UNIVERSIDAD DE NAVARRA CIIF CENTRO INTERNACIONAL DE INVESTIGACION FINANCIERA VALORACION DE OPCIONES POR SIMULACION.

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1 IESE UNIVERSIDAD DE NAVARRA CIIF CENTRO INTERNACIONAL DE INVESTIGACION FINANCIERA VALORACION DE OPCIONES POR SIMULACION Pablo Fernández* DOCUMENTO DE INVESTIGACION Nº 39 Marzo, 1996 * Profesor de Dirección Financiera, IESE División de Investigación IESE Universidad de Navarra Av. Pearson, Barcelona Copyright 1995, IESE Prohibida la reproducción sin permiso

2 El CIIF (Centro Internacional de Investigación Financiera) nace como consecuencia de las inquietudes en investigación financiera de un grupo interdisciplinar de profesores del IESE y se configura como un núcleo de trabajo dentro de las actividades del IESE. Sus objetivos son: aunar esfuerzos en la búsqueda de respuestas a las cuestiones que se plantean los responsables de empresas financieras y los responsables financieros de todo tipo de empresas en el desempeño de sus funciones; desarrollar nuevas herramientas para la dirección financiera; y profundizar en el estudio y efectos de las transformaciones que se producen en el mundo financiero. El desarrollo de las actividades del CIIF ha sido posible gracias a sus Empresas Patrono: Aena, A.T. Kearney, Caja de Ahorros de Madrid, Fundación Ramón Areces y Endesa.

3 VALORACION DE OPCIONES POR SIMULACION 1. Fórmulas utilizadas en la simulación de la evolución del precio de una acción 2. La rentabilidad esperada de la acción en la simulación de instrumentos derivados 3. Valoración por simulación de una «call» y una «put» europeas 4. Valoración por simulación de una «call» y una «put» con precio de ejercicio igual al precio «forward» 5. Valoración por simulación de una «call» y una «put» europeas sobre un dólar 6. Valoración por simulación de una «call» y una «put» sobre una acción que reparte dividendos 7. Valoración por simulación del corredor 8. Influencia de la especificación de los dividendos en la simulación 9. Influencia de la volatilidad en la simulación del máximo y del mínimo Este documento de investigación aborda la valoración de opciones por simulación. La valoración por simulación se fundamenta en la valoración de opciones por el método de las martingalas (1). Obviamente, la simulación sirve únicamente para valorar opciones de tipo europeo, pues no permite valorar adecuadamente las opciones americanas. En el documento se comprueba que cuando la fórmula de Black y Scholes es adecuada, la simulación proporciona el mismo resultado. El documento también analiza los problemas que presenta la valoración de opciones sobre acciones que reparten dividendos: la no normalidad de la distribución y la diferencia entre especificar el dividendo como una magnitud constante o como un porcentaje del precio de la acción. También se aborda la valoración por simulación de uno de los derivados exóticos más utilizados: el corredor. 1. Fórmulas utilizadas en la simulación de la evolución del precio de una acción Si el precio de la acción hoy es S, la rentabilidad esperada (anualizada) de la acción es µ y la volatilidad esperada (anualizada) es σ, la fórmula que se utiliza habitualmente para simular la evolución del precio de la acción en cualquier fecha futura t es: S t = S e (µ t + σε t) (1) donde ε es una variable aleatoria normal de media cero y varianza unidad: N (, 1). Un ejemplo. Supongamos que el precio de la acción es hoy de 1. pesetas, que la volatilidad esperada para la acción es 3% (σ =,3) y que la rentabilidad esperada de la misma es 2% (µ =,2). La acción no reparte dividendos. La Figura 1 no es más que una de las posibles evoluciones del precio de una acción cuyo valor en t = es S = 1..

4 2 Figura 1. Una simulación de St S = 1.; µ = 2%; σ= 3% 1.4 St. Precio de la acción t (días) La Figura 1 muestra una de las posibles trayectorias de la acción que se construye utilizando la fórmula (1). El precio del día cero (hoy) es 1. pesetas. Para calcular el precio de la acción en el día 1, procedemos del siguiente modo: primero generamos un número aleatorio de la distribución normal de media cero y varianza unidad (que en este caso resultó ser, ), y utilizamos la fórmula (1). Así, si consideramos que en el año habrá 25 días con cotización: S 1 = 1.4,97761 = 1. e [,2 x (1/25) +,3 x, (1/25)] Análogamente, para calcular el precio de la acción en el día 2 generamos otro número aleatorio de la normal (en este caso resultó ser, ) y utilizamos la fórmula (1): S 2 = 1.18,52624 = 1.4,97761 e [,2 x (1/25) +,3 x, (1/25)] Si se espera que la acción reparta un dividendo (por ejemplo de 5 pesetas en t = 2), basta restar el dividendo al valor obtenido de la fórmula (1). En este caso, S 2 sería: S 2 = 968,52624 = 1.4,97761 e [,2 x (1/25) +,3 x, (1/25)] 5 La Figura 2 muestra la evolución de la rentabilidad diaria (R t 1/t = ln[s t / S t 1]) de la trayectoria de la Figura 1.

5 3 Figura 2. Simulación. Rentabilidad diaria de la acción. R t 1/t = S t 1) S = 1.; µ = 2%; σ= 3% 6% Rentabilidad diaria de la acción 4% 2% % 2% 4% 6% t (días) La expresión de la rentabilidad entre ahora (t = ) y t es: R t = µ t + σ ε t (2) y, por consiguiente 2 : dr t = R t + d t R t = µ dt + σε dt (3) La Figura 3 muestra dos de las posibles evoluciones del precio de una acción cuyo valor en t = es S = 1.. Esperamos una rentabilidad anual del 2% (µ =,2). Una de las posibles evoluciones se ha realizado con una volatilidad anual media del 3% (la de la Figura 1) y, la otra, con una volatilidad anual media del 6% (σ=,6). La Figura 4 presenta la rentabilidad diaria de la acción para las dos trayectorias descritas en la Figura 3. Las Figuras 3 y 4 permiten visualizar lo que significa la volatilidad de un activo.

