3) Un fabricante de computadoras quiere establecer que el tiempo medio para ensamblar una nueva computadora de escritorio es menor que 2 horas.

Transcripción

1 INTERVALO DE CONFIANZA Y TEST DE HIPOTESIS 1) Determine el p-valor para las siguientes pruebas de hipótesis para la diferencia entre dos medias con varianzas poblacionales desconocidas e iguales. Suponga ambas poblaciones normales. a) H 1 : μ 1 μ 2 > 0, n 1 = 6, n 2 = 10, t 0 = 1.3 b) H 1 : μ 1 μ 2 < 0, n 1 = 16, n 2 = 9, t 0 = 2.8 c) H 1 : μ 1 μ 2 0, n 1 = 26, n 2 = 16, t 0 = 1.8 2) Dadas las siguientes afirmaciones explique si son verdaderas o falsas: a1) Si el P valor = 0.02 entonces la hipótesis nula se rechaza con a2) Si el P valor = 0.02 entonces la hipótesis nula se rechaza con b) Elija la respuesta correcta justificando su elección: un intervalo de confianza al 95% para μ es ( 1.2, 2.0 ), con base en los datos a partir de los cuales se construyó el intervalo de confianza, alguien quiere probar que H0: μ = 1 contra H1:μ 1, entonces el P valor de este test será : i) mayor que 0.05 ii) menor que 0.05 iii) igual a ) Un fabricante de computadoras quiere establecer que el tiempo medio para ensamblar una nueva computadora de escritorio es menor que 2 horas. a) Formule las hipótesis nula y alternativa. b) Qué error se podría cometer si la verdadera media fuera 1. 9?, explique en el contexto del problema. c) Qué error se podría cometer si la verdadera media fuera 2. 0?, explique en el contexto del problema. 4) Diez cojinetes elaborados mediante cierto proceso tienen un diámetro promedio de cm y una desviación estándar de cm. Si se supone que los datos pueden considerarse una muestra aleatoria de una población normal a) construya un intervalo de confianza del 95% para el diámetro medio real de los cojinetes elaborados mediante este proceso. b) construya un intervalo de confianza del 95% para la desviación estándar real de los cojinetes elaborados mediante este proceso. 5) Un estudio señala que 16 de 200 tractores producidos en una línea de ensamble requirieron ajustes antes de embarcarse, mientras que lo mismo fue cierto para 14 de 400 tractores producidos en otra línea de ensamble. Esto apoya la afirmación de que la segunda línea de producción tiene un menor porcentaje de ajustes? Utilice un nivel de significancia de ) Un ingeniero civil quiere comparar dos instrumentos para medir la cantidad de bifenilos policlorados en tallos de maíz. Se corta y tritura una muestra de tallos, luego se toman dos cucharadas del material. Una se mide con el primer instrumento y la otra con el segundo instrumento. Todo este proceso se repite cinco veces. Los resultados, en partes por miles de millones, son los siguientes: 1

2 Hay evidencia que apoye la afirmación de que las medias de las lecturas de cada instrumento son diferentes? Calcule y decida con el P-valor. Suponga que las diferencias tienen distribución normal. Nº de muestra Instrumento Instrumento ) En un tipo específico de motor, el volante está sujeto al bloque de brida del cigüeñal mediante ocho pernos, que se deben apretar en secuencia. Un ingeniero quiere determinar qué diferencia existe entre el par de torsión del primero y el último perno que se apretó. En una muestra de siete motores, se mide el par de torsión en cada uno de estos pernos. En la tabla siguiente se listan los valores, en N.m, para los pernos 1 y 8. Determine un intervalo de confianza de nivel 0.90 para la diferencia entre los pares de torsión. Qué suposiciones debe hacer? Motor Perno 1 Perno ) Se prueba una muestra aleatoria de 400 componentes electrónicos fabricados por cierto proceso y se encuentra que 30 están defectuosos. a) Sea p la proporción de componentes fabricados con este proceso que están defectuosos. Determine un intervalo de confianza de nivel 0.95 para p. b) Cuántos componentes se deben muestrear con el propósito de que el intervalo de confianza de nivel 0.95 especifique la proporción defectuosa dentro de ± 0.02? 9) El presidente de una pequeña empresa quiere determinar la proporción de sus clientes que considera a su compañía la principal fuente de sus productos. Pide que el margen de error en la proporción no sea más de 3% con 95% de confianza. Estudios anteriores indicaron que la proporción aproximada es 37%. a) Cuál es el tamaño mínimo de la muestra para satisfacer el requerimiento de la empresa si se utilizan los resultados anteriores? b) Cuál es el tamaño mínimo de la muestra para satisfacer el requerimiento de la empresa si se ignoran los resultados anteriores? 10) Un proceso de fabricación produce cojinetes de bola con diámetros que tienen una distribución normal y una desviación estándar de σ = 0.04 cm. Los cojinetes de bola que tienen diámetros que son muy pequeños o muy grandes son indeseables. Para poner a prueba la hipótesis nula de que μ = 0.5 cm se selecciona al azar una muestra de 25 y se encuentra que la media muestral es 0.51 a) Establezca las hipótesis nula y alternativa tales que el rechazo de la hipótesis nula implicará que los cojinetes de bola son indeseables. Con α = 0.02, cuál es el valor crítico para el estadístico de prueba? b) Calcule la probabilidad de cometer error de tipo II si el verdadero μ fuera ) Se ha hecho un estudio para comparar los tiempos de acceso, en diferentes momentos del día, a internet desde ordenadores domésticos con modem. Para ello se cargan 8 páginas web por la tarde en el perıodo de 14 a 15 hs. y, con la misma computadora, las mismas 8 páginas por la noche en el perıodo de 22 a 23 hs. Los respectivos tiempos de acceso en minutos fueron: De 22 a 23 hs De 14 a 15hs

