Olimpiada Estatal de Matemáticas 2010 Primera Etapa

Transcripción

1 Olimpiada Estatal de Matemáticas 2010 Primera Etapa PROBLEMAS 1. Carmen compró galletas. Cada una cuesta 4 pesos. Si pagó con un billete de 100 pesos y le regresaron 48 pesos, Cuántas galletas compró? a) 14 b) 13 c) 12 d) 11 e) Ninguna de las anteriores. 2. Cuál es el máximo número de cajas de tamaño que caben en una caja de 8 8 8? a) 64 b) 8 c) 512 d) 16 e) Ninguna de las anteriores. 3. Tenemos cuatro cartas en orden Si se quiere ponerlas en el orden y los únicos movimientos permitidos son intercambiar dos cartas que estén una junto a la otra, Cuál es el mínimo número de movimientos necesarios? a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) Ninguna de las anteriores. 4. Tres orugas inician un recorrido en la misma dirección pero a distintas velocidades. Las tres orugas se cansaron al mimso tiempo y se detuvieron a descansar. Si una de ellas se detuvo a 24 cm del punto de partida, otra recorrió 88 cm y la última se encuentra a la misma distancia de las otras dos, Cuántos cm recorrió la última oruga? a) 44 b) 66 c) 12 d) 56 e) Ninguna de las anteriores. 5. En la siguiente figura las distancias son AC = 15m, BD = 15m y AD = 25m. Encuentra la distancia BC. a) 2m b) 5m c) 7m d) 9m e) Ninguna de las anteriores. 6. Un grupo de estudiantes quiere pedir una pizza. Si cada uno de ellos coopera con $14.00 harían falta $4.00 para pagar la cuenta. Si cada uno de ellos coopera con $ sobrarían $6.00 más de los que necesitan. Con cuánto debe cooperar cada uno para pagar la cuenta? 1

2 a) $ b) $ c) $ d) $ e) Ninguna de las anteriores. 7. Danilo compró chocolates y caramelos. Los chocolates cuestan el doble que los caramelos. Si pagó con $16 por tres chocolates y dos caramelos, Cuánto pagaría si decidiera comprar tres caramelos y dos chocolates? a) $ 10 b) $ 12 c) $ 14 d) $ 16 e) Ninguna de las anteriores. 8. En la siguiente figura están marcadas las longitudes de cada uno de los lados. Si todos los lados son perpendiculares, Cuál es el área de la figura? a) 20 b) 12 c) 25 d) 16 e) Ninguna de las anteriores. 9. Si escribimos todos los números del 1 al 40 en sistema romano, Cuántas veces se habrá escrito el símbolo X? a) 64 b) 65 c) 60 d) 62 e) Ninguna de las anteriores. 10. En la figura, ABCD es un cuadrado, y los triángulos AEB y EFC son equiláteros. Cuánto mide el ángulo DCF? a) 10 o b) 15 o c) 20 o d) 25 o e) Ninguna de las anteriores. 11. Cuántas fracciones irreducibles (simplificadas) hay en la siguiente lista? 1 50, 2 50, 3 48,..., 50 50, Por ejemplo, la fracción 2 2 no está simplificada, ya que 50 que son números más pequeños. 50 puede escribirse como 1 25, a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) Ninguna de las anteriores. 12. Cuántos números enteros positivos n cumplen que al dividir 2010 entre n queda 15 de residuo? a) 11 b) 5 c) 10 d) 1 e) Ninguna de las anteriores. 2

