Gravitational Swarm for Graph Coloring
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- María Pilar María Isabel Contreras López
- hace 5 años
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1 Gravitational Swarm for Graph Coloring Thesis dissertation Israel Carlos Rebollo Ruiz Advisor: Prof. Dr. Manuel Graña Computational Intelligence Group University of the Basque Country(UPV/EHU) Informática 68 Investigación y Desarrollo S.L Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
2 Overview 1 Introducción 2 Gravitational Swarm for Graph Coloring 3 Estudio sensibilidad de GSGC a sus parámetros 4 Algoritmos implementados 5 Resultados comparativos 6 Conclusiones Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
3 Outline 1 Introducción 2 Gravitational Swarm for Graph Coloring 3 Estudio sensibilidad de GSGC a sus parámetros 4 Algoritmos implementados 5 Resultados comparativos 6 Conclusiones Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
4 Coloreado de Grafos Coloreado de Grafos El GCP consiste en asignar colores a los nodos de un grafo de forma que ningún par de nodos unidos por una arista tienen el mismo color. El coloreado óptimo es aquel que resuelve el GCP con el mínimo número de colores, llamado número cromatico. Figura : Ejemplo de coloreado de un Grafo Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
5 Motivación Motivación Hemos elegido el Problema del Coloreado de Grafos(GCP) por: Su historia: es un problema clásico, ampliamente estudiado y fácil de entender e implementar. Actualmente siguen apareciendo nuevos algoritmos para tipos de grafos nuevos o heurísticos para solucionar el problema. Hay aplicaciones prácticas en las que un problema se mapea como un grafo y se resuelve con GCP, tales como: Detección de comunidades en redes sociales. En Robótica para el guiado automático de vehículos. Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
6 Motivación Motivación II Preguntas que queremos responder: ¾Es posible mapear el GCP en un sistema tipo enjambre de Reynolds? ¾Es posible denir una dinámica que lleve al sistema a soluciones válidas del problema? ¾Es posible obtener soluciones dado un número k de colores? ¾Es posible obtener el número cromático de un grafo? Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
7 Swarm Intelligence Swarm Intelligence (SI) SI: es la aparición de conguraciones signicativas en el comportamiento colectivo de sistemas descentralizados y auto-organizados, cuya dinámica se inspira en la naturaleza. Figura : Bandadas de pájaros Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
8 Swarm Intelligence Ejemplo SI con hormigas Un ejemplo clásico de Swarm Intelligence son las colonias de hormigas que solucionan el problema del camino mínimo. Figura : Solución clásica de camino óptimo con ACO Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
9 Swarm Intelligence Contribuciones Hemos desarrollado un algoritmo novedoso inspirado en Swarm Intelligence y en la ley de la gravedad. Presentamos la demostración formal de ciertas propiedades de este algoritmo. Mostramos un amplio conjunto de resultados experimentales. Hemos desarrollado un nuevo método de generación de grafos que hemos llamado KRG. El número cromático es conocido. Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
10 Outline 1 Introducción 2 Gravitational Swarm for Graph Coloring 3 Estudio sensibilidad de GSGC a sus parámetros 4 Algoritmos implementados 5 Resultados comparativos 6 Conclusiones Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
11 GSGC GSGC El algoritmo GSGC inspirado en SI de Reynolds y la ley de la gravedad. Las partículas representan nodos del grafo que se mueven por el espacio atraídos por puntos jos llamados metas de color. Las partículas desconocen la función objetivo global pero conocen la matriz de adyacencia con el resto de las partículas. Existe una fuerza de repulsión que ejercen las partículas entre si cuando: Están dentro de una misma meta de color. La matriz de adyacencia indica que ambas partículas están unidas por una arista. Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
12 Flowchart resumido de una partícula Flowchart resumido de una partícula Figura : Flowchart resumido de una partícula Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
13 Flowchart resumido de una partícula Confort Denimos el confort como un parámetro que, para cada una de las partículas, indica cuando están dentro de una meta, si dicha partícula puede ser expulsada de la meta o no. Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
14 Flowchart completo Flowchart completo Figura : Flowchart completo Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
