Programación ( ): Vectores y matrices en Matlab

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1 Programación ( ): Vectores y matrices en Matlab Alejandro Piedrahita H. Instituto de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft Reproducción permitida bajo los términos de la licencia de documentación libre GNU.

2 Contenido 1 Vectores en Matlab 2 Ejemplos con vectores 3 Matrices en Matlab 4 Ejemplos con matrices 5 Referencias

3 Vectores en Matlab Arreglo: concepto en programación análogo a los conceptos matemáticos de vector, matriz y tensor Arreglo unidimensional (vector): estructura de datos formada por una colección finita de elementos homogéneos y ordenados que se referencian con un nombre común Homogéneos: todos los elementos son del mismo tipo de dato Ordenados: el arreglo tiene un primer elemento, un segundo elemento, etc. Finito: el arreglo tiene un último elemento Los elementos de un arreglo se almacenan en posiciones consecutivas de memoria

4 Vectores en Matlab Comando Uso [ ] Genera el vector (,,, ) m:n Genera el vector (m,m+1,...,n) m:d:n Genera el vector (m,m+d,m+2d,...,n) x(k) Muestra la k-ésima entrada del vector x >> x = [1 2 3] x = >> x(3) = 2*x(1) - 3*x(3) x = >> y = [3, -2, 1] y = >> x(-2) Index exceeds matrix dimensions. >> x(3) 3 >> [x y] >> x(2) = -4 x = >> vacio = [] vacio = []

5 Vectores en Matlab Comando Uso [ ] Genera el vector (,,, ) m:n Genera el vector (m,m+1,...,n) m:d:n Genera el vector (m,m+d,m+2d,...,n) x(k) Muestra la k-ésima entrada del vector x >> numeros = [ ] numeros = >> a = 3:2:9 a = >> numeros(1:3) >> numeros(3:2:7) >> numeros(6:-2:2) >> b = 10:-1:3 b = >> a(:)

6 Operaciones con vectores en Matlab Operador Operación == Igualdad de vectores (componente por componente). Potencia de vectores (componente por componente).*,./ Producto y división de vectores (componente por componente) +, - Suma y resta de vectores rem(x,y) Módulo (residuo) entre componentes de vectores x e y >> u = 1:3; v = -1:2:3; >> u == v >> 2*u >> u+v >> u.*v >> u. v >> rem(v,u) >> u

7 Comparando vectores en Matlab Operador Operación = Diferente de (componente por componente) < Menor que (componente por componente) > Mayor que (componente por componente) <= Menor igual (componente por componente) >= Mayor igual (componente por componente) >> x = [1 2 3]; y = [3 2 1]; >> x = y >> x >= y >> x >= >> fib = [ ]; >> fib < >> fib(fib < 5) >> rem(fib,2) == >> fib(rem(fib,2) == 0) 2 8

8 Operadores lógicos con vectores en Matlab Operador Operación & y lógico para vectores o lógico para vectores negación >> x, y x = y = >> x & y >> x && y Operands to the and && operators must be convertible to logical scalar values. >> x y >> x >> t = 0; >> t * sin(1/t) == 0 0 >> (t == 0) (sin(1/t) == 0) 1 >> (t == 0) (sin(1/t) == 0) 1

9 Algunas funciones predefinidas en Matlab Función abs(x) sqrt(x) exp(x) log(x) sin(x) cos(x) tan(x) asin(x) acos(x) atan(x ) Uso Calcula el valor absoluto de los elementos de un vector x Calcula la raíz cuadrada de los elementos de un vector x Calcula la función exponencial de los elementos de un vector x Calcula el logaritmo natural de los elementos de un vector x Calcula el seno de los elementos de un vector x Calcula el coseno de los elementos de un vector x Calcula la tangente de los elementos de un vector x Calcula el seno inverso de los elementos de un vector x Calcula el coseno inverss de los elementos de un vector x Calcula la tangente inversa de los elementos de un vector x >> x = [ ]; >> alfa = [0 pi/3 pi/6 pi/2]; >> abs(x) >> sqrt(abs(x)) >> cos(alfa) >> cos(alfa)