3 13. Si a y b son dos enteros positivos que cumplen que ab = 1000 pero ni a ni b son múltiplos de 10, Cuánto es a + b? a) 110 b) 128 c) 125 d) 133 e) Ninguna de las anteriores. 14. En un baúl hay 5 cofres, en cada cofre hay 3 cajas, y en cada caja hay 10 monedas de oro. El baúl, los cofres y las cajas están cerrados con llave. Cuál es la menor cantidad de cerraduras que hay que abrir para obtener 50 monedas? a) 6 b) 16 c) 11 d) 8 e) Ninguna de las anteriores. 15. En la figura, ABC es un triángulo rectángulo con ángulo recto en A, H es el pie de la altura desde A y K es el punto medio de BC. Cuál es el valor del ángulo B si los ángulos < HAK y < ACK son iguales? a) 30 o b) 45 o c) 60 o d) 70 o e) Ninguna de las anteriores. SOLUCIONES 1. La respuesta es b) Como Carmen pagó con un billete de 100 pesos y le regresaron 48, significa que gastó = 52 pesos. Como cada galleta cuesta 4 pesos y gastó 52, entonces compró 52/4 = 13 galletas. 2. La respuesta es a) El volumen de las cajas de tamaño es 8, y el volumen de la caja de tamaño es 512. Esto significa que caben a lo más 512/8 = 64 cajas. Sólo falta mostrar con un ejemplo que sí es posible meter 64 cajas: Podemos agrupar las 64 cajas en 32 parejas de manera que se formen bloques de Con cuatro de estas 32 parejas formamos 8 planos de tamaño Finalmente, estos ocho planos los colocamos uno sobre otro, y de esta manera se forma un bloque de 8 8 8, el cual llena perfectamente la caja. 3. La respuesta es c) Para llevar la carta 1 a la primera posición necesitamos tres movimientos, después de los cuales la carta número 2 termina del lado derecho. Para llevar a la carta 2 a su posición necesitamos dos movimientos, y finalmente para acomodar las cartas 3 y 4 en su lugar basta un sólo movimiento. En total, se requirieron = 6 movimientos. 3

4 4. La respuesta es d) Como la última oruga terminó a la misma distancia de las otras dos, debe de estar en el punto medio de las otras dos orugas. La distancia de esta oruga a las otras dos, es la mitad de la distancia entre las dos orugas, es decir, como las dos orugas están a distancia = 64 cm, la última oruga está a 64/2=32 cm de la primer oruga, es decir, recorrió = La respuesta es b) Como AC mide 15m y AD mide 25m, entonces CD mide 10m. Como BD mide 15m y CD mide 10m, entonces BC mide 5m. 6. La respuesta es c) Sea n el número de estudiantes y sea C el costo de la pizza. Sabemos que si cada estudiante coopera con 14 pesos, faltarían 6 pesos para cubrir el costo de la pizza, lo cual podemos escribirlo como 14n + 4 = C. De la misma manera, si cooperan con 16 pesos, sabemos que sobrarían 6 quitando el costo total de la pizza, por lo que 16n 6 = C. Igualando estas dos ecuaciones obtenemos que 14n + 4 = 16n 6, de donde obtenemos que n = 5 y sustituyendo en las ecuaciones de arriba obtenemos C = 74. Finalmente, como la pizza cuesta 74 pesos y son 5 estudiantes, cada uno deberá cooperar con $ La respuesta es c) Sabemos que los chocolates cuestan el doble que los caramelos, lo cual nos dice que 1 chocolate cuesta lo mismo que 2 caramelos. También sabemos que 3 chocolates y 2 caramelos cuestan en total 16 pesos, pero además sabemos que 2 caramelos cuestan lo mismo que 1 chocolate, por lo que 4 chocolates cuestan 16 pesos, de donde concluimos que cada chocolate cuesta 4 pesos y cada caramelo cuesta 2 pesos. Por tanto, 3 caramelos y 2 chocolates costarán 14 pesos. 8. La respuesta es a) Solución 1: El rectángulo que en la figura está marcado por líneas punteadas tiene lados que miden 4 y 5, por lo que su área es 20. Las partes que quedan fuera de la figura son dos cuadritos que en total tienen área 2. Los huecos que quedan dentro de dicho rectángulo también equivalen a área 2, por lo que el área de la figura original también es de 20 cm. Solución 2: Si dividimos la figura como en la imagen siguiente, vemos que está compuesta por exactamente 20 cuadritos de área La respuesta es b) Del 1 al 8 no se utiliza ningún símbolo X. Del 9 al 18 se utilizan en cada número 4

