CLASE 0- MÉTODOS DE ALISADO EXPONENCIAL

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1 CLASE 0- MÉTODOS DE ALISADO EXPONENCIAL Contextualización En la primera parte del curso hemos estudiado el análisis clásico de series temporales en el que se asume que una serie temporal resulta de la agregación de cuatro componentes y, por otra parte, se ha dado una visión más moderna de una serie temporal como un proceso estocástico cuya modelización se ha reducido a la amplia familia de los modelos ARIMA. Esta segunda parte del curso se articula en torno a tres puntos: 1. Otros tratamientos de series temporales. 2. Predicción con series temporales, selección de modelos. 3. Series temporales en el análisis del teletráfico y teoría de la señal. En esta primera clase haremos un repaso muy breve del tratamiento realizado hasta el momento de las series y añadiremos el estudio de métodos de alisado exponencial. Estos apuntes se centran únicamente en los nuevos contenidos. Métodos de alisado exponencial Estos métodos proporcionan una serie temporal de pronósticos aplicando de modo iterativo una fórmula. Esta fórmula proporciona un pronóstico para el instante t mediante un promedio ponderado entre todos los datos anteriores al instante t. Las ponderaciones, generalmente, decrecen hacia el pasado de forma exponencial. Por esa razón también se denominan métodos de alisado exponencial. La mayor ventaja que tienen es que son muy sencillos de aplicar, de bajo coste y rápidos. Aunque existen métodos más sofisticados, cuando deben ajustarse muchas series y realizar predicciones, entonces resultan mucho más adecuados. Hay muchos métodos de alisado, para decidir cuál vamos a aplicar en un caso concreto consideraremos la clasificación de Pegel, que según los patrones de comportamiento que presenta la serie nos aconseja un algoritmo u otro. Tengamos en cuenta que no hay un modelo estadístico subyacente que los justifique teóricamente, de ahí que la elección entre uno u otro se base en medidas de precisión que se estudiarán más adelante. Clasificación de los algoritmos: Métodos de promedio: Promedio simple. Medias móviles asimétricas. Métodos de suavizado exponencial: Alisado exponencial simple. Método lineal de Holt. Método de Holt-Winters Clasificación de Pegel Métodos de promedio En este apartado, consideraremos la siguiente notación:

2 {Y t }={Y 1, Y 2,., Y N } {S t }={S 2 = Y ˆ 2 1,.,S N = YˆN N 1, S N+1 = Y ˆN + 1 N }, pero. cómo se pronostica el primer valor de la serie si no hay información?, este valor, aunque no parezca necesario, es fundamental en algunos algoritmos de predicción, únicamente para poderlos hacer comenzar. Lo denotaremos S 1 y debe indicarse de modo explícito puesto que su valor depende en gran medida de la elección del que implemente el método. Promedio simple: {Y t }={Y 1, Y 2,., Y N } {S t } donde S t+1 =1/t(Y 1 +.+Y t ) El pronóstico para cualquier instante posterior a N+1 es el mismo valor: Y + =S N+1, h=2,3 ˆN h N Escritura algorítmica: S t+1 =1/t[(t-1)S t +Y t ], S 1 =0 Cuándo es adecuado? Cuando el proceso en estudio no tiene un patrón tendencia y estacional marcado. En otras palabras, la evolución del proceso es horizontal con ligeras oscilaciones debidas al ruido blanco. Medias móviles asimétricas de orden k: {Y t }={Y 1, Y 2,., Y N } {S t } donde S t+1 =1/k(Y t-k+1 +.+Y t ) El pronóstico para cualquier instante posterior a N +1es el mismo valor: Y + =S N+1, h=2,3 ˆN h N Escritura algorítmica: S t+1 =S t +(Y t - Y t-k )/k, t=k+1,,n, S k =0 Cuándo es adecuado? Cuando hay cambios bruscos de la serie a intervalos regulares de tiempo (cada K unidades de tiempo, por ejemplo), en tal caso se usarían medias móviles asimétricas de orden K. Algunas observaciones sobre las medias móviles Una media móvil es una media aritmética que toma un valor para cada momento de tiempo y no entran, en su cálculo, todas las observaciones de la muestra disponible. El número de observaciones que entran en su cálculo se denomina longitud u orden. Si es alto se eliminan muchas irregularidades, si es pequeño la serie de medias móviles recoge mejor los cambios puntuales de la serie. Las medias móviles simétricas son las siguientes. Ejemplo: MM(3) medias móviles de orden 3 [Se pierden dos datos] , =MM(3) =MM(3) , =MM(3) =MM(3) =MM(3) , =MM(3)