6 4 Figura 3. Dos simulaciones de S t S = 1.; µ = 2%; σ= 3% y 6% St. Precio de la acción σ = 3% σ = 6% t (días) Figura 4. Simulación. Rentabilidad diaria de la acción. R t 1/t = ln(s t / S t 1) S = 1.; µ = 2%; σ= 3% y 6% 15% σ = 3% σ = 6% Rentabilidad diaria de la acción 1% 5% % 5% 1% 15% t (días) La Tabla 1 muestra las fórmulas más utilizadas en la simulación. También indica las expresiones de la esperanza matemática, varianza, moda y mediana del valor futuro de la acción. Es importante darse cuenta de que: aunque S t = S e R t, sin embargo, E(S t ) S e E (R t )

7 5 Tabla 1. Fórmulas útiles para valorar instrumentos financieros por simulación El precio de la acción hoy es S, la rentabilidad esperada (anualizada) de la acción es µ y la volatilidad esperada (anualizada) es σ. R t y S t son la rentabilidad y el precio de una acción que no reparte dividendos S t = S eµt + σ ε t E (S t ) = S e (µ σ 2 )t Moda (S t ) = S e(µ σ 2 )t Mediana (S t ) = S e µt R t = µt + σ ε t ; E (R t ) = µt; Var. (R t ) = σ 2 t εes normal N(,1) E(S t ) S e E(R t ) 2. La rentabilidad esperada de la acción en la simulación de instrumentos derivados En el caso de que queramos valorar un instrumento derivado (instrumento que se puede replicar a partir de otros ya existentes) sobre una acción, no podemos realizar la simulación introduciendo nuestra expectativa de rentabilidad de la acción, sino que debemos utilizar la siguiente rentabilidad esperada: µ = Ln (r) σ 2 / 2 (4) σes la volatilidad esperada (anualizada) de la acción y r es 1 + tasa de interés sin riesgo anualizada (3). La función de densidad de la rentabilidad de la acción (la rentabilidad anualizada esperada de la acción es µ y la volatilidad anualizada esperada es σ) es una distribución normal: 2 f(r t ) = e,5 [(Rt µt) / σ t] / σ (2πt) (5) La función de densidad del precio futuro de la acción es una distribución lognormal: 2 f(s t ) = e,5 {[ln(s t /S ) µt] / σ t} / S σ (2πt) (6) La Figura 5 muestra la distribución de probabilidad de la rentabilidad de la acción dentro de un año de dos inversores con idéntica expectativa de volatilidad (3%), pero distinta expectativa de rentabilidad: uno espera una revalorización del 5,3118%, y el otro una revalorización del 3%. La Figura permite observar que la distribución de probabilidad de la rentabilidad es normal. Una mayor expectativa de rentabilidad únicamente desplaza la distribución hacia la derecha.

8 6 Figura 5. Distribución de probabilidad de la rentabilidad de la acción en un año de dos inversores con idéntica expectativa de volatilidad (3%), pero distinta expectativa de rentabilidad: uno espera una revalorización del 5,3118%, y el otro del 3% 1,4 E (R) = 5,3118% E(R) = 3% 1,2 1 f (R),8,6,4,2 8% 6% 4% 2% % 2% 4% 6% 8% 1% Rentabilidad dentro de un año Figura 6. Distribución de probabilidad del precio de la acción dentro de un año de dos inversores con idéntica expectativa de volatilidad (3%), pero distinta expectativa de rentabilidad: uno espera una revalorización del 5,3118%, y el otro del 3%. El precio actual de la acción es 1. pesetas.,14,12,1 E(R) = 5,3118% E (S) = 1.1 f (S),8,6,4 E(R) = 3%,2, Precio dentro de un año

9 7 La Figura 6 muestra la distribución de probabilidad del precio de la acción dentro de un año correspondiente a la Figura 5. En este caso, una mayor expectativa de rentabilidad no sólo desplaza la distribución hacia la derecha, sino que también achata la distribución. 3. Valoración por simulación de una «call» y una «put» europeas En este apartado vamos a valorar por simulación una «call» y una «put» europeas sobre una acción que no reparte dividendos, para comprobar que obtenemos resultados prácticamente idénticos a los que nos proporciona la fórmula de Black y Scholes (4). Vamos a valorar una «put» y una «call» con precio de ejercicio 1. pesetas y un año hasta la fecha de ejercicio. La acción tiene hoy un precio de 1. pesetas y su volatilidad esperada es 3%. La tasa de interés sin riesgo es 1%. La Tabla 2 muestra los resultados de la simulación (1. trayectorias) (5) y los compara con los que proporciona la fórmula de Black y Scholes. Hay que resaltar que el valor de µ que utilizamos en la simulación es el que proporciona la fórmula (4): µ = 5,3118%. El valor de la «call», según Black y Scholes, es 164,92, y con la simulación obtenemos 164,93. Para el valor de la «put» obtenemos idéntico resultado con ambos procedimientos: 74,1. El valor esperado de la acción es 1.1 (1. x 1,1), y con la simulación, la media de los valores que alcanza dentro de un año es 1.1,1. La revalorización de la acción empleada es 5,3118% (µ), y con la simulación la media de la rentabilidad anual de la acción en los 1. casos es 5,315%. Tabla 2. Valoración por simulación (1.) de una «call» y una «put» europeas sobre una acción (S = 1.; K = 1.; r = 1%; t = 1; s = 3%). Debido al arbitraje: µ = Ln (r) σ 2 /2 = 5,3118% = Ln (1,1),3 2 /2 Valores obtenidos con la fórmula de Black-Scholes Valores obtenidos con la simulación «Call» 164,92 164,93 «Put» 74,1 74,1 Valor esperado de la acción ,1 Rentabilidad esperada de la acción: E(R) = µ 5,31% 5,315% La Figura 7 muestra la distribución de la rentabilidad de la acción con volatilidad del 3% si el inversor tuviera una expectativa de rentabilidad (µ) idéntica a la utilizada en la simulación (5,3118%). En este caso, la probabilidad de que la «call» terminara valiendo algo, (S 1 >1.), es 56,6%, y la probabilidad de que la «put» valiera algo, (S 1 <1.), es 43,4%. La Figura 8 es idéntica a la 7, pero muestra la distribución del precio de la acción dentro de un año.

10 8 Figura 7. Si el inversor tuviera la distribución de probabilidad de la rentabilidad de la acción en un año con volatilidad (3%) y rentabilidad esperada del 5,3118%, la probabilidad de ejercer la «put» sería 43,4%, y la de ejercer la «call», sería 56,6%. R F = 1%; So = 1. pesetas; K = 1. pesetas; t = 1 año; σ= 3% 1,4 1,2 1 f (R),8,6,4,2 Area de la «put»: 43,4% Area de la «call»: 56,6% 1% 8% 6% 4% 2% % 2% 4% 6% 8% 1% Rentabilidad dentro de un año Figura 8. Inversor que espera que la rentabilidad esperada de la acción sea 5,3118% y la volatilidad 3%. Su probabilidad de ejercer la «put» es 43,4%, y de ejercer la «call», 56,6%. R F = 1%; So = 1. pesetas; K = 1. pesetas; t = 1 año; σ= 3%,14,12,1 f (S),8,6,4,2, Area de la «put»: 43,4% Area de la «call»: 56,6% Precio dentro de un año