10 Algunas funciones predefinidas en Matlab Función Uso length(x) Calcula el número de elementos de un vector x max(x) Calcula el mayor de un conjunto de datos x min(x) Calcula el menor de un conjunto de datos x sum(x) Calcula la suma de los elementos de un vector x cumsum(x) Calcula las sumas acumuladas de conjunto de datos x prod(x) Calcula el producto de los elementos de un vector x cumprod(x) Calcula los productos acumulados de conjunto de datos x mean(x) Calcula la media aritmética de un conjunto de datos x median(x) Calcula la mediana de un conjunto de datos x var(x) Calcula la varianza de un conjunto de datos x sort(x) Ordena de menor a mayor los elementos de un vector x any(x ) true (1) si algún elemento de x cumplple propiedad find(x) Devuelve las posiciones de los elementos true (1) de un vector x >> x = [ ]; >> max(x) 7 >> length(x) 6 >> sort(x)

11 Algunas funciones predefinidas en Matlab Función Uso length(x) Calcula el número de elementos de un vector x max(x) Calcula el mayor de un conjunto de datos x min(x) Calcula el menor de un conjunto de datos x sum(x) Calcula la suma de los elementos de un vector x cumsum(x) Calcula las sumas acumuladas de conjunto de datos x prod(x) Calcula el producto de los elementos de un vector x cumprod(x) Calcula los productos acumulados de conjunto de datos x mean(x) Calcula la media aritmética de un conjunto de datos x median(x) Calcula la mediana de un conjunto de datos x var(x) Calcula la varianza de un conjunto de datos x sort(x) Ordena de menor a mayor los elementos de un vector x any(x ) true (1) si algún elemento de x cumplple propiedad find(x) Devuelve las posiciones de los elementos true (1) de un vector x >> x = 1:10; >> x >> sum(x) 55 >> cumsum(x)

12 Algunas funciones predefinidas en Matlab Función Uso length(x) Calcula el número de elementos de un vector x max(x) Calcula el mayor de un conjunto de datos x min(x) Calcula el menor de un conjunto de datos x sum(x) Calcula la suma de los elementos de un vector x cumsum(x) Calcula las sumas acumuladas de conjunto de datos x prod(x) Calcula el producto de los elementos de un vector x cumprod(x) Calcula los productos acumulados de conjunto de datos x mean(x) Calcula la media aritmética de un conjunto de datos x median(x) Calcula la mediana de un conjunto de datos x var(x) Calcula la varianza de un conjunto de datos x sort(x) Ordena de menor a mayor los elementos de un vector x any(x ) true (1) si algún elemento de x cumplple propiedad find(x) Devuelve las posiciones de los elementos true (1) de un vector x >> x = [ ]; >> median(x) 7 >> mean(x) >> var(x)

13 Algunas funciones predefinidas en Matlab Función Uso length(x) Calcula el número de elementos de un vector x max(x) Calcula el mayor de un conjunto de datos x min(x) Calcula el menor de un conjunto de datos x sum(x) Calcula la suma de los elementos de un vector x cumsum(x) Calcula las sumas acumuladas de conjunto de datos x prod(x) Calcula el producto de los elementos de un vector x cumprod(x) Calcula los productos acumulados de conjunto de datos x mean(x) Calcula la media aritmética de un conjunto de datos x median(x) Calcula la mediana de un conjunto de datos x var(x) Calcula la varianza de un conjunto de datos x sort(x) Ordena de menor a mayor los elementos de un vector x any(x ) true (1) si algún elemento de x cumplple propiedad find(x) Devuelve las posiciones de los elementos true (1) de un vector x >> x >> x( x > median(x) )

14 Algunas funciones predefinidas en Matlab Función Uso length(x) Calcula el número de elementos de un vector x max(x) Calcula el mayor de un conjunto de datos x min(x) Calcula el menor de un conjunto de datos x sum(x) Calcula la suma de los elementos de un vector x cumsum(x) Calcula las sumas acumuladas de conjunto de datos x prod(x) Calcula el producto de los elementos de un vector x cumprod(x) Calcula los productos acumulados de conjunto de datos x mean(x) Calcula la media aritmética de un conjunto de datos x median(x) Calcula la mediana de un conjunto de datos x var(x) Calcula la varianza de un conjunto de datos x sort(x) Ordena de menor a mayor los elementos de un vector x any(x ) true (1) si algún elemento de x cumplple propiedad find(x) Devuelve las posiciones de los elementos true (1) de un vector x >> x >> find( rem(x,3) == 0) >> any(x == 8) 1 >> x( find( rem(x,3) == 0 ) )

15 Recorrio un arreglo El recorrido se realiza por medio de un índice El índice puede ir desde el primero hasta el último elemento Recorrido del primero al último for i=1:n % proceso que involucra a x[i] El índice puede ir desde el último hasta el primer elemento Recorrido del último al primero for i=n:-1:1 % proceso que involucra a x[i]

16 Ejercicios Ejercicio (Notas) Escriba un programa en que almacene en un vector (arreglo unidimensional) las notas finales de los alumnos de un curso formado por 10 estudiantes. El programa debe visualizar por pantalla las notas. Ejercicio (Notas promedio) Modifique el programa del ejercicio anterior (2.1) para que muestre por pantalla el promedio de notas del curso.