3 Ejemplo: MM(4) medias móviles de orden 4 [Se pierden 4 datos] =MM(4) 2,5 24,25 =MM(4) 3 25,5=MM(4) ,5 27 =MM(4) 4 28,5=MM(4) 4, ,5=MM(4) 5,5 30,5 =MM(4) ,75=MM(4) 6,5 35,62 =MM(4) Se pierden en total cuatro datos, además la primera vez que se aplica una media móvil de orden par, no le corresponde un momento de los datos originales de ahí que se vuelva a realizar una media móvil de orden dos para que estos queden centrados. 5 En general, si el orden, K, es impar las medias móviles quedan centradas y se pierden K-1 datos. Si el orden, K, es par se pierden K datos. Cuando se representa una serie de medias móviles, su gráfico de secuencia es más suavizado que la serie original de la que procede, a este gráfico se le considera la tendencia local de la serie. Ejemplo: datos mensuales sobre número de pasajeros de avión 350,00 400,00 300,00 v1 300,00 MA(v1,12,12) 250,00 200,00 200,00 150,00 100,00 100,00 OCT 1967 JUL 1967 APR 1967 JAN 1967 OCT 1966 JUL 1966 APR 1966 JAN 1966 OCT 1965 JUL 1965 APR 1965 JAN 1965 OCT 1964 JUL 1964 APR 1964 JAN 1964 OCT 1963 JUL 1963 APR 1963 JAN 1963 OCT 1962 JUL 1962 APR 1962 JAN 1962 OCT 1961 JUL 1961 APR 1961 JAN 1961 OCT 1960 JUL 1960 APR 1960 JAN 1960 Fecha OCT 1967 JUL 1967 APR 1967 JAN 1967 OCT 1966 JUL 1966 APR 1966 JAN 1966 OCT 1965 JUL 1965 APR 1965 JAN 1965 OCT 1964 JUL 1964 APR 1964 JAN 1964 OCT 1963 JUL 1963 APR 1963 JAN 1963 OCT 1962 JUL 1962 APR 1962 JAN 1962 OCT 1961 JUL 1961 APR 1961 JAN 1961 OCT 1960 JUL 1960 APR 1960 JAN 1960 Fecha Fig 2: Datos originales y suavizados mediante una media móvil de orden 12 Se denomina media móvil centrada a aquélla cuyo subíndice es el instante central de los considerados de la serie original. Si se le asigna el último instante de los considerados de la serie original, se denomina media móvil asimétrica. En el ejemplo anterior ambas series de medias móviles son centradas. En el siguiente ejemplo se calculan las medias móviles asimétricas de orden 3 del ejemplo anterior, obsérvese que ahora se pierden los datos iniciales. Ejemplo: , =MM(3) 3 3

4 =MM(3) , =MM(3) =MM(3) =MM(3) , =MM(3) 8 7 Las medias móviles asimétricas se utilizan para hacer predicciones de modelos con tendencia constante, de modo similar al enfoque global, esto es, el último valor es la predicción para cualquier otro valor posterior. Medias móviles con pesos: Una media móvil centrada puede escribirse con una fórmula general. Por ejemplo MM3 para los instantes=2,3, N-1: MM(3) t =1/3 Y t-1 +1/3 Y t +1/3 Y t+1 Una notación simplificada de la fórmula anterior es 1/3[1, 1, 1] MM4 para los instantes t=3,4,.,n-2 MM(4x2) t =1/2(1/4(Y t-2 +Y t-1 +Y t +Y t+1 )+1/4(Y t-1 +Y t +Y t+1 +Y t+2 ))=1/4[0.5,1,1,1,0.5] Ejercicio: comprueba que una MM(6x2) se puede escribir 1/6[0.5,1,1,1,1,1, 0.5] En definitiva, no es difícil concluir que las medias móviles centradas responden a las fórmulas: k impar 1/k[1,1,,1], k par 1/k[0.5,1, 1,0.5] K unos k-1 unos La forma general de escribir una media móvil con pesos es la siguiente: [a -1, a 0,a 1 ] [a -2, a -1,a 0,a 1,a 2 ] Se han propuesto en la literatura muchas fórmulas de medias móviles, también llamadas de suavizado (puesto que la serie resultante no presenta tantas oscilaciones como la original). Todas ellas se escriben dando los valores a i que, si se observa, indican a qué elemento de la serie original afecta (el valor del instante t en la serie suavizada resulta de multiplicar por a i al elemento Y t+i de la serie original). La suma de todos los pesos debe ser uno. Fórmula de Spencer MM(5x4x4) +[-3/4, ¾, 1, ¾, -3/4] Esta fórmula se usa bastante, y no es una elección arbitraria, más bien responde a la comprobación empírica de su capacidad para captar las tendencias de las series originales. Otras fórmulas de tendencia se presentan en Makridiakis et al (1998), y una referencia monográfica del estudio de suavizados en series es Abraham y Ledolter (1983).

