Grado en Finanzas y Contabilidad

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1 Econometría Grado en Finanzas y Contabilidad Apuntes basados en el libro Introduction to Econometrics: A modern Approach de Wooldridge

2 5.2 Estimadores de Variables Instrumentales

3 La endogeneidad aparece si en el modelo de regresión múltiple : y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x β k x k + u, los regresores están correlados con el error, es decir, si: E(x j u) 0 para algunos x j. Hay tres situaciones principales en que esto puede suceder: caso 1 No incluimos en el modelo una variable independiente importante; caso 2 Las variables independientes se observan con error; caso 3 Tenemos un sistema de varias ecuaciones de regresión simultáneas.

4 caso 1: Omisión de un regresor importante Supongamos que omitimos una variable que debería estar en el modelo verdadero (o poblacional). Este es un problema de mala especificación (subespecificación en este caso) del modelo, que causa que los estimadores de OLS sean sesgados e inconsistentes. La obtención del sesgo cuando se omite una variable importante es un ejemplo de análisis de la mala especificación. Para empezar, veamos el caso en que el modelo poblacional verdadero tiene dos variables explicativas: y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + u (1)

5 Suponemos que este modelo cumple las hipótesis clásicas y que nos interesa principalmente β 1, el efecto parcial de x 1 sobre y. Por ejemplo, y puede ser el salario por hora (o su logaritmo), x 1 la educación, y x 2 una medida de la capacidad innata del individuo. Para obtener un estimador insesgado de β 1, tendríamos que calcular la regresión de y sobre x 1 y x 2 (esto nos daría estimadores insesgados de todos los parámetros). Sin embargo, sea por ignorancia o porque no disponemos de datos, estimamos el modelo excluyendo a x 2, es decir: ỹ = β 0 + β 1 x 1. Usamos el símbolo en lugar de ˆ para hacer hincapié en que β 1 se obtiene a partir de un modelo mal especificado.

6 Obtendremos el valor esperado de β 1, condicionado a los valores muestrales de x 1 y x 2. El cálculo de esta esperanza no es difícil, porque β 1 es el estimador de OLS de una pendiente. Lo importante es que estudiamos sus propiedades cuando el modelo de regresión está mal specificado porque hemos omitido una variable. β 1 = n i (x 1i x 1 )y i n i (x 1i x 1 ) 2 El siguiente paso es el mas importante. Como (1) es el modelo verdadero, podemos escribir y i = β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + u i. Despues de algunos cálculos y tras tomar esperanza condicionada a los valores de las variables independientes obtenemos n i E( β 1 ) = β 1 + β (x 1i x 1 )x 2i 2 n i (x 1i x 1 ) 2

7 Por tanto, en general, E( β 1 ) no es igual a β 1 : β 1 es sesgado para n i β 1. (x 1i x 1 )x n 2i i (x 1i x 1 es, simplemente, la pendiente de la regresión de x ) 2 2 sobre x 1, la cual se puede expresar como x 2 = δ 0 + δ 1 x 1. Como estamos condicionando a los valores muestrales de las dos variables independientes, δ 1 no es aleatorio. Por tanto, podemos escribir E( β 1 ) como E( β 1 ) = β 1 + β 2 δ 1. Esto implica quer el sesgo de β 1 es E( β 1 ) β 1 = β 2 δ1. A menudo se llama a esto el sesgo de la variable omitida.

8 Hay dos casos en que β 1 es insesgado: Si β 2 = 0, x 2 no está en el modelo poblacional y β 1 es insesgado. Si δ 1 = 0, entonces β 1 es insesgado para β 1, incluso si β 2 0. Como δ 1 es la covarianza muestral entre x 1 y x 2 dividida por la varianza muestral de x 1, δ 1 = 0 si y solo si x 1 y x 2 están incorreladas en la muestra. Por tanto, obtenemos la conclusión importante de que si x 1 y x 2 están incorreladas en la muestra, entonces β 1 es insesgado. En otro caso, aparece la endogeneidad y β 1 es sesgado e inconsistente.

9 Resumen del sesgo de β 1 cuando se omite x 2 : corr(x 1,x 2 ) > 0 corr(x 1,x 2 ) < 0 β 2 > 0 sesgo positivo sesgo negativo β 2 < 0 sesgo negativo sesgo positivo

10 caso 2: Errores de medida en las variables independientes Sabemos que si en un modelo se excluye una variable importante, por ejemplo porque no tengamos datos de ella, tenemos un problema importante. Como podemos resolver, o al menos reducir, el problema del sesgo de la variable omitida? Una posibilidad es obtener una variable próxima (proxy) a la variable omitida. Una variable próxima es una que está relacionada con la variable que deberíamos incluir en nuestro modelo (pero que no lo hacemos). Para ilustrar las ideas fundamentales nos basta con un modelo de tres variables independientes, de las cuales se observan dos: y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x 3 + u. Suponemos que se dispone de datos de y, x 1, y x 2, no de x 3, pero que tenemos una variable próxima a x 3, a la que llamamos x 3.