11 9 La Figura 9 muestra las distribuciones de la rentabilidad y del precio de la acción dentro de un año con volatilidad del 3% si el inversor tuviera realmente una expectativa de rentabilidad del 3%. En este caso, la probabilidad de que la «call» terminara valiendo algo (S1>1.) es 84,1%, y la probabilidad de que la «put» valiera algo (S 1 <1.), es 15,1%. Sin embargo, el inversor estaría de acuerdo en que el precio de ambas es 164,9 y 74,1 pesetas, respectivamente (6). Figura 9. Si el inversor tuviera la distribución de probabilidad de la rentabilidad de la acción en un año con volatilidad (3%) y rentabilidad esperada del 3%, la probabilidad de ejercer la «put» sería 15,9%, y la de ejercer la «call», sería 84,1%. R F = 1%; So = 1. pesetas; K = 1. pesetas; t = 1 año; σ= 3% 1,4 1,2 1 f (R),8,6,4 Area de la «put»: 15,9% Area de la «call», 84,1%,2 1% 8% 6% 4% 2% % 2% 4% 6% 8% 1% Rentabilidad dentro de un año,12,1,8 Area de la «put»: 15,9% f (S),6,4,2 Area de la «call»: 84,1%, La Tabla 3 proporciona los resultados de la simulación. La primera columna se refiere a los 1. valores del precio de la acción dentro de un año que se han generado. La segunda columna indica la rentabilidad de la acción correspondiente a los 1. valores. La rentabilidad se calcula como ln(s 1 /1.), siendo S 1 el valor de la acción dentro de un año. La tercera columna muestra los estadísticos correspondientes al valor final alcanzado por la «call» en las 1. simulaciones: máximo (S 1 1.; ). La cuarta columna muestra los estadísticos correspondientes al valor final alcanzado por la «put» en las 1.

12 1 simulaciones: máximo (1. S 1 ; ). La quinta columna muestra los estadísticos correspondientes al valor actual de la «call» en las 1. simulaciones (7): máximo (S 1 1.; )/1,1. La sexta columna muestra los estadísticos correspondientes al valor actual de la «put» en las 1. simulaciones: máximo (1. S 1 ; )/1,1. La Figura 1 muestra la distribución del valor final de la «call». Nótese que en de las 1. simulaciones, el valor final de la «call» fue cero, lo que significa que en de las simulaciones, el valor final de la acción fue inferior a 1. pesetas. La Figura 11 muestra la distribución del valor final de la «put». Nótese que en de las 1. simulaciones, el valor final de la «put» fue cero, lo que significa que en de las simulaciones, el valor final de la acción fue superior a 1. pesetas. La Figura 12 muestra la distribución del valor final de la acción en las 1. simulaciones y, la Figura 13, la distribución de la rentabilidad de la acción. Nótese su gran similitud con una distribución lognormal y normal, respectivamente. Tabla 3. Valoración por simulación de una «call» y una «put» europeas sobre una acción S = 1.; K = 1.; r = 1%; t = 1 año; σ= 3%. Valores según Black y Scholes: «call» = 164,92 pesetas; «put» = 74,1 pesetas Valor final Rentabilidad Valor final Valor final Valor HOY Valor HOY de la acción de la acción de la «call» de la «put» de la «call» de la «put» Simulaciones Media 1.1,1 5,3% 181,42 81,41 164,93 74,1 Desviación estándar 337,65 3,% ,77 238,18 114,33 Skewness,95 2 1,55 2 1,55 Kurtosis 4,66 3 8,2 4,55 8,2 4,55 Mínimo 344,16 16,66% Máximo 3.525,41 126,% 2.525,41 655, ,83 596,21 Error estánd. de la media 3,38,3% 2,62 1,26 2,38 1,14 Figura 1. Valoración por simulación (1. trayectorias) de una «call» y una «put» europeas Distribución del valor final de la «call» S = 1.; K = 1.; r = 1%; t = 1 año; σ= 3% Número de trayectorias Valor final de la «call» dentro de un año (+/ 5 pesetas)

13 11 Figura 11. Valoración por simulación (1. trayectorias) de una «call» y una «put» europeas Distribución del valor final de la «put» S = 1.; K = 1.; r = 1%; t = 1 año; σ= 3% Número de trayectorias Valor final de la «put» dentro de un año (+/ 5 pesetas) Figura 12. Valoración por simulación (1. trayectorias) de una «call» y una «put» europeas Distribución del valor final de la acción S = 1.; K = 1.; r = 1%; t = 1 año; σ= 3%. Número de trayectorias Valor final de la acción dentro de un año (+/ 5 pesetas)

14 12 Figura 13. Valoración por simulación (1. trayectorias) de una «call» y una «put» europeas Distribución de la rentabilidad de la acción S = 1.; K = 1.; r = 1%; t = 1 año; σ= 3% Número de trayectorias % 129-1% -9% -8% -7% -6% 249-5% -4% -3% 436-2% -1% % 1% 2% 3% 4% 5% 6% 672 7% 8% 9% 937 1% 11% 12% % 14% Rentabilidad de la acción en un año (+/ 5%) 4. Valoración por simulación de una «call» y una «put» europeas con precio de ejercicio igual al precio «forward» En este apartado se muestra otra valoración por simulación: vamos a valorar por simulación una «call» y una «put» europeas sobre una acción, ambas con precio de ejercicio igual al precio «forward» de la acción (1.1 pesetas = 1. x 1,1). Las opciones tienen un año hasta la fecha de ejercicio y se refieren a la misma acción del apartado anterior. La acción tiene hoy un precio de 1. pesetas y su volatilidad esperada es 3%. La tasa de interés sin riesgo es 1%. La Figura 14 muestra la distribución de la rentabilidad de la acción con volatilidad del 3% si el inversor tuviera una expectativa de rentabilidad (µ) idéntica a la utilizada en la simulación (5,3118%). En este caso, la probabilidad de que la «call» terminara valiendo algo (S1>1.1), es 43,42%, y la probabilidad de que la «put» valiera algo (S1<1.1), es 56,58%. La Figura 14 permite comprobar una vez más que aunque sabemos que la «put» y la «call» europeas tienen idéntico valor cuando su precio de ejercicio es el precio «forward», esto no quiere decir que este precio sea el valor esperado del precio de la acción (8).

15 13 Figura 14. Distribución de probabilidad de la rentabilidad de la acción en un año y del precio dentro de un año. Acción con volatilidad 3% y rentabilidad esperada del 5,3118%. La probabilidad de ejercer la «put» sería 56,58%, y la de ejercer la «call» (ambas con precio de ejercicio 1.1 pesetas = precio «forward» sería 43,42%. R F = 1%; So = 1. pesetas; t = 1 año; σ= 3% 1,4 1,2 1 f (R),8,6,4,2 Area de la «put»: 56,58% Area de la «call»: 43,42% 1% 8% 6% 4% 2% % 2% 4% 6% 8% 1% Rentabilidad dentro de un año,14,12,1 f (S),8,6,4,2 Area de la «put»: 56,58% Area de la «call»: 43,42%, Precio dentro de un año La Tabla 4 muestra los resultados de la simulación (1. trayectorias) y los compara con los que proporciona la fórmula de Black y Scholes. El valor de la «call» y de la «put», según Black y Scholes, es 119,24, y con la simulación obtenemos 119,19 y 119,23, respectivamente. El valor esperado de la acción es 1.1, y con la simulación, la media de los valores que alcanza dentro de un año es 1.99,96. La revalorización de la acción empleada es 5,3118% (µ), y con la simulación, la media de la rentabilidad anual de la acción en los 1. casos es un poco inferior: 5,297%.