17 Ejemplo 2.1: Fibonacci con vectores Ejemplo Realice un programa (utilizando vectores) que calcule los n primeros términos de la sución de Fibonacci Solución 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... n: almacena el entero hasta donde se realiza la suma El término n-ésimo de la sucesión para n = 2, 3,... está dado por: f n = f n 1 + f n 2 con f 0 = f 1 = 1 fib: vector que almacenará los términos de la sucesión >> fib = [1 1]; >> i = 3; >> fib(i) = fib(i-1) + fib(i-2); >> fib fib = >> i = i+1; >> fib(i) = fib(i-1) + fib(i-2); >> i = i+1; >> fib(i) = fib(i-1) + fib(i-2); >> fib fib =

18 Ejemplo 2.1: Fibonacci con vectores fibofun.m function fib = fibofun(n) % El programa calcula los n primeros terminos % de la sucesion de Fibonacci utilizando vectores. fib = [1 1]; for i=3:n fib(i) = fib(i-1) + fib(i-2); >> fibofun(10) >> z = fibofun(1000); >> z(1000)/z(999)

19 Funciones vectorizadas Comando Uso Evalúa funcion en cada elemento del vector x >> x = 1: >> arrayfun(@esprimo,x) Permiten aumentar la rapidez de ejecución de una función Se utilizan los operadores.*,./ y. en la definición de una función funvec.m function y = funvec(x) % Evalua la funcion f(x) = x 2*sen(x)+1/x en % cada una de las componentes de un vector x y = x. 2.*sin(x) + 1./x; >> x = 1:5; >> funvec(x)

20 Ejemplo (densidad de los números primos) Considere la función π(x) = número de primos x para cualquier número real x. Utilice una versión vectorizada de la función esprimo desarrollada en clase para hallar π(x) y verifique numéricamente que para valores grandes de x, π(x) x/ ln x, es decir, lím x π(x) x/ ln x = 1 Solución >> n = 10; >> vec = 2:n vec = >> primos = arrayfun(@esprimo,vec); >> primos primos = >> sum(primos) 4 >> sum(primos)/(n/log(n)) >> n = 1000; >> vec = 2:n; >> primos = arrayfun(@esprimo,vec); >> sum(primos)/(n/log(n))

21 Ejemplo 2.2: densidad de los números primos lím n π(n) n/ ln n = 1 >> n = 10; >> vec = 2:n; >> primos = arrayfun(@esprimo,vec); >> n = 1000; >> vec = 2:n; >> primos = arrayfun(@esprimo,vec); >> primos primos = >> vec vec = >> x = vec; >> y = cumsum(primos)/vec*log(vec); >> plot(x,y) >> grid on >> cumsum(primos) vec = >> cumsum(primos)/vec*log(vec)

22 Ejemplo 2.3: Criba de Eratóstenes Ejemplo La Criba de Eratóstenes es un método sistemático para seleccionar (cribar) todos los números primos menores que un entero n > 1. Primero se listan todos los números naturales desde 2 hasta n y de esa lista se eliminan los números que no son primos de la siguiente manera: cuando se encuentra un número que no ha sido eliminado de la lista, dicho número se declara primo y se procede a eliminar todos sus múltiplos. Este proceso se repite mientras que el cuadrado del mayor número declarado como primo no exceda a n. Implemente una función que genere un vector con todos los primos menores que n por medio de la Criba de Eratóstenes

23 : múltiplos de 2 : múltiplos de 3 : múltiplos de 5 : múltiplos de 7 >> n = 10; i = 2; >> criba = 2:n; primos = []; >> criba criba = >> any(criba == i) 1 >> primos = [primos i] primos = 2 >> rem(criba,i) = >> criba( rem(criba,i) = 0 ) >> criba = [i criba( rem(criba,i) = 0)] criba = eratostenes.m function primos = eratostenes(n) % Devuelve los primos menores o iguales que n criba = 2:n; primos = []; for i=1:n if any(criba == i) primos = [primos i]; criba = [i criba( rem(criba,i) = 0)]; >> eratostenes(30)

