Estáticas de las formas.

Transcripción

1 7 Estáticas de las formas. 1. Estática de las formas General. Para la resolución de muchos problemas de la Estática y del Equilibrio de los cuerpos, es necesario ubicar el punto donde actúan las resultantes y además conocer la influencia de las formas transversales de las piezas en la resistencia. Algo hemos visto cuando estudiamos composición de fuerzas, especialmente cuando debíamos encontrar la posición de la resultante dentro del sistema. Este análisis tiene una historia muy larga y aún más interesante. Quien comienza a estudiar la relación de las formas de la viga con respecto a las fuerzas fueron en orden cronológico Leonardo da Vinci y luego, un siglo más tarde Galileo Galilei. La historia de las ciencias en algunos aspectos es injusta con Leonardo porque atribuye a Galileo los primeros estudios realizados sobre las vigas y sus cargas. Esto se puede justificar porque el Códice de Madrid, que contenía los estudios tanto de vigas como de la resistencia de los materiales se mantuvo oculto, como ya dijimos en capítulos anteriores (figura 7.1). Figura 7.1 En sus bosquejos aparecen de cinco vigas, del tipo de dos apoyos simples y las cargas que Leonardo las materializa con pesas que cuelgan en diferentes posiciones. A la izquierda escribe su famosa pregunta Yo me pregunto, describe su duda y luego intenta contestarla. Este estudio es posible que lo haya realizado en la década del Leonardo realiza otras investigaciones que están en Códice de Madrid pero escapan del objeto de este libro. Unos 140 años más tarde, en la déca- 155

2 da del 1630, sin conocer los escritos de Leonardo, Galileo Galilei realiza ensayos y experimentos con las vigas y sus formas (figura7.2). Figura 7.2 El dibujo 7.2 le pertenece a Galileo y se encuentra en su último libro Discurso sobre dos nuevas ciencias que es editado en el año Tanto Leonardo como Galileo no llegan a resolver la relación definitiva entre forma, carga y material en una viga, por una sencilla razón; en esa época recién se iniciaba la matemática científica y además el método experimental estaba en sus comienzos. Desde las formas y sus dimensiones se puede establecer el tamaño de una pieza. Esta cuestión de relacionar el tamaño con la resistencia lo planteó Galileo por primera vez y en la actualidad se la estudia desde la Mecánica de Fracturas Forma y resistencia. Primer caso: base constante y altura variable. Las cargas que solo producen tracción o compresión generan esfuerzos que están en función de la superficie transversal de la pieza. Pero cuando existe flexión o pandeo, aparecen otros parámetros además de la superficie: módulo resistente, inercia de la sección y radio de giro, los estudiamos por separado. Supongamos cuatro vigas cuyas secciones poseen diferentes alturas pero con algo en común; todas tienen la misma base de 10 centímetros. La altura aumenta en escalones de 5 centímetros (figura 7.3). Figura 7.3 Los cuadrados de su altura serán para cada viga: Para la viga (1): 100 cm 2 Para la viga (2): 225 cm 2 Para la viga (3): 400 cm 2 Para la viga (4): 625 cm 2 Tomando como unidad de resistencia la que posee la viga (1), Leonardo observa: La (1) resiste 100/100 = 1,00 la V 1 como unidad. La (2) resiste 225/100 = 2,25 veces más que la V 1 La (3) resiste 400/100 = 4,00 veces más que la V 1 156