11 Que le pedimos a x 3? Como mínimo, que tenga una relación con x3 del tipo: x 3 = x3 + v 3, donde v 3 N(0,σv 2) y v 3 está incorrelado con x3 y u. Por tanto, el modelo que podemos estimar es: y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 (x 3 v 3 ) + u y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x 3 + ( β 3 v 3 + u) y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x 3 + e, donde e = ( β 3 v 3 + u). Como cov(x 3,e) 0, x 3 es endógena y el estimador de OLS es sesgado e inconsistente.

12 caso 3: Ecuaciones simultáneas Es util ver, en un modelo simple, cómo una variable explicativa que es, a la vez, explicada, está, en general, correlada con el término de error. Esto lleva a sesgo en OLS, como ya sabemos. Sea el modelo estructural de dos ecuaciones: y 1 = α 1 y 2 + β 1 z 1 + u 1 (2) y 2 = α 2 y 1 + β 2 z 2 + u 2 (3) y supongamos que nos interesa estimar la primera ecuación. Las variables z 1 y z 2 son exógenas y están, por tanto, incorreladas con u 1 y u 2. Por sencillez, hemos quitado las constantes de las dos ecuaciones. Para demostrar que y 2 está correlada con u 1, despejamos en las dos ecuaciones y 1 e y 2 en función de las variables exógenas y los errores. Nos queda, para y 2 :

13 y 2 = π 21 z 1 + π 22 z 2 + v 2, donde π 21 = α 2 β 1 /(1 α 2 α 1 ), π 22 = β 2 /(1 α 2 α 1 ), y v 2 = (α 2 u 1 + u 2 )/(1 α 2 α 1 ). Esta ecuación, que nos pone y 2 en función de las variables exógenas y los errores, es la forma reducida de y 2. Los parámetros π 21 y π 22 se llaman parámetros de la forma reducida. Debemos notar que son funciones no lineales de los parámetros estructurales (o sea, de los parámetros que aparecen en la forma estructural). El error de la forma reducida, v 2, es función lineal de los erores de la forma estructural, u 1 y u 2. Como u 1 y u 2 están ambos incorrelados con z 1 y z 2, v 2 también está incorrelado con z 1 y z 2. Por tanto, podemos estimar en forma consistente π 21 y π 22 mediante OLS.

14 Sin embargo, lo que nos interesa es etimar la ecuación (2). En ella, cov(y 2,u 1 ) = cov(π 21 z 1 + π 22 z 2 + v 2,u 1 ) = cov(v 2,u 1 ) = cov((α 2 u 1 + u 2 )/(1 α 2 α 1 ),u 1 ) 0, y por tanto hay endogeneidad, el estimador de OLS es sesgado e inconsistente.

15 En esta sección, veremos cómo el método de las variables instrumentales (IV) puede resolver el problema de la endogeneidad de una o mas variables explicativas. Como ejemplo, sea el problema de la capacidad innata, no observada, en la ecuación del salario de adultos que trabajan. Un modelo inicial es: log(wage) = β 0 + β 1 educ + β 2 abil + e, donde e es el término de error.

16 Supongamos que, o no disponemos de una variable próxima, o ésta no tiene las propiedades mínimas para que obtengamos un estimador consistente de β 1. Entonces, si metemos abil junto el término de error, nos queda el modelo de regresión sencillo: log(wage) = β 0 + β 1 educ + u, (2) donde u contiene a abil. Si estimamos este modelo por OLS, obtenemos un estimador de β 1, que será sesgado e inconsistente si educ y abil están correladas. A pesar de esto, resulta que podremos utilizar el modelo (2) como base de nuestra estimación si podemos encontrar una variable instrumental para educ.

17 En concreto, volviendo a escribir el model de regresión sencillo, y = β 0 + β 1 x + u, con x y u posiblemente correladas: Cov(x,u) 0. El método de las variables instrumentales funciona tanto si x y u están correladas como si no lo están, pero, por razones que veremos despues, si están incorreladas es mejor usar OLS. Para poder tener estimadores consistentes de β 0 y β 1 cuando x y u están correladas, necesitamos mas información. Supongamos que tenemos una variable observada z que cumple dos condiciones: Cond. 1 z está incorrelada con u, o sea, cov(z,u) = 0; Cond. 2 z está correlada con x, es decir,cov(z,x) 0.

