MÉTODOS FÓRMULA PARA LA PREDICCIÓN DE TIEMPOS DE CONGELACIÓN DE GEOMETRÍAS REGULARES 1D, 2D y 3D

Transcripción

1 Asignatura: Ingeniería de Procesos III (ITCL 34) MÉTODOS FÓRMULA PARA LA PREDICCIÓN DE TIEMPOS DE CONGELACIÓN DE GEOMETRÍAS REGULARES D, D y 3D. Ecuación de PLANK (94). Existen un gran número de métodos fórmula pero sin duda el más popular es la ecuación de PLANK (94). Por ser esta fórmula ampliamente conocida y universalmente usada en todos los métodos fórmula, en adelante se referirá a esta ecuación solamente, como la ecuación de Plank. En la actualidad ha sido sujeto a numerosas modificaciones y se ha transformado en la base para muchos métodos fórmula, principalmente por su simplicidad, y por ser uno de los más prácticos. La ecuación de Plank se puede generalizar para las tres geometrías analizadas (plancha, cilindro y esfera) como lo presenta la siguiente ecuación: tc = L ρ UZ P D h ( T ) ZC T K FZ donde P y R representan factores de forma que definen a cada geometría los cuales se muestra en el Cuadro. La ecuación de Plank se basa en la suposición que el alimento se encuentra a la temperatura de inicio de congelación del alimento y por lo tanto no existe calor sensible antes del periodo de cambio de fase. El calor extraído corresponde únicamente al calor latente del alimento y considera que este, está completamente congelado al final del periodo de cambio de fase. Estas tres suposiciones hacen normalmente que las predicciones de esta ecuación sean menores que la real, dado que difícilmente el alimento se encuentra a la temperatura de congelación (normalmente la temperatura inicial del alimento es mayor) y además la temperatura final del alimento es frecuentemente menor ó igual a -0 C. + R D () CUADRO. Factores de forma de la ecuación de PLANK (94). Geometría P R PLANCHA CILINDRO INFINITO 4 ESFERA

2 Asignatura: Ingeniería de Procesos III (ITCL 34) En resumen lo único que cuantifica la ecuación de Plank es el periodo de cambio de fase en una curva de congelación, es decir, el segundo periodo de una curva de congelación típica. Estas simplificaciones limitan la aplicación de la ecuación de Plank por lo que han surgido numerosas modificaciones por otros autores que se verán en detalle a continuación.. Método de CLELAND y EARLE (979a). Método aplicado para alimentos con forma de plancha infinita, cilindro largo y esfera. Utiliza como base la Ecuación de Plank (Ec. ). Los factores de forma P y R propuestos por Plank son modificados empíricamente por medio de regresión lineal múltiple dejando expresado P y R en función de los números adimensionales de Plank (Pk), Stefan (Ste) y Biot (Bi). Este método abarca un tiempo de congelación desde la temperatura inicial hasta -0 C en el centro térmico del alimento. El calor latente de cambio de fase de la ecuación de Plank es reemplazado por una diferencia de entalpía entre el punto inicial de congelación y -0 C. La fórmula general para las tres geometrías citadas es la siguiente: tc = Hv 0 D P + R ( T ) ZC T h k FZ( 0 o C) D () Los factores de forma para cada una de las geometrías son: Cilindro largo: Esfera: 070 P= Pk+ Ste 4008Pk (3) Bi ( ) R = 033+ Ste 045Pk (4) 34 P = Pk+ Ste 3Pk (5) Bi ( ) R = Ste 0386Pk 694 (6)

3 Asignatura: Ingeniería de Procesos III (ITCL 34) Plancha: 005 P= Pk+ Ste 34Pk (7) Bi ( ) R = Ste 070Pk 035 (8) Debido al origen empírico de las modificaciones a los factores de forma de la ecuación de Plank, la Ec. () está sujeta al siguiente rango de aplicabilidad: 55 Ste Bi Pk 55 La exactitud de la Ec. () no ha sido verificada fuera de este rango, sin embargo, abarca la mayor parte de las situaciones prácticas del proceso de congelación de alimentos. 3. Método de CLELAND y EARLE (979b). Aplicado a alimentos de forma de paralelepípedo. Aquí toma como base los factores de forma propuestos por el mismo autor. tc = Hv 0 P D + R ( T ) ZC T h k FZ( 0 o C) D (9) La solución a los factores de forma para un paralelepípedo es definido por (PLANK, 94): P = β β ( ββ + β + β ) (0) Q ( ) ( ) ( ) m R m m m Ln ( n ) ( n ) ( n ) Ln n = β β β β ( β β ) + + m n () 7 3

4 Asignatura: Ingeniería de Procesos III (ITCL 34) donde: Q [( β β )( β ) + ( β ) ] = 4 (a) [( β β )( β ) + ( β ) ] m = β + β + + (b) 3 [( β β )( β ) + ( β ) ] n = β + β + (c) 3 Las modificaciones en función de los números adimensionales para todas las geometrías es: 08 P = P Pk + Ste 96Pk () Bi [ ( ) R = R 0. + Ste 340. Pk ] (3) Luego, basándose en estas modificaciones se establecen los factores de forma definitivos, P =P + P[(36 + Ste(5.766P -.4)] (4) R =R + R[ Ste(49.89R -.900)] (5) El método visto permite calcular el tiempo de congelación desde la temperatura inicial hasta -0 C en el centro térmico del alimento, y se encuentra sujeto a las siguientes restricciones: 55 Ste Pk 55 5 Bi β 4 β 4 4. Método de Cleland y Earle (984b) Este trabajo no es un método de predicción por si mismo pero por la importancia que reviste determinar el tiempo de congelación a distintas temperaturas finales de proceso, ha sido considerado como tal. Este método utiliza un factor que permite calcular el tiempo de congelación para distintas 4

