Introducción a las Estructuras

Transcripción

1 Introducción a las Estructuras Capítulo cuatro: Estática de las formas (1) Parte UNO 1. Estática de las formas. General. Para la resolución de muchos problemas de la Estática y del Equilibrio de los cuerpos, es necesario ubicar el punto donde actúan las Resultantes. Algo hemos visto cuando estudiamos composición de fuerzas, especialmente cuando debíamos encontrar la posición de la resultante dentro del sistema. Antes estudiamos las fuerzas, ahora analizamos las formas estructurales, en especial la sección transversal. Este análisis tiene una historia muy larga y más aún interesante. Quien comienza a estudiar la relación de las formas de la viga con respecto a las fuerzas fueron en orden cronológico Leonardo da Vinci y luego, unos 50 años más tarde Galileo Galilei. La historia de las ciencias en algunos aspectos es injusta con Leonardo porque atribuye a Galileo los primeros estudios realizados sobre las vigas y las cargas. Esto se puede justificar porque el Códice de Madrid, que contenía los estudios tanto de vigas como de la resis-

2 tencia de los materiales se mantuvo oculto, perdido por casi cuatrocientos años. Reproducimos una de sus páginas. A la derecha están los esquemas de cinco vigas, del tipo de dos apoyos simples y las cargas Leonardo las materializa con la forma de pesas que cuelgan en diferentes posiciones. A la izquierda escribe su famosa pregunta Yo me pregunto, describe su duda y luego intenta contestarla. Este estudio es posible que lo haya realizado en la década del 1490 (descubrimiento de América). Leonardo realiza otras investigaciones que están documentas pero escapan del objeto de este libro. Unos 140 años más tarde, en la década del 1630, sin conocer los escritos de Leonardo, Galileo Galilei realiza ensayos y experimentos con las vigas y sus formas. El dibujo superior le pertenece a Galileo y se encuentra en su último libro Discurso sobre dos nuevas ciencias que es editado en el año Tanto Leonardo como Galileo no llegan a resolver la relación entre forma, carga y material en una viga, por una sencilla razón; en esa época recién se iniciaba la matemática científica y además aún no se habían desarrollado los ensayos para conocer las características mecánicas de los materiales. Formas de sección transversal. Primer caso: Ante las cargas que solo producen tracción o compresión los esfuerzos estarán en función de la superficie transversal de la pieza. Pero cuando existe flexión o pandeo, aparece otro parámetro a estudiar: la forma. Supongamos cuatro vigas cuyas secciones poseen diferentes alturas pero con algo en común; todas tienen la misma base de 10 centímetros. La altura aumenta en escalones de 5 centímetros.

3 Los cuadrados de su altura serán para cada viga: (1) 100 cm 2 (2) 225 cm 2 (3) 400 cm 2 (4) 625 cm 2 Tomando como unidad de resistencia la que posee la viga (1), Leonardo observa: La (2) resiste 225/100 = 2,25 veces más que la V 1 La (3) resiste 400/100 = 4,00 veces más que la V 1 La (4) resiste 625/100 = 6,25 veces más que la V 1 Es decir que la resistencia de las vigas, cuando mantienen constante su ancho de base, aumenta proporcionalmente al cuadrado de su altura. Esto es cierto y se comprueba con la fórmula actual de flexión: El momento resistente M es directamente proporcional a la altura de la viga elevada al cuadrado. Segundo caso: Otro descubrimiento que obtuvieron los científicos antiguos de la Estática es el de mantener la superficie constante. Por ejemplo, considerar cuatro vigas de diferentes formas pero que todas posean la misma superficie: 100 cm2. La superficie de la sección de ambas vigas es igual a 100 cm2, sin embargo las formas son diferentes. La viga de la derecha, de sección rectangular, resiste dos veces más a la flexión que la cuadrada. Podemos comprobarlo con más formas: Adoptando como resistencia unitaria al de la viga (1), hacemos las siguientes relaciones: La V2 resiste 15/10 = 1,5 veces más que la V1. La V3 resiste 20/10 = 2,0 veces más que la V1. La V4 resiste 25/10 = 2,5 veces más que la V1. Más adelante veremos que lo supuesto por Da Vinci hace más de 500 años, es rigurosamente cierto y tiene vigencia.