24 Ejemplo (función logística) Para cada r [0, 4], la función f r(x) = rx(1 x), x [0, 1] se denomina función logística. Para cada x 1 [0, 1], la sucesión {x n} n=1 definida por x n+1 = f(x n) se denomina sistema dinámico discreto definido por f r. Si x n representa el tamaño de una población en el año n, x n+1 representa el tamaño de la población en el año n + 1. Implemente una función que tenga como argumentos a x 1, r y n y devuelva el vector {x 1,..., x n}. Grafique cómo evoluciona el sistema para valores distintos de x 1, r y n. Solución >> x = 0.2; >> r = 1.5; >> n = 8; >> for i=1:7 y(i+1) = r*y(i)*(1-y(i)); >> y = zeros(1,n); >> y(1) = x; >> y y = >> y y =

25 Ejemplo 2.4: función logística logistica.m function y = logistica(x,r,n) % Devuelve vector con el sistema dinamico % discreto generado por la funcion logistica y = zeros(1,n); y(1) = x; for i=1:n-1 y(i+1) = r*y(i)*(1-y(i)); >> y = logistica(0.2,2.9,100); >> plot(y, o ) >> grid on >> y = logistica(0.4,1.5,100); >> plot(y, o ) >> grid on >> y = logistica(0.5,3.5,100); >> plot(y, o ) >> grid on

26 Ejemplo 2.5: Torres de Hanói Ejemplo La Torres de Hanói es un rompecabezas o juego matemático inventado en 1883 por el matemático francés Édouard Lucas, que consiste de un conjunto de discos de distintos tamaños, enumerados de manera creciente y que se apilan insertándose de mayor a menor en una de tres estacas disponibles. El objetivo del juego es mover el conjunto completo de discos a otra estaca, movio cada disco a la vez de manera tal que un disco de mayor tamaño nunca esté sobre un disco de tamaño menor. (a) Inicio (b) Fin Reglas Torres de Hanói Sólo se puede mover un disco a la vez. Un disco de mayor tamaño no puede estar sobre uno de menor tamaño. Sólo se puede desplazar el disco que se encuentre arriba en cada estaca.

27 Ejemplo 2.5: Torres de Hanói Reglas Torres de Hanói Sólo se puede mover un disco a la vez. Un disco de mayor tamaño no puede estar sobre uno de menor tamaño. Sólo se puede desplazar el disco que se encuentre arriba en cada estaca. (c) Inicio (d) Paso 1 Figura: Solución con n = 1 discos, número de pasos: 2 n 1 = 1 (a) Inicio (b) Paso 1 (c) Paso 2 (d) Paso 3 Figura: Solución con n = 2 discos, número de pasos: 2 n 1 = 3

28 Ejemplo 2.5: Torres de Hanói Reglas Torres de Hanói Sólo se puede mover un disco a la vez. Un disco de mayor tamaño no puede estar sobre uno de menor tamaño. Sólo se puede desplazar el disco que se encuentre arriba en cada estaca. (a) Inicio (b) Paso 1 (c) Paso 2 (d) Paso 3 (e) Paso 4 (f) Paso 5 (g) Paso 6 (h) Paso 7 Figura: Solución con n = 3 discos, número de pasos: 2 n 1 = 7

29 Ejemplo 2.5: Torres de Hanói (a) Inicio (b) Paso 1 (c) Paso 2 (d) Paso 3 (e) Paso 4 (f) Paso 5 (g) Paso 6 (h) Paso 7 (i) Paso 8 (j) Paso 9 (k) Paso 10 (l) Paso 11 (m) Paso 12 (n) Paso 13 (ñ) Paso 14 (o) Paso 15 Figura: Solución con n = 4 discos, número de pasos: 2 n 1 = 15