16 14 Tabla 4. Valoración por simulación de una «call» y una «put» europeas sobre una acción S = 1.; K = 1.1; r = 1%; t = 1 año; σ= 3%. (Valor de «put» y «call» según Black y Scholes = 119,24 pesetas) Valor final Rentabilidad Valor final Valor final Valor HOY Valor HOY de la acción de la acción de la «call» de la «put» de la «call» de la «put» Simulaciones Media 1.99,96 5,297% 131,11 131,16 119,19 119,23 Desviación estándar 337,3 29,9959% 23,4 162,14 29,46 147,4 Varianza ,43 8,9976% 53.85, , ,54 727,23 Skewness,94, 2,44 1,6 2,44 1,6 Kurtosis 4,52 2,99 1,46 3,1 1,46 3,1 Mínimo 312,68 11,2584%,,,, Máximo 3.153,42 114,8486% 2.53,42 787, ,74 715,75 Error estánd. de la media 3,37,3% 2,3 1,62 2,9 1,47 5. Valoración por simulación de una «call» y una «put» europeas sobre un dólar Si el precio de un dólar hoy es S ptas./dólar, la rentabilidad esperada (anualizada) del tipo de cambio es µ, y la volatilidad esperada (anualizada) es σ, la fórmula que se utiliza habitualmente para simular la evolución del tipo de cambio en cualquier fecha futura t es: S t ptas./dólar = S ptas./dólar e (µ t + σe t) (7) donde ε es una variable aleatoria normal de media cero y varianza unidad: N (, 1). En el caso de que queramos valorar un instrumento derivado (instrumento que se puede replicar a partir de otros ya existentes) sobre un dólar, no podemos realizar la simulación introduciendo nuestra expectativa de rentabilidad esperada del dólar, sino que debemos utilizar la siguiente rentabilidad esperada: µ = Ln (r p /r$) s 2 / 2 (8) σes la volatilidad esperada (anualizada) del tipo de cambio, r p es 1 + tasa de interés en pesetas sin riesgo anualizada y r $ es 1 + tasa de interés en dólares sin riesgo anualizada. La lógica de la expresión (8) es la siguiente. Si invertimos hoy S pesetas a la tasa sin riesgo en pesetas, en t tendremos S r t p pesetas. Alternativamente, si hoy compramos un dólar (coste de la inversión S pesetas) y lo invertimos a la tasa sin riesgo en dólares, en t tendremos r t $ dólares. El valor esperado del tipo de cambio es E(S ptas./dólar t ) = S ptas./dólar e (µ + σ2 /2)t. Por consiguiente, el valor esperado (en pesetas) de esta segunda inversión es r t $ S ptas./dólar e (µ + σ 2 /2 )t. Como (por el hecho de estar valorando instrumentos financieros derivados replicables) el valor esperado de ambas inversiones ha de ser idéntico, resulta la expresión (8). La Tabla 5 muestra los resultados de la simulación (1. trayectorias) y los compara con los que proporciona la fórmula de Black y Scholes. El valor de la «call» y de la «put», según Black y Scholes, es 9,777 y 5,448, respectivamente, y con la simulación

17 15 obtenemos 9,776 y 5,448, respectivamente. El valor esperado del tipo de cambio es 14,7619 ptas./dólar (el tipo «forward»), y con la simulación, la media de los valores que alcanza el tipo de cambio dentro de un año es 14,7614 ptas./dólar. La µ empleada es 2,652%. Tabla 5. Valoración por simulación de una «call» y una «put» europeas sobre un dólar S = 1 ptas./dólar; K = 1 ptas.; rp = 1,1; r$ = 1,5; t = 1 año; σ= 2%. (Valor de «put» y «call» según Black y Scholes = 5,448 y 9,777 pesetas) Valor final Valor final Valor final Valor HOY Valor HOY del dólar de la «call» de la «put» de la «call» de la «put» Simulaciones Media 14,761 1,754 5,993 9,776 5,448 Desviación estándar 21,157 15,34 9,193 13,913 8,357 Varianza 447, ,212 84, ,563 69,845 Skewness,61 1,8 1,59 1,8 1,59 Kurtosis 3,64 6,632 4,833 6,632 4,833 Mínimo 5,217,,,, Máximo 217, ,619 49,783 16,927 45,258 Error estándar de la media,212,153,92,139,84 6. Valoración por simulación de una «call» y una «put» europeas sobre una acción que reparte dividendos En este apartado vamos a ver cómo influyen los dividendos en el valor de la opción. La acción repartirá un dividendo de 1 pesetas dentro de seis meses, sea cual sea el precio de la acción en ese momento. Para valorar opciones europeas según la fórmula de Black y Scholes ajustada para dividendos, basta restar al precio de la acción hoy (1. ptas.) el valor actual de los dividendos que pagará la acción durante la vida de la opción (1/1,1,5 = 95,346259). Si hacemos esto, obtenemos unos valores para la «put» y la «call» de 11,36 y 15,93 pesetas, respectivamente. Sin embargo, la simulación (véase Tabla 6) nos proporciona unos resultados bastante superiores: 116,11 y 111,79, respectivamente. Tabla 6. Valoración por simulación de una «call» y una «put» europeas sobre una acción que dentro de seis meses repartirá un dividendo de 1 pesetas S = 1.; K = 1.; r = 1%; t = 1 año; σ= 3%. (Valor de «put» y «call» según Black y Scholes-ajustada = 11,36 y 15,93 pesetas) Valor final Rentabilidad Valor final Valor final Valor HOY Valor HOY de la acción de la acción de la «call» de la «put» de la «call» de la «put» Simulaciones Media 995,25 5,5% 122,97 127,72 111,79 116,11 Desviación estándar 323,84 31,72% 222,17 155,23 21,98 141,12 Varianza ,34 1,6% , , , ,53 Skewness 1,4,1 2,64 1,3 2,64 1,3 Kurtosis 5,32 3,4 13,36 3,3 13,36 3,3 Mínimo 282, 126,58%,,,, Máximo 4.9,11 14,86% 3.9,11 718, 2.89,19 652,72 Error estánd. de la media 3,24,32% 2,22 1,55 2,2 1,41