18 Llamamos a z una variable instrumental para x. Estas dos condiciones son muy distintas, en el sentido de que la primera nunca la podemos contrastar, porque el error u no se observa. Nos conformaremos con creer que se cumple esta condición porque ello se deduzca de la teoría económica o simplemente por intuición. En cambio, la condición de que z esté incorrelada con x en la población se puede contrastar con la muestra aleatoria. La manera mas sencilla de hacerlo es ajustar una regresión entre x y z. Para la población será: x = π 0 + π 1 z + v.

19 Entonces, como π 1 = Cov(z,x)/Var(z), la segunda hipótesis se cumple si y solo si π 0. Por tanto, si x y z están correladas, para un nivel de significación suficientemente pequeño (p.ej. 5% o 1%), rechazaremos la hipótesis nula H 0 : π 1 = 0 frente a la alternativa bilateral H 0 : π 1 0. En este caso, podemos tener una confianza razonable de que la segunda condición se cumple. En el ejemplo del salario (o su logaritmo) wage, una variable instrumental z para educ debe estar 1) incorrelada con la capacidad innata abil (y con cualquier otro factor no observable que explique a wage), y 2) correlada con educ. Por ejemplo, la variable última cifra del DNI seguramente estará incorrelada con abil, pero no estrá correlada con educ, asi que no nos servirá como variable instrumental para educ.

20 Lo que habíamos llamado variable próxima (proxy) a una variable no observada tampoco es una buena variable instrumental por el motivo contrario. Por ejemplo, una variable próxima a abil estará muy correlada con ella, pero debe no estarlo para ser una buena variable instrumental. Una posible IV para educ sería el número de hermanos que tenía el individuo en la época en que recibía la educación. Es probable que el número de hermanos esté incorrelado con abil, pero correlado con educ. Ahora vamos a demostrar que la disponibilidad de una variable instrumental se puede utilizar para estimar consistentemente los parámetros de la ecuación (2).

21 Dado el modelo sencillo: la covarianza entre z e y es y = β 0 + β 1 x + u, cov(y,z) = β 1 cov(x,z) + cov(z,u). y, por las condiciones 1 y 2 que deben cumplir las variables instrumentales, cov(z, u) = 0 y cov(z, x) 0, por tanto β 1 = cov(y,z) cov(x,z). Después de simplificar los tamaños muestrales de numerador y denominador obtenemos el siguiente estimador de β 1 mediante IV: n i ˆβ 1 = (z i z)(y i ȳ) n i (z i z)(x i x)

22 El estimador de IV de β 0 es simplemente ˆβ 0 = ȳ ˆβ 1 x, o sea, es parecido al de OLS, pero con ˆβ 1 estimado por IV en vez de por OLS. Una característica del estimador de IV es que, cuando x y u están de verdad correladas, nunca es insesgado. Pero, para muestras pequeñas, puede haber un sesgo importante. Por eso es preferible utilizar muestras grandes con el estimador de IV:

23 Dado el parecido de los estimadores de IV y de OLS, no nos sorprende el que el estimador de IV tenga una distribución aproximadamente normal para muestras grandes. Para hacer inferencia acerca de β 1, necesitamos una desviación típica con la que poder calcular estadísticos t e intervalos de confianza. Lo habitual es imponer hipótesis de homocedasticidad, como en el caso de OLS. Pero ahora la homocedasticidad es condicional en la variable instrumental, en lugar de serlo en la variable explicativa endógena x, es decir, tenemos el resto de hipótesis sobre u, x, y z, y, además, E(u 2 z) = σ 2.

24 La varianza asintótica de ˆβ 1 es ahora: σ 2 nσxρ 2 2, xz donde σx 2 es la varianza poblacional de x, σ 2 es la varianza poblacional de u, y ρ 2 xz es el cuadrado de la correlación poblacional entre x y z. De esta forma podemos obtener una desviación típica para el estimador de IV. Todas las cantidades necesarias se pueden estimar en forma consistente a partir de una muestra aleatoria. Para estimar σx 2, simplemente calculamos la varianza muestral de los x i ; para estimar ρ 2 xz, podemos obtener el R cuadrado de la regresión de los x i sobre los z i, es decir Rx,z 2. Finalmente, para estimar σ 2, podemos usar ˆσ 2 = ( n i ûi 2 ) /(n 2). La desviación típica (asintótica) de ˆβ 1 es, pues, la raiz cuadrada de: ˆσ 2 SST x Rxz 2,

25 donde SST x es la suma total de cuadrados de los x i. La desviación típica que se obtiene se puede usar para construir o estadísticos t para hipótesis sobre β 1 o intervalos de confianza. Es informativo el comparar las varianzas asintóticas de los estimadores de IV y OLS cuando x y u están incorrelados. Bajo las hipótesis de Gauss-Markov la varianza del estimador de OLS es σ 2 /SST x, mientras que para el estimador de IV es σ 2 /(SST x R 2 x,z ); Como un R cuadrado está entre 0 y 1, la varianza de IV es siempre mayor o igual que la de OLS (si OLS es válido, claro). Si R 2 x,z es pequeño, entonces la varianza de IV puede ser mucho mayor que la de OLS, pero si el R cuadrado es 1, entonces las dos varianzas son iguales (o sea, si x está incorrelada con u, entonces la misma x puede ser la variable instrumental de x).

