Viga en movimiento. Leonardo da Vinci.

Transcripción

1 Especialidad Diseño Estructural UNC 2015 Historia del diseño estructural 2. Segunda parte la viga en movimiento. Viga en movimiento. En la primera parte de la historia del Diseño Estructural analizamos la relación entre las fuerzas externas (macro) y los esfuerzos internos (micro) en la viga a flexión. Ahora, en este escrito estudiamos los descubrimientos realizados sobre la elástica o deformada de la viga, es decir el movimiento que se produce; estamos frente a la relación entre las fuerzas externas y la deformada, una cuestión dinámica. Este estudio solo es posible mediante dos caminos: a) la experimentación mediante ensayos que permitan medir, comprobar las fuerzas y las deformaciones, b) la matemática del movimiento; la del cálculo infinitesimal. Leonardo da Vinci. Los primeros documentos que surgen en la historia sobre el movimiento de la viga en su elástica o deformada, pertenecen a Leonardo da Vinci, es por ello que esta segunda parte del Diseño Estructural (DE) comenzamos por estudiar sus escritos. En los archivos de la Biblioteca Nacional de España, en el año 1964 sucede uno de los descubrimientos más extraños de la historia del arte y de la ciencia. Los manuscrito de Leonardo da Vinci, los llamados Códices Madrid I y II fueron hallados por la casualidad del destino. Los escritos originales, los cuadernos de Leonardo arribaron a España en los baúles de un escultor Pompeo Leoni. Muchos fueron los cambios de propietarios hasta que son entregados a la Biblioteca del Monasterio del Escorial, desde allí pasan al final a la Biblioteca Real que permanecen extraviados durante 150 años. Conforman ocho libros con más de 540 páginas, con una encuadernación en cuero y en su interior el genio de Leonardo, pero en ciencias que la historia no las conocía. Allí trata la mecánica, la estática y el arte de la construcción de fortificaciones. Con ese descubrimiento es Leonardo que desplaza a Galileo como el maestro primero de las Ciencias de la Construcción. Son los documentos originarios de la ingeniería de aquella época y que se adelanta a ella mediante ensayos y pruebas. Según responsables de la Biblioteca de Madrid dicen de las causas del extravío absurdo de este Códice "es por el trasiego de la biblioteca regia por cuatro sedes distintas, por una fatal confusión de signatura y por el aura de Da Vinci, que cegó a muchos para adosar su fama a la del genio. Al final, estos escritos significan lo siguiente: Es una suerte que se hayan "extraviados" pero no "perdidos" esto último hubiera significa que algún mediocre los haya destruido o utilizado en beneficio cultural propio y egoísta. Leonardo estudia los arcos romanos y busca encontrar las fuerzas que se producen en cada una de las dovelas. Son escasos sus conocimientos de la matemática en esa época y es por eso que busca la solución de los pro- 1

2 blemas desde la geometría y mecanismos ideales. En este caso de los arcos imagina una cuerda que pasa por roldanas, en el extremo cuelga un peso imaginario. Con ese mecanismo de fantasía lograr comprender parte del misterio de esa resistencia que no es observable. En otros esquemas busca solucionar el problema anterior utilizando solo cuatro dovelas. El par de cada lado las une con un tensor y el peso propio del la mitad de arco lo imagina con un "grave" o peso colgado del extremo de una cuerda. El genio se adelanta a uno de los fenómenos más extraños de la naturaleza de los materiales y sus formas; la rotura en las columnas esbeltas. Intenta separar la rotura de la geometría de la rotura del material. Dibuja columnas con "graves" en su parte superior y las posibles elásticas de las columnas. Todo desde dibujos, esquemas y escritos, sin ninguna ecuación matemática. El efecto de la excentricidad de las cargas lo representa como los esquemas dibujados abajo. En este dibujo de la izquierda se busca el efecto de la condición de borde. En la columna superior se hinca en la tierra, mientras que el dibujo inferior la columna posee una especie de zapata o base cuadrada. 2

