UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

Transcripción

1 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA UNIDAD DE INVESTIGACIÓN INFORME FINAL DEL PROYECTO DE INVESTIGACIÓN SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL PATRÓN DE DIFRACCIÓN DE UNA ESTRUCTURA CRISTALINA CUADRADA BIDIMENSIONAL AUTOR Dr. PABLO GODOFREDO ARELLANO UBILLUZ (Período de ejecución: 01/05/14 al 30/04/16) (Resolución Nº R del 19 de mayo del 2014) CALLAO

2 I. ÍNDICE I. ÍNDICE 1 TABLA DE CONTENIDOS 3 II. RESUMEN 4 ABSTRACT 5 III. INTRODUCCIÓN 6 IV. MARCO TEÓRICO CONCEPTOS BÁSICOS DE LA FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO Estructura cristalina Planos de un cristal Red recíproca DIFRACCIÓN DE CRISTALES Ley de Bragg La red recíproca y la esfera de Ewald TRANSFORMADA DE FOURIER Transformadas de series de Fourier continuas Transformada de Fourier discreta Teorema de convolución Transformada rápida de Fourier para una dimensión Transformada rápida de Fourier en dos y tres dimensiones para datos reales Limitaciones de la transformada de Fourier FUNCIÓN DENSIDAD DE UNA ESTRUCTURA CRISTALINA Y DIFRACCIÓN DE FRAUNHOFER Función densidad Difracción de Fraunhofer Difracción de Fraunhofer y la transformada de Fourier 40

3 V. MATERIALES Y MÉTODOS 43 VI. RESULTADOS SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DE LA POSICIÓN, FUNCIÓN DENSIDAD Y DEL PATRÓN DE DIFRACCIÓN DE UNA ESTRUCTURA CRISTALINA CUADRADA BIDIMENSIONAL 45 VII. DISCUSIÓN DISCUSIÓN CONCLUSIONES 51 VIII. REFERENCIALES 52 IX. APÉNDICE 54 X. ANEXOS 59

4 TABLA DE CONTENIDOS FIGURAS Pág. Figura 1.1. Redes de Bravais en dos dimensiones 13 Figura 1.2. Estructuras cúbicas 15 Figura 1.3. Redes de Bravais en tres dimensiones 16 Figura 1.4. Planos en una estructura cristalina 17 Figura 1.5. Planos en un cristal 17 Figura 1.6. Redes de Wigner-Seitz 18 Figura 2.1. Difracción de rayos X 22 Figura 2.2. Red recíproca de un sistema rómbico 23 Figura 2.3. Esfera de Ewald 24 Figura 3.1. Diagrama de flujo de los puntos finales de la FFT 30 Figura 3.2. Ordenamiento de un arreglo real bidimensional y de su transformada Figura 4.1. Distribución de densidad en la red cristalina 37 Figura 4.2. Descripción de Huygens de la propagación en el espacio de una onda plana Figura 4.3. Difracción de Fraunhofer 39 Figura 4.4. Figura 4.5. Figura 5.1. Figura 5.2. Figura 5.3. Una rendija de ancho D y su función de transmisión f(x) Esquema de difracción de dos rayos a través de una rendija estrecha Gráfica obtenida en MatLab de las coordenadas (x,y) de los puntos de red de la estructura cristalina cuadrada bidimensional Gráfica obtenida en MatLab de la función densidad discreta de la estructura cristalina cuadrada bidimensional Gráfica obtenida en MatLab del patrón de difracción de la estructura cristalina cuadrada bidimensional

5 II. RESUMEN El presente trabajo ha sido desarrollado con el objetivo de encontrar una aplicación particular de la simulación computacional aplicada a fenómenos físicos, como es el de determinar el patrón de difracción de una estructura cristalina cuadrada bidimensional, que es una estructura de un material imaginario, que sirve de base para futuros trabajos de investigación y su aplicación con materiales reales, a fin de verificar mediante la simulación, los parámetros o características de la posición estructural del material en estudio, dentro de la línea de especialización de física computacional. Este trabajo contiene en primer lugar, los conceptos básicos de física del estado sólido, luego se realiza un estudio de la difracción de cristales y de la transformada de Fourier. La metodología aplicada en el presente trabajo ha sidoelaborar computacionalmente la estructura de la red cristalina cuadradaa ser usada para determinar su función densidad. Luego se aplica la transformada rápida de Fourier a esta función, para obtener el patrón de difracción de esta estructura cristalina cuadrada. Estos resultados permiten a los estudiantes de ciencias e ingeniería, profesores y demás interesados, relacionados con esta temática, logren una comprensión de la base teórica de este trabajo, y su beneficio repercutirá notablemente en el proceso de enseñanza-aprendizaje de los temas en estudio. Dentro de este contexto, el presente trabajo teórico-computacional es un aporte al estudio de los fundamentos básicos de la simulación computacional aplicada en la solución de problemas físicos concretos. Palabras Claves: Simulación computacional, estructura cristalina, función densidad, difracción, transformadas de Fourier, patrón de difracción.

6 ABSTRACT This work has been developed with the aim of finding a particular application of computer simulation applied to physical phenomena, such as determining the diffraction pattern of a two-dimensional square crystal structure, which is a structure of an imaginary material, which serves basis for future research and its application to real materials, in order to verify through simulation, parameters or characteristics of the structural position of the material under study, within the line of specialization of computational physics. This work contains first, the basics of solid state physics, then a study of crystal diffraction and Fourier transform is performed. The methodology used in this work has been computationally develop the structure of the crystal lattice square to be used to determine its density function. The fast Fourier transform is then applied to this function to obtain the diffraction pattern of this square crystal structure. These results allow students in science and engineering, teachers and other stakeholders, related to this subject, achieve an understanding of the theoretical basis of this work and its benefit impact significantly on the teaching and learning of the subjects under study. Within this context, this theoretical and computational work is a contribution to the study of the basics of computer simulation applied to the solution of concrete physical problems. Keywords: Computer simulation, crystal structure, density function, diffraction, Fourier transforms, diffraction pattern.