NIVEL 6 CÓDIGO SECCIÓN 1: ALTERNATIVA MÚLTIPLE. Cuántos números de 4 dígitos hay de la forma a99b que sean divisibles entre 54?

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Marcos Carrasco Quintana
hace 6 años
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1 Problema 1. Cuántos números de 4 dígitos hay de la forma a99b que sean divisibles entre 54? A. 3 B. 4 C. 5 6 Como 54 = 2 27 = 2 3 3, 9 tiene que dividir a a99b, luego 9 divide a a + b. Además 2 divide a a99b, luego b es par. Si 9 divide a a + b, como a y b son dígitos y b es par, entonces a 9 y b 8 y por tanto a + b = 9. Es fácil ver que las 5 posibilidades con b par (9990, 7992, 5994, 3996 y 1998) son todas múltiplos de 54. La respuesta es (c). Problema 2. Los números a, b, c, d y e son positivos y a b = 2, b c = 3, c d = 4 y d e = 5. A. B. C. Tenemos que Respuesta (a) A qué es igual?

2 Problema 3. En una mesa hay dos montones de monedas, el de la izquierda con 7 y el de la derecha con 10. Para recogerlas, Úrsula sigue siempre una de las siguientes reglas: Tomar 3 monedas de la pila de la izquierda. Tomar 2 monedas de la pila de la derecha. Tomar 1 moneda de cada pila. Cuál es la menor cantidad de movimientos que debe realizar Úrsula para recoger todas las monedas de la mesa? A. 5 B. 6 C. 7 8 Para dejar un número de monedas múltiplo de 3 en el primer montón n debe hacer la tercera operación 1, 4 o 7 veces. Para dejar un número par de monedas en el segundo montón debe hacer la tercera operación 0, 2, 4, 6, 8, 10 veces. Entonces lo mínimo es hacer la tercera operación 4 veces, una vez la primera operación y 3 veces la segunda operación. La respuesta es (d). Problema 4. En la figura, ABCDEF es un hexágono regular, O es su centro, OPB = 90 y M es la intersecci on de AC y OP. Si MC = 8, cuánto mide AB? A. 2 2 B. 3 C. 4 3 En la figura CAE es un triángulo equilátero, como P Q es paralela a AE, entonces CMN también es equilátero. Por Teorema de Pitágoras, CO = = 8 4 = 48 = 4 3 Finalmente, AB = CO =4 3. La respuesta es (c)

3 Problema 5. En el rectángulo de la figura se trazó una diagonal y luego las perpendiculares de los otros dos vértices a dicha diagonal. Cuál es la distancia entre los dos pies de las perpendiculares? A. B. C. Aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos que la diagonal BD mide 3 4 = 5. Por simetría BE = DF, lo que nos dice que EF = 5 2BE y solamente necesitamos encontrar la medida de BE para terminar el problema. Mostramos dos formas de hacerlo: El área del triángulo ABD es 6, por lo que su altura AE =. Aplicando nuevamente el Teorema de Pitágoras tenemos que BE =!3 " # $. Para terminar calculemos la medida del segmento EF, que es 52 $. Problema 6. Cuántos enteros positivos % hay tales que &'$ &' es un entero? A. Más de 15 B. 15 C. 5 3 Veamos &'$ 2, de donde n + 2 tiene que ser un &' &' divisor de 15. En total hay 3 opciones para n: 1, 3 y 13. La respuesta es (d).

4 Problema 7. Cuántos números de 4 dígitos cumplen que la suma de sus dos últimos dígitos y el número formado por los dos primeros dígitos es igual al número formado por los dos últimos dígitos? (Ejemplo: Un número que satisface la condición es 6370, pues = 70.) A. 10 B. 45 C Sea abcd un número de 4 dígitos. Queremos que 10a+b+c+d = 10c + d, así que 10a + b = 9c y d puede tomar cualquiera de los 10 valores del 0 al 9. Considerando las 8 posibilidades para c (c = 2, 3,..., 9) determinamos de manera única el número de dos dígitos 9c, y con ello a y b quedan determinados por el valor de c. Entonces hay 8 10 = 80 números que cumplen la propiedad. La respuesta es (d). Problema 8. Un cuadrado P QRS con lados de longitud 10cm rueda sin resbalar sobre una recta. Inicialmente P y Q están en la recta y la primera rodada es sobre el punto Q, como muestra el diagrama. La rodada se detiene cuando P regresa por primera vez a la recta. Cuál es la longitud de la curva trazada por P? A. 5(5( 2 B. 10(5( 2 C. 10(10( 2 5(10( 2 En cada giro, P traza cuartos de círculo; el primero tiene radio P Q = 10; el segundo círculo tiene radio P R = 10 2 y el tercero tiene radio P S = 10. Entonces la longitud de la curva trazada por P es 2(, (5( 2 4

5 Problema 9. En un cultivo de bacterias con forma de cuadrícula hay un sólo cuadro que está infectado, pero cada segundo que pasa todos los cuadros que comparten un lado con algún cuadro que esté infectado también quedan infectados. Después de 10 segundos, cuántos cuadros infectados hay? (En la figura se muestran los cuadros que están infectados después de 2 segundos, en el primer segundo se infectan los grises, en el segundo los blancos. A. 181 B. 200 C En el primer segundo se infectan 4 cuadritos, en el segundo 8, en el tercero 12, etc. Es fácil convencerse de que al transcurrir el n-simo segundo se infectan 4n nuevos cuadritos. Al pasar 10 segundos habrá = 1 + 4( ) = 221 cuadritos infectados. La respuesta es (c). Problema 10. Sobre una circunferencia se han marcado 9 puntos. De cuántas formas pueden dibujarse tres triángulos con vértices en estos puntos de manera que cada punto sea vértice de un solo triángulo y ningún par de los triángulos dibujados se corten? A. 9 B. 12 C Observemos que dos de los triángulos deben tener sus vértices vecinos (ninguno de los vértices del otro triángulo está intercalado entre los vértices de esos dos), o de otra manera habrá dos triángulos en la figura que se intersecten. Con esta consideración, hay dos maneras de hacer la elección: 1) Dibujar los triángulos de modo que los vértices de cada uno de ellos estén en puntos adyacentes (como indica la figura 1), lo cual podemos hacerlo de 3 formas distintas, pues una vez que se elige uno de los triángulos los otros dos quedan determinados. 2) Dibujar dos triángulos con sus vértices en puntos adyacentes y el tercer triángulo con exactamente dos vértices en puntos adyacentes (como muestra la figura 2), lo cual podemos hacer de 9 maneras distintas. Como no hay más formas de dibujar los triángulos, la respuesta es = 12. La respuesta es (e).

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