Tarea 3 Soluciones. persona 1, persona 2, persona 3...

Transcripción

1 Tarea 3 Soluciones 1. Demuestra por inducción la fórmula de Gauss. Etracto del libro Spivak: La propiedad más fundamental de los números naturales es el principio de inducción matemática. Supóngase que P() sigifica que la propiedad P se cumple para el número. Entonces el principio de inducción matemática afirma que P() es verdad para todos los números naturales siempre que: 1. P(1) sea verdad.. Si P(k) es verdad, también lo es P(k+1) Nótese que la condición () se limita a afirmar la verdad de P(k+1) bajo el supuesto de que P(k) es verdad. Esto basta para asegurar la verdad de P() para todo si también se cumple la condición (1). En efecto, si P(1) es verdad, se sigue entonces que P() es verdad [aplicando () al caso particular k = 1]. Ahora, puesto que P() es verdad, se sigue que P(3) es verdad [aplicando () al caso particular k = ]. Es evidente que todo número será alcanzado alguna vez mediante una serie de etapas de esta clase, de manera que P(k) será verdad para todos los números k. Una ilustración muy corriente del razonamiento que justifca la inducción matemática considera una fila infinita de personas, persona 1, persona, persona 3... Si cada persona ha recibido instrucciones de contar cualquier secreto que oiga a la persona que le sigue (la que tiene el número siguiente) y se cuenta un secreto a la persona 1, es evidente entonces que cada persona se enterará irremisiblemente del secreto. Si P() es el acerto de que la persona número se enterará del secreto, entonces las istrucciones dadas(contar todos los secretos que se oigan a la persona siguiente) significan que la condición () se cumple, mientras que contar el secreto a la persona 1 hace que se cumpla la condición (1). 1

2 Ahora si la solución, La fórmula de Gauss dice lo siguiente: n = n(n + 1) Para demostrar esta fórmula, Paso 1. Nótese primero que se cumple para n=1. 1 = 1(1 + 1) = 1() = 1 Paso. Supóngase ahora que para algún entero k se tiene: Entonces, k = k(k + 1) k + (k + 1) = k(k + 1) + k + 1 = k(k + 1) + k + = k + 3k + (k + 1)(k + ) = de manera que la fórmula es también verdad para k + 1. Por el principio de inducción, esto demuestra que la fórmula es válida para todos los números naturales n.. Escribe dos ejemplos de cada uno de los incisos. Función. Una función es una relación entre un conjunto dado X (el Dominio) y otro conjunto Y (el Codominio), donde a cada elemento de del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(). Y se denota por f : A B. Ejemplos: Sean A el conjunto de las mujeres y B el conjunto de los hombres. La relación de las parejas (, y) tales que, tiene un sólo hombre correspondiente a y, es una función f : A B. Sea f : Z N dada por f(n) = n + 1 para toda n N. Es una

3 función pues cada entero que te tomes, le asignas un único natural. Otra manera de ver la función: Usualmente X y Y son conjuntos de números. Podemos comparar una función con una máquina a la cual se le introduce el elemento y cuya salida correspondiente es f(). Función Inyectiva. Una función f : X Y es inyectiva si para cuales quiera dos elementos distintos de X, le corresponden dos elementos distintos de Y, es decir, a cada elemento del conjunto X le corresponde un solo valor de Y tal que, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que le correspondan el mismo elemento de Y. Por ejemplo, f() = no es inyectiva pues a y les corresponde el mismo valor. Ejemplos: Sea X = {1,, 3} y Y = {a, b, c, d}, sea f : X Y tal que f(1) = a, f() = b, f(3) = c. Es una función inyectiva. Notar que puede haber elementos en Y a los cuales no les pegue la función. Sea f : Z Z dada por f(n) = n, entonces f es inyectiva porque f(n) = f(m) n = m m = n. Función Suprayectiva. Una función f : X Y es suprayectiva si cada elemento de Y es la imagen de al menos un elemento de X. Si para todo y Y X tal que f() = y. Ejemplos: Sea X = {1,, 3} y Y = {a, d}, sea f : X Y tal que f(1) = a, f() = a, f(3) = d. Es una función suprayectiva, pues para cada elemento de Y, eiste un elemento en X que le pega. Y no es inyectiva pues f(1) = f() y 1. Sea f : Z N dada por f(n) = n, es una función suprayectiva, pero no inyectiva. Función Biyectiva. Una función f : X Y es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva. Notar que para que una función pueda ser biyectiva, el conjunto X y el conjunto Y, deben de tener el mismo número de elementos. 3

4 Ejemplos: Sea f : Z Z dada por f(n) = n, es una función biyectiva, pues es claramente inyectiva y sobre. 3. Escribe con tus palabras una definición de número primo. Sol. Decimos que un entero p distinto de ±1 es primo si sus únicos divisores son ±1 y ±p. 4. En el triángulo ABC sabemos que el ángulo CBA es el doble del ángulo BCA, el lado CA es unidades mayor que el lado AB y BC mide 5. Cuánto miden AB y CA? Definición. Semejanza de triángulos.decimos que dos triángulos ABC y A 1 B 1 C 1 son semejantes si sus ángulos respectivos son iguales y sus lados homólogos son proporcionales, es decir, ABC = A 1 B 1 C 1 ACB = A 1 C 1 B 1 Sol. BAC = B 1 A 1 C 1 AB = BC = CA A 1 B 1 B 1 C 1 C 1 A 1 1. Trazamos la bisectriz del ABC, de tal forma que corte en el punto D al segmento AC. Entonces tenemos que ABD = DBC.. Notar que el triángulo DBC es isósceles, pues DBC = BCD y DC = BD. 3. Observar que el triángulo ABC es semejante a el triángulo ADB. 4. A partir de lo anterior y lo que nos dice el problema,contamos con la siguiente información: por (3), AB AD = AC AB = BC DB 4

