Estadística Bayesiana y Riesgos

Transcripción

1 Estadística Bayesiana y Riesgos Manuel Mendoza Ramírez Instituto Tecnológico Autónomo de México Seminario Aleatorio. Contribuciones Recientes de la Estadística a la Actuaría en México. ITAM. México, D.F. Noviembre 23, 2007.

2 Estadística Bayesiana y Solvencia Manuel Mendoza Ramírez Instituto Tecnológico Autónomo de México Seminario Aleatorio. Contribuciones Recientes de la Estadística a la Actuaría en México. ITAM. México, D.F. Noviembre 23, 2007.

3 Contenido Introducción Condición de solvencia Formulación estadística Alternativa Bayesiana Ejemplos Consideraciones finales

4 Introducción Actuaría y Riesgos Financieros La incertidumbre está implícita y es inevitable en el origen de las Ciencias Actuariales Una parte de la Actuaría se ocupa del estudio de los fenómenos (aleatorios) que pueden producir las llamadas pérdidas contingentes La información disponible se utiliza para pronosticar el comportamiento futuro de las pérdidas

5 Introducción Modelos Una componente fundamental es la distribución de pérdidas Pérdida Esperada

6 Introducción Modelos Una componente fundamental es la distribución de pérdidas Pérdida Esperada

7 Introducción Supuestos En forma natural se incorporan supuestos en el proceso de modelado. Por ejemplo, la hipótesis de independencia entre frecuencia y severidad de las pérdidas Frecuencia Severidad

8 Introducción Supuestos En forma natural se incorporan supuestos en el proceso de modelado. Por ejemplo, la hipótesis de independencia entre frecuencia y severidad de las pérdidas L = S F E(L ) = E(S) E(F)

9 Solvencia Pérdidas Extremas Un análisis estadístico debe incluir una descripción completa de la distribución de interés. En Actuaría, en particular, es conveniente describir las pérdidas extremas Siniestralidad Extrema

10 Solvencia Pérdidas Extremas Para las agencias reguladoras es importante establecer un margen de solvencia. Margen de Solvencia

11 Solvencia Pérdidas Extremas Para las agencias reguladoras es importante establecer un margen de solvencia. E(L) Cuantil (

12 Solvencia Condición de Solvencia Un sistema de seguros es solvente si cuenta con recursos suficientes para hacer frente a sus obligaciones. Un sistema es (1 )-solvente si cuenta con recursos para hacer frente a sus obligaciones con probabilidad 1 -. E(L)

13 Formulación Estadística Dosserieshistóricas: X 1,X 2,..., X T (primas) Y 1,Y 2,..., Y T (reclamaciones) Objetivo: Determinar el valor 1 tal que P( Y T 1 q Y, T 1) 1 q Y,T 1

14 Formulación Estadística La serie de siniestralidad relativa W 1,W 2,..., W T donde Y i Wi ( i = 1,...,T ) Xi W 1,W 2,..., W T se suelen considerar i.i.d. (estabilidad) 1 El interés se concentra en el valor q W tal que P( W 1 q W )

15 Formulación Estadística Entonces, para la siguiente observación, 1 P( W T q 1 W ) Y P( X T 1 1 q ) T 1 W De manera que P Y ( q )( X )) q q )( X ) ( T 1 W T 1 Y, T 1 ( W T 1

16 Formulación Estadística Datos históricos 180% 150% Accidentes y enfermedades 180% 150% Agrícola y animales 120% 120% 90% 90% 60% 60% 30% 30% 0% %

17 Formulación Estadística Datos históricos 180% Automóviles 180% Responsabilidad Civil 150% 150% 120% 120% 90% 90% 60% 60% 30% 30% 0% %

18 Formulación Estadística Datos históricos 180% Marítimo y transportes 180% Incendio 150% 150% 120% 120% 90% 90% 60% 60% 30% 30% 0% %

19 Formulación Estadística Distribución para W Problema estadístico Estimar los cuantiles de la distribución de W Normalidad como primera aproximación El cálculo es extremadamente simple 1 ( qw ˆ W z(1 ) ˆ W ) Los datos históricos no son compatibles con el supuesto

20 Formulación Estadística Distribución para W Aproximar la densidad de W con mezclas de normales f( w) T 1 2 T N( w w i, ) i 1 w 1,...,w T valores observados; 2 se determina con un criterio de ajuste.