3 La (4) resiste 625/100 = 6,25 veces más que la V 1 Es decir que la resistencia de las vigas, cuando mantienen constante su ancho de base, aumenta proporcionalmente al cuadrado de su altura. Esto es cierto y se comprueba con la fórmula actual de flexión: σ = M W W = bh2 6 M = σ bh2 6 El momento resistente M es directamente proporcional a la altura de la viga elevada al cuadrado. Segundo caso: sección constante, variables altura y base. Otro descubrimiento que obtuvieron los científicos antiguos es mantener la superficie constante. Por ejemplo, considerar cuatro vigas de diferentes formas pero que todas posean la misma superficie: 100 cm 2. Sin embargo las formas son diferentes. La resistencia flexional aumenta con la altura según la figura (figura 7.4). Figura 7.4 Adoptando como resistencia unitaria al de la viga (1), hacemos las siguientes relaciones: La V 1 resiste 10/10 = 1,0 la V 1 como unidad de resistencia. La V 2 resiste 15/10 = 1,5 veces más que la V 1. La V 3 resiste 20/10 = 2,0 veces más que la V 1. La V 4 resiste 25/10 = 2,5 veces más que la V 1. En resumen, cuando se mantiene la sección constante y se varían la base y la altura, la resistencia de la viga aumenta de manera lineal a su altura. Más adelante veremos que lo supuesto por Da Vinci hace más de 500 años, es rigurosamente cierto y tiene vigencia Baricentros de líneas. En algunos casos muy especiales, se utiliza el concepto de línea. Por ejemplo en el esquema de la izquierda se muestra una viga cargada con fuerzas uniformes y constantes (figura 7.5). Figura 7.5 Esa configuración, se la puede asimilar a una viga con una carga única centrada, para solo para la determinación de las reacciones donde: 157

4 longitud de viga (metros): carga repartida (kn/metros): l q Recordemos las unidades y sus equivalencias: N = 1 kn 100 kg = 100 dan. Q (kn) = l. q (kn) R A = R B = Q/2 Esta simplificación solo sirve para la determinación de las reacciones, porque en la flexión la carga repartida genera esfuerzos internos distintos a los de cargas concentradas Baricentros de superficies. General. En otros casos debemos conocer el baricentro de una superficie para aplicar una carga. En el caso de las columnas es necesario que las cargas se ubiquen en los baricentros de sus secciones (figura 7.6). El caso más simple, una columna cuadrada. La carga P debe centrarse en el baricentro G de la sección. Si la carga estuviera desplazada de dicho punto, existiría una excentricidad e de la carga que produciría tensiones parásitas a las columnas (flexo compresión). Figura 7.6 En algunos casos cuando la carga no está centrada, la columna se transforma en una especie de viga vertical con solicitaciones de flexión y además con la carga de compresión. Las cargas fuera de baricentros pueden ser del tipo previstas (e 1 ) y las otras no previstas (e 2 ) o accidentales. Las primeras son aquellas que fueron detectadas y aceptadas en el proceso de diseño y cálculo del edificio. Las segundas responden a errores cometidos por olvido o descuido tanto en el diseño como en la construcción (figura 7.7). Figura 7.7 El caso de (e 1 ) es la que presentan columnas en medianera por dimensiones diferentes. Esta situación crea efectos de flexo compresión que se tienen en cuenta 158

5 en el proceso de cálculo. Parte de esta cuestión la observamos en el capítulo anterior. Una excentricidad por descuido se genera cuando la posición de las barras longitudinales de las columnas no guardan simetría de diámetros y posición (figura 7.8). Figura 7.8 Gran parte de los esfuerzos parásitos generados por la excentricidad, son tomados por el nudo que posee una elevada rigidez y son redistribuidos a columnas, vigas y losas que llegan a ese lugar. Recordemos que está en nuestras manos la decisión de orientar las fuerzas y además de controlarlas, tanto en la fase de diseño, de cálculo y por último en la ejecución de la obra. En "Aplicaciones" estudiamos una columna con barras asimétricas. 2. Momentos estáticos de superficie General. Los próximos temas que estudiaremos Momentos Estáticos, "Módulos Resistentes" y Momentos de Inercia, en la mayoría de los libros y manuales aparecen como temas teóricos. Emplearemos una modalidad distinta para su análisis y secuencia de estudio. Trataremos de justificarlos en la realidad mediante ejemplos prácticos y luego haremos el desarrollo teórico Ejemplo: la forma y la resistencia. Habíamos dicho respecto a las secciones de las vigas, que si manteníamos constantes sus superficies, variando la altura y el ancho de base, obtendríamos vigas más resistentes, en una relación directa al aumento de la altura (figura 7.9). Figura 7.9 El M e (Momento Estático) de las secciones mostradas es el producto de su superficie por la distancia de la base a su baricentro. Veamos: Caso (1): 100 cm 2. 5,0 cm = 500 cm

