Econometría II Grado en finanzas y contabilidad

Transcripción

1 Econometría II Grado en finanzas y contabilidad Estructuras determinísticas y estocásticas tendencia y la estacionalidad Profesora: Dolores García Martos mdgmarto@est-econ.uc3m.es Este documento es un resumen de la documentación elaborada por D. Antoni Espasa

2 Importancia de los factores La importancia predictiva de los factores o componentes de una serie temporal depende del horizonte de predicción. El componente tendendial suele predominar en el largo plazo, mientras que el resto de los componentes presenta menor relevancia Predicciones a cinco años En el corto plazo son de gran relevancia las predicciones de las oscilaciones de corto plazo, como el componente estacional Predicciones a un año En el medio plazo, todos los componentes son importantes Predicciones a un año y medio

3 Estructuras para la tendencia Las tendencias vienen determinadas por la acumulación tecnológica y también de otro tipo de conocimiento que lleva a una mayor eficiencia en la organización y desarrollo de las instituciones. También se genera por aumentos de la población, inflación, costumbres, etc. Otro factor causante de las tendencias son los cambios en los gustos y hábitos de los individuos así como cambios en las regulaciones administrativas y sociales. Tipología Tendencia determinística: Implica que no hay incertidumbre alguna sobre la evolución futura de la tendencia. Conocido el pasado es posible prever su futuro. NO ES REALISTA. Son funciones del tiempo: polinomios de orden uno o superior Tendencia estocástica: No hay certidumbre a futuro. SON MÁS REALISTAS

4 Estructuras para la estacionalidad Hay un comportamiento que se repite cada cierto periodo de tiempo, en función de la periodicidad de la serie:día/mes/trimestre Tipología Estacionalidad determinística: Implica que no hay incertidumbre alguna sobre la evolución futura de la tendencia. Se utilizan variables dummy estacionales Estacionalidad estocástica: No hay certidumbre a futuro.

5 Estructuras determinísticas para representar tendencias en series temporales. Una cuestión importante a tener en cuenta cuando una serie presenta un comportamiento tendencial es que no es ESTACIONARIA, propiedad de gran importancia en el proceso de modelización. Cuando una serie presenta un comportamiento tendencial, la esperanza matemática depende del tiempo. Una opción sería considerar que la tendencia es determinística. En este caso se puede representar por un polinomio determinístico. Sea X t =T t +W t T es la tendencia y W un componente estocástico (incierto). W refleja las desviaciones con respecto a la tendencia El comportamiento estocástico de X proviene de W Si suponemos una representación de la tendencia a través de un polinomio de primer orden, se tendría: T t =a+bt a y b son fijos X t = a+bt+w t W t tiene esperanza cero (supuesto) E(X t )= a +bt t es el tiempo y varía NO ES ESTACIONARIO, EL NIVEL VARÍA EN EL TIEMPO

6 Estructuras determinísticas para representar tendencias en series temporales. E NE 1975 E NE 1976 E NE 1977 E NE 1978 E NE 1979 E NE 1980 E NE 1981 E NE 1982 E NE 1983 E NE 1984 E NE 1985 E NE 1986 E NE 1987 E NE 1988 E NE 1989 E NE 1990 E NE 1991 E NE 1992 E NE 1993 E NE 1994 E NE 1995 E NE 1996 E NE 1997 E NE 1998 E NE 1999 E NE 2000 E NE 2001 E NE 2002 E NE 2003 E NE 2004 E NE 2005 E NE 2006 E NE 2007 E NE 2008 E NE 2009 E NE

7 Estructuras determinísticas para representar tendencias en series temporales. Los coeficientes vienen expresados en la misma unidad que la variable, X t : El valor de a representa el valor de la tendencia en el momento de inicio de la muestra El parámetro b es el aumento lineal (aditivo no proporcional) que va experimentando la tendencia en cada momento. Es la pendiente. T t = T t-1 +b En general es creciente: tendencia alcista o creciente. Pero puede ser decreciente. Otras expresiones más complejas serían, por ejemplo: T t = a+bt+ct 2 +dt 3 Bajo este esquema: X t = a+b t+ct 2 +dt 3 +W t

8 Estructuras determinísticas para representar tendencias en series temporales. Otras expresiones de la tendencia, vienen determinada por una tendencia exponencial. En este caso: T t =T t-1 (1+b) En este caso, b es la tasa de crecimiento de la tendencia b= (T t -T t-1 )/T t-1 Bajo este esquema es de gran utilidad trabajar con transformaciones logarítmicas A partir de la aproximación de Taylor de primer orden de una función Z t = Log T t Log Tt -log T t-1 = Δ log Tt = (Tt -T t-1)/t t-1 Esta aproximación es bastante buena para números pequeños