3 Hay suficiente evidencia estadística, al nivel 0.01, a favor de la hipótesis de que el acceso es más lento en el horario nocturno? Asuma que la diferencia de tiempos de acceso es normal. 12) Se están investigando dos métodos para producir combustible a partir de petróleo crudo. Se supone que el rendimiento de ambos procesos se distribuye normalmente. Los siguientes datos de rendimiento se han obtenido de la planta piloto: a) Hay alguna razón para creer que el proceso 1 tiene un rendimiento medio mayor? b) Haga un test para las hipótesis H 0 : μ 1 μ 2 = 5 contra H 1 : μ 1 μ 2 < 5 con α = 0.05 c) Suponiendo que para adoptar el proceso 1 debe producirse un rendimiento medio 5% mayor o igual que el proceso 2, cuáles son sus recomendaciones? 13) En una muestra aleatoria de 40 individuos con cabello castaño, 22 indicaron que se teñían el cabello. En otra muestra aleatoria de 40 individuos rubios, 26 indicaron que se teñían el cabello. a) Hallar un intervalo de confianza de nivel 92% para estimar la diferencia en las proporciones poblacionales de castaños y rubios que tiñen su cabello. b) Hay evidencia que la proporción de rubios que se tiñen el cabello es mayor que la de los de cabello castaño? Plantear las hipótesis adecuadas y usar un nivel de significancia de ) Se aplica el mismo examen a alumnos seleccionados al azar de dos universidades diferentes. Las calificaciones que logran se resumen del modo siguiente: universidad 1: n 1 = 70 x 1 = 73.2 s 1 = 6.1 universidad 2: n 2 = 60 x 2 = 70.5 s 2 = 5.5 Proces Rendimiento (%) o Construya un intervalo de confianza de 90% para la diferencia en el nivel medio de las dos universidades. 15) Una empresa lleva trabajando con el mismo sistema de producción durante varios años y se sabe que su rendimiento diario sigue una distribución normal de varianza 4. El gerente de la empresa desea estudiar si el rendimiento promedio de su sistema ha disminuido con respecto al valor inicial que era de 80. Para ello, anota el rendimiento que proporciona su sistema durante 16 días, obteniendo un rendimiento medio de a) Realizar detalladamente un test para el estudio anterior. Determinar el p-valor del test y discutir la conclusión que se obtiene en función del p-valor. b) Si el rendimiento medio autentico fuera de 79, le parece adecuado el test anterior para detectar esta alternativa con un nivel de significancia de 0.05?. c) Cuántos días debería durar el estudio para poder detectar la alternativa del inciso anterior en un 90% de los casos? 16) Se comparan dos procesos para fabricar cierto microchip. Se seleccionó una muestra de 400 chips de un proceso menos costoso, donde 62 estaban defectuosos. Se seleccionó una muestra de 100 chips de un proceso más costoso, pero 12 tenían defecto. a) Determine un intervalo de confianza de nivel 95% para la diferencia entre las proporciones de los chips defectuosos producidos por los dos procesos. 3

4 b) Existe evidencia que pruebe la afirmación de que los chips menos costosos tienen mayor proporción de defectos que los chips más costosos?. Utilice α = Explique. 17) En un estudio acerca de la efectividad del ejercicio físico en la reducción de peso, un grupo de 16 individuos que se involucró en un programa prescrito de ejercicio físico durante un mes mostró los siguientes resultados en libras: Peso antes: Peso después: a) Haga un test para probar si el programa es efectivo, con un nivel de significancia de Qué suposiciones debe hacer? b) Construya un intervalo de confianza de 99% para la diferencia de los pesos antes y después del programa. 18) En una multinacional que se dedica a la venta de baterías para portátiles, se consideran dos modelos. El departamento de ingeniería ha realizado pruebas de duración para los modelos bajo condiciones de uso y recarga similares, que se recogen a continuación: Modelo viejo: Modelo nuevo: Construya un intervalo de confianza de nivel 98% para la diferencia de las medias de duración entre el modelo nuevo y el modelo viejo. Asuma normalidad y que sus varianzas no difieren. 19) Se quiere comparar la rapidez de dos modelos de impresora A y B. Los de la compañía A sostienen que su modelo es más de 5 segundos más rápido que la impresora modelo B de los rivales, respecto a tiempos medios de impresión. Se mide el tiempo de impresión de los dos modelos sobre una serie de 8 plantillas estándar y los resultados aparecen en la tabla siguiente: a) Utilice el test adecuado para comprobar si este estudio confirma la afirmación de la compañía A. b) Utilice el p-valor. Suponga que la diferencia de los tiempos de las impresoras A y B sigue una distribución normal. Plantilla Tiempo para A Tiempo para B ) Una compañía grande armadora de automóviles trata de decidir si compra llantas de la marca A o de la marca B para sus modelos nuevos. Para ayudar a tomar una decisión, se realiza un experimento en donde se usan 12 llantas de cada marca. Las llantas se utilizan hasta que se acaban. Los resultados son: Marca A: x km s1 5100km ; Marca B: x km s2 5900km Hay diferencia en el desgaste promedio de las dos marcas de llantas?. Suponga que las poblaciones se distribuyen de forma normal. Utilice el p-valor. 21) Una determinada empresa de material fungible puede adquirir los cartuchos de tóner de impresora de dos proveedores distintos. Con el fin de determinar a qué proveedor comprar se toma una muestra de tamaño 12 de cada uno de los proveedores obteniendo los siguientes resultados (número de hojas impresas): 4

