Estimación MC2E, MVIL en Modelos de Ecuaciones Simultáneas

Transcripción

1 Estimación MC2E, MVIL en Modelos de Ecuaciones Simultáneas Economía Aplicada III (UPV/EHU) OCW 2013

2 Contents 1 Mínimos Cuadrados en 2 Etapas 2

3 Mínimos Cuadrados en 2 Etapas El método de Mínimos Cuadrados en dos Etapas (MC2E) también es un método de estimación de Modelos de Ecuaciones Simultáneas con información limitada. Esta técnica de estimación está indicada tanto si la ecuación está exactamente identificada como si está sobreidentificada. Se puede considerar como un método de estimación por Variables Instrumentales y en el caso de exacta identificación MC2E coincide con MCI. La demostración está cubierta en las lecturas recomendadas.

4 Mínimos Cuadrados en 2 Etapas Consideremos la -ésima ecuación estructural del Modelo de Ecuaciones Simultáneas, después de haberle impuesto todas las restricciones a priori y el convenio de normalización. y = Y Tx1 o de forma más compacta β TxG G x1 + X γ TxK K x1 + u Tx1 donde Z = y = Z Tx1 δ Tx(G +K )(G +K )x1 Y TxG X δ = TxK + u Tx1 [ β γ ]. u (0,σ 2 I T)

5 Mínimos Cuadrados en 2 Etapas El método de MC2E, como su propio nombre indica, se puede llevar a cabo en dos etapas realizando una estimación por MCO en cada etapa: 1 a Etapa: Se realiza la regresión de cada variable endógena en Y sobre todas las variables exógenas o predeterminadas del modelo. Esto es, se estima la forma reducida para Y : Y = X Π + V ˆΠ MCO = (X X) 1 X Y TxG TxK KxG TxG [ ˆΠ MCO = ˆπ 1 MCO ˆπ G MCO ], donde las columnas de ˆΠ MCO son respectivamente los coeficientes de la regresión de cada variable en Y sobre X. Se obtienen los valores austados de Y dada la estimación de la forma reducida Ŷ = X(X X) 1 X Y

6 Mínimos Cuadrados en 2 Etapas 2 a Etapa Se realiza la regresión de y sobre Ŷ y X. Si denotamos la matriz de regresores ) de esta segunda regresión como Ẑ = (Ŷ X, el estimador resultante de δ sería solución al sistema de ecuaciones normales (Ẑ Ẑ )ˆδ MC2E = Ẑ y Ŷ Ŷ Ŷ X X Ŷ X X ˆβ MC2E ˆγ MC2E = ( Ŷ y X y )

7 Mínimos Cuadrados en 2 Etapas ) En la matriz Ẑ = (Ŷ X todas las columnas son funciones lineales de las K columnas de X. Si la ecuación satisface la condición de rango para la identificación, y por lo tanto también ) la de orden (K G +K ), la matriz (Ẑ Ẑ será de rango completo e invertible. El sistema tendrá una única solución, ) 1Ẑ ˆδ MC2E = (Ẑ Ẑ y Si la ecuación no está identificada, bien porque no se satisface la de orden o, aunque esta se satisfaga, porque no se satisface la de rango, el estimador ˆδ MC2E no está bien definido. La matriz (Ẑ Ẑ) es de rango reducido por lo que no existe su inversa.

8 Mínimos Cuadrados en 2 Etapas Dado que P X = X(X X) 1 X y P X X = X se tiene ] ] Ẑ = [Ŷ X = [X(X X) 1 X Y X = [P X Y P X X ] = P X [Y X ] = P X Z Utilizando este resultado podemos obtener que el estimador MC2E ] es un estimador de VI con matriz de instrumentos Ẑ = [Ŷ X, ) 1Ẑ ˆδ MC2E = (Ẑ Ẑ y = Z P X Z P X P X y la siguiente forma de obtener el estimador MC2E de δ, 1 ) 1Ẑ Z P X y = (Ẑ Z y P X P X ( ˆδ MC2E = Z X ( X X ) ) 1 1Z X Z X ( X X ) 1 X y

9 El método de estimación por Máxima Verosimilitud Información Limitada (MVIL) también está dentro de la clase de estimadores con información Limitada. Considera la estimación de los parámetros estructurales de una ecuación, teniendo en cuenta solamente la función de verosimilitud de las variables endógenas de esa ecuación y las restricciones de identificación correspondientes a la ecuación a estimar. No se tiene en cuenta en la verosimilitud el resto de variables endógenas del sistema ni las restricciones de identificación impuestas en otras ecuaciones.

10 Consideremos la ecuación -ésima a estimar antes de imponer la normalización (β = 1) [ y Y ] Tx(G +1) [ β β y = Y Tx1 β (G +1)x1 β TxG G x1 ] = X γ TxK K x1 + X γ TxK K x1 + u Tx1 +u Y + β + = X γ +u Las ecuaciones de la Forma Reducida para Y + son las siguientes Y + = X Tx(G +1) TxK + Π1 K x(g +1) + X TxK Π + 2 K x(g +1) + V + Tx(G +1)

11 Senotamos por y + t y x + t a la fila t-ésima de Y + y de X respectivamente y por v + t al vector (1x(G +1)) correspondiente a la fila t-ésima de la matriz V +. y + t = Π+ x + t +v+ t y + t x+ t Π+ = v + t Dado el supuesto sobre la distribución de los errores estructurales u t NID(0,Σ), el vector de errores de la forma reducida correspondiente a las ecuaciones de las variables Y + en el momento t, se distribuye v + t NID(0,Ω+ ) donde Ω + es la submatriz correspondiente de Ω.