5 Asignatura: Ingeniería de Procesos III (ITCL 34) temperaturas finales tomando como punto de partida cualesquiera de los métodos de predicción de estos mismos autores o bien aplicándolo a otros métodos de predicción. El factor es aplicado de la siguiente manera: tc = tc'.65 Ste k FZ T Ln T f ref T T (6) t C representa el tiempo de congelación a una determinada temperatura de referencia que por ejemplo para los modelos propuestos por CLELAND y EARLE (979ª; 979b) es de 0 C. t C representa el tiempo de congelación a cualquier temperatura final menor que la temperatura de referencia. El factor presentado en este trabajo es muy similar al propuesto por PLANK (94), pero no se establece claramente el origen de este factor. 5. Método de CLELAND et al. (987a). Mediante un modelo numérico se desarrolló un factor de forma que considera el efecto de la geometría durante el proceso de congelación y descongelación en alimentos. Basado en el concepto planteado por PLANK (94), que establece que existe una relación constante de tiempos de congelación para distintas geometrías que posean la misma dimensión característica y que sean congelados bajo las mismas condiciones operacionales. Para geometrías simples como plancha, cilindro y esfera esta razón es ::3, respectivamente. La dimensión característica obedece a la razón de volumen sobre área (V/A). Según esto se puede plantear la siguiente ecuación general : t pl t ge = (7) EHTD Estos autores presentan un factor de forma para planchas, cilindros, esferas, paralelepípedos, rodajas y varillas largas, denominado transferencia de calor adimensional equivalente (EHTD, equivalent heat transfer dimensionality ), el cual depende del número de Biot y parámetros que describen la forma del objeto. Entonces la ecuación del factor EHTD queda definido por : EHTD = G + G E + G 3 E (8) 5

6 Asignatura: Ingeniería de Procesos III (ITCL 34) E.3 = Χ f.3 73 f + Χ (8a) β β β β E.3 = Χ f.3 50 f + Χ (8b) β β β β f ( x) = Bi x + x X (8c).34 y G, G, G 3 están dados en el Cuadro. Este método toma como base el tiempo de congelación para una plancha, predicho por cualquier método, para calcular el tiempo de congelación de las geometrías citadas en el Cuadro. Es importante destacar que mediante los ajustes empíricos realizados por estos autores se ha corregido la limitación que presenta el concepto planteado por PLANK (94) y por tanto el factor EHTD puede ser aplicado para diversas condiciones de congelación sin el requerimiento que el número de Biot sea cercano a cero. La deducción de este factor es empírico basado principalmente en tiempos generados por un programa de diferencias finitas desarrollado por este mismo autor, tomando como material de prueba a un gel de tylosa. El rango de aplicabilidad de este factor no es establecido claramente por sus autores y solamente se menciona que abarca la mayor parte de las condiciones experimentales de congelación. El tiempo de congelación para una plancha es calculado por medio de la Ecuación 5 (CLELAND y EARLE 979a). 6

7 Asignatura: Ingeniería de Procesos III (ITCL 34) CUADRO. Constantes método de CLELAND y EARLE (987a). Geometría G G G 3 Plancha 0 0 Cilindro largo 0 0 Esfera Rodaja 0 Cilindro corto 0 Varilla larga 0 Paralelepípedo NOMENCLATURA A Área (m ) Cp Calor específico (kj/kg) D Dimensión característica (espesor para plancha, diámetro para cilindro, y esfera) (m) Dx Dimensión en la coordenada x Dy Dimensión en la coordenada y Dz Dimensión en la coordenada z EHTD Transferencia de calor equivalente adimensional h Coeficiente convectivo de transferencia de calor (W/m K) k Conductividad térmica (W/m K) L Calor latente del alimento (kj/kg); L = Y WZ λ HO M P R tc T f Masa (kg) Factor de forma de la ecuación de Plank (94) (adimensional) Factor de forma de la ecuación de Plank (94) (adimensional) Tiempo de congelación (s) Temperatura final de congelación ( C) 7

8 Asignatura: Ingeniería de Procesos III (ITCL 34) T O Temperatura inicial ( C) T T S T ZC Temperatura del medio ( C) Temperatura superficial ( C) Punto inicial de congelación ( C) V Volumen del alimento (m 3 ) Subíndice FZ UZ ge Periodo bajo el punto de congelación, alimento congelado Periodo pre-enfriamiento, alimento no congelado Geometría Número adimensionales. Bi Número de Biot Pk Número de Plank Ste Número de Stefan Bi = h D k FZ Cp Pk = Cp Ste = UZ FZ ( T T ) 0 H (T 0 ZC H 0 ZC T ) Símbolos griegos ρ Densidad (kg/m 3 ) β β H H V Razón entre la segunda dimensión y la dimensión más pequeña Razón entre la tercera dimensión y la dimensión más pequeña Diferencia de entalpía entre el punto inicial de congelación y -0 C ( H 0 ) ó -8 C ( H 8 ). Diferencia de entalpía volumétrica [H V =Hxρ] entre el punto inicial de congelación y -0 C ( H 0 ) ó -8 C ( H 8 ). 8