4 Baricentros de líneas. La figura de la izquierda se muestra una viga cargada con fuerzas uniformes y constantes. Esa configuración, para el solo efecto de la determinación de las reacciones se la puede asimilar a una viga con una carga única centrada, donde: longitud de viga (metros): l carga repartida (kn/metros): q Q (kn) = l. q (kn) Baricentros de superficies. En otros casos debemos conocer el baricentro de una superficie para aplicar una carga. En el caso de las columnas es necesario que las cargas se ubiquen en los baricentros de sus secciones. El caso más simple, una columna cuadrada. El carga P debe centrarse en el punto G, que corresponde al baricentro. Si la carga estuviera desplazada de dicho punto, existiría una excentricidad e de la carga que produciría tensiones parásitas a las columnas (flexo compresión). En algunos casos cuando la carga no está centrada, la columna se transforma en una especie de viga vertical con solicitaciones de flexión y además con la carga de compresión. Visualización práctica. Hay columna con secciones complejas, por ejemplo aquellas con formas de tipo L. Para centrar la carga que transmiten otras piezas en la parte superior, para que la carga coincida con el baricentro de la sección, es necesario calcular la posición de baricentro. De manera analítica se procede como sigue y supongamos la columna con las siguientes dimensiones: d 1 = 60 cm. d 2 = 40 cm b 2 = 20 cm b 1 = 20 cm

5 Dividimos la superficie total en dos rectángulos: S 1 = = cm 2 (d 1.b 2 ) S 2 = = 400 cm 2 (d 2 -b 2 ).b 1 Superficie total St = cm 2 Usamos ejes coordenados (x-y) coincidente con los lados exteriores de la sección de la columnas. Aplicamos la Ley de Momentos, ahora, en vez de fuerzas maniobramos con superficies: Según el eje x-x: Según el eje y-y: El baricentro de la columna se encuentra en la intersección de los nuevos ejes x1 y1. Es allí donde se debe ubicar el eje de las cargas superiores. Cargas fuera de baricentros. Las cargas fuera de baricentros pueden ser del tipo previstas y las otras no previstas. Las primeras son aquellas que fueron detectadas y aceptadas en el proceso de diseño y cálculo del edificio. Las segundas responden a errores cometidos en algún proceso tanto del diseño como de la construcción. Una excentricidad inevitable es la que muestra la figura. Dos columnas y la superior de dimensiones menores que a los efectos de mantener una vertical externa debe ser desplazada. Esta situación crea efectos de flexo compresión en la columna inferior que se tienen en cuenta en el proceso de cálculo.