6 Caso (2): 100 cm 2. 7,5 cm = 750 cm 2. Caso (3): 100 cm 2. 10,0 cm = cm 2. Caso (4): 100 cm 2. 12,5 cm = cm 2. La relación de cada uno respecto al del caso (1): Caso (1): 500 / 500 = 1,00 Caso (2): 750 / 500 = 1,50 Caso (2): / 500 = 2,00 Caso (3): / 500 = 2,50 Conclusión: la relación de los M e tienen la misma relación al de las resistencias de la vigas. Este ejercicio de figuras, formas, superficies y resistencia se relacionan. Veremos de qué manera Desarrollo teórico. El M e (momento estático) es similar al momento de una fuerza; producto de la intensidad de la fuerza (kn) por la distancia al punto de referencia (metros). Ahora, multiplicamos la magnitud de la superficie por la distancia al eje baricéntrico (figura 7.10). Las unidades, para recordarlas:: Momento de fuerza (fuerza por distancia): kn. m. Momento estático (superficie por distancia): m 2. m = m 3. Figura 7.10 La distancia del baricentro al eje "xx" es y G. M e : referido a un eje cualquiera. El M e (Momento estático) cuando está referido el eje horizontal de la figura, se lo expresa de manera matemática (figura 7.11): M e = S y G = (b h)y G Utilizando diferencial de superficie: df = bdy Figura

7 M e = y 2 y 2 y 2 dfy = b dy y = b ydy y 1 y 1 y 1 = Ejemplo: = b y2 y 2 = b 2 y1 2 y y 2 y 1 = 10 cm y 2 = 30 cm b = 10 cm desde la aritmética (superficie por su distancia al eje): S = = 200 cm 2. Distancia del eje al baricentro: 20 cm Momento estático: = = cm 3 Desde la ecuación diferencial: M e : referido a un eje de base. M 2 = = cm 3 La sección apoya sobre el eje x-x, el valor y 1 = 0, y 2 = h (figura 7.12). Figura 7.12 Aquí y 1 = 0 b = 10 cm y2 = 20 cm Mediante la aritmética: M e = S y G = b h h 2 = = 2000cm2 Mediante el cálculo diferencial: M e = y 2 y 2 dfy = b ydy y 1 y 1 M e : referido a un eje baricéntrico. = bh2 2 = = 2.000cm 3 El M e es nulo cuando está referido a un eje baricéntrico (y G = 0). M e = S y G = b h 0 = 0 Mediante el análisis matemático y considerando un diferencial de superficie df, también se lo puede considerar como sigue (figura 7.13): 161

8 M e = y 2 y 2 y 2 dfy = b dy y = b ydy y 1 y 1 = b y2 y 2 = b 2 y1 2 y y 2 = 0 y 1 = La expresión se anula por resultar y 1 = y 2. Figura Resistencia, forma y deformada General. Para estudiar las tensiones que se producen en el interior de la masa de la viga y las deformaciones externas o flechas debemos hacer uso de dos nuevas entidades que definen a la forma: W: módulo resistente en flexión (tensión de trabajo interno). I: momento de inercia (descenso de la viga o curvatura) Hacemos una introducción para justificar su estudio Desde la teoría general. General. En el estudio de una viga cualquiera se deben contemplar dos condiciones para que resulte apta para ser una pieza de la estructura de un edificio. Una es interna de sus características; la resistencia de flexión debe ser mayor que la solicitación externa y la otra que la deformada o elástica resulte menor a los límites de uso y estética. Veremos que en ambas fórmulas, tanto la de resistencia como la de elástica aparecen las entidades que se refieren a la forma de la sección transversal: el W módulo resistente en la resistencia y el I momento de inercia en el cálculo de la flecha o descenso. Internas de resistencia: Tensión de trabajo producida por cargas externas: σ trabajo = M e W 162