21 Formulación Estadística Distribución para W Accidentes y enfermedades

22 Formulación Estadística Distribución para W Automóviles

23 Formulación Estadística Distribución para W La mezcla captura el patrón de asimetría No incorpora el efecto de estimación de los parámetros

24 Formulación Estadística Modelo Condicional En cada periodo de tiempo: ( i = 1,... ) X i = primas emitidas W i = tasa de siniestralidad relativa Y i = siniestralidad

25 Formulación Estadística Distribución para W { X 1,X 2,... } una serie de observaciones correlacionadas { W 1,W 2,... } realizaciones i.i.d. de un modelo P(W ) { Y 1,Y 2,... } debe su aleatoriedad a { X i }, { W i }yson correlacionadas como resultado de la correlación en { X i }

26 Formulación Estadística Distribución para W La distribución de Y T+1, dado X T+1 determinada por la de W T+1. = x, está totalmente Basta entonces Asignar una distribución P( W T+1 ) Estimar el cuantil de interés para W Estimar del cuantil condicional de Y T+1

27 Alternativa Bayesiana Características Generales Fundado sobre una base axiomática Inferencia problema de decisión Proceso de aprendizaje basado en la fórmula de Bayes Final Verosimilitud Inicial

28 Alternativa Bayesiana Características Generales Fórmula de Bayes p( datos ) p( datos ) p( ) Mecanismo general para la producción de pronósticos Distribución Predictiva p( X datos ) = p( X )p( datos ) d

29 Alternativa Bayesiana Análisis Predictivo Dado X T+1 =x, el comportamiento de Y T+1, está determinado por W T+1 : Algoritmo, si se adopta un modelo P( W T+1 ) Asignar una inicial para y combinarla con la información histórica para obtener la final para, Determinar la distribución predictiva para W T+1 Calcular el cuantil predictivo condicional para Y T+1, dado X T+1

30 Alternativa Bayesiana Distribución para W La selección del modelo P( W ) constituye un reto interesante. La Normal no es, en general, una buena elección. (Asimetría, valores positivos) Una mezcla de Normales también presenta inconvenientes.

31 Alternativa Bayesiana Distribución para W Una posibilidad es suponer que una transformación de W es Normal. (Transformación de Box-Cox) La introducción de da lugar a otro problema de decisión (la selección de un valor concreto para ).

32 Alternativa Bayesiana Distribución para W Con propósitos de ilustración Y i W X ln Y ) ln( W ) ln( X ) i i ( i i i V i U i c i,, V i ln( Y i ) U ln W ) c ln X ) i ( i i ( i

33 Alternativa Bayesiana Distribución para W En particular, VT 1 UT 1 ct 1 Dado un valor fijo de X T+1 (c T+1 constante), predictiva para U T+1 predictiva para V T+1 predictiva para Y T+1

34 Alternativa Bayesiana El problema en estos términos es muy simple Datos: D = { U 1,U 2,..., U T } i.i.d. N(, ) ( -1 = 2 ) =(, ); Distribución inicial de referencia: P(, ) -1 Distribución Final: P( D ) = Normal - Gamma Distribución Predictiva Final: P( U T+1 D ) = Student

35 Alternativa Bayesiana Análisis Predictivo Predictiva Final: P( U T+1 D ) = Student, U T+1 = ln(w T+1 ) V T+1 = U T+1 + c T+1, c T+1 = ln(x T+1 ) (dado X T+1 ) Predictiva Final: P( V T+1 D ) = Student, V T+1 = ln(y T+1 ) Predictiva Final: P( Y T+1 D ) = log - Student

36 Alternativa Bayesiana Análisis Predictivo El cuantil de orden (1- ) de la distribución predictiva de Y T+1,dadoX T+1, resulta: Y (1- α) T-1 (1- α) T 1 X T 1 T i 1 w 1/ T i exp( t [(1 1/ T) ~ S 2 U ] 1/ 2 ) donde t (1- ) T-1 es el cuantil de una Student con T-1 g. de l. y 2 1 S ~ U (u u) 2 T 1 i

37 Alternativa Bayesiana El supuesto de independencia Una alternativa al supuesto de independencia es un modelo auto regresivo estacionario de primer orden: Para i = 1: U 1 ~ N (, ) mientras que para i = 2,..., T+1: U i U i - 1 ~ N ( ( U i - 1 ), / (1 2 ) )