6 La excentricidad es la que surge por errores durante la construcción. En especial por descuidos en los replanteos de los ejes de columnas. Las columnas tienen las mismas dimensiones pero los ejes axiales no coinciden. Los esfuerzos parásitos generados en ese encuentro en la generalidad de los casos son absorbidos por el nudo que posee una elevada rigidez. Recordemos que en esa región pueden llegar, además de las dos columnas, las vigas y las losas del entrepiso. Recordemos que está en nuestras manos la decisión de orientar las fuerzas y además de controlarlas, tanto en la fase de diseño, de cálculo y por último en la ejecución de la obra. 2. Momentos estáticos de superficie. General. Los próximos temas que estudiaremos Momentos Estáticos y Momentos de Inercia, en la mayoría de los libros y manuales aparacen como temas teóricos. Emplearemos una modalidad distinta para su análisis y secuencia de estudio. Trataremos de justificarlos en la realidad mediante ejemplos prácticos y luego haremos el desarrollo teórico. Visualización práctica. Habíamos dicho respecto a las secciones de las vigas, que si manteníamos constantes sus superficies, variando la altura y el ancho de base, obtendríamos vigas más resistentes, en una relación directa al aumento de la altura. El Me (Momento Estático) de las secciones mostradas es el producto de su superficie por la distancia de la base a su baricentro. Veamos: Caso (1): 100 cm 2. 5,0 cm = 500 cm 2. Caso (2): 100 cm 2. 7,5 cm = 750 cm 2. Caso (3): 100 cm 2. 10,0 cm = cm 2. Caso (4): 100 cm 2. 12,5 cm = cm 2. La relación de cada uno respecto al del caso (1): Caso (1): 500 / 500 = 1,00 Caso (2): 750 / 500 = 1,50 Caso (2): / 500 = 2,00 Caso (3): / 500 = 2,50 Conclusión: la relación de los Me tienen la misma relación al de las resistencias de la vigas. Este ejercicio de figuras, formas, superficies y resistencia se relacionan. Veremos de qué manera.

7 Desarrollo teórico. El Me es similar al momento de una fuerza; producto de la intensidad de la fuerza (kn) por la distancia al punto de referencia (metros). Ahora multiplicamos la magnitud de la superficie por la distancia al eje baricéntrico. Las unidades, para recordarlas: Momento de fuera: kn. m. Momento estático: m 2. m 2 = m 3. Me : referido a un eje cualquiera. El Me cuando está referido el eje x-x de la figura, se lo expresa de manera matemática: Utilizando diferencial de superficie: df = bdy * + Me : referido a un eje baricéntrico. El Me es nulo cuando está referido a un eje baricéntrico. Mediante el análisis matemático y considerando un diferencial de superficie df, también se lo puede considerar como sigue: * +

8 La expresión se anula por resultar y 1 = y 2. Me : referido a un eje de base. Si la figura apoya sobre el eje x-x, el valor y 1 = 0, y 2 = h. Mediante la aritmética: Mediante el análisis matemático: 1. Módulo resistente. General. Hemos visto que existe relación entre la forma de las sección transversal de la pieza de una viga y su resistencia a la flexión. Ahora, en el estudio que sigue incorporamos el concepto de tensión: Para el análisis elegimos una viga con material que resiste por igual la tracción y la compresión, por ejemplo la madera o el hierro. La viga de la parte superior del esquema responde a la de una de apoyos simples con carga uniforme repartida y con simetría de forma y de cargas. La máxima solicitación a flexión se da en la mitad de su longitud (l/2). Llamamos M f (Momento Flector) a esa demanda de las fuerzas repartidas que doblan a la viga.

9 En el interior de la viga se crean cuplas resistentes cuya intensidad varían de acuerdo al M f. La cupla de mayor intensidad se da en el punto medio de la viga, sección (1-1). La parte superior de la viga se encuentra comprimida y la inferior traccionada. La distribución de los esfuerzos internos (tensiones) tienen la forma triangular de la figura superior. Las resultantes de ese volumen de tensiones es C para la compresión y T para la tracción. Para la geometría del volumen consideramos solo los esfuerzos de compresión de la parte superior. Ese prima se compone de fuerzas que se las denomina tensiones y se las considera la cantidad de kn por centímetro cuadrado de superficie de la sección. Entonces el valor de C será: ( ) La tensión σ que utilizamos es la de rotura, la máxima que soporta el material. Esa resultante C se ubica a una distancia (2/3)h de la resultante de tracción T. Esa cupla o resistencia interna a la rotura por flexión se denomina M i, momento interno. En el instante de la rotura de la viga, las acciones externas superan a la resistencia interna que forma la cupla. Rotura cuando M f > M i Para que la viga resulte estable durante su función en el edificio, sebe cumplirse que: Estable cuando M f < M i Completando el modelo matemático de la cupla interna: ( ) ( ) Esto significa que resistencia límite de la viga (cupla interna) es igual a la tensión de rotura multiplicada por una expresión que depende de la base y la altura de la viga. Entonces el factor de proporcionalidad es: Esta expresión se llama Módulo resistente de una viga de sección rectangular. La fórmula final de la teoría de la flexión:

10 Visualización práctica. El problema es determinar la resistencia última o el momento flector máximo que puede soportar la viga de la figura, planteado de otra manera; establecer la magnitud de la carga P concentrada en el medio: Longitud de la viga: l = 5 metros. Material: madera dura. Tensión de rotura en flexión: 45 Mpa. Lado b : 12,5 cm Lado h : 25,0 cm Momento flector externo: M f = Pl/4 Momento de cupla interno: M i = σw W = bh 2 /6 = 12, / 6 = cm 3 = (1.302 cm 3 / cm 3 /m 3 ) M i = 45 Mpa. 0,0013 m 3 = 0,0585 Mpa. m 3 = 0,0585 (MN/m 2 ). m 3 = 0,0585 MNm = 58,5 knm La carga de rotura será: M i = M f Mi = 58,5 knm = Mf = Pl/4 = P. 5 / 4 = P. 1,25 P = 58,5 / 1,25 = 46,8 kn kg Esa es la carga que lleva a la rotura a la viga. Luego, en el capítulo de esfuerzos internos vamos a desarrollar el concepto de tensión admisible y el de coeficiente de seguridad para el dimensionado final de las piezas.

11 2. Momento de inercia de una superficie. General. Es un concepto que pertenece a la familia del Módulo Resistente (W), es más complejo de interpretar. En general se lo usa para establecer el grado de rigidez que posee la viga, se lo combina con el valor E (Módulo de Elasticidad) del material. Veremos que la rigidez de la pieza es: EI (el producto del módulo de elasticidad del material por el momento de inercia de la sección). Recordemos que en el punto anterior, la resistencia a flexión resultaba: σw, el producto de la tensión del material por el módulo resistente de la sección. Vemos se multiplican valores característicos del material con una entidad matemática de la forma de la sección. Por ejemplo para conocer el descenso que sufre la parte media de la viga anterior, con la carga de rotura, se utiliza la expresión: Esta expresión la utilizaremos en la visualización práctica. Desarrollo matemático. Al momento de inercia I se lo conceptualiza como la suma de los productos de las superficies por sus distancias al eje baricéntrico elevada al cuadrado. Por ejemplo en la figura que sigue consideramos una superficie elemental df = bdy que está a una distancia y del baricentro. Entonces la sumatoria de la superficie elemental por su distancia al cuadrado lo resolvemos con una integral: * + *( ) ( ) + ( ) Entonces: La unidad es cm Radio de giro i. El radio de giro es una longitud que cuya unidad puede ser el centímetro o el metro. También es una entidad matemática que expresa una

12 condición geométrica de la sección, en realidad es parte del Momento de Inercia I. El I es una longitud elevada a la cuarta potencia (m 4 ), si la dividimos por la superficie S de la figura nos quedará la unidad (m 2 ). Si por fin le aplicamos una raíz cuadrada conseguimos una distancia (m). Veamos, para una sección rectangular: ( ) El significado de i está muy bien definido en el libro Intuición y razonamiento del diseño estructural de Moisset, al decir que el radio de giro es una longitud que representa la distancia a la que habría que colocar la totalidad del área para obtener el mismo momento de inercia que la sección maciza. La superficie total de la figura: S = bh La mitad de esa superficie: S/2 = bh/2 La inercia de la sección maciza: bh 3 /12 Imaginemos una sección donde b = 10 cm y h = 20 cm. El momento de inercia de masa total: I = bh 3 /12 = / 12 = cm 4 La misma inercia anterior la obtenemos usando el radio de giro: I = 2. (bh/2). i 2 = 2. (10.20/2). (20/3,46) 2 = cm2 La función o utilidad del i los veremos en párrafos siguientes. 4. Relación entre el W y el I. Sabemos hasta ahora que ambos provienen de maniobras aritméticas realizadas con la base b y la altura h, entonces debe haber una relación entre ellos, hacemos I/W: El momento de inercia I resulta de multiplicar al módulo resistente W por (h/2), la mitad de la altura de la viga.