9 Tensión de rotura obtenida en laboratorios: σ laboratorio = M l W = σ rot Tensión admisible de diseño: σ adm = σ rot γ γ: coeficiente de seguridad que depende del tipo de material y del grado de control que se ejerza en las fases de diseño y construcción. La pieza estructural en su vida de servicio debe cumplir con: σ adm > σ trabajo La tensión admisible mayor que la tensión de trabajo. Externas de la deformada o elástica: La otra condición es externa, se la puede observar desde afuera: la deformada o la curva elástica que se genera en la viga con las cargas. Se la mide en centímetros y debe ser menor a las límites permitidas por reglamentos y usos: f lím < C ql4 EI f: flecha máxima de la viga (descenso). C: constante en función de las condiciones de borde (tipos de apoyos). q: carga uniforme repartida (acción externa). l: longitud de la viga (geometría longitudinal). E: módulo de elasticidad (característica mecánica del material). I: momento de inercia de la sección (variable geométrica) Desde la geometría general. La viga del esquema en flexión tiene una flecha f y un esquema en detalle de su deformación interna (figura 7.14). Para establecer la tensión de trabajo en el interior de la viga utilizamos la relación de los triángulos sombreados cuyos lados menores son δ c y δ t y los lados mayores h/2. Esa geometría interna está relacionada con la externa de la viga deformada. La deformación f de la viga en su longitud puede ser perceptible a la visión común, incluso es posible medirla con una regla en milímetros. Lo interesante son otros parámetros relacionados a esa elástica o flecha; dos perpendiculares muy próximas a esa curva se encuentran en el punto O. La distancia entre ese punto y el eje de la viga se indica con la letra r y se denomina radio de curvatura. 163

10 Figura 7.14 δ c : acortamiento de fibras. δ t : alargamiento de fibras. Si comparamos el esquema externo de la viga con el interno, nos encontramos que los triángulos sombreados son proporcionales. Desde el radio de curvatura surge el momento de inercia I de la sección, mientras que desde las tensiones internas de trabajo aparece el módulo resistente W. Esto lo veremos en el Capítulo 19 Deformación. Las expresiones anteriores poseen como variables todos los parámetros que pueden definir la resistencia y conducta de una viga: carga (q), material (E), resistencia (σ), pero también las distancias que definen la forma final de la viga: longitud (l),ancho (b), alto (h) y flecha (f). 4. Módulo resistente General. Hemos visto que existe relación entre la forma de las sección transversal de la pieza de una viga y su resistencia a la flexión. Ahora, en el estudio que sigue incorporamos el concepto de tensión: σ = fuerza superficie = MN m 2 = MPa Para el análisis elegimos una viga con material que resiste por igual la tracción y la compresión, por ejemplo la madera o el hierro. 164

11 Figura 7.15 La viga del esquema responde a apoyos simples con carga uniforme repartida y con simetría de forma y de cargas (figura 7.15). La máxima solicitación a flexión se da en la mitad de su longitud (l/2). Llamamos M f (Momento Flector) a la solicitación que dobla a la viga Figura En el interior de la viga se crean cuplas resistentes cuya intensidad varían de acuerdo al M f externo (figura 7.16). La cupla de mayor intensidad se da en el punto medio de la viga, sección (1-1): M e = ql 2 /8. La parte superior de la viga se encuentra comprimida y la inferior traccionada. La distribución de los esfuerzos internos (tensiones) tienen la forma triangular de la figura superior. Las resultantes de ese volumen de tensiones es "C" para la compresión y "T" para la tracción. Mf = C z = T z Para la geometría del volumen consideramos solo los esfuerzos de compresión de la parte superior (figura 7.17). Figura