9 Estructuras determinísticas para representar tendencias en series temporales. Bajo este esquema se llega a que la tendencia presenta un comportamiento exponencial: T t = exp (a+bt) X t = exp (a+bt) exp W t La tendencia y la serie no son lineales. Se obtendrá linealidad, aplicando una transformación logarítmica b es un factor incremental

10 Tendencias truncadas Series con oscilaciones de nivel: series que no muestran crecimiento pero no presentan una media constante a lo largo de la muestra: NO ES ESTACIONARIA La media varía con el tiempo y se podría pensar en estimarla a través de segmentos temporales Para un periodo inicial se podría estimar una media c 1,para un segundo periodo otra media c 2,y así sucesivamente hasta c k. Hay que tener cuidado de no poner medias que abarquen toda la serie, ya que se tendría un problema de multicolinealidad perfecta si se incluye una constante en el modelo Los puntos en los que cambia la media son puntos de ruptura y pueden venir motivados por: cambios tecnológicos, nuevas legislaciones, depresión de 1929, crisis energética de 1973, crisis actual, etc. Sirve para explicar el pasado, pero hay que tener mucho cuidado a futuro.

11 Tendencias truncadas

12 Tendencias truncadas Vamos a suponer que el momento de la ruptura es conocido. Se pueden considerar dos esquemas: truncamientos de nivel y truncamientos de crecimiento. Sea el modelo: X t = r(t) + W t W es un componente estocástico r(t) es una expresión que se establece en función del tiempo y recogerá componentes de carácter determinístico La inclusión de este tipo de variables en modelos econométricos se denomina también análisis de intervención ; resulta de utilidad para estimar hechos atípicos

13 Tendencias truncadas Truncamientos de nivel. Supongamos que en el nivel de la serie se producen k saltos (niveles medios), en el periodo de tiempo e k r(t) = Σ b ei ζ eit = b e1 ζ e2t + b e3 ζ e3t + b e4 ζ e4t + +b ej ζ ekt ζ ekt = 0 t< t ek = 1 t t ek Truncamientos de crecimiento. Supongamos que en la serie de tendencia se produce un cambio en k periodos, en el periodo de tiempo t k r(t) = Σ b ti ζ ti t = b t1 ζ t1 t + b t2 ζ t2 t + b t3 ζ t3 t + +b tk ζ tk t ζ tk t = 0 t< t tk = t-t tk t t tk

14 Estructuras determinísticas para representar oscilaciones estacionales en series temporales Supongamos que nuestra serie temporal presenta un crecimiento sistemático y un claro comportamiento estacional. Se podría expresar como:: X t = a +bt +Σ b * j S jt + w t Donde S jt es una variable dummy que toma valor uno para las observaciones referidas a la estación j del año t y cero en el resto de los casos. En la práctica, se trabaja con variables de tal forma que Σ b * j =0 Las variables dummys manejadas son igual al número de estaciones menos una. El crecimiento medio viene dado por: b+b* j

15 Estructuras estocásticas de raíces unitarias para la tendencia La aproximación del comportamiento tendencial a través de polinomios determinísticos en el tiempo presenta, en general, grandes inconvenientes, por lo que es poco recomendable. Sobre todo para fines predictivos. Su uso implica que en el futuro se va a mantener la pauta seguida en el pasado y que la variable tarde o temprano vuelve a la senda de largo plazo. Y ello, provocaría grandes errores predictivos. Las series temporales pueden presentar a lo largo de su historia distintas tendencias o medias locales que cambian con el tiempo. No estaríamos ante una serie de crecimiento tendencial, pero tampoco la serie temporal sería estacionaria. Tendencias segmentadas. Incertidumbre a futuro. No es útil a futuro Los cambios de media pueden ocurrir con frecuencia elevada debido a distintos factores y la tendencia se recogería mejor con un esquema estocástico

16 Estructuras estocásticas de raíces unitarias para la tendencia La naturaleza de los factores que originan los comportamientos tendenciales (cambios tecnológicos, costumbres, aumentos de la población, etc), lleva a considerar para la formulación de tendencias un esquema de ecuaciones de diferencias finitas con persistencia con un componente estocástico: X t = X t-1 +W t Hay un coeficiente unitario al incorporar el pasado Este esquema matemático se denomina de RAIZ UNITARIA y de la tendencia resultante se dice que tiene una raíz unitaria.

