Revisión de lateoría Analítica de Fourier

Transcripción

1 Revisión de lateoría Analítica de Fourier 1.1 Un poco de historia y Propósito La rama de la ciencia óptica conocida hoy en día como "óptica de Fourier" tuvo su génesis en la década de 1940 hasta la década de 1960 con la aplicación de nuevas técnicas de análisis de diseño de circuitos de telecomunicaciones y en la teoría de la difracción óptica. En 1968 este disciplina recién llegado se le dio un punto de apoyo permanente con la publicación de Introducción a la óptica de Fourier, por Joseph W. Goodman, un libro de texto seminal que explica y se unió a los conceptos fundamentales, y que continúa de manera significativa a la aplicación de la óptica de Fourier en las ediciones posteriores. óptica de Fourier es ahora la piedra angular para el análisis de la difracción, la coherencia, y de imagen, así como temas especializados tales como el control del frente de onda, propagación a través de los medios de comunicación aleatorios y la holografía.

2 El estudio de la óptica de Fourier hoy conduce naturalmente hacia la computación por al menos dos razones: (1)en general las expresiones de difracción integral son difíciles de resolver analíticamente, para algunas de las funciones de apertura más simples, y (2) el algoritmo de la transformada de Fourierrápida(FFT)combinadoconel marcode lossistemas linealesdela óptica de Fourier proporciona un enfoque computacional extremadamente eficiente para resolver los problemas de la óptica ondulatoria... Ciertamente, la computación puede ser aplicado directamente en la búsqueda de soluciones muy precisas a problemas de difracción usando técnicas de integración numérica Sin embargo, este libro trata realmente acerca de la FFT y cómo aplicarla a una variedad de problemas de óptica Fourier. Los pasos de codificación informáticos reflejan los conceptos analíticos y la rapida FFT hace posible la realización de simulaciones ópticas y la propagación de miles imágenes en un período razonable de tiempo.

3 1.2 El Campo de la óptica de Fourier Computacional En este libro, las variables, vectores y matrices en el código de computadora se definen tanto como sea posible en términos de cantidades físicas. Por ejemplo, lascoordenadas delas muestrasenunamatrizque losmodelaenun plano espacial se define en unidades de metros. Enteros para indexar matrices aparecen sólo cuando no se pueden evitar. Este enfoque permite una clara conexión entre el mundo físico que estásiendo modelado y el código de computación. MATLAB también usa estructura vectorizadas para este enfoque. Por lo tanto, ejemplos de programación presentadas en el libro implican tamaños específicos de abertura, longitudes de onda, y las distancias. Aunque algunos ejemplos son simplemente académico, otros son algo que se podría encontrar en el mundo real. Sin embargo, el lector pronto notara un tema emergente: el tamaño finito de la matriz de muestra en el ordenador limita el rango de parámetros que se pueden considerar.

4 Podríamos considerar esta dificultad a la luz del dilema de la óptico designada: Cuando se hace una transición entre una predicción de la óptica geométrica del rendimiento del sistema y una predicción de onda ópticas. La diferencia entre estas predicciones es que la óptica geométrica asume propagación rectilínea (en línea recta) de los rayos de luz y hace caso omiso de difracción difusión debido a la naturaleza ondulatoria de la luz. La respuesta habitual para el dilema es que para las pequeñas desviaciones de la perfección (cerca del "límite de difracción") es necesaria una descripción ópticamente ondulatoria. Una descripción geométrica del rayo óptico con grandes salidas, es adecuado opciones de implementación más flexibles. Por lo tanto, aunque la teoría analítica de la óptica de Fourier es bastante general, el tamaño de la matriz finita tiende a limitar la modelización computacional de las situaciones de "casi perfecto". Típicamente, esto significa pequeños ángulos de divergencia de haces óptico de propagación, pequeña área de la imagen simulada, y así sucesivamente. Para aplicaciones prácticas, este es el mismo campo como lo predice el rendimiento de la onda óptica en el diseño de sistema óptico.