12 Ese prisma se compone de fuerzas que se las denomina tensiones y considera la cantidad de dan por centímetro cuadrado de superficie de la sección. Entonces el valor de C será: C = σ b h = σbh 4 La tensión σ que utilizamos es la de rotura, la máxima que soporta el material en las fibras más alejadas. Esa resultante C se ubica a una distancia (2/3)h de la resultante de tracción T. Esa cupla o resistencia interna a la rotura por flexión se denomina M i, momento interno. En el instante de la rotura de la viga, las acciones externas superan a la resistencia interna que forma la cupla, esta resistencia se denomina "flector nominal" o "flector interno". Rotura: M f > M i Para que la viga resulte estable durante su función en el edificio, se debe cumplirse que: Estable: M f < M i El modelo matemático de la cupla interna: Mi = Cz = Tz = σbh 4 2 bh2 h = σ 3 6 Esto significa que resistencia límite de la viga (cupla interna) es igual a la tensión de rotura multiplicada por una expresión que depende de la base y la altura de la viga al cuadrado. M i = σ bh2 6 = σw Entonces el factor de proporcionalidad es: W = bh2 6 Esta expresión se llama Módulo resistente de una viga de sección rectangular. La fórmula final de la teoría de la flexión desde la tensión: σ = M W 4.2. Incógnitas y datos. Viga de apoyos simples y carga uniforme repartida (figura 7.16): La ecuación anterior podemos escribirla con todos los parámetros que participan en una viga. Tendremos cinco variables (tensión, carga, altura, ancho y longitud), cuatro de ellas pueden ser datos y una la incógnita. Para despejar la tensión máxima de trabajo de la viga: σ = M W = ql2 8 6 bh 2 = ql2 1,33bh 2 166

13 Para conocer la carga necesaria para determinadas condiciones: q = 1,33σbh2 l 2 Para calcular la longitud admisible de una viga según los otros parámetros: l = 1,33σbh 2 q Para dimensionar el ancho "b" de la sección rectangular: b = ql2 1,33σh 2 Para dimensionar la altura "h" de la sección rectangular: h = ql 2 1,33σb Viga de apoyos simples y carga centrada al medio: También tendremos cinco variables (tensión, carga, altura, ancho y longitud), cuatro de ellas pueden ser datos y una la incógnita. Para despejar la tensión máxima de trabajo de la viga: σ = Pl 4 6 bh 2 = 1,5Pl bh 2 Para conocer la carga necesaria para determinadas condiciones: P = σbh2 1,5l Para calcular la longitud admisible de una viga según los otros parámetros: l = σbh2 1,5P Para dimensionar el ancho "b" de la sección rectangular: b = 1,5Pl σh 2 Para dimensionar la altura "h" de la sección rectangular: h = 1,5Pl σb 167

14 5. Momento de inercia General. Al momento de inercia I se lo conceptualiza como la suma de los productos de las superficies por sus distancias al eje baricéntrico elevadas al cuadrado. Consideramos una superficie elemental df = b.dy que está a una distancia y del baricentro (figura 7.18). Figura 7.18 Entonces la sumatoria de la superficie elemental por su distancia al cuadrado lo resolvemos con una integral: + h 2 I xx = dfy 2 h 2 + h 2 = by 2 dy h 2 = b y3 + h 2 = 3 h 2 = b 3 h 2 3 h h 2 h 2 = b 3 h h3 8 = bh3 12 Entonces: I xx = bh3 12 cm4 La inercia puede ser aumentada según la forma y posición de la masa de la pieza, el bambú presenta en su corte una sección circular hueca, esa configuración le otorga una elevada resistencia al pandeo, además de sus nudos que actúan como piezas de rigidez de las fibras (figura 7.19). Figura Relación entre el W y el I. Sabemos que ambos provienen de maniobras aritméticas realizadas con la base b y la altura h, entonces debe haber una relación entre ellos, hacemos I/W: I W = bh 3 12 bh 2 6 = h 2 168

