Breve Introducción a las Series Temporales

Transcripción

1 Breve Introducción a las Series Temporales 1 Series Temporales Colección de observaciones tomadas de forma secuencial en el tiempo {X t } t T. La hipótesis de independencia entre las observaciones puede ser totalmente invalida. Ejemplos: Posición de un equipo de fútbol en la liga española en las distintas jornadas. Precio de un determinado valor en bolsa diariamente. Medida de ocupación de un determinado servicio en internet cada 5 minutos,... Tipos: Discreta: El conjunto T que indexa a la serie es un conjunto discreto. Especial interés suele tener el caso de observaciones equiespaciadas. Continua: Las observaciones son tomadas de forma continua en el tiempo (E.g.: Medición de un sismógrafo,...). Objetivos: Estaremos interesados en su descripción, explicación, predicción y su posible control. 2 Serie Estacionaria: Diremos que {X t } t T es una serie estacionaria 1 si E(X t ) = µ = cte. V ar(x t ) = σ 2 = cte. Cov(X t, X t+k ) = γ k = cte. t T 1 Se dice que una serie es estacionaria en sentido amplio si (X t, X t+1,..., X t+k ) d = (X t+s, X t+s+1,..., X t+s+k ). 1

2 Ejemplo de serie estacionaria: Ruido blanco Notaremos siempre por {ε t } t a toda serie que verifique E(ε t ) = 0, V ar(ε t ) = σ 2 y Cov(ε t, ε t+k ) = 0 k = ±1, ±2,... Dicha serie diremos que se trata de un ruido blanco. 3 Componente Estacionales y Componente Tendencial En muchos casos un modelo adecuado para modelizar 2 series temporales es el siguiente X t = Y t + m t + S t con Y t una serie estacionaria, m t la componente tendencial y S t la componente estacional. 2 Existen otros modelos como el multiplicativo (X t = Y t m t S t ) o mixtos (X t = Y t + m t S t,...). 2

3 Efecto tendencial: Serán aquellas variaciones a largo plazo en la media de la serie. Efecto estacional: Variaciones periodicas de periodo constante 3 (E.g.: En las temperaturas, precipitaciones de lluvia, ocupaciones hoteleras,... se observan patrones mas o menos cíclicos según las estaciones o los meses del año). Para modelizar correctamente una serie debemos estimar (y eliminar) estos estos dos efectos: 3.1 Eliminación de la tendencia Ajustar una curva: Esta curva se obtiene aplicando las técnicas vistas en el modelo de regresión. (e.g., suponemos m t = a + bt + ct 2 y minimizando (X t m t ) 2 obtenemos â, b y ĉ. Finalmente consideraremos la serie X t = X t m t = X t (â + bt + ĉt 2 ).) Filtrado: Convertir la serie X t en la serie X t con s Xt = a r X t+r. r= q (e.g.: Filtro de suavizado filtro exponencial;...) m t = 1 2q + 1 t+q j=t q X j X t = X t m t Según las variaciones que dejen pasar los filtros se clasifican el high- y low-pass. Diferenciación: Definimos el operador de retardos B como y el operador diferencia ( = 1 B) BX t = X t 1 X t = (1 B)X t = X t BX t = X t X t 1. Análogamente se definen n = (1 B) n y n = 1 B n 4. Es facil ver que elimina la tendencia lineal, 2 elimina tendencias cuadráticas,... 3 También se puede considerar una componente cíclica. Esta componente corresponde a variaciones cíclicas, pero ya no de periodo constante y generalmente más largo que en la componente estacional. Pensar en los distintos ciclos económicos... 4 Claramente n n. 3