17 Estructuras estocásticas de raíces unitarias para la tendencia Si al transformar una serie tomando primeras diferencias: ΔX t = X t - X t-1 = W t se obtiene una serie que no presente evolutividad, entonces decimos que X t es integrada de orden uno porque al tomar PRIMERAS DIFERENCIAS una vez, los datos resultantes son estacionarios. Entonces, X t se dice que es I(1). La terminología ( ) indica que la tendencia es estocástica Una serie con tal tipo de tendencia se denomina INTEGRADA DE ORDEN UNO I(1) En este caso se dice que la serie presenta oscilaciones locales de nivel

18 Estructuras estocásticas de raíces unitarias para la tendencia Nos podemos encontrar con series que siguen el siguiente esquema: Z t = Z t-1 + b +W t Al tomar primeras diferencias, como en el caso anterior, se tendría ΔZ t = b +W t La diferencia entre ΔX t y ΔZ t es que en el primer caso la media es cero y en el segundo b. Las dos son integradas I(1),pero son distintas. X t tiene oscilaciones locales de nivel Z t tiene crecimiento sistemático Para incluir el hecho de que la media de ΔXt puede ser o no nula en las series I(1), se introduce la terminología I(1,m) con m=0 si la media es nula y m=1 si no lo es. Este modelo presenta un comportamiento con un factor de nivel estocástico, Z t-1, y un factor incremental determinista, que viene dado por b

19 Estructuras estocásticas de raíces unitarias para la tendencia 03 ENE May Sep ENE May Sep ENE Jun Oct Feb Jun Oct Feb Jun Nov Mar Jul Nov Mar Jul Nov ABR AGO DIC ABR AGO DIC ABR AGO ENE May Sep ENE Rentabilidad del bono a 3 años. Porcentaje Fuente: Banco de España

20 Estructuras estocásticas de raíces unitarias para la tendencia ENE 1975 ENE 1976 ENE 1977 ENE 1978 ENE 1979 ENE 1980 ENE 1981 ENE 1982 ENE 1983 ENE 1984 ENE 1985 ENE 1986 ENE 1987 ENE 1988 ENE 1989 ENE 1990 ENE 1991 ENE 1992 ENE 1993 ENE 1994 ENE 1995 ENE 1996 ENE 1997 ENE 1998 ENE 1999 ENE 2000 ENE 2001 ENE 2002 ENE 2003 ENE 2004 ENE 2005 ENE 2006 ENE 2007 ENE 2008 ENE 2009 ENE Tasa de variación interanual del Índice de Producción Industrial 2005= Fuente: INE

21 Estructuras estocásticas de raíces unitarias para la tendencia Existen series en las que al aplicar una primera diferencia a la serie original, se observa que no es estacionaria, sino que la serie transformada muestra cambios de nivel que hace necesario volver a tomar una nueva diferencia: X t = X t-1 + (X t-1 - X t-2 ) +W t Tomando una primera diferencia se tiene: ΔX t = (X t - X t-1 ) = (X t-1 - X t-2 ) + W t Si se toma otra diferencia se tiene: ΔΔX t = (X t - X t-1 ) - (X t-1 - X t-2 ) = W t En este caso, se dice que la serie es integrada de orden 2 I(2) Son series en las que su evolución presenta un perfil acelerado. El factor incremental, a diferencia del modelo anterior, es estocástico, (X t-1 - X t-2 ). X t será (2,0) ΔX t será I(1,0) ΔΔX t será I (0,0)

22 Estructuras estocásticas de raíces unitarias para la tendencia Las series de precios, o más precisamente, su transformación logarítmica, suelen ser series I(2,0). En consecuencia la inflación mensual- la primera diferencia del logaritmo de los precios- puede ser I(1,0). La inflación tiene evolutividad del tipo de oscilaciones locales de nivel Las transformaciones estacionarias se obtienen APLICANDO DOS VECES PRIMERAS DIFERENCIAS ( a la serie de logaritmos) LA DIFERENCIACION PERMITE ELIMINAR TENDENCIAS Y TRANSFORMAR LAS SERIES EN ESTACIONARIAS (en la media)