15 I = W h 2 El momento de inercia I resulta de multiplicar al módulo resistente W por (h/2), la mitad de la altura de la viga. 6. Radio de giro i. El radio de giro es una longitud cuya unidad puede ser el centímetro o el metro. También es una entidad matemática que expresa una condición geométrica de la sección, en realidad es parte del Momento de Inercia I. El I es una longitud elevada a la cuarta potencia (m 4 ), si la dividimos por la superficie S de la figura nos quedará la unidad (m 2 ). Si por fin le aplicamos una raíz cuadrada conseguimos una distancia (m). Veamos, para una sección rectangular: i = I m 4 S m 2 = bh 3 12 bh = h 2 12 = h 3,46 cm El significado de i está muy bien definido en el libro Intuición y razonamiento del diseño estructural de Moisset, al decir que el radio de giro es una longitud que representa la distancia a la que habría que colocar la totalidad del área para obtener el mismo momento de inercia que la sección maciza (figura 7.20). Figura 7.20 La superficie total de la figura: S = bh La mitad de esa superficie: S/2 = bh/2 La inercia de la sección maciza: bh 3 /12 Imaginemos una sección donde b = 10 cm y h = 20 cm. El momento de inercia de masa total: I = bh 3 /12 = / 12 = cm 4 169

16 La misma inercia anterior la obtenemos usando el radio de giro: I = 2. (bh/2). i 2 = 2. (10.20/2). (20/3,46) 2 = cm 2 La función o utilidad del i la veremos en el Capítulo 21 de Pandeo. 7. Relación entre la geometría y las cargas General. En este espacio consideramos a la geometría de las secciones transversales de las piezas estructurales de dos formas: superficie y forma. Por otro lado consideramos las cargas también de dos maneras: aquellas que actúan en la misma dirección que el eje longitudinal de la pieza (columnas) y las otras que descargan en forma perpendicular a ese eje (vigas). Con esta propuesta de geometría y cargas, vamos a ver la manera que se combinan y obtendremos una interesante respuesta Cargas en la misma dirección que el eje. Son los tensores o cables que trabajan a tracción, las cargas por su dirección y sentido corrigen cualquier desviación de la pieza, son auto correctivas. La tensión o esfuerzo dentro del material será: σ = P(kN) S(cm 2 ) = P(MN) S(m 2 ) = P S (MPa) Participa la superficie de la sección transversal. En el caso que las cargas sean de compresión, si la pieza es robusta y no exista excentricidad, la expresión del esfuerzo es igual al del efecto de tracción: fuerza sobre superficie. Resumen: la tensión es la relación de la carga con la superficie Cargas normales a la dirección del eje. Son las piezas sometidas a flexión, las vigas. Veremos que ahora participa la forma de la sección. En estos casos la tensión de trabajo en la sección media, será: σ = M(kNm) W(cm 3 ) = M(MNm) W(m 3 ) = M MN W m 2 = M W (Mpa) Recordemos que: W = bh2 6 Resumen: la tensión es la relación del M e con la forma "W" de la sección transversal. 170

