabaje en las mismas condiciones en las que lo haría en la práctica, o lo que es lo mismo, el SIP debe trabajar contra unas condiciones de contorno idénticas a las que tendría si existiesen membranas de desalación. Teniendo en cuenta esto, las variables a controlar serán el caudal de salmuera que entra en el SIP Q s, la presión con la que entra p s y la presión a la que se requiere que el agua entre en las membranas p m. Aplicando el bien conocido Principio de Sustitución, el intercambiador de presión trabajará en la planta de ensayo de forma idéntica a como lo haría en un tren de desalación durante su vida útil, siempre que Q s, p s y p m sean las adecuadas. Para conocer la referencia de control que hay que seguir para estas tres magnitudes, se construyó un módulo de simulación de membrana. Para ello se utilizó el software ROSA 6.1, creado por Down Chemical Company. Este software permite obtener los valores de operación de un tren de desalación por ósmosis inversa en función de, entre otros datos, el caudal de permeado Q p y ratio de recuperación r deseados. De este modo, y tomando como referencia los datos proporcionados por ROSA, se ha desarrollado un modelo aproximado por interpolación numérica que permite obtener la característica estática del sistema de membranas para un entorno de un punto de operación. Concretamente se obtuvieron resultados para una membrana SW30HR-320, en torno al punto nominal de operación correspondiente a Q p0 = 41,7m 3 /h y r 0 = 0,45. Dicho modelo se recoge en las ecuaciones 1 y 2: p m p m0 = a 1 (Q p Q p0) + b 1 (r r 0) (1) p s p s0 = a 2 (Q p Q p0 ) + b 2 (r r 0 ) (2) Dado que se trata de un modelo aproximado, las expresiones anteriores son válidas para el rango (Q p, r)/q p [35, 44], r [0,4, 0,5] EL MODELO HIDRAÚLICO Para modelar la planta de ensayo, se ha utilizado un procedimiento de cálculo basado en la resolución simultánea de ecuaciones de continuidad en nudos y ecuaciones de malla del sistema. De esta forma, para cada punto de operación, debe resolverse el sistema: A Q = 0 B (Q T Q ) b = 0 donde A R n l, B R m l ; siendo n el número de nudos de la instalación, l el número de ramas y m el máximo número de mallas linealmente independientes del circuito. A es la matriz de continuidad del sistema. Un elemento genérico a ij en la fila k-ésima de A, toma el valor a ij = 0 si i, j k, a ij = 1 si j = k o a ij = 1 si i = k. B es la matriz de mallas. Un elemento genérico b ij tendrá un valor K, igual a la resistencia hidráulica (en el sentido de la ecuación de Bernouilli), que encuentra el caudal que circula por la rama (i,j) del nodo i al nodo j. En el vector b se recogen los incrementos de presión para cada rama que no dependen del caudal, como por ejemplo el salto de presión característico de una bomba para caudal nulo. El modelo hidráulico anterior es fuertemente no lineal, y para la instalación propuesta queda resumido en un conjunto de 9 ecuaciones en las que las incógnitas son los caudales que circulan por cada rama en función del estado del sistema. 4. EL PROBLEMA DE SENSIBILIDAD MIXTA H La metodología de control que se aplica en este trabajo a la planta descrita en el apartado anterior, es la bien conocida técnica de optimización H de sensibilidad mixta. Entre las virtudes asociadas a esta técnica de control se encuentra la capacidad inherente al método para incorporar de forma unificada los requerimientos de robustez y comportamiento del sistema, así como la posibilidad de obtener diseños robustos frente a incertidumbres no estructuradas. Estas características hacen esta metodología de control muy apropiada para aplicaciones en las que el grado de desconocimiento de las dinámicas involucradas es importante, tal como es el caso que nos ocupa. Como es bien sabido, la formulación general de esta metodología admite la configuración general que se muestra en Fig. 2. En esta figura, P (s) es la planta generalizada, K(s) es el controlador, u es la señal de control, v las variables medidas, ω las