13 5. Relación entre la geometría y las cargas. General. En este espacio consideramos a la geometría de las secciones transversales de las piezas estructurales de dos formas: superficie y forma. Por otro lado consideramos las cargas también de dos maneras: aquellas que actúan en la misma dirección que el eje longitudinal de la pieza (columnas) y las otras que descargan en forma perpendicular a ese eje (vigas). Con esta propuesta de geometría y cargas, vamos a ver la manera que se combinan y obtendremos una interesante respuesta. Cargas en la misma dirección que el eje. Son los tensores o cables que trabajan a tracción, las cargas por su dirección y sentido corrigen cualquier desviación de la pieza, son auto correctivas. La tensión o esfuerzo dentro del material será: En el caso que las cargas sean de compresión, si la pieza es robusta y no exista excentricidad, la expresión del esfuerzo es igual al del efecto de tracción: fuerza sobre superficie. Resumen: la tensión es la relación de la carga con la superficie. Cargas normales a la dirección del eje. Son las piezas sometidas a flexión, las vigas. En estos casos la tensión de trabajo en la sección media, será: Recordemos que: Resumen: la tensión es la relación del Mf con la forma de la sección expresa con el Me. Pandeo. Cuando las columnas son muy esbeltas, las cargas de compresión producen un fenómeno de inestabilidad geométrica que se llama pandeo. Ahora mostramos en forma directa la expresión matemática que lo representa, luego en capítulos próximos desarrollamos la teoría. Para aliviar la lectura advertimos que la transcribimos solo para ver como se relacionan las cargas con las formas y las características del material.

14 La tensión en pandeo: ( ) Complicada la fórmula. Observemos solo el último término; nos dice que la tensión crítica, cuando la pieza ingresa en pandeo es función de: π: pi. E: Módulo de elasticidad del material (Mpa). i: radio de giro (m). s: altura de la columna (m). Notable; no figura la carga. Desde el aspecto geométrico, esta tensión es función: 6. Resumen. Del radio de giro i que es una expresión matemática que indica la separación teórica de las masas del material respecto del eje neutro. De la altura s de la columna. Del Módulo de Elasticidad, característico en cada material. En todas las piezas donde actúas las cargas, el esfuerzo interior es una función que tiene por variables la solicitación, la superficie y la forma. En el caso de cargas simples (tracción y compresión) se toma la superficie, en situación de flexión se toma el módulo resistente. Una situación particular es la de pandeo que no figura la carga pero aparece otra dimensión de la pieza: la altura de la columna, el radio de giro y el E. En realidad en el único fenómeno donde no aparece la dimensión longitudinal es la de tracción y compresión, porque en flexión, la longitud de la viga está incorporada al M f. Este tema de la dimensión longitudinal fue un dolor de cabeza para los sabios del Renacimiento. La discusión se presentaba de la siguiente manera: Un cable aumenta su resistencia cuando mayor es su longitud. No aumenta, pero surge un nuevo fenómeno que no se lo conocía en ésa época: la energía o el trabajo. Sabemos ahora que el trabajo es el producto de la fuerza por su desplazamiento: en el cable corto el desplazamiento para la rotura es reducido. Para un cable muy largo por la propia elasticidad del cable, la fuerza debe desplazarse una distancia mayor. Si bien no es tema de este capítulo, es conveniente destacar la diferencia entre trabajo y energía. El primero, el trabajo, dijimos que es el producto por la distancia que se desplaza, pero un instante antes de la rotura, el cable tiene energía acumulada en su interior. El trabajo exterior se transforma en energía elástica interna.