18 16 Para entender el porqué de esta discrepancia, supongamos ahora que la acción repartirá dentro de seis meses un dividendo igual al 9, % del valor de la acción en ese momento. Nótese que el valor actual del dividendo en este caso es también 95, pesetas. Según la fórmula de Black y Scholes ajustada para dividendos, obtenemos unos valores para la «put» y la «call» iguales a los calculados anteriormente (11,36 y 15,93 pesetas, respectivamente). En este caso, la simulación (véase Tabla 7) nos proporciona unos resultados (19,72 y 15,9) bastante similares a la fórmula de Black y Scholes ajustada para dividendos. Tabla 7. Valoración por simulación de una «call» y una «put» europeas sobre una acción que dentro de seis meses repartirá un dividendo igual al 9, % del valor de la acción en ese momento. El valor esperado del dividendo es 1 pesetas S = 1.; K = 1.; r = 1%; t = 1 año; σ= 3%. (Valor de «put» y «call» según Black y Scholes-ajustada = 11,36 y 15,93 pesetas) Valor final Rentabilidad Valor final Valor final Valor HOY Valor HOY de la acción de la acción de la «call» de la «put» de la «call» de la «put» Simulaciones Media 995,8 4,93% 116,49 12,69 15,9 19,72 Desviación estándar 36,26 3,% 29,1 148,16 19,1 134,69 Varianza ,27 9,% ,82 95, , ,98 Skewness,97,1 2,52 1,5 2,52 1,5 Kurtosis 4,75 3,2 11,27 3,9 11,27 3,9 Mínimo 321,54 113,46%,,,, Máximo 3.431,21 123,29% 2.431,21 678, ,19 616,78 Error estánd. de la media 3,13,31% 2,14 1,52 1,95 1,38 Vemos, pues, que la fórmula de Black y Scholes ajustada para dividendos es correcta cuando el dividendo se espera que sea un porcentaje del precio de la acción en el momento del reparto del mismo, pero es sólo una aproximación cuando el dividendo que se espera es una cantidad fija. La razón de esta discrepancia puede verse más clara en la Tabla 8 y en la Figura 15. En ambos casos, el valor esperado del dividendo es 3 pesetas. La Figura 15 (al igual que la skewness y la kurtosis de la rentabilidad de la acción en la Tabla 8), permite ver que la distribución de la rentabilidad es normal (9) en caso de que el dividendo sea un porcentaje del precio de la acción, pero se aleja de la normal si el dividendo es una cantidad fija (en este caso 3 pesetas) (1). Además, la desviación estándar de la rentabilidad es sensiblemente mayor de 3%, que es la volatilidad esperada de la acción. Nótese que en el caso de que el dividendo esperado sea un porcentaje del precio de la acción, la rentabilidad resulta normal y su desviación estándar es 3%.

19 17 Tabla 8. Diferencia entre la distribución final del precio de la acción y de su rentabilidad anual según que el dividendo de dentro de seis meses sea igual al 28, % del valor de la acción en ese momento o que sea 3 pesetas. El valor esperado del dividendo en ambos casos es 3 pesetas. S = 1.; r = 1%; t = 1 año; σ= 3% Dividendo = 3 pesetas Dividendo = 28, % S6 Valor final Rentabilidad Valor final Rentabilidad de la acción de la acción de la acción de la acción Simulaciones Media 785,86 3,97% 785,72 28,66% Desviación estándar 296,8 37,42% 242,5 3,15% Varianza 87.66,74 14,% 58.86,8 9,9% Skewness 1,2 -,16,96, Kurtosis 4,98 3,11 4,75 2,99 Mínimo 159,33 183,68% 237,83 143,62% Máximo 2.765,34 11,72% 2.469,32 9,39% Error estándar de la media 3,42,43% 2,8,35% Figura 15. Diferencia de la distribución de la rentabilidad anual de la acción según que el dividendo de dentro de seis meses sea igual al 28, % del valor de la acción en ese momento o que sea 3 pesetas. El valor esperado del dividendo en ambos casos es 3 pesetas. S = 1.; r = 1%; t = 1 año; σ= 3% Div. = 3 Div. = 28,639% de S6 f (R) 15% 1% 5% % 5% 1% Rentabilidad en un año

20 18 7. Valoración por simulación del corredor 7.1. Descripción del corredor Corredor («Synthetic Peseta IBEX Corridor Note»). Bono a 1 año con cupón del 15,5% en pesetas cada día que el IBEX 35 permanezca dentro del intervalo (corredor) comprendido entre 2.8 y 3.6. El cupón se pagará al vencimiento. Emisor: Institución financiera española calificada AA. Inversión mínima: 1. dólares. Fecha emisión: enero de IBEX emisión alrededor de 3.. Vencimiento: enero de Cobro al vencimiento: principal más cupón (ambos en dólares): Principal (dólares) que se cobrará al vencimiento = = Principal emisión x (1 + (SPOT emisión SPOT vencimiento )/SPOT vencimiento) Cupón en dólares que se cobrará al vencimiento = Principal emisión x (Días/25) x 15,5% x (1 + (SPOT emisión SPOT vencimiento )/ SPOT vencimiento ) Días = número de días en los que 2.8 cierre diario del IBEX SPOT emisión = cambio ptas./dólar en la emisión. SPOT vencimiento = Cambio ptas./dólar en la fecha de vencimiento. 25 = días de contratación en que cotizará el IBEX 35 en el próximo año. Precio de emisión del bono: par. El número de días mínimo en el que el IBEX 35 ha de estar entre 2.8 y 3.6 para que un inversor prefiera este instrumento a otro de renta fija equivalente, es 17 (1,54%) Análisis previo del corredor A primera vista, el corredor parece ligado al tipo de cambio ptas./dólar, pero resulta idéntico a una inversión en pesetas, como se aprecia en el siguiente ejemplo. Inversión = 1 millón de dólares (132 millones de pesetas) Fecha emisión: enero de 1995 Vencimiento: enero de 1996 SPOTemisión = 132 ptas./dólar días = 125 SPOTvencimiento = 264 ptas./dólar Cobro al vencimiento: principal más cupón (ambos en dólares) Principal (dólares) = 1 millón de dólares x (1 + ( )/264 ) =,5 millones de dólares = 132 millones de pesetas Cupón en dólares (ajustado por la variación de la peseta respecto al dólar desde la emisión): 1 millón de dólares x (125/25) x 15,5% x (1 + ( )/264) =,3875 millones de dólares = 1,23 millones de pesetas 1,23/132 = 7,75%.

21 Valoración por simulación del corredor La Figura 16 presenta una de las posibles trayectorias del corredor. El IBEX inicial es 3. puntos, la volatilidad anual 2%, el tipo de interés sin riesgo 1%, el dividendo anual de las acciones que lo componen 4%, y la rentabilidad esperada (µ) 7,531%. Siguiendo la trayectoria de esta Figura, el IBEX 35 habría estado un total de 198 días entre los límites que constituyen el corredor (2.8 y 3.6). Figura 16. Valoración por simulación del corredor. Una trayectoria IBEX inicial = 3.. Dividendo anual = 4% Número de días en que el IBEX estuvo entre 2.8 y 3.6 en esta trayectoria = 198 Tiempo = 1 año. Número de días hábiles/año = 25. Volatilidad anual = 2% 1 + interés sin riesgo anual =1,1. µ =, IBEX Días La Tabla 9 muestra los resultados de la valoración del corredor por simulación (1. trayectorias) utilizando los mismos parámetros de la Figura 16. Lo que se pretende averiguar mediante la simulación es el número de días en los que el IBEX 35 va a estar entre los límites señalados por el corredor. El número medio de días resultante es aproximadamente 158, mientras que el IBEX 35 promedio durante el período (1 año) ha sido 3.89,82 (apenas existe revalorización). La media del IBEX máximo de la simulación se sitúa en 3.69,73, ligeramente por encima del límite máximo del corredor, mientras que la media del IBEX mínimo es 2.627,73. De aquí se puede deducir que en los días en los que el índice ha estado fuera de los límites marcados por el corredor, una gran parte de ellos, el IBEX 35 se ha situado por debajo del límite inferior (2.8).