38 Alternativa Bayesiana El supuesto de independencia El modelo es estacionario U i ~ N (, ) para i = 1, 2,..., T+1 La distribución conjunta de U 1, U 2,..., U T+1 está determinada por los parámetros, y. El modelo de independencia se recupera con =0. U i U i - 1 ~ N ( ( U i - 1 ), / (1 2 ) )

39 Alternativa Bayesiana Modelo correlación común El modelo requiere la especificación de una distribución inicial para los tres parámetros, y. A partir del algoritmo propuesto por Berger & Bernardo (1992) se determinó la distribución inicial de referencia para la parametrización ordenada { }, { }, { } (invariante ante permutaciones). P(,, ) -1 2 (1 ) 2 (1 ) 1 / 2

40 Alternativa Bayesiana Modelo correlación común La distribución final de, y no tiene una expresión analítica completa. El efecto se reproduce para la distribución predictiva de U T+1. Simulación (Gibbs Sampler y Metropolis -Hastings)

41 Alternativa Bayesiana Modelo correlaciones diferentes El modelo se puede generalizar Para i = 1: U 1 ~ N (, ) mientras que para i = 2,..., T+1: U i U i - 1 ~ N ( i 1 ( U i - 1 ), / (1 2 i 1 ) )

42 Alternativa Bayesiana Modelo correlaciones diferentes El modelo, para las T+1 observaciones, involucra a los parámetros,, 1, 2,..., T. Para eliminar problemas de estimabilidad se introduce una estructura parcialmente jerárquica en donde P( μ, P( ρ i τ, ρ T -1 1,..., ρ T θ) τ P( ρ i θ ) i 1 θ θ 1 θ ) ( 1 ρ i ) ; -1 < θ i <1 2 y, por simplicidad, P( θ ) exp(- θ) ; θ 0

43 Alternativa Bayesiana Modelo correlaciones diferentes De nuevo, la distribución final para,, 1,..., T no tiene una expresión analítica completa. Asimismo, el efecto se reproduce para la distribución predictiva de U T+1. Simulación (Gibbs Sampler y Metropolis -Hastings) Mendoza, M. y Nieto-Barajas, L. E. (2006). Bayesian Solvency analysis with auto correlated observations. Applied Stochastic Models in Business and Industry, 22,

44 Alternativa Bayesiana Propósito del modelado Una distribución más flexible y general que la Normal Posibilidad de incorporar patrones de dependencia Empleo de una herramienta de pronóstico general Procedimientos más robustos para el cálculo de los factores

45 Ejemplos Severidad relativa 180% Automóviles 150% 120% 90% 60% 30% 0% Año

46 Ejemplos

47 Ejemplos Severidad relativa 180% Automóviles 150% 120% Cuantiles 95% Independencia 90% 60% 30% 0% Año

48 Ejemplos

49 Ejemplos Severidad relativa 180% Automóviles 150% 120% Cuantiles 95% 90% Independencia común 60% 30% 0% Año

50 Ejemplos

51 Ejemplos Severidad relativa 180% Automóviles 150% 120% 90% Cuantiles 95% Independencia común distintas 60% 30% 0% Año

52 Ejemplos

53 Ejemplos Siniestralidad Relativa 180% 150% Accidentes y enfermedades 120% 90% 60% 30% 0% Año

54 Ejemplos

55 Ejemplos Siniestralidad Relativa 180% 150% Accidentes y enfermedades 120% Cuantiles 95% Independencia 90% 60% 30% 0% Año

56 Ejemplos

57 Ejemplos Siniestralidad Relativa 180% 150% Accidentes y enfermedades 120% 90% Cuantiles 95% Independencia común 60% 30% 0% Año

58 Ejemplos

59 Ejemplos Siniestralidad Relativa 180% 150% Accidentes y enfermedades 120% 90% Cuantiles 95% Independencia común distintas 60% 30% 0% Año

60 Ejemplos

61 Consideraciones finales El valor del factor modifica si se cambia el modelo El modelo se debe seleccionar por su capacidad predictiva El análisis hace patente el riesgo de modelo Los modelos se deben evaluar periódicamente Es conveniente considerar modelos alternativos

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