5 1.3 Fourier Transform Definitions and Existence Fourier optics problems often involve two spatial dimensions. The analytic Fourier transform of a function g of two variables x and y is given by Similarly, the analytic inverse Fourier transform is given by

6 For the Fourier transform to be realizable in a mathematical sense, g(x,y) must satisfy certain sufficient conditions. These conditions are commonly listed as: (a) g must be absolutely integrableover the infinite range of x and y; (b) g must have only a finite number of discontinuities; and (c) g must have no infinite discontinuities. Goodmanillustratesthatinanumberofimportantcases,oneormoreofthese conditions can be weakened, and a generalized transform approach using idealized mathematical functions can be employed to find useful transform representations. Some generalized transform results of interest include where δ is the Dirac delta function.

7 1.4 Theorems and Separability The theorems listed in Table 1.1 find considerable application in Fourier analysis.intable1.1,a,b,a,andbarescalarconstants. An important property of certain functions is separability. A two dimensional (2D) function is separable ifitcan be written as the product of two functions of a single variable, such as Separabilityreduces the Fourier transform of a 2D function to the product of two one-dimensional (1D) transforms or

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9 1.5 Basic Functions and Transforms Several basic functions, or combinations thereof, are used to describe various physical or analytic structures encountered in optics, such as a circle function to describe a circular aperture. Thus, these functions and their Fourier transform pairs are of considerable utility. The definitions in Table 1.2 are adopted.

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11 If optical structures and apertures are modeled with basic functions, then corresponding Fourier transforms can aid in finding diffraction solutions or image results. The basic functions and their Fourier transforms are presented intable1.3.j1isabesselfunctionofthefirstkind,order1,andappearsinthe transform of the circle function. The transform of the circle is illustrated in Fig In Table 1.3, the last row gives a pair of chirp functions that will become quite familiar in the following chapters.

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13 1.6 Linear and Space-Invariant Systems ThepowerofFouriermethodstoanalyzetheresponseofaphysicalsystemto an input is significantly enhanced if the system can be modeled as linear and shift- (or space-) invariant. There are many aspects of optical systems that can be modeled in this way. In general, the operation of a system on a twovariable input

14 function g1 to produce an output function g2 can be described by where S indicates the operation performed by the system. The test for linearity is the following: where A and B are scalar constants. For a sum of input functions for example, ga and gb in Eq. (1.6) with constant multipliers the output is a sum of the individual responses. If the input can be decomposed into a sum of elementary functions, then the output of a linear system can be determined if the response to the elementary functions is known. Linearity leads to the following expression, known as a superposition integral:

15 The function h is the impulse response of the system, and the integrals indicate thattheoutputofthesystemisasuperposition orsum ofaninfinitesetof impulse responses that multiply the input function. The impulse response is modeled by A linear system is completely characterized by its responses to impulse functions, but to use this property in practice the responses must be known for all locations in the input plane (x1, y1). Linearity represents one level of simplification. Further simplification is afforded by the property of space invariance, where in its most basic form we write and, therefore, the impulse response simplifies to

16 This impulse response does not depend on the absolute position in the input plane or the output plane. It only depends on the relative separation of the input and output points as if they were to appear in a commonx y plane. An interpretation of this situation is that an impulse anywhere in the input plane creates a corresponding response in the output plane that changes position with the input but always has the same relative form. The superposition integral now becomes a convolution integral: In shorthand notation with the convolution operator, Eq. (1.11) is written as where the subscripts on thexandyvariables are no longer necessary. Taking the Fourier transform of each function in Eq. (1.12) and applying the convolution theorem yields

17 donde H (FX, FY) es la transformada de Fourier de la respuesta de impulso h (x, y) y se conoce como la función de transferencia. Dos características valiosas de los sistemas lineales e invariantes espacialmente, son evidentes a partir de la ecuación(1.13): 1. En lugar de abordar directamente la integral de convolución, una ruta más atractiva computacionalmente puede ser tomando la transformada de la entrada en el dominio de Fourier, y multiplicándola por la función de transferencia, y luego hacer la transformada inversa para encontrar el resultado. 2. El modelo de función de transferencia es análoga a las operaciones de filtrado de frecuencia que se encuentran en la teoría eléctrica de circuito, de procesamiento de señal digital, y muchas otras disciplinas que implican análisis de la señal. Revelaciones de estas áreas con frecuencia aplican métodos de Fourier asociados con los sistemas ópticos.