3 En los esquemas superiores Leonardo reflexiona sobre el grado de eficiencia de una sola columna robusta respecto de varias columnas esbeltas. La sección transversal de ambos casos es la misma. Por ejemplo una sola columna cuadrada de 100 centímetros de lado comparada con 25 columnas cuadradas de 20 centímetros de lado, separadas entre sí. En ambos casos la sección total transversal es de cm 2. En su reflexión se pregunta cuál de los dos diseños resiste más: la columna maciza resiste diez veces más que el conjunto de las individuales separadas. Desde el Diseño Estructural en el caso de edificios con plantas baja de gran altura, es conveniente colocar pocas columnas robustas que muchas columnas esbeltas. Supone de manera profética que es imposible centrar una carga en el extremo de una columna. En sus esquema representa la excentricidad de la carga y la dirección que tomará la elástica del pandeo. Esto lo terminó por demostrar Timoshenko en el año Leonardo también ingresa al estudio de la resistencia de los materiales, en este esquema que figura en el Códice de Madrid muestra una máquina de ensayos de barras a tracción. La describimos de la siguiente manera: A - d: es la barra metálica que se ensaya. I - A: es la estructura donde se cuelga todo el sistema de ensayo. C: es la tolva que se llena de arena antes del ensayo, está sostenida por cuatro cables fijados a los tirantes del techo. d: es la boca de la tolva. P: es el recipiente o cuba donde cae la arena. Cuando la cuba llega a un determinado peso, logra romper o quebrar la barra de ensayo (en el caso de Leonardo era una barra tipo alambre de muy reducido diámetro). Se ignora cómo lograba relacionar la carga con la sección transversal de la barra, porque en aquella época aún no estaba incorporada la idea de la tensión como relación de carga sobre superficie (kn/cm 2 ). 3

4 De todas investigaciones la que más asombra es el estudio de la "elástica" o la "deformada" del viga, una cuestión que el mismo Galileo la pasó por alto. Leonardo dibuja cinco diferentes tipos de vigas. Todas de madera pero distintas secciones, diferentes posiciones de las cargas y también diferentes pesos. El vector fuerza que ahora utilizamos con tanta frecuencia y poca reflexión, Leonardo lo dibuja mediante una cuerda y un peso colgado en el extremo. Este estudio merece ser estudiado con más extensión y por ello esta página del cuaderno de Leonardo la separamos en cada una de las vigas. Leonardo escribe en el párrafo: "Deseo colgar un peso en distintas partes de la viga y que al cambiar de sitio, la viga conserve la misma curvatura". Increíble busca una curvatura constante mediante un carga con intensidad y posición variables. En esta otra viga Leonardo escribe: "Deseo colgar un mismo peso en distintas partes de la viga y observar la deformación (elástica). En este caso la curvatura será variable y también la posición de la carga, pero la intensidad de ésta será constante durante el ensayo". "Deseo colocar varios pesos en el centro de la viga. Cada peso será el doble del anterior. Quiero medir la deformación (elástica)". La curvatura es variable y también la intensidad de la carga. Solo es constante la posición de la carga. "Deseo conocer la deformación de dos vigas de diferentes longitudes y la misma relación en sus sección". En este estudio Leonardo construye una viga formada por cuatro tirantes y cuatro veces más larga que la viga pequeña dibujada a la derecha con un solo tirante. En esta investigación busca la relación entre sección transversal y longitud de viga. "Deseo obtener la carga en necesaria para que tres vigas de distintas longitudes tengan 4