15 Flowchart completo Estado estacionario del GS Lemma (25) Una partícula p tiene velocidad cero si esta en una meta y ninguna otra partícula de esa meta la repele. Lemma (26) El sistema GS tiene al menos un estado estacionario cuando la relación de repulsión entre partículas forma una relación de equivalencia. Lemma (27) El sistema converge si se cumple la condición anterior, puesto que todo estado no estacionario lleva a un estado estacionario. Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
16 Flowchart completo Estado estacionario del GSGC Lemma (32) Una partícula p se detiene si esta a una distancia de la meta menor a un radio dado y las fuerzas de repulsión a una distancia mayor a un valor. Corollary (34) Por tanto las metas deben estar separadas por una distancia mayor que la zona de inuencia de las fuerzas de repulsión. Theorem (39) El sistema está en un estado estacionario si todas las partículas están en el entorno de alguna meta y no existen fuerzas de repulsión entre ellas. Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
17 Flowchart completo Estado estacionario del GSGC II Theorem (41) Si el número cromático es menor o igual que el número de metas de colores jado, existe un conjunto no vacío de estados estacionarios. Theorem (43) Todo estado estacionario del algoritmo GSGC es una solución del GCP. Theorem (45) Si el número cromático es mayor que el número de colores, el conjunto de estados estacionarios es vacío. Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
18 Flowchart completo Observaciones Remark (46) el teorema 45 nos da información sobre el número cromático. Remark (47) Debemos demostrar la convergencia dinámica del sistema. Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
19 Outline 1 Introducción 2 Gravitational Swarm for Graph Coloring 3 Estudio sensibilidad de GSGC a sus parámetros 4 Algoritmos implementados 5 Resultados comparativos 6 Conclusiones Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
20 Estudio sensibilidad de GSGC a sus parámetros Estudio sensibilidad de GSGC a sus parámetros Parámetros del modelo Experimentos de parametrización Radio de meta. Confort. Test no Paramétricos: Friedman Nemenyi Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
21 Parámetros del modelo Parámetros del modelo Tamaño del mundo Número de colores Radio de Meta Confort Máximo número de pasos Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
22 Parámetros del modelo Valores probados Radio de Meta: Confort: Máximo número de pasos: 100 Repeticiones: 1000 Número de colores: 10 familias KRG de 20 grafos Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
23 Experimentos de parametrización Radio de meta: Resultados Figura : Efecto del radio Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
24 Experimentos de parametrización Radio de meta: Tiempo en pasos Figura : Promedio de tiempo en pasos Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
25 Experimentos de parametrización Confort: Resultados Figura : Efecto del confort Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
26 Experimentos de parametrización Confort: Tiempo en pasos Figura : Promedio de tiempo en pasos Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
27 Test no Paramétricos (Friedman / Nemenyi) Test de Friedman y Nemenyi El test de Friendman es un test no paramétrico que indica si distintos tratamientos t sobre distintos conjuntos de prueba p son estadísticamente signicativos. Se utiliza una tabla de rankings para los distintos tratamientos en los conjuntos de test. Si se rechaza la hipótesis nula que indica que los tratamientos no son estadísticamente signicativos se pueden realizar test post-hoc. El test de Nemenyi es un test post-hoc que indica si los distintos tratamientos pueden formar subconjuntos de valores indiferentes. Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
28 Test no Paramétricos (Friedman / Nemenyi) Ranking Radios de Meta Graph\Radius Graph 30x Graph 45x Graph 60x Graph 75x Graph 90x Graph 105x Graph 120x Graph 135x Graph 150x Graph 165x R k Cuadro : Friedman ranking for Goal Radius Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
29 Test no Paramétricos (Friedman / Nemenyi) Ranking Confort Graph\Comfort Graph 30x Graph 45x Graph 60x Graph 75x Graph 90x Graph 105x Graph 120x Graph 135x Graph 150x Graph 165x R k Cuadro : Friedman ranking for Comfort Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
30 Test no Paramétricos (Friedman / Nemenyi) Radios de Meta con todos los valores Figura : Test de Nemenyi con aceptacion del 90 % Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
