UNIVERSIDAD DE MANAGUA Al más alto nivel SIMULACIÓN DE SISTEMAS Modelos de Simulación Guía práctica #4

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1 UNIVERSIDAD DE MANAGUA Al más alto nivel SIMULACIÓN DE SISTEMAS Modelos de Simulación Guía práctica #4 Prof.: MSc. Julio Rito Vargas A. Febrero 2013 Objetivos: Aplicar las técnicas estudiadas para desarrollar un modelo de simulación. Usar herramientas de software (Excel y Promodel - Fit ) para apoyar el desarrollo de un modelo de simulación. Modelo de una línea de espera con un servidor I. Planteamiento del Problema: El tiempo que transcurre entre llegada de ciertas piezas a una inspección sigue una distribución exponencial con media de 5 minutos/pieza. El proceso está a cargo de una operario y la duración de la inspección sigue una distribución normal con media 4.0 y desviación estándar de 0.5 minutos/pieza. Calcular el tiempo promedio de permanencia de las piezas en el proceso de inspección. Para solucionar el problema se debe: Variable de Estado en el Sistema de inspección (7) Entidades Piezas Eventos de llegada (2) Fin de la inspección (5) Evento secundario Inicio de la Inspección (3) Actividades entre llegadas (1) de Inspección (4) Los números entre paréntesis indican la columna que ocupa cada elemento en las tablas 4.1 y 4.2. II. Definir las relaciones lógico-matemáticas entre los elementos; en la tabla 4.1 se describen las siguientes relaciones: a) El tiempo entre llegadas (1); es una variable aleatoria, simulada utilizando el generador RAND() o ALEATORIO() de la hoja de cálculo de Excel y la función generadora de variables exponenciales Ei=-5ln(1-ri). b) El evento tiempo de llegada de la pieza (2); corresponde al valor acumulado de la columna (1). Julio Rito Vargas Avilés Pág.# 2

2 c) Tomando en cuenta que solo existe un operador encargado de la tarea, el inicio de la inspección (3) puede ocurrir cuando la pieza entra al sistema, en caso de que el operario esté ocioso (2) o cuando termina de inspeccionar la pieza anterior (5). d) El tiempo de Inspección (4); es una variable aleatoria Normal con media 4.0 y desviación estándar 0.5, generada mediante la función interna normal acumulada inversa, DISTR.NORM.INV (probabilidad, media, desviación estándar) la probabilidad será el generador ALEATORIO(). e) El fin de la inspección (5); se calcula sumando el tiempo de inspección (4) al tiempo de inicio de la inspección (3). f) La Variable, tiempo en inspección (6); se calcula, finalmente, como la diferencia entre el tiempo de llegada (2) y el fin de la inspección. g) de espera (7) de una pieza antes de ser inspeccionada; es igual a la diferencia entre el tiempo de inicio de inspección (3) y el tiempo de llegada de la pieza (2). h) Esta última columna permite calcular el tiempo promedio de inspección (8) como promedio móvil: cada vez que una pieza es simulada, el tiempo promedio de inspección se recalcula. Tabla 4.1 : Relación entre los eventos y actividades involucradas en proceso del problema planteado. C D E F G H I J K Inicio de la de Fin de la en en 3 Pieza entre Inspección Inspección inspección Inspección Espera (7) llegadas (1) (3) (4) (5) (6) de llegada (2) promedio en Inspección (8) ALEATORIO()) =D4 =E4 ALEATORIO()) =D5+E4 =MAX(E5,H4) ALEATORIO()) =D6+E5 =MAX(E6,H5) ALEATORIO()) =D7+E6 =MAX(E7,H6) ALEATORIO()) =D8+E7 =MAX(E8,H7) 5) =F4+G4 =H4-E4 =F4-E4 5) =F5+G5 =H5-E5 =F5-E5 5) =F6+G6 =H6-E6 =F6-E6 5) =F7+G7 =H7-E7 =F7-E7 5) =F8+G8 =H8-E8 =F8-E8 =PROMEDIO($I$4) =PROMEDIO($I$4:I 5) =PROMEDIO($I$4:I 6) =PROMEDIO($I$4:I 7) =PROMEDIO($I$4:I 8) Julio Rito Vargas Avilés Pág.# 3