22 2 Tabla 9. Valoración por simulación del corredor. 1. trayectorias. IBEX inicial = 3.. Dividendo anual = 4%. Número días = número de días en que el IBEX estuvo entre 2.8 y 3.6 Tiempo = 1 año. Número de días hábiles/año = 25. Volatilidad anual = 2%. 1 + interés sin riesgo anual = 1,1. µ =,7531 Número días IBEX promedio IBEX máximo IBEX mínimo Simulaciones Media 158,2 3.89, , ,73 Desviación estándar 69,88 368,3 498,38 283,89 Skewness,37,41 1,8,73 Curtosis 1,92 3,19 3,99 2,91 Mínimo 6, 2.176, , ,51 Máximo 25, 4.473, , ,5 Error estándar de la media 2,21 11,64 15,76 8,98 La Figura 17 muestra la distribución del número de días en los que el IBEX 35 estuvo entre los valores marcados por el corredor. Como se observa, el mayor número de trayectorias en dicha distribución se encuentra en la parte derecha, es decir, existen muchas trayectorias en las que durante todos o casi todos los días del año el IBEX 35 se ha situado entre los valores límite del corredor. Como dato puntual, en 51 trayectorias el índice cotizó entre 2.8 y 2.6 todos los días. Figura 17. Valoración por simulación del corredor. 1. trayectorias. IBEX inicial = 3. Distribución del número de días en que el IBEX estuvo entre 2.8 y 3.6 Tiempo = 1 año. Número de días hábiles/año = 25. Volatilidad anual = 2%. 1 + interés sin riesgo anual = 1,1. µ =,7531 Número de trayectorias El número de trayectorias en que el IBEX estuvo 25 días (todos) entre 2.8 y 3.6, es Número de días que el IBEX estuvo entre 2.8 y 3.6

23 21 La Tabla 1 muestra los resultados de una segunda valoración del corredor, esta vez utilizando en la simulación 2.74 trayectorias. Como se puede apreciar en comparación con la Tabla 9, aumentando el número de trayectorias simuladas se incrementa ligeramente la media de todas las variables contempladas (número de días, IBEX promedio, IBEX máximo e IBEX mínimo). Tabla 1. Segunda valoración por simulación del corredor trayectorias. IBEX inicial = 3.. Dividendo anual = 4% Número días = número de días en que el IBEX estuvo entre 2.8 y 3.6 Tiempo = 1 año. Número de días hábiles/año = 25. Volatilidad anual = 2% 1 + interés sin riesgo anual = 1,1. µ =,7531 Número días IBEX promedio IBEX máximo IBEX mínimo Simulaciones Media 159, , , ,83 Desviación estándar 69,12 368,79 496,11 29,31 Skewness,42,3 1,6,81 Curtosis 2,3 3,1 4, 3,15 Mínimo 5, 2.112, , ,2 Máximo 25, 4.563, ,2 3.95,25 Error estándar de la media 1,52 8,1 1,89 6, Influencia de la volatilidad en el corredor Para poder observar el efecto que tiene en la valoración del corredor una variación de la volatilidad del IBEX 35, se ha realizado otra simulación (58 trayectorias), pero esta vez utilizando una volatilidad del 16%. Nótese como también la rentabilidad esperada (µ) experimenta una variación, ya que uno de los parámetros utilizados para su cálculo es precisamente la volatilidad, véase fórmula (4). Si se compara la Tabla 11 con la 9, se observa que una disminución de la volatilidad del índice hace que se incremente el número de días medio en los que el IBEX 35 permanece entre 2.8 y 3.6. También aumenta ligeramente el IBEX promedio (3.94,2), mientras que el abanico marcado por el IBEX máximo y el IBEX mínimo se estrecha, como consecuencia lógica de esa disminución de la volatilidad. Así pues, al inversor le interesará que el IBEX 35 tenga la mínima volatilidad posible, ya que ello implica un mayor número de días dentro de las bandas y, consecuentemente, una mayor rentabilidad a percibir.

24 22 Tabla 11. Valoración por simulación del corredor. 58 trayectorias. IBEX inicial = 3.. Dividendo anual = 4% Número días = número de días en que el IBEX estuvo entre 2.8 y 3.6 Tiempo = 1 año. Número de días hábiles/año = 25. Volatilidad anual = 16% 1 + interés sin riesgo anual = 1,1. µ =,8251 Número días IBEX promedio IBEX máximo IBEX mínimo Simulaciones Media 179,8 3.94, , ,24 Desviación estándar 66,32 294,2 392,3 234,9 Skewness,75,9,87,9 Curtosis 2,47 2,73 3,61 3,38 Mínimo 1, 2.328, , ,95 Máximo 25, 3.994, , ,24 Error estándar media 2,94 13,5 17,41 1, Simulación histórica del corredor Seguidamente vamos a analizar cuál habría sido el número de días que el corredor hubiese permanecido entre 2.8 y 3.6 si el IBEX 35 se hubiese comportado tal y como lo ha hecho históricamente. En la Figura 18 aparecen las trayectorias que tendría el IBEX 35 si, partiendo de un valor inicial de 3. puntos, hubiese seguido una evolución idéntica a la de los años 1987, 1988 y Como resultado, obtenemos que el IBEX 35 estaría dentro de los límites del corredor 166, 192 y 217 días, respectivamente. Figura 18. Simulación histórica del corredor. Las trayectorias suponen que, partiendo de un IBEX inicial de 3., el IBEX se hubiera comportado como lo hizo en los años 1987, 1988 y 1989 Número de días en que el IBEX estuvo entre 2.8 y 3.6: 166 en 1987, 192 en 1988 y 217 en 1989 IBEX Días

25 23 En la Figura 19 se realiza la misma simulación que en la anterior, pero teniendo en cuenta el comportamiento seguido por el IBEX 35 durante los años 199, 1991 y En estos casos, el número de días en los que el IBEX 35 se situó entre 2.8 y 2.6 fue 66, 93 y 136 días, respectivamente. Finalmente, la Figura 2 presenta la simulación con las rentabilidades obtenidas durante los años 1993 y 1994, siendo 1 y 12, respectivamente, el número de días en esos años que el índice estuvo entre los límites marcados por el corredor. Nótese cómo, a excepción de los años 1988 y 1989, el inversor hubiese resultado perjudicado si hubiese suscrito el corredor en lugar de haber realizado su inversión en instrumentos de renta fija equivalentes. Figura 19. Simulación histórica del corredor. Las trayectorias suponen que, partiendo de un IBEX inicial de 3., el IBEX se hubiera comportado como lo hizo en los años 199, 1991 y 1992 Número de días en que el IBEX estuvo entre 2.8 y 3.6: 66 en 199, 93 en 1991 y 136 en 1992 IBEX Días