30 Ejemplo 2.5: Torres de Hanói Algoritmo Torres de Hanói Si se tiene n = 1 disco, mover el disco de la estaca (1) a la (3). Si se tienen n > 1 discos, 1 mover los primeros n 1 discos de la estaca (1) a la (2), 2 mover el disco restante de la estaca (1) a la (3), 3 mover los primeros n 1 discos de la estaca (2) a la (3). hanoi.m function hanoi(numdiscos, inicial, final) % hanoi(numdiscos, inicial, final) % Resuelve las Torres de Hanoi. "numdiscos" % es la cantidad de discos a mover, "inicial" % es la estaca donde se encuentran los discos % y "final" es la estaca a donde se van a % mover los discos. if numdiscos==1 fprintf( Mover disco 1 desde la estaca %d hasta la estaca %d \n, inicial, final); else intermedia = 6-inicial-final; hanoi(numdiscos-1, inicial, intermedia); fprintf( Mover disco %d desde la estaca %d hasta la estaca %d \n,numdiscos,inicial,final); hanoi(numdiscos-1, intermedia, final);

31 Ejemplo 2.5: Torres de Hanói hanoi.m (a) Inicio (b) Paso 1 (c) Paso 2 (d) Paso 3 Figura: Solución con n = 2 discos, número de pasos: 2 n 1 = 3 function hanoi(numdiscos, inicial, final) if numdiscos==1 fprintf( Mover disco 1 desde la estaca %d hasta la estaca %d \n, inicial, final); else intermedia = 6-inicial-final; hanoi(numdiscos-1, inicial, intermedia); fprintf( Mover disco %d desde la estaca %d hasta la estaca %d \n,numdiscos,inicial,final); hanoi(numdiscos-1, intermedia, final); >> hanoi(1,1,3) Mover disco 1 desde la estaca 1 hasta la estaca 3 >> hanoi(2,1,3) Mover disco 1 desde la estaca 1 hasta la estaca 2 Mover disco 2 desde la estaca 1 hasta la estaca 3 Mover disco 1 desde la estaca 2 hasta la estaca 3

32 Ejemplo 2.5: Torres de Hanói (a) Inicio (b) Paso 1 (c) Paso 2 (d) Paso 3 (e) Paso 4 (f) Paso 5 (g) Paso 6 (h) Paso 7 Figura: Solución con n = 3 discos, número de pasos: 2 n 1 = 7 >> hanoi(3,1,3) Mover disco 1 desde la estaca 1 hasta la estaca 3 Mover disco 2 desde la estaca 1 hasta la estaca 2 Mover disco 1 desde la estaca 3 hasta la estaca 2 Mover disco 3 desde la estaca 1 hasta la estaca 3 Mover disco 1 desde la estaca 2 hasta la estaca 1 Mover disco 2 desde la estaca 2 hasta la estaca 3 Mover disco 1 desde la estaca 1 hasta la estaca 3

33 Matrices en Matlab Arreglo bidimensional: concepto en programación análogo al concepto matemático de matriz La definición de arreglo bidimensional [] puede hacerse desde dos enfoques: Enfoque recursivo: se trata de un arreglo unidimensional en el que cada elemento es a su vez un arreglo unidimensional Enfoque directo: estructura de datos formada por una colección finita de elementos homogéneos, ordenados cada uno de ellos en dos dimensiones y referenciados con un nombre común El acceso a un elemento de la matriz se realiza mediante el nombre del arreglo (identificador) y un par de índices que indican la posición del elemento

34 Representación gráfica de un arreglo bidimensional Matriz con m filas (horizontales) y n columnas (verticales).. : elemento (1,1) : elemento (1,3) : elemento (2,n-1) : elemento (3,2).. : elemento (i,j) : elemento (m,3) : elemento (m,n)

35 Declaración de arreglos Declaración de una matriz: nombre arreglo(filas,columnas] nombre arreglo: identificador que representa la colección de elementos filas: constante entera positiva que representa la cantidad de filas columnas: constante entera positiva que representa la cantidad de columnas

36 Matrices en Matlab Comando [fila 1;... ;fila m] A(i,j) A(i,:) A(:,j) A(k:l,:) A(:,p:q) A(k:l,p:q) Uso Crea una matriz con m filas Muestra la entrada de la fila i, columna j de la matriz A Muestra la fila i de la matriz A Muestra la columna j de la matriz A Muestra las entradas en todas las columnas entre las filas k y l Muestra las entradas en todas las filas entre las columnas p y q Muestra las entradas en las filas k hasta l y las columnas p hasta q >> A = [1 2 3; 4 5 6] A = >> A(2,1) 4 >> A(1,:) >> A(1,3) = -2; A(2,3) = 0; >> A = [1 2 3; 4 5 6] A = >> A(:,3) A = -2 0