3 III. Una vez definidas las relaciones, se simula el proceso, teniendo cuidado de que el tamaño de la réplica o experimento grande para asegurar la estabilidad del resultado final. La réplica cuyos resultados se ilustran en la tabla 4.2 Se realizará con 1500 piezas; la información nos indica que el tiempo promedio de espera es de minutos/pieza. Además de este resultado, la columna 8 permite visualizar la estabilización del sistema mediante una gráfica de líneas. Pieza Tabla 4.2 Simulación del proceso de inspección (en hoja de calculo de Excel) entre llegaadas (1) de llegada (2) Inicio de la Inspección (3) de Inspección (4) Fin de la inspección (5) en Inspección (6) en Espera (7) promedio en Inspección (8) Julio Rito Vargas Avilés Pág.# 4

4 IV. La gráfica de estabilización que se obtuvo a partir de la columna 8 (tiempo promedio en inspección) se muestra en la figura 4.3. Dicha gráfica nos indica que el tamaño de la réplica es lo suficientemente grande para asegurar la convergencia del resultado. Cabe señalar que esta gráfica de estabilización corresponde a una réplica diferente a la tabla de eventos. Gráfico de estabilización promedio en Inspección (8) Este gráfico lo podemos generar desde Excel seleccionando la columna 8 y usando el menú Insertar gráfico recomendado. Al trabajar con procesos donde se involucran variables, actividades y eventos aleatorios, las variables de estado o variables respuestas serán, en consecuencias, aleatorias. La figura 4.4 muestra las gráficas de 5 diferentes réplicas del mismo modelo. Si bien la estabilización está asegurada, el resultado final nunca es el mismo; es evidente que replicar el experimento debe ser una práctica común en cualquier simulación. Julio Rito Vargas Avilés Pág.# 5

5 Gráfico 4.4: Gráficas de Estabilización de 5 réplicas independientes de Inspección (4) Gráfico 4.5: de Inspección Julio Rito Vargas Avilés Pág.# 6

6 V. Al replicar el experimento 50 veces se obtienen los resultados que se muestran en la tabla 4.5. Para comprender el comportamiento de la variable es necesario analizar estadísticamente estos resultados Tabla 4.5 Resultados de las 50 réplicas del experimento ( promedio en Inspección) El análisis estadístico de las réplicas realizado con la herramienta Promodel Stat::Fit permite concluir a través de una prueba de bondad de ajuste, que el tiempo promedio de espera en el proceso de inspección sigue una distribución de Erlang con los siguientes con los siguientes parámetros: Media minutos/pieza Desviación estándar minutos/pieza Valor mínimo en la muestra: 9.69 minutos/pieza Valor máximo en la muestra: minutos/pieza Coeficiente de asimetría: 0 Curtosis: 0 Aplicamos a los datos prueba de Auto::Fit del menú Fit. Con el objetivo de determinar el tipo de distribución de los tiempos promedios de Inspección. Obteniendo que no se puede rechazar que la distribución se comporta como una distribución Lognormal o Exponencial. La consideraremos Lognormal con media=8.96 y desviación estándar =1.04. Julio Rito Vargas Avilés Pág.# 7

7 tabla 4.6: Bondad de ajuste de las distribuciones analizadas. Gráfico 4.7: Distribución Lognormal de las 50 réplicas. VI. Intervalos de Confianza Debido a la naturaleza aleatoria de los resultados de este tipo de modelos, es necesario determinar su distribución de probabilidad y su intervalo de confianza en las diferentes réplicas, por tanto, aquí nos ocuparemos de los intervalos de confianza. Si la variable aleatoria sigue una distribución normal, el intervalo de confianza está dado por: [ ( ) ( )] Julio Rito Vargas Avilés Pág.# 8

8 En caso de que la variable aleatoria sigue otro tipo de distribución, el intervalo de confianza es relativamente más amplio y se calcula como: En ambas ecuaciones: r: Número de réplicas α: Nivel de rechazo [ ] (Media aritmética) [ ] (Desviación estándar) En nuestro caso la distribución es lognormal por lo que usaremos el IC para distribuciones no normales. (datos de la descriptiva) r=50 α=0.05 S=1.768 [ ] [ ] [ ] [ ] Julio Rito Vargas Avilés Pág.# 9