23 Estructuras estocásticas de raíces unitarias para la estacionalidad Los factores meteorológicos, sociales y administrativos que causan la estacionalidad son estocásticos y también puede presentar una evolutividad, no siendo estacionaria, en el sentido de que la estacionalidad presente una media constante. Cuando este tipo de estacionalidad aparece junto con una tendencia estocástica se tiene que una de las raíces unitarias estocástica del esquema resultante no es sobre el pasado inmediato, sino sobre el mismo periodo (estación) del año inmediatamente anterior. Siguiendo el mismo esquema que en el caso de la tendencia, en la parte estacional se puede igualmente tomar primeras diferencias. En definitiva, se tomas DIFERENCIAS ESTACIONALES Se puede eliminar la no estacionariedad de la tendencia y la estacionalidad si aplicamos diferencias regulares y estacionales Las series transformadas no muestran evolutivilidad ni en la parte regular ni en la estacional. SON ESTACIONARIAS

24 Estructuras estocásticas de raíces unitarias para la estacionalidad ENE 1975 ENE 1976 ENE 1977 ENE 1978 ENE 1979 ENE 1980 ENE 1981 ENE 1982 ENE 1983 ENE 1984 ENE 1985 ENE 1986 ENE 1987 ENE 1988 ENE 1989 ENE 1990 ENE 1991 ENE 1992 ENE 1993 ENE 1994 ENE 1995 ENE 1996 ENE 1997 ENE 1998 ENE 1999 ENE 2000 ENE 2001 ENE 2002 ENE 2003 ENE 2004 ENE 2005 ENE 2006 ENE 2007 ENE 2008 ENE 2009 ENE 2010 Índice de Producción Industrial. 2005= Fuente: INE

25 Estructuras estocásticas de raíces unitarias para y la estacionalidad Aplicando una diferencia estacional se obtiene estacionariedad en la parte estacional. Δ 12 X t = X t - X t-12 = W t Por tanto, si la estacionalidad presenta una raíz unitaria junto con una tendencia estocástica, para obtener una serie estacionaria, habría que aplicar una doble diferencia: una regular y otra estacional. Δ 12 Δ X t = Δ 12 (X t - X t-1 ) = = (X t -X t-1 - X t-12 + X t-13 )=W t Es habitual aplicar esta doble transformación para obtener una serie estacionaria. A partir de ella se estudiará qué modelo matemático-estadístico es el más adecuado para recoger la estructura de W t.

26 Estructuras estocásticas de raíces unitarias para la tendencia y la estacionalidad TRANSFORMACIONES ESTACIONARIAS Índice de Producción Industrial. 2005=100 4,900 Ln IPI 0,8 ΔLn IPI 4,700 4,500 4,300 4,100 3,900 3,700 3,500 3,300 0,2 0,1 ENE ENE ENE ENE ENE ENE ENE ENE ENE ENE ENE ENE ,1-0,2-0,3-0,4 ENE 1975 Δ 12 Ln IPI ENE 1978 ENE 1981 ENE 1984 ENE 1987 ENE 1990 ENE 1993 ENE 1996 ENE 1999 ENE 2002 ENE 2005 ENE ,6 0,4 0,2 0-0,2-0,4-0,6-0,8 0,4 0,3 0,2 0,1 0-0,1-0,2-0,3 ENE ENE ENE ENE ENE ENE ENE ENE ENE ENE ENE ENE ΔΔ 12 Ln IPI ENE ENE ENE ENE ENE ENE ENE ENE ENE ENE ENE ENE Fuente: INE y elaboración propia

27 Niveles y tasas de crecimiento Sea una serie temporal representativa de una variable económica. La serie de nivel la constituyen los valores originales. Presentan un comportamiento tendencial Presentan un comportamiento estacional Presentan un comportamiento errático Dificulta el análisis económico e interpretativo de las variables económicas la economía española ésta creciendo? recuperación o crecimiento puntual? estamos produciendo más o menos que el mes pasado? es lógico? vienen más turistas que el mismo mes del año anterior? en agosto, se ha producido menos que en julio, es lógico? es un drama?, etc. Obtención de predicciones Cómo modelizar una serie de nivel para obtener predicciones, teniendo en cuenta los componentes que la integran

28 Niveles y tasas de crecimiento Series temporales originales y series temporales sobre los incrementos o sobre las tasas de crecimiento sobre las series originales Tasa de crecimiento sobre el periodo anterior: intermensual (mes), intertrimestral (trimestre): T 1,1 = (X t -X t-1 )/X t-1 Se mide en tanto por 100 (porcentaje) Tasa de crecimiento sobre el mismo periodo del año anterior: interanual T 1,12 = (X t -X t-12 )/X t-12 Se mide en tanto por 100 (porcentaje) QUÉ NOS RECUERDA? QUE RELACIÓN TIENE CON LAS TRANSFORMACIONES ESTACIONARIAS?