17 7.4. Pandeo. En el suceso de pandeo aparece otra entidad: la relación entre la forma longitudinal de la columna (altura de pandeo) con la forma transversal (radio de giro) y nos cuantifica su esbeltez: λ = s i Cuando las columnas son muy esbeltas, las cargas de compresión producen un fenómeno de inestabilidad geométrica que se llama pandeo. Mostramos en forma directa la expresión matemática que lo representa, luego en capítulos próximos desarrollamos la teoría. Para aliviar la lectura advertimos que la transcribimos solo para ver como se relacionan las cargas con las formas y las características del material. La tensión crítica en pandeo: σ crit = π2 E λ 2 (Mpa) = π2 E π 2 Ei 2 s 2 (Mpa) = s 2 (Mpa) i 2 Complicada la fórmula. Observemos solo el último término; nos dice que la tensión crítica, cuando la pieza ingresa en pandeo es función de: π: pi. E: Módulo de elasticidad del material (Mpa). i: radio de giro (m). s: altura de la columna (m). Notable; no figura la carga, tampoco la superficie de la sección de columna. Desde el aspecto geométrico, esta tensión es función: Del radio de giro i que es una expresión matemática que indica la separación teórica de las masas del material respecto del eje neutro. De la altura s de la columna. Del Módulo de Elasticidad, característico en cada material. 8. Resumen. En todas las piezas donde actúas las cargas, el esfuerzo interior es una función que tiene por variables la solicitación, la superficie y la forma. En el caso de cargas simples (tracción y compresión): se toma la superficie. En el caso de flexión simple: se utiliza el módulo resistente "W". En los casos de las elásticas de viga: se utiliza la rigidez "EI". En los casos de pandeo: se adopta el radio de giro "i". 171

18 En todos los sucesos aparece la forma de la sección transversal de la pieza interpretada de una u otra manera. Este tema de la dimensión longitudinal fue un dolor de cabeza para los sabios del Renacimiento. La discusión se presentaba también en la forma longitudinal. Se creía que un cable aumenta su resistencia cuando mayor es su longitud. En realidad no aumenta, pero surge un nuevo fenómeno que no se lo conocía en ésa época: la energía o el trabajo. Sabemos ahora que el trabajo es el producto de la fuerza por su desplazamiento: en el cable corto el desplazamiento para la rotura es reducido. Para un cable muy largo por la propia elasticidad del cable, la fuerza debe desplazarse una distancia mayor. Si bien no es tema de este capítulo, es conveniente destacar la diferencia entre trabajo y energía. El primero, el trabajo, dijimos que es el producto de la fuerza por la distancia que se desplaza; es trabajo exterior. Pero en el interior de la pieza ese trabajo se acopia; eso es energía de deformación acumulada. El trabajo exterior se transforma en energía elástica interna en el edificio y en su estructura. 9. Aplicaciones 9.1. Columna de sección en "L"- Mostramos columnas con secciones complejas, por ejemplo aquellas con formas de tipo L (figura 7.21). Figura 7.21 Para conocer el grado excentricidad de las cargas que sostienen estas columna, es necesario calcular la posición de baricentro. De manera analítica se procede como sigue y supongamos la columna con las siguientes dimensiones: d 1 = 60 cm. d 2 = 40 cm b 2 = 20 cm b 1 = 20 cm Dividimos la superficie total en dos rectángulos: S 1 = = cm 2 (d 1.b 2 ) S 2 = = 400 cm 2 (d 2 - b 2 ).b 1 Superficie total S t = cm 2 Usamos ejes coordenados (x-y) coincidente con los lados exteriores de la sección de la columnas. Aplicamos la Ley de Momentos, ahora, en vez de fuerzas maniobramos con superficies: 172

19 Según el eje x-x: S i y i = S 1 30cm + S 2 10cm y = 1200cm2 30cm + 400cm 2 10cm 1600cm 2 Según el eje y-y: S i x i = S 1 10cm + S 2 30cm y = 1200cm2 10cm + 400cm 2 30cm 1600cm 2 = 25 cm = 15 cm El baricentro de la columna se encuentra en la intersección de los nuevos ejes x 1 y 1. Es allí donde se debe ubicar el eje de las cargas superiores Diferencias entre circunferencia y anillo. El tronco del bambú es hueco y con forma de circunferencia; es un anillo o cilindro. Veamos cómo la naturaleza supo aprovechar la condición de la estática de las formas. Suponemos las siguientes dimensiones del radio exterior e interior del tronco: r 1 = 5 cm r 2 = 4 cm De tabla 6 "Momento inercia y módulo resistente" (figura 7.22): Figura 7.22 Superficie del anillo: S = 28 cm 2 Módulo resistente: W = 58 cm 3 Momento de inercia: I = 289 cm 4 Realizamos la comparativa entre un tronco con igual superficie maciza que la del anillo del tronco de bambú. r = 3 cm Superficie: = 28 cm 2 Módulo resistente: W = 7 cm 3 Momento de inercia: I = 64 cm 4 La tacuara de bambú con su característica forma posee un módulo resistente más de ocho veces que la rama maciza de igual superficie. Además tiene un inercia superior a cuatro. La resistencia a flexión interna (Mi = σ.w) es función directa del módulo; la capacidad de sostener las fuerzas horizontales de viento con la sección hueca aumenta también ocho veces. 173