5 la misma deformación. Cada viga doblará a la otra en longitud". Leonardo en cada viga cuelga un peso necesario para que la sagita (flecha) sea igual en todas. Mantiene en todas igual la sección y tipo de madera de ensayo. En el Códice de Madrid existen varias otras exploraciones realizadas por Leonardo en el área de la piezas estructurales. Todas producen sorpresa al reflexionar sobre el interés de este genio sobre la conducta de las vigas y materiales. Si estudiamos en detalle el Códice de Leonardo y los estudios realizados sobre las vigas hasta esa época, vemos que por primera vez se estudian las deformadas o elástica. La gran lección o ejemplo que nos lega Leonardo sobre el Diseño Estructural, es la necesidad de aplicarlo solo después de conocer las virtudes y defectos de los materiales, sus formas y condiciones de borde. El Diseño Estructural es como un instrumento, como el piano; se debe conocer la "nota" de cada tecla para ejecutar el diseño de una melodía. Hooke y Young. Desde la muerte de Galileo (1638) le suceden otros científicos de la época durante sesenta años, en el orden del título de este párrafo. Hooke establece la ley de proporcionalidad de esfuerzos y deformaciones de los materiales que resultará la herramienta principal para comprender el fenómeno de flexión interna de las vigas. En física, la ley de elasticidad de Hooke originalmente formulada para casos de fuerzas de tracción en barras longitudinales, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada. También se lo define como "la tensión de trabajo en una barra a tracción es proporcional al desplazamiento relativo: σ = Eε = l l Esta ecuación permitirá consolidar la teoría de la flexión. Hooke establece la relación, pero es Young quien determina la constante de la proporcionalidad. Young indica el valor del módulo de elasticidad de los materiales que hasta la fecha están en uso. Investiga las deformaciones elásticas producidas por los esfuerzos tangenciales. Realizó estudios de materiales proponiendo una medida de la rigidez de diferentes materiales conocida en la actualidad como módulo de Young o módulo elástico "E". Para un material elástico lineal e isótropo, el módulo de Young tiene el mismo valor para una tracción que para una compresión, siendo una constante independiente del esfuerzo siempre que no exceda de un valor máximo denominado límite elástico, y es siempre mayor que cero. Con esta constante "E" de cada material se configura de manera completa la ley de Hooke: El valor "E" es la constante de proporcionalidad. Newton y Leibniz. A pesar que la fuerza (N = kg m/seg 2 ) tiene entre sus unidades el tiempo (segundos al cuadrado), en el estudio de las vigas hasta finales del siglo XVI solo se la trataba de manera estática, quieta y estable; el tiempo de formación de una elástica no era posible estudiarla, tampoco su forma. Sin 5

6 embargo resultaba evidente porque era posible medirlas, que las viga se deformaban, que existía una elástica y que esa curva materializada por la viga respondería a alguna ecuación matemática. Con Newton y Leibniz aparece la herramienta: el cálculo infinitesimal que es el estudio del cambio, en la misma manera que la geometría es el estudio del espacio. El cálculo infinitesimal se usa para resolver problemas para los cuales el álgebra por sí sola es insuficiente. Este cálculo se construye con base en el álgebra, la trigonometría y la geometría analítica. En la figura aparece una viga en voladizo. La principal evidencia es la elástica que se forma según la magnitud y posición de la carga. Con el cálculo infinitesimal es posible completar las ecuaciones de la flexión en la viga. Con esta herramienta se logra escribir la ecuación matemática y = f (x) que describe la curva de la deformada (Ver pdf "Timoshenko" Capítulo IV "Fatigas en vigas" y Capítulo V "Deformación de vigas" (archivo pdf adjunto). Con esto se consolida la teoría de la flexión pero lo hace desde la incorporación de hipótesis de realidad aproximada o simplificada. Las variables que participan en las ecuaciones finales son todas la que puede tener una viga tanto en su entorno externo como de su masa interna. σ = M W dθ dx = d2 y d 2 x = 1 r = M EI l: longitud de viga, dentro del "M" flector externo. q: la carga también dentro del "M". CB: la condición de borde como denominador del "M" (ql 2 /m). M: momento flector externo, herramienta abstracta para efectuar el dimensionado de la pieza. b: ancho de la pieza de sección rectangular en "W" o "I". h: alto de la pieza de sección rectangular en "W" o "I". W: módulo resistente, participa la forma que se coloca la viga según el plano de flexión. I: momento de inercia, similar al W, pero en el estudio de la deformada. E: el módulo de elasticidad del material de la viga. r: el radio de giro de la curvatura. σ: tensión de tracción o de compresión. Ɵ: el ángulo de giro del extremo de viga. Con estas breves lecturas observamos que el uso de las hipótesis son necesarias no solo para elaborar una teoría, sino también para la tarea de un correcto Diseño Estructural. En este último es necesario generar la costumbre de emplear varias hipótesis de diseño, para luego en el avance ajustarlas, rechazarlas o afirmarlas y así llegar al final. Fin historia diseño estructural 2 6