31 Test no Paramétricos (Friedman / Nemenyi) Radios de Meta con 5 valores Figura : Test de Nemenyi con 5 valores y aceptación del 95 % Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
32 Test no Paramétricos (Friedman / Nemenyi) Radios de Meta con 5 valores Figura : Test de Nemenyi con 5 valores y aceptación del 99 % Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
33 Test no Paramétricos (Friedman / Nemenyi) Confort con todos los valores Figura : Test de Nemenyi con aceptación del 99 % Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
34 Test no Paramétricos (Friedman / Nemenyi) Confort con 5 valores Figura : Test de Nemenyi con aceptación del 99 % Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
35 Outline 1 Introducción 2 Gravitational Swarm for Graph Coloring 3 Estudio sensibilidad de GSGC a sus parámetros 4 Algoritmos implementados 5 Resultados comparativos 6 Conclusiones Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
36 Algoritmos implementados Algoritmos implementados BackTracking (BT) Clique BackTracking (CBT) DSATUR (DS) Tabú Search (TS) Simulated Annealing (SA) Ant Colony Optimization (ACO) Particle Swarm Optimization (PSO) Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
37 BackTraking BackTracking y CBT Se van coloreando secuencialmente los nodos del grafo. Si se llega a un estado en el que no es posible continuar el coloreado, se va al estado anterior y se modica el color utilizado. Es exacto. CBT: Hemos añadido una modicación en la que la ordenación la establece el clique más grande. Clique: subgrafo completo de un grafo. Clique más grande es Cota mínima del número cromático. Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
38 BackTraking BackTracking y CBT Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
39 DSATUR DSATUR (Brèlaz) Desarrollado por el matemático y político suizo Daniel Brèlaz. Consiste en ordenar los nodos del grafo por su grado de saturación e ir coloreando los nodos añadiendo colores cuando sea necesario. Es un algoritmo greedy, muy rápido, pero que no garantiza el número cromático. El grado de saturación para el algoritmo DSATUR es: El número de aristas que salen de un nodo a otros nodos. El número de vecinos con un color asignado. Los nodos se visitan una única vez. Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
40 DSATUR DSATUR (Brèlaz) Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
41 Tabú Search Tabú Search La Búsqueda Tabú en un método de búsqueda local. Consiste en ir guardando soluciones en una lista de forma que se evita volver a considerar dicha solución. Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
42 Simulated Annealing Simulated Annealing Inspirado en el proceso de recocido del acero y cerámicas, consiste en ir buscando soluciones al problema de forma que al evaluar una función de energía esta va decreciendo hasta que llega a 0. Las soluciones son aceptadas con una probabilidad mayor que un numero aleatorio entre [0,1] de forma que el algoritmo consiga escapar de mínimos locales. Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
43 Ant Colony Optimization Ant Colony optimization (ACO) Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
44 Particle Swarm Optimization Particle Swarm Optimization (PSO) Es una particularización de SI, en la que las partículas disponen de memoria para recordar la mejor solución local obtenida y la mejor solución global obtenida. Las partículas se mueven en el entorno de estas soluciones. Una partícula será un nodo del grafo. El atributo fundamental de las partículas es una distribución de probabilidades para los colores utilizados. Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
45 Particle Swarm Optimization Particle Swarm Optimization (PSO) Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
46 Outline 1 Introducción 2 Gravitational Swarm for Graph Coloring 3 Estudio sensibilidad de GSGC a sus parámetros 4 Algoritmos implementados 5 Resultados comparativos 6 Conclusiones Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
47 Resultados comparativos Árboles y Bipartitos Grafos Planares Usando teorema de Kuratowski 4 coloreables por teoría de grafos Grafos 3-Coloreables Usando artículo de Mizuno Grafos difíciles demostrado por Mizuno Grafos KRG: Pequeños Grandes Grafos DIMACS Búsqueda del número cromático Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
48 Árboles y Bipartitos Porcentajes de éxito en Árboles y Bipartitos Figura : Porcentajes de éxito Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
49 Árboles y Bipartitos Tiempo en Segundos en Árboles y Bipartitos Figura : Tiempo en segundos Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
