Caracterización de la incertidumbre del precio futuro del cobre

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Marina Arroyo Rivas
hace 6 años
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USc/lb Caracterización de la incertidumbre del precio futuro del cobre La incertidumbre en un modelo de programación estocástica

La razón de esto es que la estructura de árbol asegura que se cumplirá el principio de no-anticipatividad, las decisiones que

500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 Período Figura 1.

A la izquierda se muestra como gráfico y a la derecha como nodos. Árbol de 8 escenarios y 9 períodos.

1 USc/lb Caracterización de la incertidumbre del precio futuro del cobre La incertidumbre en un modelo de programación estocástica debe tener la estructura de árbol de escenarios, como se muestra en la Figura 1. La razón de esto es que la estructura de árbol asegura que se cumplirá el principio de no-anticipatividad, las decisiones que entregará el modelo en cada etapa de decisión sólo dependerán de información pasada Período Figura 1. Ejemplo de árbol de precios futuros para representar la incertidumbre en un modelo de programación estocástica. A la izquierda se muestra como gráfico y a la derecha como nodos. Árbol de 8 escenarios y 9 períodos. En la industria minera es práctica habitual representar la incertidumbre en el precio futuro del cobre utilizando modelos con reversión a la media. Este tipo de modelos de incertidumbre tiene la particularidad de que el precio oscilará en torno a un valor medio, definido a priori. La lógica de este tipo de comportamiento es de carácter económico: Si el precio del cobre está por sobre la media, se abrirán operaciones mineras, aumentando la oferta y por consecuencia disminuyendo el precio de mercado; si el precio del cobre está por debajo de la media, se cerrarán operaciones mineras, disminuyendo la oferta y por consecuencia aumentando el precio de mercado. En la literatura existen diversos modelos brownianos con reversión a la media, a modo preliminar se propone utilizar el modelo de Shwartz, 1997 por ser un modelo clásico ampliamente estudiado.

2 Se propone entonces que el precio futuro del cobre,s t, sigue un movimiento browniano con reversión a la media y responde a la siguiente ecuación diferencial estocástica: Donde ds t = κ μ ln S t S t dt + σs t dz t (0.1) µ es el valor de largo plazo o de equilibrio. es la velocidad de reversión al valor de equilibrio. z t representa un movimiento browniano estándar σ es una medida para la volatilidad del proceso Al momento se tiene una caracterización analítica de la incertidumbre del precio futuro del cobre, sin embargo el modelo recién descrito no es compatible con el modelo de planificación, porque el precio se modela a tiempo continuo y el modelo de planificación flexible está definido a tiempo discreto, en etapas. A continuación se muestra una metodología para realizar simulaciones a tiempo discreto de este proceso, lo cual será de utilidad para generar un árbol de escenarios. Se comienza definiendo X t : = ln S t. Luego, aplicando el Lema de Ito, el logaritmo del precio del cobre puede representarse por un modelo del tipo Ornstein-Uhlenbeck: dx t = κ μ σ2 X t dt + σdz t (0.2) Se tiene entonces que X t tiene distribución normal, con esperanza y varianza E X t = e κδt X e κt μ σ2 Var X t = σ2 1 e t Dixit & Pindyck y Gillespie publican las ecuaciones que permiten simular el proceso de X t en un ambiente a tiempo discreto, con intervalos Δt: X t = X t 1 e κδt + 1 e κδ t μ σ2 + σ 1 e Δ t N 0,1 (0.3) El coeficiente N(0,1) representa la realización de un número aleatorio con distribución normal de media 0 y varianza 1. Combinando la ecuación 1.3 con la relación X t : = ln S t se obtiene la fórmula para simular a tiempo discreto el precio futuro del cobre, S t : S t = EXP ln S t 1 e κδt + 1 e κδ t μ σ2 + σ 1 e Δ t N(0,1) (0.4)