4 3.2 Eliminación el efecto estacional Si S t es un efecto estacional de periodo d (i.e., S t = S t+d ), este efecto se puede eliminar utilizando los siguientes métodos: Diferenciación: Considerar la serie diferenciada X t = d X t = X t X t d. Estimación: Estimar dicha componente y restarsela. Filtrado: Existen filtros específicos para distintos periodos. 4 Elementos para la Identificación del Modelo Para la estimación de los parámetros del modelo que ajustaremos a nuestra serie temporal debemos, previamente, tratar de identificar que posible modelo generó nuestros datos. 4.1 Función de autocorrelacion simple (f.a.s.). Correlograma Para un proceso estacionario con Cov(X t+k, X t ) = γ k definiremos la función de autocorrelación simple (f.a.s.) como ρ k = γ k γ 0 (Notese que ρ k = ρ k ). Dada la secuencia X 1, X 2,..., X N, este coeficiente será estimado por ρ k = N t=1 (X t X)(X t+k X) N t=1 (X t X) 2 con X = N t=1 X t/n. El plot de ρ k frente a k (retardo) será el correlograma. 4.2 Función de correlacion parcial (f.a.p.). Supongamos que nuestra serie es de la forma..., X t 2, X t 1, X t,... Si tenemos que la observación X t está correlada con X t 1 (para todo t) entonces lógicamente, por también estar X t 2 correlada con X t 1, se tiene que (indirectamente) X t estará correlada con X t 2. En otras ocasiones X t ya va a estar directamente correlada con X t 2 y no sólo a traves de X t 1. Para ver cuando ocurre esto se usa la función de autocorrelación parcial (f.a.p.). Para obtener el coeficiente de correlación parcial muestral se siguen los siguientes pasos: 1. Eliminar de X t el efecto de X t 1,..., X t k+1 mediante la regresión X t = β 1 X t β k 1 X t k+1 + ε t y quedarse con {u t } t los residuales de esta regresión. 4

5 2. Eliminar de X t k el efecto de X t 1,..., X t k+1 mediante la regresión X t k = β 1 X t β k 1 X t k+1 + ε t. Los residuales de esta regresión los denotaremos por {v t } t. 3. El coeficiente de correlación parcial muestral será la estimación del f.a.p para el retardo k = Corr({u} t, {v t } t ). 5 Procesos Estacionarios Si una serie es estacionaria el correlograma, salvo unos pocos retardos, debe caer dentro de unas bandas de decaimiento exponencial 5. Trataremos brevemente algunos de los procesos estacionarios más utilizados: 5.1 Procesos autorregresivos AR(p) Cada término de la serie puede ser considerado como una regresión de los p términos anteriores: X t = ϕ 1 X t ϕ p X t p + ε t. Usando el operador de retardos se puede reescribir como Φ(B)X t = (1 ϕ 1 B... ϕ p B p )X t = ε t. Si π 1,..., π p son las raices de la ecuación Φ(B) = 0 puede probarse que el proceso es estacionario si y sólo si π i > 1 (es decir, si las raices del polinomio Φ(B) = 0 están fuera del circulo unidad...) y que ρ k = p ( ) k 1 a i π i i=1 con a i constantes. Estas ecuaciones implican un decaimiento exponencial del f.a.s.. Ecuaciones de Yule-Walker Para un proceso estacionario AR(p) se tiene que Φ(B)ρ k = 0, k = 1, 2,... Esta relación nos lleva a las ecuaciones de Yule-Walker que relacionan el f.a.s. con los coeficientes del autorregresivo de la siguiente forma: ρ 1 = ϕ 1 + ϕ 2 ρ ϕ p ρ p 1 ρ 2 = ϕ 1 ρ 1 + ϕ ϕ p ρ p 2.. ρ p = ϕ 1 ρ p 1 + ϕ 2 ρ p ϕ p 5 También es posible un decrecimiento sinusoidal amortiguado... 5

6 Utilizando las ecuaciones de Yule-Walker para distintos ordenes de autorregresivos AR(l), l = 1, 2,..., X t = ϕ 11 X t 1 + ε t X t = ϕ 21 X t 1 + ϕ 22 X t 2 + ε t. X t = ϕ p1 X t 1 + ϕ p2 X t ϕ pp X t p + ε t. se pueden obtener los distintos coeficientes de autocorrelación parcial, ϕ 11, ϕ 22,..., ϕ pp (= ϕ p ), ϕ p+1p+1,.... Por tanto en la identificación de un proceso autorregresivo de orden p es útil tener en cuenta la siguiente tabla:, AR(p) f.a.s Decae de forma exponencial a partir del retardo p f.a.p. Se anula a partir del retardo p 6