50 Grafos Planares Porcentajes de éxito en Grafos Planares Figura : Porcentajes de éxito Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
51 Grafos Planares Tiempo en Segundos en Grafos Planares Figura : Tiempo en segundos Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
52 Grafos 3-Coloreables Porcentajes de éxito en Grafos 3-Coloreables Figura : Porcentajes de éxito Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
53 Grafos 3-Coloreables Tiempo en Segundos en Grafos 3-Coloreables Figura : Tiempo en segundos Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
54 Grafos KRG Porcentajes de éxito en Grafos KRG de 100 nodos y 300 aristas siendo 4,5,6,7-Coloreables Figura : Porcentajes de éxito en KRG Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
55 Grafos KRG Tiempo en Segundos en Grafos KRG de 100 nodos y 300 aristas siendo 4,5,6,7-Coloreables Figura : Tiempo en segundos Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
56 Grafos KRG Porcentajes de éxito en Grafos KRG de 2000 nodos y 5400 aristas siendo 4,5,6,7-Coloreables Figura : Porcentajes de éxito Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
57 Grafos KRG Tiempo en Segundos en Grafos KRG de 2000 nodos y 5400 aristas siendo 4,5,6,7-Coloreables Figura : Tiempo en segundos Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
58 Grafos DIMACS Grafos DIMACS Resultados de grafos de Stanford GraphBase (SGB) Resultados de grafos de Caramia (CAR) Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
59 Grafos DIMACS Resultados SGB Figura : Resultado SGB Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
60 Grafos DIMACS Resultados CAR Figura : Resultados CAR Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
61 Búsqueda del número cromático Búsqueda del número cromático Grafos aleatorios: 100 nodos y 1000 aristas 100 nodos y 2000 aristas 100 nodos y 3000 aristas 100 nodos y 4000 aristas Grafos de Leighton Grafos reales (programación de exámenes en universidades de USA) Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
62 Búsqueda del número cromático Grafos aleatorios Figura : Resultados Random Graphs Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
63 Búsqueda del número cromático Grafos de Leighton Figura : Resultados Leighton Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
64 Búsqueda del número cromático Grafos reales Figura : Resultados Grafos Reales Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
65 Outline 1 Introducción 2 Gravitational Swarm for Graph Coloring 3 Estudio sensibilidad de GSGC a sus parámetros 4 Algoritmos implementados 5 Resultados comparativos 6 Conclusiones Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
66 Conclusiones y trabajo futuro Conclusiones La aproximación seguida en esta Tesis está inspirada en la naturaleza de dos formas: 1 Usando la metáfora de Swarm Intelligence que ha producido novedosas soluciones computacionales como ACO y PSO. 2 Usando una metáfora de la interacción gravitatoria y electromagnética para mapear el GCP como un Swarm. Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
67 Conclusiones y trabajo futuro Conclusiones II Hemos tenido éxito proponiendo un algoritmo eciente, inspirado en la naturaleza, que soluciona el GCP. Hemos probado el valor de nuestro algoritmo mediante dos líneas de trabajo separadas: 1 Hemos sido capaces de establecer formalmente algunas propiedades deseadas de convergencia que dan prueba formal de ello. Hemos demostrado que, si el sistema converge a un estado estacionario, este estado es una solución del GCP. 2 Hemos sido capaces de llevar a cabo experimentos computacionales a través de una extensa colección de grafos de referencia, en comparación con otros algoritmos del estado del arte. Los rendimientos obtenidos son competitivos e incluso mejoran otros de la literatura. Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
68 Conclusiones y trabajo futuro Trabajo Futuro Trabajo teórico: Demostrar la convergencia dinámica del sistema. Vericación Computacional: es deseable continuar trabajando en nuevos experimentos sobre grafos. No estacionario: deseamos estudiar la convergencia en el caso no estacionario. Aplicaciones: deseamos identicar posibles aplicaciones de esta Tesis al ámbito de la vida real. En estos momentos estamos trabajando en dirección a la identicación y seguimiento de comunidades en redes sociales. Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
69 Conclusiones y trabajo futuro Gracias Muchas Gracias por su atención. Israel Carlos Rebollo Ruiz (EHU - I68) Gravitational Swarm / 69
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