BREVE APUNTE SOBRE EL PROBLEMA DE LA MULTICOLINEALIDAD EN EL MODELO BÁSICO DE REGRESIÓN LINEAL

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1 BREVE APUNTE SOBRE EL PROBLEMA DE LA MULTICOLINEALIDAD EN EL MODELO BÁSICO DE REGRESIÓN LINEAL Ramón Mahía Febrero 013 Prof. Ramón Mahía Qué se entiende por Multicolinealidad en el marco del MBRL?: Existen dos tipos de Multicolinealidad. La denominada multicolinealidad Exacta y la llamada Multicolinealidad Aproximada. La exacta se define como la existencia de una combinación lineal exacta entre dos o más variables exógenas incluidas en el modelo; dicho de modo analítico, el incumplimiento de la propiedad de Rango Pleno de la matriz X de exógenas del modelo. La multicolinealidad aproximada se define como la existencia de una relación lineal fuerte, aunque no exacta, entre dos o más variables exógenas. Por qué se produce?: En primer lugar puede decirse que la multicolinealidad es, en cierto modo, un fenómeno natural: en un sistema económico es muy difícil suponer la total falta de correlación entre sus distintos elementos; aún al contrario, la propia Econometría se apoya de forma fundamental en la idea de la existencia de interrelaciones entre las variables de los sistemas económicos analizados de modo que es posible encontrar relaciones (correlaciones) amplias e incluso relaciones indirectas en la evolución temporal o la distribución transversal de dos acontecimientos o realidades económicos aparentemente distantes. No obstante, no resulta conveniente achacar siempre la existencia de una elevada correlación entre variables a la esencia del sistema económico ya que, en ocasiones, es el modelizador quien puede inducir un problema de multicolinealidad descuidando una correcta especificación y un adecuado tratamiento de los datos, aún cuando ni siquiera exista ningún parecido conceptual entre las series que generan el problema.

2 La línea superior representa el perfil trimestral de evolución del empleo en la agricultura en miles de personas desde 1986 a 1999 y la inferior la evolución de la demanda interna en miles de millones de pesetas en ese mismo período. Es evidente que, aunque habría quien encontraría nexos causales entre una y otra variables, el parecido se debe a la sencillez de su patrón temporal de evolución. Así pues y, resumiendo, diremos que: 1. La multicolinealidad aproximada puede aparecer bien por relaciones de causalidad que se producen en el contexto general económico ( todo está relacionado ) o bien de forma casual sin que exista ningún contenido teórico en la misma. Un caso muy habitual de esta última situación sucede cuando se introducen variables en niveles (sin relativizar): el carácter acumulativo en los niveles de muchas variables hacen que aparezcan con facilidad parecidos casuales.. La multicolinealidad exacta sólo puede aparecer por un error en la especificación cometido por el modelizador que ignora una igualdad o combinación lineal exacta entre variables. Por ejemplo, el siguiente modelo es, obviamente, un modelo con multicolinealidad exacta: y i 0 1D.Interna C.Privado 3C.Público 4Inversión u i ya que, por definición de Contabilidad Nacional, la Demanda Interna de un país es, precisamente, igual a la suma del Consumo Privado, el Consumo Público y la Inversión. Otro ejemplo igualmente común es caer en lo que se denomina La trampa de las ficticias que consiste en incluir tantas variables exógenas ficticias (por ejemplo dicotómicas 0/1) que se acabe por generar una combinación lineal entre las mismas y el término independiente.