5 Órdenes en R a<-c(20,23,24,25,30,35,40,50) a<-ts(a, start=1) a3suav<-filter(a, sides=2, method="convolution",rep(1/3,3)) a4suav<-filter(a, sides=1, method="convolution",c(0.5,1,1,1,0.5)/4) sides 2 indica que son centradas mientras que 1 indica que son asimétricas. La orden lowess hace un suavizado previamente implementado, ajusta un polinomio con un algoritmo nada sencillo.. Otras órdenes: acf, pacf, lag.plot,stl(x, per ), x1 = arima.sim(list(order=c(1,0,0), ar=.9), n=100) x.fit = arima(x1, order = c(1, 0, 1))) x.fore = predict(x.fit, n.ahead=10) En lo sucesivo utilizaremos la orden HoltWinters que permite realizar distintos alisados exponenciales y predict premite hacer predicciones de nuevo. Métodos de suavizado exponencial Alisado exponencial simple: Escritura algorítmica: S t+1 =S t +α(y t -S t )= αy t +(1-α)S t, 0<α<1 S 1 =Y 1 El pronóstico para cualquier instante posterior a N +1es el mismo valor: Y + =S N+1, h=2,3 ˆN h N Cuándo es adecuado? Cuando los datos no presentan ni tendencia, ni estacionalidad, puesto que el pronóstico no tiene en cuenta estos efectos. Ejercicio: Demuestra que t 1 r t S t+1 = α (1 α) Y + (1 α) S r= 0 Si quisiéramos utilizar el pronóstico del instante 10, por ejemplo, tendría una gran influencia una mala elección del valor de inicialización S 1? Qué sucede si α=1? Y si vale cero? Método lineal de Holt: Este método asume que la serie que interesa pronosticar tiene tendencia lineal. Ahora bien, el algoritmo asociado actualiza en cada salto el nivel de la serie {L t } (altura que ha alcanzado) y la pendiente de la recta tendencia {b 1t }: t r 1 Escritura algorítmica:

6 0<α <1, 0< β <1 L t = αyt + (1 α)( Lt 1 + b1 t 1) L 1 =Y b 11 YN Y1 b1 t = β ( Lt Lt 1) + (1 β ) b1 t 1 b 11 = N 1 Por tanto, la serie de pronósticos es {S t }, con S t =L t-1 +b 1t-1, t= 2,3,..N, N+1 El pronóstico para cualquier instante posterior a N es YˆN + m N = L N + b1 N m También se utilizan como valores de inicialización los parámetros de la recta de regresión ajustada a los datos de la serie y, en algunos textos, toman L 1 =Y 1, b 1 =Y 2 -Y 1. Ejercicio: Dada la serie temporal {Y t }={143,152,161,139,137,174,142,141}, escribe las series {S t } que resultan de aplicar AES con α =0.654 e inicializando con el primer valor de la serie y Holt lineal con α =0.501 y β =0.072, inicializando con L 1 =Y 1, b 1 =Y 2 -Y 1. Cuál de los dos está realizando el mejor ajuste a la serie? Sol. AES S t ={143, 143, ,156.81,145.16,139.82,162.18,148.98,143.76} Holt S t ={-,152,161,170,162.34,156.60,172.91,163.89,158.06} Método de Holt-Winters: Este algoritmo es adecuado para datos con estacionalidad. Se puede aplicar tanto en el caso de esquemas aditivos como en el caso de esquemas multiplicativos. Ahora bien, el método lo forman tres ecuaciones: una que ajusta el nivel de la serie, otra que ajusta la pendiente de la recta tendencia y otra que ajusta el valor de los factores estacionales. Esquema multiplicativo: Y L = α + (1 α)( L + b ) t t t 1 1t 1 Ct K b = β ( L L ) + (1 β ) b 1t t t 1 1t 1 Yt Ct = γ + (1 γ ) Ct K Lt Pronóstico: S t =(L t-1 +b 1t m)c t-k A partir del instante N el pronóstico es: S N+m =(S N +b 1N m)c N-K+m Para inicializar el algoritmo podemos utilizar: L 1 y b 11, se les asigna el termino independiente y la pendiente de la recta ajustada a la serie completa mediante mínimos cuadrados. Las componentes estacionales C h, donde h=1,..., K, se inicializan con las obtenidas mediante el método explicado en el tema 3 en el caso del esquema