26 24 Figura 2. Simulación histórica del corredor. Las trayectorias suponen que, partiendo de un IBEX inicial de 3., el IBEX se hubiera comportado como lo hizo en los años 1993 y 1994 Número de días en que el IBEX estuvo entre 2.8 y 3.6: 1 en 1993 y 12 en 1994 IBEX Días 7.6. Otros datos interesantes de la simulación La Figura 21 muestra la distribución del valor promedio del IBEX 35 correspondiente a la simulación recogida en la Tabla 9. Nótese cómo dicha distribución se asemeja notablemente a una distribución normal. Las Figuras 22 y 23 presentan la distribución del valor máximo y mínimo del IBEX 35, respectivamente. Se puede apreciar que éstas no son aproximables a ningún tipo de distribución de probabilidad conocida. Sin embargo, la distribución de la variable que se obtiene de restar el valor máximo y el mínimo del IBEX 35, y que se muestra en la Figura 24, sí que se puede aproximar a una distribución lognormal Figura 21. Valoración por simulación (1. trayectorias) del IBEX 35. IBEX inicial = 3. Distribución del valor promedio del IBEX durante 1 año (25 días) Volatilidad anual = 2%. RF = 1,1. µ =,7531 Número de trayectorias IBEX promedio (+/ 5 puntos) durante los 25 días

27 25 Figura 22. Valoración por simulación (1. trayectorias) del IBEX 35. IBEX inicial = 3. Distribución del valor máximo del IBEX durante 1 año. Días hábiles/año = 25. Volatilidad anual = 2%. R F = 1,1. µ =, Número de trayectorias IBEX máximo (+/ 5 puntos) durante los 25 días Figura 23. Valoración por simulación (1. trayectorias) del IBEX 35. IBEX inicial = 3. Distribución del valor mínimo del IBEX durante 1 año. Días hábiles/año = 25. Volatilidad anual = 2%. RF = 1,1. µ =,7531 Número de trayectorias IBEX mínimo (+/ 5 puntos) durante los 25 días

28 26 Figura 24. Valoración por simulación (1. trayectorias) del IBEX 35. IBEX inicial = 3. Distribución del (valor máximo valor mínimo) del IBEX durante 1 año. Días hábiles/año = 25. Volatilidad anual = 2%. RF = 1,1. µ =,7531 Número de trayectorias Media = 982, puntos Máximo = 2.751,1 puntos Mínimo = 4,9 puntos Desv. est. = 363,9 puntos IBEX máximo IBEX mínimo (+/ 5 puntos) de cada trayectoria 2.8 La Tabla 12 presenta la probabilidad de que la cotización del IBEX 35 se sitúe entre 2.8 y 3.6 puntos, dado un determinado número de días transcurridos y siendo el IBEX inicial 3. puntos. Esta probabilidad se presenta para distintos valores de volatilidad (16%, 2%, 25%, 3% y 35%). Se supone que no se reparten dividendos y que la tasa de interés sin riesgo es 1%. La suma de todas las probabilidades nos muestra el número esperado de días en los que el valor del IBEX 35 va a estar entre los límites marcados por el corredor. Nótese que las variaciones en la volatilidad afectan del mismo modo que señalamos en el apartado 7.4: un incremento en la volatilidad hace que disminuya el número esperado de días de permanencia del IBEX 35 entre 2.8 y 3.6. La Figura 25 muestra gráficamente lo que acabamos de comentar. La Tabla 13 es idéntica a la 12, pero en ella suponemos que se reparten unos dividendos anuales del 4%. Nótese, comparando ambas Tablas, que el dividendo afecta, en términos de un menor valor, al número esperado de días en los que el IBEX 35 se situará entre los valores determinados por el corredor. Supongamos ahora que en vez de tener un corredor cuyos límites son 2.8 y 2.6, existe un corredor en el que el máximo es variable y el mínimo es el máximo menos 8 puntos. La Figura 26 muestra el número esperado de días en los que el IBEX 35 permanece entre los límites de este nuevo corredor en función de cuál sea el valor del límite máximo. Nótese que el valor esperado del número de días entre los límites presenta su mayor valor cuando el límite máximo del corredor se sitúa en torno a 3.4. De este modo, vemos que el intervalo del corredor se sitúa entre 2.6 y 3.4, coincidiendo precisamente el valor medio del mismo (3.) con el valor del IBEX inicial.

29 27 Tabla 12 S = 3.; MAX. = 3.6; MIN. = 2.8; r = 1,1; Dividendos = Número de días cotizados en el año = 25. P (2.8 < Estándar < 3.6) t (días transcurridos) σ= 16% σ= 2% σ= 25% σ= 3% σ= 35% 1 1, 1, 1,,9999, ,,9999,9991,9951, ,,9993,9946,9829,9649 4,9997,9972,9866,9671,9419 5,9991,9937,9766,955,923 6,9979,9888,9657,9345,96 7,9961,9832,9547,9195,8828 8,9938,977,9439,955,8666 9,9911,976,9335,8925,8516 1,9881,9641,9236,884, ,9848,9576,9143,869, ,9813,9512,953,8583, ,9777,945,8969,8481,85 14,9741,939,8888,8384, ,974,9331,8811,8291, ,9667,9275,8737,822, ,9631,922,8666,8116, ,9595,9167,8597,833, ,956,9116,8531,7952,7397 2,9525,967,8466,7874,738 21,9491,919,844,7799, ,9458,8972,8343,7725, ,9426,8927,8283,7653,758 24,9394,8883,8225,7584, ,9363,884,8169,7516,695 26,9333,8798,8113,7449, ,933,8757,859,7385,676 28,9274,8716,85,7321, ,9245,8677,7953,726,6624 3,9218,8638,792,7199, ,919,86,7851,714, ,9164,8562,782,783, ,9137,8525,7753,726, ,9111,8488,775,6971, ,986,8452,7658,6917, ,961,8417,7611,6864,622 37,936,8381,7566,6813, ,912,8347,7521,6762,695 39,8987,8312,7477,6712,644 4,8964,8278,7433,6664, ,894,8245,739,6616, ,8917,8211,7348,6569, ,8894,8178,736,6523, ,8871,8146,7265,6478,583 45,8848,8113,7225,6434, ,8825,881,7185,6391, ,883,849,7145,6348, ,8781,818,717,637,563 49,8759,7987,768,6266,5589 5,8737,7956,731,6226,5548