5 ahora sustituimos, AD = + = 5 DB sabemos que AD = + DC y por () DB = DC, sustituimos, + DC = + Usamos la última parte de la igualdad, por otro lado, 5 DC = + + DC = 5 DC DC = = 5 DC 5 + ( ) (DC) = 5( + DC) (DC) = (DC) (DC) + 5(DC) = (DC)( + 5) = 5( + ) DC = Ahora igualando (*) y (**), 5( + ) + 5 ( ) 5 + = 5( + ) + 5 ( + 5) = 5( + ) = = 4 = 4 Por lo tanto, AB = = 4 y AC = + = Tres hombres con sus esposas quieren cruzar el río en un bote en el que sólo caben dos personas al mismo tiempo. Como los maridos son muy celosos, ninguna mujer puede quedarse en companía de un hombre a menos que su esposo esté presente. Pueden cruzar el río en menos de 8 viajes? Sol. Independientemente de los celos, veamos si es posible que 6 personas vayan de un lado del río al otro en a lo más 8 viajes. Primer viaje van dos personas, se queda una y la otra hace un viaje de regreso. Así tienen que hacer otros 3 viajes (ida y regreso). Hasta este punto hay 4 personas del otro lado del rio. Y se necesita un último viaje para que las ultimas dos personas 5

6 crucen. En total fueron 9 viajes no importando quien iba con quién. Entonces no se puede cruzar el río en menos de 8 viajes. 6. Irune ordenó sus muñecos: Kuro no está junto Pelu, ni Pelu junto a Teddy, y entre Luna y Pelu hay un muñeco. Si Tigre es el segundo muñeco de izquierda a derecha, qué lugar ocupa Pelu? Sol. Supongamos que el orden, de izquierda a derecha, es Kuro, Tigre, Pelu, entonces ya no podemos colocar ni a Teddy, ni a Luna. Análogamente, si el orden fuera Kuro, Tigre, Luna, no podríamos colocar ni a Teddy, ni a Pelu. Si el orden fuera Pelu, Tigre, Luna, en el cuarto lugar puede ir Kuro y en el quinto Teddy, o viceversa. Si iniciamos con Luna Tigre, Pelu, tampoco podemos colocar a Teddy ni a Kuro. Por lo tanto, el primer muñeco es Pelu. 7. Definimos la operación como A B = A + B 3 Cuál es el valor de [(4 7) 8] [4 (7 8)]? Sol. Haciendo las operaciones, obtenemos que: 4 7 = 4+(7) = 18 = 6 y = 7+(8) = 3 6+(8). Similarmente, 6 8 = = y = = Por lo tanto, [(4 7) 8] [4 (7 8)] = Mario guarda estampas en una caja. Un día cuenta 15 estampas y a partir de ese día: cada día pone 10 estampas más en la caja, cada 4 días saca 3 estampas y se las regala a Pedro, cada 8 días saca, además, 1 estampa y se la regala a Juan. Después de cuántos días habrá 006 estampas en la caja? Sol. Después de cuatro días, habrá 37 estampas más en la caja y después de cuatro días habrá 36 estampas de más en la caja. Es decir, cada 8 días el número de estampas en la caja habrá aumentado en 73. Lo que queremos es llegar a 006 estampas, es decir, aumentar 1991 estampas a las 15 que tiene 6

7 Mario al inicio. Si dividimos 1991 entre 73, el resultado es 7 y deja residuo 0. Por lo que después de 7 8+ = 18 días habrá 006 estampas en la caja. 9. Luis, Carlos, Bruno y David se reparten 011 dulces de la siguiente manera: el primero, Luis, toma 1 dulces, el segundo Carlos, dulces, Bruno toma 3, David 4, Luis 5, etc. Si no hay suficientes dulces para que la persona tome el cuadrado, entonces toma 1 y la secuencia se vuelve a repetir. Quién toma el último dulce? Sol. Vamos a utilizar que la suma de los primeros n cuadrados es n = n(n + 1)(n + 1) 6 Luego, buscamos el mayor número n, tal que n(n+1)(n+1) Observemos que para n = 17 obtenemos, = Si aumentamos 18 = 34, tenemos que > Luego, después de 17 turnos, empieza la sucesión nuevamente. Ahora vemos que = 04, por lo cual = 1989, por lo que nos faltan 17 dulces para 006. Finalmente tenemos que = 14, lo que nos da = 003 y sólo restan 8 dulces. Hasta este momento han pasado = 8 turnos, luego el siguiente turno le corresponde a Luis que escoge 1 = 1, Carlos toma = 4 dulces y, ahora solo quedan 3 dulces, le tocas a Bruno tomar 1 1 = 1, después David toma 1 1 = 1, y finalmente, Luis toma el último dulce. 10. La esposa de Juan ronda los 40 años. Si escribes tres veces seguidas la edad de Juan se obtiene un número que es producto de su edad multiplicada por la de su mujer y la de sus 4 hijos. Qué edad tiene su hijo mayor? Sol. Denotemos la edad de Juan por ab. Entonces tenemos que: ababab = 1000ab + 100ab + ab = 10101ab 7

8 = ( )ab Por lo tanto, el hijo mayor de Juan tiene 13 años. 8