4 señales exógenas y z agrupa las llamadas variables de error. ω u P(s) K(s) v z ω = r u P(s) G(s) y - + K(s) e W S (s) W T (s) z 1 z 3 v z Figura 2: Formulación general del problema de control. Con esta estructura, el control H equivale a calcular el controlador K(s) tal que el ratio γ, entre la energía del vector de error z y la del energía vector de señales exógenas ω, sea mínimo. El cálculo de un solución explícita para este problema es hoy día un problema no resuelto, si bien existe toda una batería de técnicas numéricas computacionalmente eficientes para la obtención de una solución subóptima para el problema, tanto en las formulaciones de tiempo continuo [6], como para tiempo discreto [11]. Estos algoritmos de optimización permiten de forma iterativa y mediante un algoritmo de bisección encontrar una aproximación al valor del ratio de energía óptimo γ opt. Esta aproximación es adoptada por conocidos paquetes informáticos de diseño de controladores como [3] o [5]. Una configuración particular del problema H es la conocida como sensibilidad mixta S/T (ver, por ejemplo, [17]), cuya estructura de planta generalizada se muestra en la figura 3. En este caso, la expresión de la función de transferencia del lazo cerrado resultante T zω (s) es la siguiente: [ ] WS (s)s T zω (s) = o (s) W T (s)t o (s) donde S o (s) es la matriz de sensibilidad a la salida y T o (s) es la matriz de sensibilidad complementaria: S o (s) = (I + G(s)K(s)) 1 T o (s) = G(s)K(s)(I + G(s)K(s)) 1 Los términos W S (s) y W T (s) constituyen sus respectivas matrices de ponderación, que permiten moldear el comportamiento frecuencial del sistema a lazo cerrado. Como es sabido, el moldeo frecuencial de T o (s) permite especificar características en problemas de seguimiento, atenuación de ruido y para estabilidad robusta frente a incertidumbres multiplicativas a la salida. Por otro lado, el moldeo de S o (s) relaciona las señales de error con las referencias y perturbaciones ([18]). El moldeo de la función de sensibilidad permite especificar las características deseadas de comportamiento del sistema a lazo cerrado. Figura 3: S/T configuración de sensibilidad mixta. De este modo, dado que el controlador se obtiene a partir de la planta generalizada, el problema de síntesis con esta configuración se reduce a la obtención de un modelo nominal G(s) y ciertas matrices de ponderación, las cuales impondrán las especificaciones de control. 5. DISEÑO DE LAS MATRICES DE PONDERACIÓN El diseño y elección de las matrices de ponderación del sistema es una de las fases del diseño más crítica, y requiere un profundo conocimiento de las características del sistema a controlar así como de la metodología de diseño en sí misma. Pocos son los resultados disponibles en la literatura que permitan un diseño sencillo y eficaz de estas matrices. En este trabajo se han seguido las directrices descritas en [14], [15], que proporcionan una metodología para el diseño de sensibilidad mixta multivariable asequible para diseñadores con conocimientos básicos de teoría de control Selección de la planta nominal y estimación de incertidumbres La síntesis de un controlador robusto depende del conocimiento de las incertidumbres de modelado del sistema. En este trabajo, se emplea una descripción de las mismas en términos de un modelo de incertidumbres no estructuradas a la salida de la planta. Para el problema planteado, la elección de la planta nominal se ha tomado para unas condiciones de operación correspondientes a un caudal de permeado Q p = 41,7m 3 /s y un ratio de recuperación r = 0,45. De este modo, se ha calculado un modelo lineal de bajo orden G(s), linealizando el comportamiento no lineal de la planta en torno a este punto de operación. Una vez elegido el modelo nominal G(s), la incertidumbre multiplicativa a la salida puede ser

5 estimada mediante la expresión: E o,i (s) = (G i (s) G(s))G(s) 1, i = 1, 2,... donde G i (s) representa diferentes modelos lineales de la planta en torno a puntos de operación próximos al nominal. En rigor, estos puntos de linealización deben cubrir todo el espacio de trabajo previsto para la planta, si bien en la práctica se suele realizar un muestreo aleatorio en puntos extremos del espacio de trabajo y extrapolar a toda la región de incertidumbre. De este modo, este cálculo debe ser repetido tantas veces como modelos linealizados G i (s) se estén considerando. Por definición, las incertidumbres multiplicativas representan el porcentaje de desconocimiento de la planta que se tiene para cada frecuencia. Normalmente, este porcentaje crece a medida que lo hace la frecuencia, y siempre existe un valor en que este desconocimiento del sistema es completo, esto es, aquél en el que valor de la incertidumbre multiplicativa es mayor que uno Diseño de las matrices de peso W T (s) Dado que la descripción adoptada para las incertidumbres es de tipo multiplicativo a la salida, la condición para estabilidad robusta asociada viene dada por la siguiente expresión [18]: W 1 (s)t o (s)w 2 (s) 1 donde T o (s) es la función sensibilidad complementaria a la salida, y las matrices W 1 (s) y W 2 (s) son tales que normalizan la incertidumbre