5 un símbolo X, por lo que llevamos 10. Del 19 al 28 en cada número se utilzaron 2 símbolos X, por lo que tenemos otros 20 símbolos X que en total hacen 30. De igual manera, del 29 al 38 se utilizan 3 símbolos X por cada número, lo que nos da otros 30 símbolos X que con los que ya teníamos hacen un total de 60. Finalmente, el 39 se escribe como XXXIX y el 40 como XL, lo que nos dan 5 símbolos más. En total, son La respuesta es b) Como AEB es un triángulo equilátero, tenemos que todos sus lados son iguales, en particular, AB=BE. Como ABCD es un cuadrado, AB=BC. Entonces tenemos que EB=BC. Como ABCD es un cuadrado, el ABC = 90 o. Como AEB es un triángulo equilátero, el ABE = 60 o. Por lo tanto, EBC = EBA + ABC = 60 o + 90 o = 150 o. Sabemos que los ángulos internos del triángulo EBC suman 180 o, por lo que BEC = BCE = 15 o, ya que EB=BC. Como EFC es un triángulo equilátero, ECF mide 60 o, por lo que BCF = 15 o + 60 o = 75 o. Finalmente, DCF = DCB F CB = 90 o 75 o = 15 o. 11. La respuesta es d) Las fracciones que no están simplificadas son la que en su numerador hay un número par o un múltiplo de 5. En total, del 1 al 49 hay 24 números pares. También del 1 al 49 hay 9 múltiplos de 5. Por tanto, como en total tenemos 49 fracciones, debemos quitar los múltiplos de 2 y los multiplos de 5, lo que nos deja con 16 números. Sin embargo, el 10, el 20, el 30 y el 40 los quitamos primero de la lista de los pares y luego los volvimos a quitar cuando quitamos los múltiplos de 5. Por eso, debemos reagregarlos para compensar eso, y en total obtenemos 16+4=20 números. 12. La respuesta es a) Para que al dividir 2010 entre n quede 15 de residuo tienen que pasar dos cosas: primero, debe ser un múltiplo de n, es decir, n debe ser un divisor de 1995; la segunda cosa que debe suceder es que n debe ser mayor que 15, de lo contrario no podría suceder que la división entre n deje 15 de residuo. De la primer restricción, vemos que los divisores de 1995 son 1, 3, 5, 7, 15, 19, 21, 35, 57, 95, 105, 133, 285, 399, 665, 1995, en total 16, de los cuales sólo los primeros 5 no son mayores que 15. Por tanto, los valores de n son 11, y son los divisores de 1995 mayores que 15, es decir, a partir de La respuesta es d) Como 1000 = y 10=2 5, tenemos que a si a es múltiplo de 2 ya no puede ser múltiplo de 5, y si es múltiplo de 5 ya no puede ser múltiplo de 2. Lo mismo pasa con b, por lo que, como los factores de 1000 son sólo 2 y 5, a y b deben de ser potencia de 2 y el otro potencia de 5. Como su producto debe ser 1000, uno de los números deberá 5

6 ser 2 3 = 8 y el otro debe ser 5 3 = 125. Por lo tanto, su suma es La respuesta es d) Forzosamente tenemos que abrir un el baúl y un cofre, por lo que debemos abrir 2 cerraduras. Como en cada caja hay 10 monedas y debemos obtener 50 monedas, en total debemos abrir 5 cajas, lo cual nos lleva a abrir otras 5 cerraduras, lo que hace un total de 7. Sin embargo, necesitamos abrir 2 cofres, pues en uno hay sólo 30 monedas, lo cual nos obliga a abrir al menos 8 cerraduras. Ahora, veamos que con abrir 8 cerraduras podemos obtener 50 monedas: primero abrimos el baúl, un cofre y sus tres cajas, y llevamos 30 monedas y 5 cerraduras abiertas. Después abrimos otro cofre del baúl y dos de sus cajas, con lo que tenemos ya 8 cerraduras abiertas y obtenemos las 20 monedas que faltaban. 15. Consideremos el circuncírculo del triángulo ABC. Como A es un ángulo recto, tenemos que BC es diámetro, por lo que su punto medio, o sea K, es el centro de la circunferencia, por lo que KA=KB=KC, de donde se sigue que KAC = KCA = 90 o CBA = HAB. Como además tenemos que HAK = KAC, los tres ángulos en A son iguales, y como A es recto, cada uno de ellos debe de medir 30 o. De ahí se sigue que el ángulo en B vale 60 o. 6