7 5.2 Procesos de media movil M A(q) Estos procesos se obtienen mediante el filtrado de un ruido blanco X t = (1 θ 1 B θ 2 B 2... θ q B q )ε t = Θ(B)ε t. Se los suele pedir una condición de invertibilidad que se consigue si la ecuación Θ(B) = 0 tiene sus raices fuera del circulo unidad. Para ver el significado de la condición de invertibilidad 6 supongamos un proceso MA(1) de la forma X t = (1 θb)ε t, que puede ser reescrito como ε t = (1 θb) 1 X t = (1 + θb + θ 2 B )X t, es decir, como un AR( ). Para que esta reescritura tenga sentido, interesa que θ < 1 (o análogamente que la raiz de Θ(B) = 0 esté fuera del circulo unidad). Notese que, como θ j 0 cuando j si θ < 1, esta condición equivale a decir que el pasado influye cada vez menos en el presente. Para su identificación podemos utilizar el siguiente cuadro: f.a.s MA(q) Se anula a partir del retardo q f.a.p. Decae de forma exponencial a partir del retardo q 5.3 Procesos autorregresivos de media movil ARM A(p, q) Serán procesos que combinan los dos anteriores: (1 ϕ 1 B... ϕ p B p )X t = (1 θ 1 B θ 2 B 2... θ q B k )ε t. En notación compacta, se pueden reescribir como Φ(B) = Θ(B). Debemos exigir que las raices de Φ(B) = 0 estén fuera del circulo unidad (para que el proceso sea estacionario) y que las raices de Θ(B) = 0 también lo estén (para que el proceso sea invertible). En los proceso ARMA(p, q), la identificación de p y q es notablemente más complicada que en los casos anteriores. f.a.s. f.a.p. p > q ARMA(p, q) Como un AR(p) Como un MA(q) a partir del retardo p q + 1 p q Como un AR(p) a partir del retardo q p + 1 Como un MA(q) 6 Esta condición es imprescindible para no tener ambiguedad en la identificación del proceso... 7

8 6 Procesos No-estacionarios 6.1 Camino aleatorio Diremos que estamos ante un camino aleatorio si X t = X t 1 + ε t. (notese que la raiz de su polinomio Φ(B) = 1 B = 0 es igual a 1 y no está fuera del circulo unidad...). Usando la relación X t X t 1 = ε t, el camino aleatorio se puede reescribir como y por tanto X t = ε t + ε t ε 1 Cov(X t, X t+k ) = E((ε t + ε t ε 1 )(ε t+k + ε t ε 1 )) = σ 2 t, que depende de t (proceso no-estacionario). Tenemos Corr(X t, X t+k ) = t t(t + k), luego cuando t sea grande, esta correlación será proxima a 1 y el decrecimiento en k será lento no cayendo dentro de bandas exponenciales comentadas anteriormente. Notese, también, que al diferenciar una vez se llega a X t = ε t (estacionario). Esto muestra que en muchas ocasiones al diferenciar un proceso se llegue a procesos estacionarios. 6.2 Procesos ARIM A(p, d, q) Cuando tenemos una componente tendencial de orden d, en ocasiones, al diferenciar d veces (considerando d = (1 B) d ) el proceso se puede convertir en un ARMA. Este tipo de series tienen la forma Φ(B)(1 B) d X t = Θ(B)ε t. Su identificación es más compleja. 6.3 Procesos SARIMA(p, d, q) (P, D, Q) s Cuando tenemos presente una estacionalidad de orden s puede utilizarse el siguiente modelo (1 B) d (1 B s ) D Φ(B)Φ (B s )(1 B) d X t = Θ(B)Θ (B s )ε t. 7 Estimación y Validación 7.1 Estimación Existen diferentes enfoques (minimizando la perdida cuadrática, maximizando la verosimilitud, condicional o no a los valores iniciales...) que en muchos casos dan lugar a métodos iterativos. Todos estos procedimientos están implementados en diferentes paquetes estadísticos. Por ejemplo, el STATISTICA dispone del modulo Time series/forecasting. 8