estimada, esto es: E o (s) = {W 2 (s) (s)w 1 (s) : (s) 1} Si la matriz W 2 (s) es la identidad y W 1 (s) se renombra como W T (s), la condición resultante para la estabilidad robusta tiene la siguiente expresión: W T (s)t o (s) sup σ(w T (jω)t o (jω)) 1 ω Como se puede observar, el término W T (s)t o (s) es el mismo que aparece en los modelos de sensibilidad mixta cuando la función de sensibilidad complementaria aparece involucrada. Por tanto, disminuir la norma infinito en el problema de sensibilidad mixta implica hacer pequeña la norma infinito de W T (s)t o (s), y así, hacer el sistema robusto a este tipo de incertidumbre. Un diseño frecuente y apropiado para la mayoría de los casos de W T (s) consiste en una matriz cuadrada y diagonal cuyos elementos diagonales tengan todos la misma función de transferencia: W T (s) = W Tdiag (s) I q q de manera que la dimensión de la matriz q sea igual al número de salidas del sistema. La función de transferencia W Tdiag (s) debe ser estable, ser de fase mínima y tal que su módulo mayore el máximo valor singular de la incertidumbre previamente calculada para cada modelo no lineal y frecuencia, esto es, W Tdiag (jω) σ(e o,i (jω)) ω, i Además, teniendo en cuenta que W T (s) moldea la función de sensibilidad complementaria, es deseable que que el módulo de W Tdiag (s) tenga un valor alto para imponer que T o (s) tenga una ganancia pequeña a altas frecuencias. Observar que, como W T (s) es diagonal, sus valores singulares para cada frecuencia son iguales al módulo de la función de transferencia W Tdiag (s), esto es, σ i (W T (jω)) = W Tdiag (jω) i = 1,..., q ω Consecuentemente, esta elección de W T (s) asegura la robustez del lazo cerrado respecto a cualquier error multiplicativo en el conjunto: E o(s) = {W Tdiag (s) (s) : (s) 1} = = { (s) : σ( (jω)) W Tdiag (jω), ω} y, obviamente, todas las incertidumbres calculadas son elementos de este conjunto, esto es, E o,i (s) E o (s), i. La figura 4 muestra el valor calculado para los valores singulares máximos de la incertidumbre multiplicativa a la salida, para un conjunto de 10 plantas pertenecientes al espacio de trabajo del sistema. Estos valores condujeron a la elección de la función de ponderación: W Tdiag (s) = 14,85s + 0,89 0,02s Diseño de la matriz de ponderación W S (s) La matriz de ponderación W S (s) permite imponer las especificaciones de comportamiento del sistema. Como es sabido, la función de sensibilidad es especialmente interesante, desde el punto de vista del control, porque tiene propiedades que caracterizan tanto la calidad como la rapidez de la respuesta temporal de lazo cerrado (ver, por ejemplo, [17]). Teniendo presente que la matriz W S (s) debe moldear la función de sensibilidad, se propone un diseño consistente en una matriz cuadrada diagonal de funciones de transferencia: W S (s) = diag{w S11 (s),..., W Sii (s),..., W Sqq (s)}

6 Valores Singulares máximos (db) W Tdiag (s) frecuencia (rad/s) Figura 4: Matriz W T (s) como límite superior de la incertidumbres multiplicativas a la salida de la planta donde la dimensión de la matriz q es de nuevo el número de salidas del sistema. Cada elemento de la diagonal W Sii (s) debe ser diseñado teniendo presente que su inversa debe determinar S ii (jω) de manera que sea un límite superior, donde S ii (s) es el i-ésimo elemento de la diagonal de S o (s). De este modo, se propone que estos elementos tengan la siguiente expresión: W Sii (s) = α is + ω Si s + β i ω Si Es fácil comprobar que α i representa la ganancia de la función a alta frecuencia. Como es bien sabido, un valor de pico de S ii (s) en torno a 2 conduce a un valor aceptable de comportamiento del sistema. Por este motivo, y teniendo en cuenta que W Sii (s) mayora la función de sensibilidad, tomaremos un valor de α i en torno a 0.5. Del mismo modo, β i representa la ganancia de la función a baja frecuencia, que se corresponde con el máximo error admisible en régimen permanente. Idealmente, desearíamos que este valor fuese cero, si bien limitaciones asociadas al algoritmo de obtención del controlador H nos previenen de tomar ese valor para β i. En la práctica, sin embargo, valores del orden de 10 4 a 10 6 conducen a buenos resultados tanto desde el punto de vista de la estabilidad numérica del algoritmo de obtención del controlador, como de comportamiento en régimen permanente del sistema controlado. Por último, ω Si está asociada a la frecuencia de corte de la función de ponderación y, por tanto, a la velocidad de respuesta del sistema a lazo cerrado. Un diseño consistente exige que esta frecuencia