12 La función de verosimilitud de Y + es: L = L(Π +,Ω + ;Y +,X) = T t=1 L(Π+,Ω + ;y + t,x t) = = T t=1 ( ) (2π) (G+1)/2 Ω + 1/2 exp( 1/2)(y + t x+ tπ + ) (Ω + ) 1 (y + t x+ tπ + ) [ T ] lnl = (T(G +1)/2)ln2π T/2ln Ω + 1/2 (y + t x + tπ + ) (Ω + ) 1 (y + t x + tπ + ) El estimador por máxima verosimilitud MVIL maximiza esta función sueto a las restricciones que relacionan los parámetros estructurales de la ecuación -ésima con los parámetros de la forma reducida. t=1

13 De las restricciones de exclusión de la ecuación -ésima y la relación entre los parámetros de la F.E. y la F.R. obtenemos las siguientes ecuaciones: Π + 1 β+ = γ K ecuaciones (1) Π + 2 β+ = 0 K ecuaciones (2) Las primeras K ecuaciones sólo muestran cómo obtener γ dado β +. Si podemos resolver para β + de (2), podemos utilizar esta solución en (1) para obtener γ y por lo tanto, los parámetros estructurales de la ecuación estarán identificados. La condición de Rango para la identificación de la ecuación establece que rango(π + 2 ) = G. La condición necesaria es que G K.

14 Hay tres casos a considerar: La ecuación está exactamente identificada. No hay restricciones sobre Π + 2. Dada la normalización π Π 1 β = 0 = β = (Π 1 ) 1 π ya que la matriz Π 1 es cuadrada y de rango completo por lo que existe su inversa. El estimador de β y γ por MVIL se obtiene de ˆβ MVIL = (ˆΠ 1 ) 1ˆπ ˆγ = ˆπ ˆΠ 1 ˆβ MVIL siendo el estimador de Π + que maximiza el logaritmo de la verosimilitud el estimador MCO. El estimador de β y γ por MVIL coincide con MCI y entonces también con MC2E.

15 La ecuación no está identificada. No hay estimación posible. No podemos recuperar los parámetros estructurales a partir de los parámetros de la Forma Reducida. La ecuación esta sobreidentificada. La sobreidentificación impone restricciones sobre Π +. Las restricciones (2) son importantes. En este caso la solución anaĺıtica al problema de maximizar lnl sueto a Π + 2 β+ = 0 con respecto a Π +, β + y Ω + es extremadamente larga y complicada.

16 El estimador MVIL de β + coincide con el estimador que minimiza el siguiente ratio de varianzas residuales: l = β+ Aβ + β + Sβ + = β+ Y + M Y + β + β + Y + MY + β + siendo M = I T X (X X ) 1 X y M = I T X(X X) 1 X. El numerador del ratio de varianzas l es la suma de cuadrados residual de la regresión de ỹ Y + β +, dado β +, sobre las variables exógenas X que son las incluidas en la ecuación estructural a estimar Y + β + = X γ +u ỹ

17 El denominador del ratio de varianzas l es la suma de cuadrados residual de la regresión de ỹ Y + β +, dado β +, sobre todas las variables exógenas X. Una vez obtenido el estimador de β +, impuesta la normalización, que minimiza ese ratio de varianzas residuales, = (1, ˆβ MVIL ), el estimador MVIL de γ se puede obtener de resolver para ˆγ ˆβ + X (y Y ˆβMVIL ) = X X ˆγ ˆγ MVIL = (X X ) 1 X (y Y ˆβMVIL ) que es el resultado de la regresión de (y Y ˆβ MVIL ) sobre X.

18 El estimador ˆβ MVIL a) Calcular las matrices se puede obtener como sigue: S 0 = Y + M Y + = Y + (I T X (X X ) 1 X )Y + = E 0 E 0 S 1 = Y + MY + = Y + (I T X(X X) 1 X )Y + = E 1 E 1 Cada columna de E 0 = M Y + es el vector de residuos minimocuadráticos obtenidos de la regresión de la columna correspondiente de Y + sobre X. Para E 1 = MY + es lo mismo pero incluyendo en las regresiones también a X, esto es todas las variables exógenas X.

19 b) Se obtienen las raíces características de la matriz (S 1 ) 1 S 0 o equivalentemente de la matriz D = (S 1 ) 1/2 S 0 (S1 ) 1/2. Todas las raíces son reales y mayores o iguales a la unidad. Se elige la menor raíz característica λ 1 c) Particionamos la matriz S 0 y S 1 ( s S 0 0 = s 0 ) s 0 S 0 S 1 = ( s 1 s 1 s 1 S 1 ) Con estos elementos disponibles se puede obtener ˆβ MVIL = [ S 0 λ 1S 1 ] 1(s 0 λ 1 s 1 ) Si la ecuación está identificada, puede demostrarse que λ 1 = 1, lo que conduce a que MVIL = MCI = MC2E.