Econometría II Grado en finanzas y contabilidad

Transcripción

1 Econometría II Grado en finanzas y contabilidad Metodología Box-Jenkins Profesora: Dolores García Martos mdgmarto@est-econ.uc3m.es Este documento es un resumen/modificación de la documentación elaborada por D. Antoni Espasa

2 Metodología Box-Jenkins

3 Metodología Box-Jenkins

4 Metodología Box-Jenkins La clase general de modelos de la metodología Box-Jenkings es la familia de modelos ARIMA con elementos determinísticos (constante, tendencia determinística, estacionalidad determinística, efecto semana santa, efecto días laborables, atípicos, etc) En la especificación de estos modelos entran distintos tipos de parámetros que capturan distintos rasgos de los datos El primer paso es determinar si el modelo se debe formular con los datos originales o con series transformadas. En todo caso, deben recoger: Evolutividad de la tendencia Evolutividad estacional El modelo incorporará: Diferencias regulares Diferencia estacional Constante Factores determinísticos

5 Metodología Box-Jenkins Expresión general de los modelos ARIMA (p,d,q) (P,D,Q) s : (1-Φ 1 L-Φ 2 L 2 Φ 3 L Φ p L p ) (1-Φ 1 L s -Φ 2 L 2s Φ 3 L 3s -..-Φ P L Ps ) (1-L) d (1-L s ) D log X t = δ+ (1-θ 1 L-θ 2 L 2 θ 3 L θ q L q ) (1-θ 1 L s -θ 2 L 2s θ 3 L 3s -..-θ Q L Qs )a t s=4,12 Es decir, hace referencia a la parte estacional d=0,1,2 Hace referencia al número de diferenciaciones regulares a realizar de la serie original para hacerla estacionaria D=0,1 Hace referencia al número de diferencias estacionales a realizar de la serie original para hacer la parte estacional estacionaria Otra forma de expresión es: Φ p (L) Φ P (L s ) Δ d Δ D s log X = c+ θ q (L) θ Q (L s ) a t

6 Metodología Box-Jenkins Transformada una serie en estacionaria (diferencias en la parte regular y estacional y logaritmos), los parámetros que especifican el modelo ARMA capturan la dependencia temporal Los correlogramas simples serán de utilidad para saber si se trata de modelos autorregresivos o de medias móviles En el caso de los procesos de medias móviles, también nos servirá para determinar el orden del proceso Para determinar el orden de los procesos autorregresivos se utilizara el criterio de información de Akaike. Se analizan, por tanto, los gráficos y los correlogramas de las series: X t, Δ X t,δ s X t y ΔΔ s X t. Si las series son anuales también habrá que analizar Δ 2 X t.

7 Metodología Box-Jenkins 1 Hay que garantizarse que la serie de los residuos tiene estructura de ruido blanco 1. Ver Anexo

8 Metodología Box-Jenkins

9 Contraste de raíces unitarias Las implicaciones de las raíces unitarias en los datos económicos son relevantes Si es I(1), los shocks tendrán efectos permanentes Es habitual que la varianza del estimador de ρ pude ser muy pequeña y conducir a que en el correspondiente intervalo de confianza no entre el valor unitario, cuando realmente existe tal raíz unitaria. Es decir, el contraste de la t habitual podría conducir a rechazar ρ=1 Cuando hay raíces unitarias, el estimador muestral suele estar sesgado a la baja Se utilizan unas tablas específicas: las tablas de Dickey-Fuller

10 Contraste de raíces unitarias En la ecuación (2) se puede añadir una constante e incluso una tendencia determinística Cuando hay correlación entre las variables es mejor utilizar un modelo en el que se tenga en cuenta este aspecto. En este caso no estaríamos ante la hipótesis de que η t se distribuye como ruido blanco

11 Contraste de raíces unitarias

12 Contraste de raíces unitarias

13 Contraste de raíces unitarias El valor de la t es mayor que los valores críticos, se acepta la hipótesis nula de que δ=0 y, tanto, hay una raíz unitaria