20 Figura 7.23 Para evitar el pandeo de sus largas fibras genera nudos separados unos 15 a 20 centímetros (figura 7.23) Baricentro columna de hormigón. Una columna de hormigón con lados de 20 centímetros posee una armadura asimétrica, tal como se la muestra (figura 7.24). Figura 7.24 De una lado fueron colocadas dos barras de diámetro 12 mm y del otro dos barras de diámetro 16 mm. El módulo de elasticidad del acero es una once veces superior al del hormigón, el momento estático respecto a la cara izquierda de las superficies equivalentes de manera aproximada se resuelve: Área equivalente barras 12 mm: Se = 1, cm 2 Área equivalente barras 16 mm: Se = 2, cm 2 Superficie total: 69 cm 2. Adoptamos como eje de referencia la cara izquierda de la columna y calculamos el momento estático de estas superficies. M e = cm cm = 557 cm 3 Por ley de momentos calculamos la distancia del eje baricéntrico: x = 557 / 69 = 8,07 cm Desplazamiento del baricentro: x G = 10-8,07 = 1,93 cm La carga sobre la columna es de 30 toneladas, con ese desplazamiento se produce una flexión: 174

21 M f = 1, = 57,9 tn cm = dan cm = 579 danm Por este desplazamiento del baricentro la columna está solicitada por flexo compresión Resistencia en flexión según la forma El problema es determinar la carga última máxima que puede soportar la viga de apoyos simples con carga concentrada al medio, según la forma que se coloca la sección transversal. (figura 7.25). Figura 7.25 La sección rectangular de canto (figura 7.26). Figura 7.26 Longitud de la viga: l = 5 metros. Material: madera dura. Tensión de rotura en flexión: 45 Mpa. Lado b : 12,5 cm Lado h : 25,0 cm Momento flector externo: M f = Pl/4 Momento de cupla interno: M i = σw W = bh 2 /6 = 12, / 6 = cm 3 = (1.302 cm 3 / cm 3 /m 3 ) M i = 45 Mpa. 0,0013 m 3 = 0,0585 Mpa. m 3 = 0,0585 (MN/m 2 ). m 3 = 0,0585 MNm = 58,5 knm La carga de rotura será: M i = M f Mi = 58,5 knm = Mf = Pl/4 = P. 5 / 4 = P. 1,25 P = 58,5 / 1,25 = 46,8 kn kg Esta es la carga que lleva a la rotura a la viga. Luego, en el capítulo de esfuerzos internos vamos a desarrollar el concepto de tensión admisible y coeficiente de seguridad para el dimensionado final de las piezas. La sección rectangular apaisada (figura 7.27). El módulo resistente "W" se reduce a la mitad al girar 90 la sección, lo vemos: Figura

22 Lado b : 25,0 cm Lado h : 15,5,0 cm W = bh 2 /6 = 25,0. 12,5 2 / 6 = 651 cm 3 = (651 cm 3 / cm 3 /m 3 ) M i = 45 Mpa. 0,00065 m 3 = 0,02925 Mpa. m 3 = 0,02925 (MN/m 2 ). m 3 = 0,02925 MNm 29,25 knm La carga de rotura será: M i = M f Mi = 29,25 knm = Mf = Pl/4 = P. 5 / 4 = P. 1,25 P = 29,25 / 1,25 23 kn = kg La carga de rotura se reduce a la mitad. 176