37 Matrices en Matlab Comando [fila 1;... ;fila m] A(i,j) A(i,:) A(:,j) A(k:l,:) A(:,p:q) A(k:l,p:q) Uso Crea una matriz con m filas Muestra la entrada de la fila i, columna j de la matriz A Muestra la fila i de la matriz A Muestra la columna j de la matriz A Muestra las entradas en todas las columnas entre las filas k y l Muestra las entradas en todas las filas entre las columnas p y q Muestra las entradas en las filas k hasta l y las columnas p hasta q >> B = [ ; ; ; ] B = >> B(:,2:4) >> B(2:3,2:4) >> B(2:4,1:3)

38 Operaciones con matrices en Matlab Operación Uso == Igualdad de matrices (componente por componente) +,- Suma y resta de matrices (componente por componente).* Producto de matrices (componente por componente) A La matriz transpuesta de A zeros(m,n) Crea una matriz m n de ceros (0) ones(m,n) Crea una matriz m n de unos (1) eye(n) Crea una matriz diagonal n n con unos en la diagonal diag(x) Crea una matriz diagonal con las entradas del vector x magic(n) Crea un cuadrado mágico n n rand(m,n) Crea una matriz m n de números pseudo-aleatorios size(a) Crea un vector con el número de filas y columnas de la matriz A reshape(x,m,n) Crea una matriz m n con elementos tomados de la matriz X >> A = [3 1 4; ] A = >> A == B >> 2*A >> B = [7 1 0; ] B = >> A+B >> A.*B

39 Operaciones con matrices en Matlab Operación Uso == Igualdad de matrices (componente por componente) +,- Suma y resta de matrices (componente por componente).* Producto de matrices (componente por componente) A La matriz transpuesta de A zeros(m,n) Crea una matriz m n de ceros (0) ones(m,n) Crea una matriz m n de unos (1) eye(n) Crea una matriz diagonal n n con unos en la diagonal diag(x) Crea una matriz diagonal con las entradas del vector x magic(n) Crea un cuadrado mágico n n rand(m,n) Crea una matriz m n de números pseudo-aleatorios size(a) Crea un vector con el número de filas y columnas de la matriz A reshape(x,m,n) Crea una matriz m n con elementos tomados de la matriz X >> zeros(3,2) >> U = ones(2,3) U = >> rand(3,2) >> eye(2) >> C = magic(3) C = >> size(u) 2 3

40 Operaciones con matrices en Matlab Operación Uso == Igualdad de matrices (componente por componente) +,- Suma y resta de matrices (componente por componente).* Producto de matrices (componente por componente) A La matriz transpuesta de A zeros(m,n) Crea una matriz m n de ceros (0) ones(m,n) Crea una matriz m n de unos (1) eye(n) Crea una matriz diagonal n n con unos en la diagonal diag(x) Crea una matriz diagonal con las entradas del vector x magic(n) Crea un cuadrado mágico n n rand(m,n) Crea una matriz m n de números pseudo-aleatorios size(a) Crea un vector con el número de filas y columnas de la matriz A reshape(x,m,n) Crea una matriz m n con elementos tomados de la matriz X >> rand(3,2) - rand(3,2) >> x = [3-1 4] x = >> X = diag(x) X = >> t = 1:6 t = >> M = reshape(t,2,3) M = >> M

41 Recorrio una matriz A de tamaño m n Recorrio la fila i-ésima de A = [a ij]: De la primera a la última columna for j=1:n % proceso que involucra a A(i,j) Recorrio la columna j-ésima de A = [a ij]: De la primera a la última fila for i=1:m % proceso que involucra a A(i,j)

42 Recorrio una matriz A de tamaño m n Recorrido de A = [a ij] por filas: for i=1:m for j=1:n % proceso que involucra a A(i,j) Recorrido de A = [a ij] por columnas: for j=1:n for i=1:m % proceso que involucra a A(i,j)

43 Ejemplo 4.1: cine Ejemplo Escriba un programa que almacene en una matriz el número de personas que ingresan a una sala de cine durante cada uno de los días de la semana. La matriz debe constar de dos columnas, la primera para los días de la semana y la segunda para el número de personas, y siete filas para cada uno de los días de la semana. El programa debe calcular el promedio de personas que ingresan a la sala. Solución >> cine = zeros(7,2); >> cine cine = >> for i=1:7 cine(i,1) = i; >> cine cine =