3 La ecuación (1.5) para simular el precio futuro a tiempo discreto permite aplicar diversas técnicas para la generación de un árbol de escenarios. En esta oportunidad a modo de laboratorio se aplicó la técnica de ajuste de momentos para generar el árbol de escenarios Uso de Ajuste de omentos para generar el árbol de escenarios El modelo de precios es una variable a tiempo continuo, la cual tiene que ser transformada a un árbol de escenarios para así compatibilizar con el modelo de planificación flexible. La metodología para generar un árbol de escenarios se basa en el principio de ajustar de la mejor forma una distribución discreta a una distribución continua. El principal supuesto de este método es que la calidad de ajuste entre una distribución discreta y una distribución continua se mide con la similitud que tienen sus momentos. La calidad de ajuste se calculará como la diferencia cuadrática entre los momentos de las distribuciones. Se entiende por momentos la Esperanza, Varianza, Asimetría, Kurtosis, etc. Con el método de ajuste de momentos va construyendo el árbol de escenarios desde la raíz hasta las hojas. Se comienza definiendo cuántos hijos tendrá cada nodo del árbol. Comenzando desde la raíz, se calcula el precio y probabilidad de sus nodos hijos. Lo anterior se repite con los hijos, hasta completar todos los períodos del horizonte de planificación. A continuación se describe en detalle la metodología. 1. Se comienza definiendo Número de períodos a considerar, T Número de ramificaciones que tendrá el árbol en cada período N T 1 t t=1. La variable aleatoria que se pretende ajustar. En este caso será el modelo que responde a la ecuación diferencial estocástica Para el nodo raíz, se define el precio inicial S 0, conocido. 3. El nodo raíz tendrá N 1 hijos que pertenecerán al período 2, con precios S = S 1, S 2,.., S N 1 y sus correspondientes probabilidades p = p 1, p 2,.., p N1. El desafío en este momento es decidir los vectores S y p de forma de representar de la mejor forma la distribución de probabilidades del modelo 1.1 para el período 2. Tanto el modelo de precios como la distribución (S,p) tienen su propia esperanza, varianza, asimetría y kurtosis los cuales se utilizarán como medida de similitud. La función que se utilizará para medir la calidad del ajuste será la suma cuadrática de la diferencia de estas magnitudes. Para formalizar lo anterior, sea VAL 1 la esperanza del movimiento browniano para el período 2. VAL 2 la varianza del movimiento browniano para el período 2. VAL 3 la asimetría del movimiento browniano para el período 2. VAL 4 la kurtosis del movimiento browniano para el período 2. f 1 la esperanza de la distribución (S,p). f 2 la varianza de la distribución (S,p). f 3 la asimetría de la distribución (S,p). f 4 la kurtosis de la distribución (S,p). α j coeficiente de relevancia del momento j-ésimo en la función objetivo, con j=1,..,4 Se resuelve el modelo de ajuste de momentos para el segundo período:

4 min S,p 4 α j f j S, p VAL j 2 j =1 S i 0 i = 1,.., N 1 p i 0 i = 1,.., N 1 N 1 i=1 p i = 1 (0.5) El modelo 1.5 entregará los precios y las probabilidades de los N 1 nodos para el período El mecanismo anterior se repite para calcular los hijos de los N 1 nodos recién definidos. Se deben actualizar los valores VAL j j = 1,..,4 según el período que se esté calculando y el precio del nodo padre. Este proceso se repite hasta llegar a las hojas del árbol en el período T. Las magnitudes VAL j j = 1,..,4 que alimentan el modelo 1.5 se debieron actualizar constantemente. Cada vez que fue necesario actualizar, se simuló una muestra de realizaciones con la ecuación 1.4 y sobre ello se calcularon los momentos con las fórmulas conocidas de estadística. Si la muestra se define como S = s m, entonces VAL 1 = 1 VAL 2 = 1 VAL 3 = 1 VAL 4 = 1 s m s m VAL 1 2 VAL 3/2 2 s m VAL 1 3 s m VAL 4 1 VAL El horizonte de planificación para el modelo implementado es de 9 períodos. El número de ramificaciones en cada período se muestran en la Tabla 1, el cual entrega un total de 960 escenarios. A mayor el número de ramificaciones, mayor el detalle que tendrá el modelo para representar la incertidumbre del precio futuro. Se decide hacer más ramificaciones en los primeros períodos porque es donde el planificador querrá más precisión para tomar las decisiones de en el futuro cercano. Se debe tener cuidado con el número de ramificaciones porque esto impacta directamente en el tamaño del árbol y por consiguiente el tamaño del modelo de planificación flexible. El problema de tamaño es relevante porque los modelos de programación estocástica se caracterizan por ser de gran tamaño y dificultades en su implementación.

5 N t Período t P P P P P P P P P Tabla 1. Número de hijos que tendrá cada nodo de árbol de precios según el período de planificación. A modo de experimento, se utilizaron los siguientes parámetros para simular el precio futuro del cobre con la ecuación 1.4 Parámetro Valor S 0 2,00 μ 0,5 κ 0,4 σ 0,3 Tabla 2. Parámetros experimentales para simular el precio futuro del cobre, los cuales alimentan el modelo de precios de la ecuación (1.1) Al analizar los resultados del método de ajuste de momentos, se encontró que el árbol resultante no cubre de buena forma el dominio de precios futuros. Se decidió fijar a priori los precios del árbol, con el objetivo de cubrir de buena forma el espacio de precios futuros. Cada vez que se resuelve el modelo (1.5), se fija el vector S de acuerdo a los precios del árbol fijado y se optimizan sólo en función de las probabilidades con el vector p. Por ejemplo, para los nodos del segundo período, se fijaron los 5 nodos a los precios {291,246,200,154,109}, y el modelo (1.5) entregó las probabilidades {0,1; 0,1; 0,6; 0,1; 0,1}. Finalmente se desarrolló un árbol de precios de 9 períodos y 960 precios, el que se muestra en el Anexo 1. La masa de probabilidades resultante se muestra en el Anexo 2.

6 Anexos Anexo 1. Árbol de precios futuros del cobre

7 Anexo 2. Distribución de la masa de probabilidades 25.00% 20.00% 15.00% 10.00% 5.00% 0.00% Rango de Precios

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