3 Cuáles son las consecuencias sobre el MBRL?: Las consecuencias sobre las propiedades del Modelo Básico de Regresión Lineal deben distinguirse nuevamente según se esté hablando de Multicolinealidad Exacta o Aproximada: En el caso de existencia de multicolinealidad exacta, los parámetros no pueden estimarse ya que, al existir dentro de la matriz X de observaciones de variables exógenas una combinación lineal de variables, ésta no tendrá rango pleno y por tanto no será invertible. Si eso sucede, el producto (X X) tampoco tendrá inversa de modo que no podremos calcular la expresión del estimador Mínimo Cuadrático: ˆ 1 ( X ' X ) X ' Y En presencia de multicolinealidad aproximada, el principal problema consiste en que las varianzas calculadas de los parámetros serán tanto mayores cuanto mayor sea la relación entre las variable explicativas. Esta inflación de la varianza, generará dificultades en varios órdenes: Poca precisión en los resultados obtenidos: una mayor varianza genera intervalos de confianza más amplios para los parámetros estimados Test t de significatividad artificialmente bajos que pueden llevarnos a rechazar incorrectamente variables realmente significativas Escasa robustez en los resultados: cuando la colinealidad es muy alta, existe matemáticamente una falta de precisión para el cálculo de los estimadores MCO relacionada con el proceso de inversión de la matriz X X lo que puede generar notables cambios en los valores de los parámetros ante pequeños cambios ambientales (añadir más datos, quitar o incluir nuevas variables ) Para formalizar la cuestión del incremento de varianza en la estimación, debe recordarse que, considerando el cumplimiento de las hipótesis ideales, la varianza de un parámetro estimado tiene la siguiente forma genérica: V ˆ j ) SST (1 R ( j j Donde SSTj representa la variabilidad muestral del regresor Xj, es decir. SST x x Esta expresión ilustra que la precisión en la estimación es: ) j ij j Mayor cuanto menor es el ruido (varianza de la perturbación) Mayor cuanto mayor es la variación de la exógena (lo que entre otras cosas, puede lograrse sistemáticamente, para una selección dada de variables X incrementando el tamaño muestral) Mayor cuanto menor es la relación entre el regresor Xj y el resto (R j). Precisamente, el término 1/(1-R j) se denomina Factor de Inflación de la varianza.

4 Tan importante como entender las consecuencias es también entender qué NO SE VE AFECTADO POR LA COLINEALIDAD. En el caso de multicolinealidad aproximada, es importante tener en cuenta que no se viola ningún supuesto básico de la regresión y, por tanto, las propiedades de los estimadores (insesgadez, eficiencia y consistencia) no se ven afectadas. Es decir, usando el estimador MCO se obtendrán estimaciones insesgadas y consistentes y sus errores estándar estarán correctamente calculados; en ese sentido, el estimador de MCO sigue siendo el estimador con mejores propiedades de entre los de su clase de estimadores. Por otro lado, el nivel de error general del modelo tampoco se ve afectado. Es decir, una regresión que incluya variables altamente correlacionadas es perfectamente compatible con una estimación con escaso nivel de error (y alta R ). Cómo se detecta?: Detección a priori El primero de los consejos es, como siempre, partir de una detección a priori basada en razones de orden teórico: hay relación teórica que justificaría la presencia de multicolinealidad. Este tipo de presupuesto a priori es siempre un punto de partida imprescindible para entender después, con la aplicación de procedimientos técnicos, los resultados obtenidos en análisis específicos para la detección de la multicolinealidad. Detección en función de los síntomas En segundo lugar, y dado que los efectos de la multicolinealidad se limitan a la falta de precisión en la estimación, conviene observar directamente si se han obtenido intervalos de significación individuales lo suficientemente precisos o no. Si las estimaciones de los parámetros son suficientemente precisos, puede que sea irrelevante preguntarse entonces si la correlación entre exógenas será elevada o no. Evidentemente, la presencia de contrastes t no significativos en buena parte de las variables puede deberse sencillamente a una especificación deficiente, y no a la presencia de multicolinealidad. En este sentido, la presencia de la multicolinealidad suele asociarse con contrastes t no significativos y, sin embargo, valores de la R elevados. Detección en función de análisis específicos En todo caso, asumida la necesidad de detectar la multicolinealidad de forma técnica, tenemos varios procedimientos disponibles: - Observar las correlaciones entre las variables. Por ejemplo, la siguiente tabla ilustra el elevado nivel de correlación simple entre casi todas las variables exógenas de una regresión para explicar el número de usuarios de una empresa de servicios de conexión a Internet en función de precios propios, precios de la competencia, publicidad propia, publicidad de la competencia, velocidad propia y velocidad de la competencia.