44 Ejemplo 4.1: cine promediocine.m % El programa calcula el promedio de personas % que ingresan a una sala de cine. cine = zeros(7,2); cine(:,1) = 1:7; for i=1:7 cine(i,2) = input( Numero de personas que ingresan: ); prom = sum(cine(:,2))/7; fprintf( El promedio de persona que ingresan a la semana es %g \n, prom); >> promediocine Numero de personas que ingresan: 20 Numero de personas que ingresan: 15 Numero de personas que ingresan: 35 Numero de personas que ingresan: 42 Numero de personas que ingresan: 74 Numero de personas que ingresan: 80 Numero de personas que ingresan: 95 El promedio de persona que ingresan a la semana es

45 Ejemplo autómata celular Todo debería hacerse tan simple como sea posible, pero no mas que eso. (A. Einstein) (a) Hormiga (género Formica) (b) Colonia de hormigas Figura: principios de auto-organización en sistemas emergentes? Autómata celular: modelo matemático de un sistema dinámico que evoluciona en el tiempo y el espacio de manera discreta El autómata celular está formado por una malla de celulas y por estados y reglas que determinan cómo cambian sus estados en el tiempo Permiten modelar formación de patrones biológicos basados en interacciones entre células y el medio Fueron desarrollados por John von Neumann y Stanislaw Ulam como un modelo computacional para fenómenos de auto-reproducción

46 Ejemplo células vecinas a i 1,j 1 a i 1,j a i 1,j+1 a i,j 1 a i,j a i,j+1 a i+1,j 1 a i+1,j a i+1,j+1 >> A A = >> m = m + (A(i-1,j) == 1) m = 1 >> m = m + (A(i-1,j+1) == 1) m = 2 >> i=3; j=3; n=5; >> m=0; >> m = m + (A(i,j-1) == 1) m = 3 >> m = m + (A(i-1,j-1) == 1) m = 0 >> m = m + (A(i,j+1) == 1) m = 4

47 vecinos.m a i 1,j 1 a i 1,j a i 1,j+1 a i,j 1 a i,j a i,j+1 a i+1,j 1 a i+1,j a i+1,j+1 function m = vecinos(a,i,j,n) % calcula el numero de vecinos % vivos de A(i,j) % suma a lo largo de la fila i+1 if i<n if j>1 m = m + (A(i+1,j-1) == 1); m = m + (A(i+1,j) == 1); if j<n m = m + (A(i+1,j+1) == 1); m = 0; % suma a lo largo de la fila i-1 if i>1 if j>1 m = m + (A(i-1,j-1) == 1); m = m + (A(i-1,j) == 1); if j<n m = m + (A(i-1,j+1) == 1); % suma a lo largo de la fila i if j>1 m = m + (A(i,j-1) == 1); if j<n m = m + (A(i,j+1) == 1); % continua en la columna derecha --> >> A A = >> vecinos(a,3,3,5) 4 >> vecinos(a,3,2,5) 3

48 El juego de la vida Juego de la vida: autómata celular creado por el matemático británico John H. Conway (publicado en octubre de 1970 en Scientific American) En el juego de la vida las células evolucionan en pasos discretos de tiempo denominados generaciones Cada célula evoluciona interactuando con sus ocho células vecinas más próximas horizontal, vertical y diagonalmente En cada generación las células cambian su estado ( evolucionan ) así: Nacimiento: una célula previamente muerta se reemplaza por una viva, si exactamente 3 de sus vecinas están muertas. Muerte: una célula previamente viva se reemplaza por una muerta si: tiene menos de 2 vecinas vivas (muerte por soledad ) o, tiene más de 3 vecinas vivas (muerte por sobrepoblación ). Supervivencia: una célula viva permanece viva si tiene 2 o 3 vecinas vivas. El juego de la vida se desarrola en una malla infinita ; utilizaremos una malla finita (no todas las células trán 8 células vecinas)

49 El juego de la vida Reglas juego de la vida Una célula muerta con exactamente 3 vecinas vivas se reemplaza por una viva Una célula viva con menos de 2 vecinas vivas, muere por soledad Una célula viva con más de 3 vecinas vivas, muere por sobrepoblación Una célula viva con 2 o 3 vecinas vivas, vive en la siguiente generación >> n = 5; >> A = randi([0 1],n) A = >> i=2; j=3; >> m = vecinos(a,i,j,n); >> if m == 2 m == 3 A(i,j) = 1; else A(i,j) = 0; >> spy(a) >> spy(a) >> A(i,j) == 1 1