9 2. Prediciones realizadas 7 F t+1,..., F t+m 7.2 Validación Una vez realizado el ajuste, y antes de utilizar el modelo para hacer predicciones, debemos validarlo. Si X t es el proceso estimado, se puede considerar u t = X t X t (serie de los residuos) que vuelve a ser un proceso y el modelo estará bien ajustado si {u t } t se trata de un ruido blanco. Existen diversos procedimientos para ver si una serie puede suponerse ruido blanco: 1. Bandas para la correlación de los residuos. Para un ruido blanco el correlograma suele estar en [ 2/ n, 2/ n]. 2. Estadístico de Ljung-Box: Q = n(n + 2) h j=1 ρ j 2 n j. Si el modelo ajustado es correcto Q sigue aproximadamente una χ 2 h p q, donde p y q es el orden del ARMA(p, q) ajustado (y para h se suele considerar la cuarta parte de la muestra). 3. Tests de signos,... 8 Predicción La capacidad de poder hacer predicciones de observaciones futuras de forma razonable presenta un gran interés (Planificar inversiones y producciones, impedir catastrofes,...). 8.1 Escenario de la Predicción El escenario y la notación que se utilizará es: 1. Datos pasados disponibles: X t n+1,..., X t 3. Valores ajustado usando el modelo propuesto F t n+1,..., F t 4. Errores de ajuste e t n+1 = X t n+1 F t n+1,..., e t = X t F t 5. Errores de predicción (cuando las observaciones X t+1,..., X t+m son disponibles): e t+1 = X t+1 F t+1,..., e t+m = X t+m F t+m 7 Utilizaremos la letra F para denotar las predicciones por la palabra inglesa forecasting. 9

10 8.2 Medias moviles El método más simple para hacer predicciones consiste en usar la media de las k observaciones precedentes ( F t+1 = 1 k n i=t k+1 X i). Presenta el problema de que no funciona muy bien en presencia de componentes tendencial o estacional. 8.3 Métodos de suavizado exponencial Estos métodos ajustan la predicción anterior por el error cometido en la predicción anterior. Es decir F t+1 = F t + α(x t F t ), con α una constante entre 0 y 1. Operando ligeramente tenemos F t+1 = αx t + (1 α)f t = = αx t + (1 α)[αx t 1 + (1 α)f t 1 ] =... = αx t + α(1 α)x t 1 + α(1 α) 2 X t α(1 α) t 1 X 1 + (1 α) t F 1 (los pesos que damos a las observaciones decaen de forma exponencial en las predicciones). Además, la expresión anterior, permite ver como si α 0 las predicciones dependeran mucho de la predicción inicial y si α 1 dependera bastante de la predicción anterior. Para elegir un α adecuado se utilizan criterios que minimizan el MSE (recordar regresión...). Este método de predicción mejora a las medias moviles porque da pesos menores a observaciones lejanas (como es lógico...), pero no trata la presencia de tendencia o estacionalidad. 8.4 Método lineal de Holt Cuando se tienen datos que presentan tendencia es bastante utilizado el siguiente método. Si L t es un estimador del nivel de la serie en el momento t y b t es un estimador de la pendiente en dicho momento. Podemos seguir la idea de ajustar lo predicho por el error cometido: con α y β dos parámetros entre 0 y Método de Holt-Winter L t = αx t + (1 α)(l t 1 + b t 1 ) b t = β(l t L t 1 ) + (1 β)b t 1 F t+m = L t + b t m El método anterior no permite manejar estacionalidad, pero se puede adaptar mediante el método de Holt-Winter( 8 y 9 )., 8 L t = α(x t S t s ) + (1 α)(l t 1 + b t 1 ) b t = β(l t L t 1 ) + (1 β)b t 1, S t = γ(x t L t ) + (1 γ)s t s F t+m = L t + b t m + S t s+m 9 Existen también adaptaciones para modelos multiplicativos. 10