UNIVERSIDAD DE MANAGUA Al más alto nivel

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1 UNIVERSIDAD DE MANAGUA Al más alto nivel SIMULACIÓN DE SISTEMAS Guía práctica #1 Determinar la Distribución de los datos de una Simulación Prof.: MSc. Julio Rito Vargas A. Grupo: Ingeniería Industrial Objetivos: Utilizar la herramienta Stat::Fit de Promodel con la finalidad de determinar la distribución de probabilidad a partir de un conjunto de datos o Realizar contraste de Hipótesis usando los estadísticos Anderson- Darling, Chi-Cuadrad y Kolmogorov-Smirnov. o Graficar los datos de entrada y graficar todas las distribuciones de probabilidad que se pueden utilizar. o Obtener estadística descriptiva de datos. La herramienta Stat: :Fit de ProModel se utiliza para analizar y determinar el tipo de distribución de probabilidad de un conjunto de datos. Esta programa permite comparar los resultados entre varias distribuciones analizadas mediante una calificación. Entre sus procedimientos: emplea las pruebas Chi-cuadrada, de Kolmogorov-Smirnov y de Anderson- Darlíng. Además calcula los parámetros apropiados para cada tipo de distribución, e incluye información estadística adicional como media, moda, valor mínimo, valor máximo y varianza, entre otros datos. Ejercicio: Determinación del tipo de distribución estadística de un conjunto de datos Estos son los datos del número de automóviles que entran a una gasolinera cada hora Julio Rito Vargas Pág. 1

2 Determine la distribución de probabilidad con nivel de significancia del 5% Introducción Ajuste de Curvas. Te ayuda a encontrar la mejor distribución para representar los datos. Stat::fit utiliza las pruebas de Bondad de Ajuste más comúnmente conocidas, como son: a. Anderson-Darling. b. Chi-Cuadrada. c. Kolmogorov-Smirnov. Stat::Fit permite comparar los resultados entre varias distribuciones analizadas mediante una calificación. Entre sus procedimientos emplea las pruebas estadísticas Chi-cuadrada, de Kolmogoro v-smirnov y de Anderson-Darling. Conjuntamente calcula los parámetros apropiados para cada tipo de distribución, e incluye información estadística adicional como media, moda, valor mínimo, valor máximo y varianza, entre otros datos. Stat::Fit se puede ejecutar desde la pantalla de inicio de Promodel, o bien desde el comando Stat::Fit del menú Tools. Entrada de datos y manipulación Tabla de Datos Un nuevo proyecto se crea haciendo clic en el icono new en la barra de control o seleccionando File en la barra de menú y luego New en el submenú, esta acción genera un nuevo documento de Stat::Fit, y muestra una tabla vacía de datos (ver imagen 1). También de se pueden copiar (copy) datos desde otra aplicación como Excel o el block de notas y pegar (paste) en la tabla de datos (Date Table). Imagen 1: Tabla de Datos Una vez introducida la información es posible seleccionar una serie de opciones de análisis estadístico, entre ellas las de estadística descriptiva y de las pruebas de bondad de ajuste, de las cuales nos ocuparemos. Después de introducido estos datos en Stat:Fit, despliegue el menú Statistics y seleccione el comando Descriptive. En seguida aparecerá una nueva ventana con el nombre de Descriptive Statistics, en donde se muestra el resumen estadístico de la variable (ver Imagen ) Julio Rito Vargas Pág.

3 Imagen : Ventana de resultados de estadísticos descriptivos Estadística descriptiva: Número de datos (puntos) 50 Valor mínimo 7 Valor máximo 4 Media Mediana 15. Moda 15 Desviación estándar Varianza Coeficiente de variación Asimetría Curtosis Julio Rito Vargas Pág. 3

4 Determinación del tipo de distribución estadística: Para determinar el tipo de distribución de los datos, seleccione el comando Auto::Fit del menú Fit en la pantalla principal de Stat::Fit. A continuación se desplegará un cuadro de diálogo similar al que se ilustra en la Imagen 3, en la cual se tiene que seleccionar el tipo de distribución que se desea probar. Para este ejercicio seleccionamos una distribución de tipo discreto: discrete distributions por tratarse de datos contables (número de automóviles que llegan a la gasolinera por hora, y esto es una variable aleatoria con esa característica. Imagen 3: Selecciona el tipo de variable aleatoria. En esta misma imagen 3, se debe seleccionar si la Distribución es: unbounded: no acotada en ambos extremos); lower bound: si el límite inferior está acotado, en este caso se puede aceptar la propuesta de que la cota del límite inferior sea el dato más pequeño de la muestra; assigned bound : o seleccionar explícitamente otro valor como límite inferior. Haga clic en el botón Ok para que el proceso de ajuste se lleve a cabo. El resultado se desplegará en la ventana Automatic Fitting, donde se describen las distribuciones de probabilidades analizadas, su posición de acuerdo con el ajuste, y si los datos siguen o no algunas de las distribuciones conocidas. En la imagen 4 se observa el resultado del análisis de ajuste del ejercicio, el cual nos indica que no se puede rechazar la hipótesis de que los datos provengan de cualquiera de las dos distribuciones Binomial con N=10 y p=0.148, o de Poisson, con media 15. Imagen 4 Haga clic en cualquiera de las distribuciones. Julio Rito Vargas Pág. 4