50 El juego de la vida Reglas juego de la vida Una célula muerta con exactamente 3 vecinas vivas se reemplaza por una viva Una célula viva con menos de 2 vecinas vivas, muere por soledad Una célula viva con más de 3 vecinas vivas, muere por sobrepoblación Una célula viva con 2 o 3 vecinas vivas, vive en la siguiente generación vida.m % Juego de la vida de Conway clear all; % Inicializa la primera generacion n = 50; A = randi([0 1],n); seguir = 1; % Ciclo infinito, control-c para detener while seguir spy(a); % Imprime la matriz drawnow; % Actualiza imagen con nueva matriz B = A; % Nueva generacion for i=1:n for j=1:n m = vecinos(a,i,j,n); if A(i,j)==1 % para celula (i,j) viva if m == 2 m == 3 B(i,j) = 1; else B(i,j) = 0; else % para celula (i,j) muerta if m==3 B(i,j) = 1; else B(i,j) = 0; A = B; % La nueva generacion queda en A

51 El juego de la vida (a) Inicio (b) Generación 1 (c) Generación 2 (d) Generación 3 Figura: arreglo cuadrado (a) Inicio (b) Generación 1 (c) Generación 2 (d) Generación 3 Figura: arreglo oscilante

52 El juego de la vida (a) Inicio (b) Generación 1 (c) Generación 2 (d) Generación 3 (e) Generación 4 (f) Generación 5 Figura: arreglo que se estabiliza

53 El juego de la vida (a) Inicio (b) Generación 1 (c) Generación 2 (d) Generación 3 (e) Generación 4 (f) Generación 5 Figura: arreglo periódico

54 Bibliografía I S. Attaway Matlab: A Practical Introduction to Programming and Problem Solving Butterworth-Heinemann, 2011 L. Blanco Probabilidad Universidad Nacional de Colombia, Primera edición, J.W. Brown, D.J. Murdoch A First Course in Statistical Programming With R Cambridge University Press, 1th edition, 2008 D. Burton Elementary Number Theory McGraw Hill Higher Education, 5th edition, 2002 O. Cairó Metodología de la programación Segunda edición. Alfaomega Grupo Editor, S.A., 2005

55 Bibliografía II M.A. Criado Programación en lenguajes estructurados Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C.V. Primera Edición, 2006 S. Ghahramani Fundamentals of Probability with Stochastic Processes Pearson Education, Inc., 2005 D.J. Hunter Essentials of Discrete Mathematics Jones & Bartlett Learning; 2 edition, 2010 H.P. Langtangen A Primer on Scientific Programming with Python Springer, 2011 O. Jones, R. Maillardet, A. Robinson Introduction to Scientific Programming and Simulation Using R Chapman and Hall/CRC; 1 edition, 2009

56 Bibliografía III J. Kiusalaas Numerical Methods in Engineering with Matlab Cambridge University Press, 2 edition, 2009 D.E. Knuth The Art of Computer Programming Volume 1, Fundamental Algorithms Addison Wesley Longman, 1997 S. Lipschutz Schaum s Outline of Essential Computer Mathematics McGraw-Hill, 1th edition, 1982 Ch.F. Van Loan Introduction to Scientific Computing Prentice-Hall, Inc., 1997 C.B. Moler Numerical Computing with Matlab SIAM, 2004

57 Bibliografía IV H.M. Mora Escobar Introducción a C y a métodos numéricos Universidad Nacional de Colombia (Sede Bogotá), 2004 A. Quarteroni, F. Salieri Cálculo científico con Matlab y Octave Springer-Verlag Italia, 2006 S.M. Ross Simulation Elsevier Inc., 2006 R. Séroul Programming for Mathematicians Springer, 2000 E. Scheinerman C ++ for Mathematicians: An Introduction for Students and Professionals Taylor & Francis Group, LLC, 2006

58 Bibliografía V A. Shen Algorithms and Programming Springer Undergraduate Texts in Mathematics and Technology, 2010 P. Tymann Schaum s Outline of Principles of Computer Science McGraw-Hill, 1th edition, 2008 J. Villate Introdução aos Sistemas Dinâmicos: uma abordagem pratica com Maxima Copyright 2005, 2006, 2007.