30 28 Tabla 12 (continuación) S = 3.; MAX. = 3.6; MIN. = 2.8; r = 1,1; Dividendos = Número de días cotizados en el año = 25. P (2.8 < Estándar < 3.6) t (días transcurridos) σ= 16% σ= 2% σ= 25% σ= 3% σ= 35% 51,8715,7925,6994,6186,559 52,8693,7895,6957,6147,547 53,8672,7865,6921,619, ,865,7835,6885,672, ,8629,785,685,635, ,867,7776,6815,5999, ,8586,7747,6781,5963, ,8565,7718,6747,5929, ,8544,7689,6714,5894,5221 6,8523,7661,6681,586, ,852,7632,6649,5827, ,8481,764,6617,5794, ,846,7577,6585,5762,592 64,844,7549,6554,573,561 65,8419,7522,6523,5699,531 66,8398,7495,6493,5668,52 67,8378,7468,6462,5638, ,8357,7441,6433,568, ,8337,7415,643,5579,4916 7,8316,7388,6374,555, ,8296,7362,6346,5522, ,8276,7337,6318,5494, ,8256,7311,629,5466,488 74,8235,7286,6262,5439, ,8215,726,6235,5412, ,8195,7235,628,5385, ,8175,721,6181,5359,476 78,8155,7186,6155,5333, ,8136,7161,6129,538,4658 8,8116,7137,613,5283, ,896,7113,678,5258, ,876,789,653,5234, ,857,766,628,521, ,837,742,63,5186, ,818,719,5979,5162, ,7998,6995,5955,5139, ,7979,6973,5931,5116, ,796,695,597,594, ,794,6927,5884,572,4436 9,7921,695,5861,55, ,792,6882,5838,528, ,7883,686,5816,56, ,7864,6838,5794,4985, ,7845,6816,5771,4964, ,7826,6795,575,4944, ,787,6773,5728,4923, ,7788,6752,577,493,428 98,777,6731,5686,4883, ,7751,671,5665,4863,4243 1,7732,6689,5644,4844,4225

31 29 Tabla 12 (continuación) S = 3.; MAX. = 3.6; MIN. = 2.8; r = 1,1; Dividendos = Número de días cotizados en el año = 25. P (2.8 < Estándar < 3.6) t (días transcurridos) σ= 16% σ= 2% σ= 25% σ= 3% σ= 35% 11,7714,6668,5623,4825,427 12,7695,6648,563,486,419 13,7677,6628,5583,4787, ,7659,667,5563,4768, ,764,6587,5543,475, ,7622,6567,5524,4732, ,764,6548,554,4714,415 18,7586,6528,5485,4696,489 19,7568,658,5466,4678,473 11,755,6489,5447,4661, ,7532,647,5429,4644, ,7514,6451,541,4627, ,7496,6432,5392,461,41 114,7479,6413,5374,4593, ,7461,6394,5356,4576, ,7444,6376,5338,456, ,7426,6357,5321,4544, ,749,6339,533,4528, ,7391,6321,5286,4512, ,7374,633,5269,4496, ,7357,6285,5252,4481, ,734,6267,5235,4466, ,7323,6249,5218,445, ,736,6232,522,4435, ,7289,6214,5185,442, ,7272,6197,5169,446, ,7255,618,5153,4391, ,7238,6163,5137,4376, ,7221,6146,5121,4362, ,725,6129,516,4348, ,7188,6112,59,4334, ,7172,696,575,432, ,7155,679,559,436, ,7139,663,544,4292, ,7123,646,529,4279, ,716,63,514,4265, ,79,614,4999,4252, ,774,5998,4985,4239, ,758,5982,497,4226, ,742,5967,4956,4213, ,726,5951,4941,42, ,71,5935,4927,4187, ,6994,592,4913,4174, ,6979,594,4899,4162, ,6963,5889,4885,415, ,6947,5874,4871,4137, ,6932,5859,4858,4125, ,6916,5844,4844,4113, ,691,5829,4831,411, ,6886,5814,4817,489,354

32 3 Tabla 12 (continuación) S = 3.; MAX. = 3.6; MIN. = 2.8; r = 1,1; Dividendos = Número de días cotizados en el año = 25. P (2.8 < Estándar < 3.6) t (días transcurridos) σ= 16% σ= 2% σ= 25% σ= 3% σ= 35% 151,687,58,484,477, ,6855,5785,4791,466, ,684,577,4778,454, ,6825,5756,4765,442, ,681,5742,4752,431, ,6795,5727,4739,42, ,678,5713,4727,48, ,6765,5699,4714,3997, ,675,5685,472,3986, ,6735,5671,4689,3975, ,6721,5657,4677,3964, ,676,5644,4665,3954, ,6691,563,4653,3943, ,6677,5616,4641,3932, ,6662,563,4629,3922, ,6648,5589,4617,3911, ,6634,5576,465,391, ,6619,5563,4593,3891, ,665,5549,4582,3881, ,6591,5536,457,387, ,6577,5523,4559,386, ,6563,551,4547,385, ,6549,5497,4536,384, ,6535,5485,4525,3831, ,6521,5472,4514,3821, ,657,5459,453,3811, ,6493,5447,4492,382, ,648,5434,4481,3792, ,6466,5422,447,3782, ,6452,549,4459,3773, ,6439,5397,4448,3764, ,6425,5385,4438,3754, ,6412,5372,4427,3745, ,6398,536,4417,3736, ,6385,5348,446,3727, ,6372,5336,4396,3718, ,6358,5324,4385,379, ,6345,5313,4375,37, ,6332,531,4365,3691, ,6319,5289,4355,3683, ,636,5277,4345,3674, ,6293,5266,4335,3665, ,628,5254,4325,3657, ,6267,5243,4315,3648, ,6254,5231,435,364, ,6241,522,4296,3631, ,6229,529,4286,3623, ,6216,5197,4276,3614, ,623,5186,4267,366,3113 2,6191,5175,4257,3598,316

33 31 Tabla 12 (continuación) S = 3.; MAX. = 3.6; MIN. = 2.8; r = 1,1; Dividendos = Número de días cotizados en el año = 25. P (2.8 < Estándar < 3.6) t (días transcurridos) σ= 16% σ= 2% σ= 25% σ= 3% σ= 35% 21,6178,5164,4248,359,399 22,6166,5153,4239,3582,391 23,6153,5142,4229,3574,384 24,6141,5131,422,3566,377 25,6128,512,4211,3558,37 26,6116,511,422,355,364 27,614,599,4193,3542,357 28,692,588,4184,3534,35 29,68,578,4175,3527,343 21,667,567,4166,3519, ,655,557,4157,3511,33 212,643,546,4148,354, ,631,536,4139,3496, ,619,525,413,3489,31 215,67,515,4122,3481,33 216,5996,55,4113,3474, ,5984,4995,415,3466, ,5972,4984,496,3459, ,596,4974,487,3452, ,5949,4964,479,3445, ,5937,4954,471,3437, ,5925,4944,462,343, ,5914,4934,454,3423, ,592,4925,446,3416, ,5891,4915,438,349, ,588,495,429,342, ,5868,4895,421,3395, ,5857,4886,413,3388, ,5846,4876,45,3381, ,5834,4866,3997,3375, ,5823,4857,3989,3368, ,5812,4847,3981,3361, ,581,4838,3974,3354, ,579,4829,3966,3348, ,5779,4819,3958,3341, ,5768,481,395,3335, ,5757,481,3943,3328, ,5746,4791,3935,3321, ,5735,4782,3927,3315, ,5724,4773,392,339, ,5713,4764,3912,332, ,573,4755,395,3296, ,5692,4746,3897,3289, ,5681,4737,389,3283, ,567,4728,3882,3277, ,566,4719,3875,3271, ,5649,471,3868,3264, ,5639,471,3861,3258, ,5628,4693,3853,3252,284 25,5618,4684,3846,3246,2799 suma 186,5 163,9 141,5 124, 11,1