14 ESTIMACIÓN Y VALIDACIÓN DEL MODELO Estimación del modelo por MCO o Máxima Verosimilitud Contrastes de los parámetros por medio de la t Varianza residual Ver si la correlación entre los parámetros estimados es muy elevada, de ser así, habría que eliminar alguno Contrastar que los residuos tienen estructura de ruido blanco a partir del correlograma Se puede aplicar un test conjunto de la independencia de las correlaciones muestrales. Test Q Si los residuos no son ruido blanco hay que reformular el modelo Criterios de información (Akaike, Schwarz, etc). Cuanto más pequeños mejor

15 ESTIMACIÓN Y VALIDACIÓN DEL MODELO Si el modelo inicial no es satisfactorio: Se recurre a considerar algunas de las hipótesis manejadas al principio de la identificación del modelo Dudas en las diferencias regulares Dudas en relación con la estacionalidad Dudas en cuanto al orden del modelo AR o MA A partir de la estructura que presenten los residuos se reformula el modelo. Aunque el modelo estimado se pueda validar, es conveniente analizar modelos alternativos y de función del criterio de información (Akaike, Schwarz ) se puede decidir sobre el modelo final

16 ESTIMACIÓN Y VALIDACIÓN DEL MODELO

17 ESTIMACIÓN Y VALIDACIÓN DEL MODELO El contraste de la Q es un contraste conjunto

18 PREDICCIÓN DE VARIABLES ECONÓMICAS Como se viene diciendo a lo largo del curso, los objetivos principales de la modelización ARIMA son: Predicción Estimación de los componente de una serie temporal: Tendencia, estacional y ciclo

19 Esperanza y varianza incondicional vs condicional Esperanza Marginal W = ΦW t-1 + a t E (W t )= Φ E (W t-1 )+ E (a t ) a t es un proceso ruido blanco con esperanza nula µ = Φ µ+ 0, E(W t )= E (W t-1 ) por estacionariedad (1- Φ) µ = 0 µ=e (W t )= 0 Varianza Marginal Var (W t )= Φ 2 var (W t-1 )+ var (a t ) a t es un proceso ruido blanco con con varianza σ 2 γ 0 = Φ 2 γ 0 + σ 2, Var(W t )= Var (W t-1 ) por estacionariedad (1- Φ 2 ) γ 0 = σ 2 γ 0 =var (W t )= σ 2 / (1- Φ 2 )

20 Esperanza y varianza incondicional vs condicional Esperanza Condicional W t = ΦW t-1 + a t E t-1 (W t )= Φ E t-1 (W t-1 )+ E t-1 (a t ) a t es un proceso ruido blanco con esperanza nula E t-1 (W t )= Φ E t-1 (W t-1 ) = Φ W t-1 Varianza Condicional Var t-1 (W t )= E t-1 (W t μ condicional ) 2 Var t-1 (W t ) = Var t-1 (ΦW t-1 + a t ) =Var t-1 (ΦW t-1 ) + Var t-1 (a t ) + +2 cov t-1 (ΦW t-1, a t )= σ 2 dado que W t-1 en el periodo t-1 es un dato conocido y, además, en ese periodo el valor observado, es independiente de la innovación o shock que se producirá en t Estos conceptos vienen de la estimación de una regresión, con la que se trata de estimar la media condicional de la variable dependiente dados los valores de las variables independientes. La diferencia es la variable residual

21 PREDICCIÓN DE VARIABLES ECONÓMICAS Predicción Se apoya en el concepto de expectativa condicional: Se trata de obtener el valor esperado de la variable económica en t+1 en función de la información disponible. E(x t+1 Ω t ) Dependerá del tipo de modelo. Si se trata de un modelo AR(1), se tendría: y t = Φy t-1 + a t E t (y t+1 )= Φ E t (y t ) + E t (a t +1 ) = Φ y t La varianza de la predicción un periodo por delante es igual a σ 2. Y aumenta a medida que aumenta el horizonte de predicción

22 ANEXO

23 ESPECIFICACION DEL MODELO ARMA

24 ESPECIFICACIÓN DEL MODELO ARMA

25 ESPECIFICACION DEL MODELO ARMA

26 ESPECIFICACIÓN DEL MODELO ARMA

27 ESPECIFICACIÓN DEL MODELO ARMA

28 ESPECIFICACIÓN DEL MODELO ARMA