26 Estimación por MC2E-Modelos de Ecuaciones Simultáneas Sea el sistema de ecuaciones simultáneas de antes en forma estructural: y 1 = α 1 y 2 + β 1 z 1 + u 1 (2) y 2 = α 2 y 1 + β 2 z 2 + u 2 (3) cuya forma reducida es: y 1 = π 11 z 1 + π 12 z 2 + v 1, (4) y 2 = π 21 z 1 + π 22 z 2 + v 2 (5), donde π 11 = α 1 β 2 /(1 α 1 α 2 ), π 12 = β 1 /(1 α 1 α 2 ), v 1 = (u 1 + α 1 u 2 )/(1 α 1 α 2 ). Además, en cuanto a la ecuación (5), es π 21 = α 2 β 1 /(1 α 1 α 2 ), π 22 = β 2 /(1 α 1 α 2 ) y v 2 = (u 2 + α 2 u 1 )/(1 α 1 α 2 ).

27 Como, en la forma reducida, cada ecuación solo tiene variables exógenas, podemos estimar la forma reducida por OLS, y los estimadores de los π ij serán BLUE. El método de mínimos cuadrados bietépicos consta de dos pasos, el primero es el que acabamos de describir, estimar la forma reducida por OLS (una vez que sepamos que el modelo está identificado). Entonces se estiman y 1 e y 2 mediante: ŷ 1 = ˆπ 11 z 1 + ˆπ 12 z 2 ŷ 2 = ˆπ 21 z 1 + ˆπ 22 z 2. En el segundo paso, estas estimaciones se usan como instrumentos de y 1 e y 2 en la forma estructural del sistema. Nótese que son de verdad instrumentos, porque están incorrelados con los v j y, por tanto, con los u j y, en cambio, están correlados con los y j

28 Es decir, en el segundo paso, sustituimos los y j endógenos de la forma estructural por sus instrumentos y estimamos el modelo resultante por OLS: y 1 = α 1 ŷ 2 + β 1 z 1 + u 1 y 2 = α 2 ŷ 1 + β 2 z 2 + u 2 A estos dos pasos se les llama mínimos cuadrados bietápicos (MC2E o 2SLS) y se obtiene así un estimador que es consistente, pero no es eficiente ni insesgado.

29 El estimador de MC2E es menos eficiente que el de OLS cuando las variables explicativas son exógenas. Por tanto, es útil disponer de un contraste de endogeneidad para saber si necesitamos los MC2E. La obtención de un contraste de este tipo es sencilla. En el ejemplo anterior tenemos, para y 1, y 1 = α 1 y 2 + β 1 z 1 + u 1, (3) con z 1 exógena. Si y 2 está incorrelada con u 1, deberíamos estimar la ecuación por OLS.

30 Como podemos contrastar esto? Hausman (1978) sugirió comparar las estimaciones de OLS y MC2E y determinar si la diferencia entre ambas es estadísticamente significativa La idea es que ambos, OLS y MC2E son consistentes si todos los regresores son exógenos, por tanto, si OLS y MC2E son muy distintos, y 2 debe ser endógena (seguimos suponiendo que las z j son exógenas). Es una buena idea calcular las estimaciones de OLS y MC2E para ver si son muy diferentes. Para determinar si la diferencia es significativa, lo mas sencillo es hacer un contraste de regresión. Este se basa en estimar la forma reducida de y 2, o sea y 2 = π 21 z 1 + π 22 z 2 + v 2

31 Ahora, como los z j están incorrelados con u 1, y 2 estará incorrelado con u 1 si y solo si v 2 está incorrelado con u 1 ; esto es lo que tenemos que contrastar. Escribimos u 1 = δ 1 v 2 + e 1, donde e 1 está incorrelado con v 2 y tiene media cero. Entonces, u 1 y v 2 están incorrelados si y solo si δ 1 = 0. La manera más sencilla de llevar esto a la práctica es incluir a v 2 como regresor adicional en (3) y hacer un contraste de la t. El problema es que v 2 es un término de error y, por tanto, no lo observamos. Pero como podemos estimar la forma reducida en la ecuación de y 2, también podemos calcular los residuos de esta forma reducida, ˆv 2.

32 Por tanto, estimamos y 1 = α 1 y 2 + β 1 z 1 + δ 1ˆv 2 + error, mediante OLS y contrastamos H 0 : δ 1 = 0 con el estadístico de la t. Si rechazamos H 0 para un nivel de significación pequeño, deducimos que y 2 es endógena, puesto que v 2 y u 1 están correlados.

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