5 Hacer clic en cualquiera de las dos distribuciones ver imagen 5; en seguida se desplegará el histograma que se se muestra; las barras azules representan la frecuencias observadas de los datos; la curva roja indica la frecuencia esperada de la distribución teórica. El formato del histograma puede ser modificado mediante el comando Graphics style (imagen 6) del menú Graphics esta opción está disponible solo está disponible cuando o se tiene activa la ventana comparision Graphics. Imagen 5: Comparación gráfica Imagen 6: Estilo del Gráfico. Aquí puede cambiar el tipo de gráfico, la escala, el tipo de letra y colores. Puede mostrar: un título para el gráfico, así como leyendas para cada uno de los ejes. Julio Rito Vargas Pág. 5

6 Prueba Chi-cuadrada: Para n=50 datos, consideremos m=11 intervalos La media muestral es y la varianza es Permiten establecer la siguiente hipótesis. Prueba de Hipótesis: Ho: Poission (λ=15) Automóviles/hora H1: Otra distribución. Calculo de la media y la desviación estándar. X x n 50 S x x) n 1 ( ( )...( ) La Distribución Poisson: x e x) x 0,1,,... x! x 0,1,3,4,5,6,7) 0! 1! ! 5! 6! 7! e! e 3! 15 POISSON.DIST(7,15,VERDADERO) = (usando Excel) x 8,9) ! 9! POISSON.DIST(9,15,VERDADERO)- POISSON.DIST(7,15,VERDADERO) = x 10,11) ! 11! POISSON.DIST(11,15,VERDADERO)- POISSON.DIST(9,15,VERDADERO) = Julio Rito Vargas Pág. 6

7 x 1,13) ! 13! POISSON.DIST(13,15,VERDADERO)- POISSON.DIST(11,15,VERDADERO) = x 14,15) ! 15! POISSON.DIST(15,15,VERDADERO)- POISSON.DIST(13,15,VERDADERO) = x 16,17) ! 17! POISSON.DIST(17,15,VERDADERO)- POISSON.DIST(15,15,VERDADERO) = x 18,19) ! 19! POISSON.DIST(19,15,VERDADERO)- POISSON.DIST(17,15,VERDADERO) = x 0,1) ! 1! POISSON.DIST(1,15,VERDADERO)- POISSON.DIST(19,15,VERDADERO) = x,3) ! 3! POISSON.DIST(3,15,VERDADERO)- POISSON.DIST(1,15,VERDADERO) = x 4,5) ! 5! POISSON.DIST(5,15,VERDADERO)- POISSON.DIST(3,15,VERDADERO) = x 6,...) ! 7! POISSON.DIST(6 o más,15,verdadero)-poisson.dist(5,15,verdadero) = Julio Rito Vargas Pág. 7

8 Determinar la distribución de probabilidad con un nivel del 95%, haciendo el contraste de hipótesis siguiente: { H 0: Poisson (λ = 15.1)automóviles por hora H 1 : Otra distribución Intervalo Oi P(x) Ei=50*x) C c 11 ( E Oi ) E i ic i ( ) X ( ) ,111 Los resultados nos Indican que no podemos rechazar la hipótesis de que la variable aleatoria se comporta de acuerdo con una distribución de Poisson, con una media de 15 automóviles por hora Julio Rito Vargas Pág. 8

9 Usando el menú de Ajuste del Stat::Fit; hacemos clic en el menú Fit y luego en la opción Goodness of Fit (Ajuste). Para realizar las pruebas Chi-cuadrada. La prueba Chi-cuadrada para un nivel 95%, 6 grados de libertad versus la chi-cuadrada de los 7 intervalos en que dividió los datos. 1.6 >.16 con una p-valor Concluyendo que No hay evidencia para rechazar la hipótesis Ho. Es decir la distribución se comporta como una Distribución Poisson. La prueba Kolmogorov-Smirnov obtuvo < ks-stat(50,0.05)=0.188, para p-valor=1 Concluyendo que No hay evidencia para rechazar la hipótesis Ho. Es decir la distribución se comporta como una Distribución Poisson. Julio Rito Vargas Pág. 9

10 Determinar con un nivel de confianza de 95%, que tipo de distribución siguen los datos, usar los estadísticos Chi-cuadrada. Use Stat::Fit Julio Rito Vargas Pág. 10