sea inferior a aquélla para la que el máximo valor singular de las incertidumbres del sistema toma el valor unidad. Tomando este valor como inicial, podemos ir disminuyendo gradualmente su valor hasta obtener un equilibrio razonable entre velocidad de respuesta y el factor de rechazo de perturbaciones obtenido. Con estas premisas, el diseño finalmente adoptado resultó ser: W Sii (s) = 6. RESULTADOS 0,5s + 30 s Para poner de manifiesto el comportamiento de la metodología de control propuesta, sobre la planta descrita en 2, se han realizado un conjunto de experimentos que se describen en este apartado. Los resultados de simulación mostrados se han realizado sobre la planta no lineal completa, tomando como condiciones nominales de operación las que se muestran en el cuadro 1, que se corresponden con el punto nominal de operación del modelo lineal empleado en la síntesis del controlador lineal. A continuación se presentan resultados de perturbación de dicho punto nominal. Pm, Ps (Bar), Qs /s) (m Cuadro 1: Condiciones nominales de operación. Condición nominal Rango Caudal permeado Q p 41.7 m 3 /h r V V V V V Variadores frecuencia Ps Qs Pm Tiempo (s) Figura 5: Resultados de simulación ante variaciones de la consigna de caudal del permeado De este modo, la gráfica 5 muestra el comportamiento del sistema ante cambios en la consigna de

7 caudal de permeado de un 20 % y un 10 % respectivamente. Puede observarse que la respuesta del sistema sigue los cambios de referencia con tiempos característicos del orden del tiempo de respuesta del sistema a lazo abierto, presentando poco o nula sobreoscilación y un desacoplamiento más que notable de las diferentes actuaciones en la respuesta. Experimentos similares llevados a cabo esta vez sobre el ratio de recuperación se muestran en la gráfica 6. En esta ocasión la planta es llevada a condiciones de operación con un 50 % y un 40 % para el valor del ratio de recuperación, valores éstos muy próximos a los extremos del rango de funcionamiento de una planta real. De nuevo los resultados son comparables a los obtenidos para la perturbación del caudal de permeado, presentando comportamientos aceptables, incluso en puntos alejados del punto nominal de operación. 3 Pm, Ps (Bar), Qs /s) (m Por este motivo, se presenta en la gráfica 7 un experimento adicional, que si bien no corresponde a condiciones realistas de operación de la planta, permite apreciar las características de rechazo de perturbaciones del controlador. De este modo, se presentan resultados para cambios consecutivos e independientes de cada una de las variables controladas, apreciándose un excelente desacoplo entre cada una de las salidas Pm Tiempo (s) Ps Qs Pm Figura 7: Resultados de simulación ante variaciones independientes de consigna 65 Ps Referencias 3 Pm, Ps (Bar), Qs /s) (m Qs Tiempo (s) Figura 6: Resultados de simulación ante variaciones de la consigna del ratio de recuperación Para interpretar adecuadamente la respuesta del sistema es conveniente recordar que las consignas de operación de la planta - presión de entrada en membrana (p m ), y la presión y caudal de rechazo de salmuera (p s y Q s ) - se obtienen a partir del modelo de membrana de la instalación. Es por este motivo por lo que los cambios de consigna de operación de la planta, es decir, las variaciones del ratio de recuperación (r), y el caudal de permeado (Q p ) provocan cambios simultáneos de las variables de consigna. [1] Andrews W.T. and Laker D.S., (2001) A twelve-year history of large scale application of work-exchanger energy recovery technology, Desalination, número 138, páginas [2] Athans, V., Agarwal, S., (1994) Desing of a Robust Controller for a Supersonic Aircraft Using Approach, Control Eng. Practice, volumen 2, número 6, páginas [3] Balas, G., Doyle, J., Glover, K., Packard, A., Smith, R., (1995) µ-analisys and Synthesis Toolbox User s Guide, segunda edición, The MathWorks Inc., Natick, Mass. [4] Borsani R., Rebagliati S., (2005) Fundamentals and costing of MSF desalination plants and comparison with other technologies, Desalination, número 182, páginas [5] Chiang, R., Safonov, M., (1998) Robust Control Toolbox User s Guide, segunda edición, The MathWorks Inc., Natick. [6] Doyle, J.C., Glover, K., Khargonekar, P. Francis, B., (1989) State-space Solutions to Standard H 2 and H Control Problems, IEEE Transactions on Automatic Control, volumen 34, número 8, páginas [7] Drabløs L., (2001) Aqualyng TM a new system for SWRO with pressure recuperation, Desalination, número 139, páginas

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