7 multiplicativo. En concreto: C inicialización, por defecto: h = E $. Es habitual utilizar los siguientes valores de h b 10 ml m1 = donde m i es la media de los valores del año i. ( L 1) K S m K 0 = 1 b10 2 Ejercicio: cómo varían las ecuaciones anteriores si el esquema fuera aditivo? Elección del mejor algoritmo Tengamos en cuenta que es mejor cada algoritmo para un cierto comportamiento de la serie respecto a la tendencia o a la estacionalidad. La clasificación de Pegel nos ayudará a seleccionar un algoritmo u otro: Tendencia\Estacionalidad NO hay efecto Aditiva Multiplicativa NO hay (horizontal) Promedio -AES Lineal Holt Holt-Winters Holt-Winters Exponencial Ahora bien, en algunos casos no es evidente el patrón que sigue la serie. Entonces, deberemos aplicar más de un método y escoger uno de ello utilizando las medidas explicadas en el tema 2. También es útil hacer un estudio de la autocorrelación de los errores de predicción y comprobar que puede aceptarse la hipótesis de ruido blanco. Por otra parte, hemos observado que cada algoritmo debe inicializarse con unos valores que son escogidos por el predictor y, a su vez, debe fijarse el valor de los parámetros del modelo. Los valores de inicialización afectan poco a las predicciones, siempre que tengamos un número suficiente de datos por qué?. Por otra parte, los parámetros deben escogerse entre valores que se encuentren entre 0 y 1. De ahí que se escojan aquellos que proporcionen el menor error cuadrático medio de los errores de un paso: minσ(y t -S t ) 2, est operación es muy costosa en tiempo, y la mayoría de los paquetes estadísticos automatizan esta operación, proporcionando el algoritmo de ajuste con los parámetros que minimizan el error. Ejercicio: Qué efecto tiene en los algoritmos de predicción la elección de pequeños valores de los parámetros α, β y γ (entre 0.1 y 0.2)? Señalemos finalmente que estos métodos no tienen gran fundamentación teórica, de ahí que el uso de intervalos de predicción pueda resultar arriesgado. En caso de utilizarlos seguiremos las indicaciones generales señaladas en el tema 2. No obstante, es importante señalar que se ha demostrado que cada uno de los algoritmos estudiados no es más que un caso particular de un modelo ARIMA concreto, Sin embargo, la filosofía de los algoritmos de predicción es la de aplicarlos sin tener en cuenta que hay un modelo estadístico asociado, y más bien guiarse de los patrones de comportamiento de la serie.

8 Práctica con alisados exponenciales Alisado Exponencial Simple (AES) y Método de Holt Consideramos la serie ventas: {25,26,25,28,24,28,26,26,25,27} a) Si aplicamos el enfoque global con tendencia constante (α=0), qué ajuste se obtiene? b) Si aplicamos el método de suavizado exponencial, R busca el valor alpha que proporciona el menor error cuadrático medio. Indica cuál es este valor y el error cuadrático del ajuste. c) Inicializa el proceso con el valor 26 y con el valor 25 (media y primer valor de la serie respectivamente), cambia el resultado? por qué? d) Si asumimos tendencia en la serie cómo modificas el comando? e) Inicializa con los valores indicados en la teoría, cambia el resultado? Con cuál de las dos inicializaciones te quedarías. Método Holt-Winters Consideramos los siguientes datos: Efectúa el ajuste Holt_Winters con distintos valores de inicio. Ejercicio 1: Consideremos la serie de ventas de cuchillos eléctricos desde enero-91 a abril-92: {19, 15,39,102,90,29,90, 4,30,66,80,89, 82,17, 26,29} El departamento de ventas decide utilizar medias móviles y AES para pronosticar el valor de las ventas en mayo-92. Se pide obtener el pronóstico con medias móviles de orden k=3, 5, 7, 9, 11 y con AES inicializado por defecto y parámetro α= 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9. Si asumimos que el comportamiento del pasado se mantiene en el futuro, escoge el mejor valor de k y α de manera que se miniminicen los errores.

9 Ejercicios propuesto 1.- La serie IPI.txt proporciona el índice de producción industrial español desde el primer mes de Vamos a aplicar todas las técnicas de predicción aprendidas hasta el momento y vamos a seleccionar la más adecuada. En todos los casos vamos a realizar la predicción de los nueve primeros meses de a) Descomposición. Reserva en el editor de datos todos los valores de los componentes de la serie. Efectúa la predicción y guarda los resultados. b) Medias móviles [escoge el orden que te parezca más adecuado, conviene que pruebes unos cuantos]. c) Promedio total. d) AES e) Método de Holt. f) Método de Holt-Winters. g) Mediante el criterio ECM y MAPE, proporciona una tabla ordenando de mejor a peor todos los métodos utilizados utilizando los residuos. h) Repite los pasos anteriores, pero reservando los últimos 12 datos de la muestra sin ser utilizados en la utilización de los métodos. Realiza las predicciones con todos los métodos para estos 12 datos y vuelve a calcular los ECMp y MAPE pero sólo con estos 12 datos. Ordena los métodos utilizados. i) Aplica el método seleccionado con h) y con i) y obtén las estimaciones para los nueve primeros meses de Busca los verdaderos valores que han sucedido en este año y obtén conclusiones.