5 No obstante, recordemos que no hay un límite fijo a partir del cual podamos hablar de un problema; ese límite debe establecerse desde el sentido común y según las circunstancias de análisis específicas. En todo caso, si se desea una regla mencionada en algunos textos, una práctica habitual consiste en establecer generalmente la R del modelo original como límite de la correlación observada entre dos o más variables: diremos que existe multicolinealidad cuando existan correlaciones entre las variables, superiores al coeficiente de determinación del modelo. Sin embargo, debemos recordar nuevamente las limitaciones de cualquier receta de este tipo. - Computar para cada variable el factor de inflación de la varianza. Para ello, basta con realizar una regresión de cada variable en función del resto y observar el R (proporción de la varianza de esa exógena YA CONTENIDA por el resto). Podemos calcular el FIV como 1 FIV (1 R j De todos modos, es difícil especificar un valor tope para el FIV ya que su efecto sobre la varianza de los parámetros depende, como ya hemos visto, de otros componentes. Algunos autores sugieren que un valor del FIV>10 sería, indudablemente, un serio problema de multicolinealidad aproximada pero esto no es más que una receta sin demasiado fundamente técnico. Existen algunos contrastes F basados en el FIV pero insistimos en que los efectos en cada modelo deben evaluarse de forma particular. Por ejemplo, para la regresión original comentada anteriormente: VENTAS= C(1)+C()*PRECIO+C(3)*PRECIOCOMP+C(4)*PUB+C(5)*PUBCOMP+C(6)*VEL+C(7)*VELCOMP ) El factor de inflación de la varianza para la variable PRECIO se calcularía realizando la regresión PRECIO= C(1)+C()*PRECIOCOMP+C(3)*PUB+C(4)*PUBCOMP+C(5)*VEL+C(6)*VELCOMP

6 La R de esta regresión es por lo que el FIV tomaría el valor de: FIV 1 (1 1 ) ( ) R j,48 - Realizar un análisis factorial por componentes principales para las variables. Si un componente principal recoge un alto porcentaje de la varianza de las variables originales (autovalor) podemos inferir un problema de colinealidad y, además, localizar qué variables son las que, de forma combinada, generan el problema. Cómo se corrige?: Un apunte introductorio de interés consiste en tener en cuenta la siguiente pregunta es imprescindible corregir la multicolinealidad? Efectivamente debe recordarse que: - La presencia de multicolinelaidad aproximada no supone ninguna violación de los supuestos del modelo básico de regresión lineal - Si el problema es una aumento de varianza y una menor precisión, conviene tener en cuenta que la multicolinealidad no es la única causa de este error - En todo caso, el problema de una menor precisión afecta sólo a los coeficientes individuales de las variables correlacionadas pero NO a sus combinaciones NI al resto de coeficientes La corrección del problema requiere conocer sus causas. Si se trata de una correlación casual debida generalmente a defectos en la especificación (por ejemplo, un modelo en niveles), el problema debe solventarse corrigiendo esta especificación. Si el problema no puede resolverse con la solución de un error, tenemos varias estrategias a nuestra disposición para minimizar o corregir los problemas asociados a la multicolinealidad: - Transformar el modelo para suavizar la presencia de la multicolinealidad: aumentar la muestra, usar datos en diferencias a las medias, cambiar la muestra por otra con menor multicolinealidad (recuerde que la multicolinealidad es un problema muestral, no necesariamente poblacional).

7 - Transformar el modelo usando combinaciones de las variables correlacionadas, renunciando por tanto a los coeficientes individuales, pero sin eliminar información (desde la simple suma a procedimientos más complejos como el análisis multivariante factorial). - Eliminar parte de la información redundante (considérese entonces el incremento en la varianza del modelo por eliminar variables relevantes y la presencia de SESGO por omisión de variables relevantes)

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