5 Proveedor A: x A = 5459 s A 2 = Proveedor B: x B = 5162 s B 2 = Si suponemos que las poblaciones son normales con varianzas iguales: a) Construir un intervalo de confianza de nivel 95% para la diferencia entre el número medio de hojas que imprime el cartucho de cada proveedor. b) Razonar que tipo de test se debe de realizar con el fin de decidir a qué proveedor comprar, Qué decisión toma? Utilizar un nivel de significancia de ) Dos empresas competidoras (A y B) en un mismo sector han puesto en marcha, casi simultáneamente, páginas de internet para la venta electrónica. Se han elegido al azar ocho clientes que han visitado la página A y, de manera independiente, otros ocho que han visitado la B y se han medido el tiempo (en minutos) de la duración de la visita de cada cliente. Los resultados fueron los siguientes: Página A: Página B: Suponer que los datos provienen de poblaciones normales. a) Construir un intervalo de confianza de nivel 95% para la diferencia entre los tiempos medios. b) Utilizando el intervalo hallado en a), proporcionan estos datos suficiente evidencia estadística, al nivel 0.05, para afirmar que los tiempos medios de duración de las visitas en ambas páginas son diferentes? 23) Un taller acaba de recibir una máquina nueva y busca ajustarla correctamente. Según el técnico vendedor de la máquina, la máquina está ajustada para que no produzca más de 4% de piezas defectuosas. La empresa prueba la máquina y de 200 piezas encuentra 15 defectuosas. Hacer un test con el fin de determinar si la máquina se encuentra mal ajustada con un nivel de significancia de ) Una empresa de construcción está interesada en investigar si sus empleados cumplen el horario de descanso vespertino convenido, que es de 20 minutos. Para ello realiza un seguimiento a 50 empleados seleccionados aleatoriamente observando el tiempo en minutos que tardan los empleados en reincorporarse a su puesto de trabajo. Los datos obtenidos son los siguientes: x = y s 2 = Existe alguna razón para creer que los empleados tardan, en término medio, más del descanso permitido? Decida con el p-valor. 25) Dos máquinas se utilizan para empacar detergente de lavandería. Se sabe que los pesos de las cajas están normalmente distribuidos. Cuatro cajas de cada máquina tienen sus contenidos cuidadosamente pesados, con los siguientes resultados (en gramos): Máquina 1: Máquina 2: Hay evidencia de que la varianza del peso de la máquina 2 es mayor a la varianza del peso de la máquina 1? Utilice Explique su respuesta. 26) Para un fármaco, la variabilidad en la efectividad o potencia de una dosis es un valor muy importante a considerar y debe ser pequeña, en caso contrario la dosis podría ser insuficiente o excesiva. Un laboratorio farmacéutico está interesado en determinar la variabilidad en la efectividad de una versión mejorada de cierto fármaco. Se supone que la efectividad del fármaco se distribuye según una normal. Se toma una muestra de 8 dosis del fármaco y se obtienen las siguientes observaciones para la efectividad de esas dosis, una vez que se aplican a los pacientes de la enfermedad para la que es utilizado el fármaco: a) Hallar un intervalo de confianza para la varianza de la efectividad del fármaco de nivel 99% 5

6 b) Hacer un test para las hipótesis H 0 : σ 2 = H 1 : σ 2 < Usar α = ) Un fabricante de instrumentos de mediciones de precisión afirma que la desviación estándar en el uso del instrumento es pulgadas. Un analista, que no tiene conocimiento de esta afirmación, utiliza el instrumento 8 veces y obtiene una desviación estándar muestral de pulgadas. Asumiendo que los datos provienen de una distribución normal. a) Se justifica la afirmación?. Utilice un nivel de significancia de b) Calcule un intervalo de confianza de nivel 99% para la varianza real. 28) Se realiza un estudio para comparar ciertos parámetros del tiempo que tardan los hombres con los de las mujeres para ensamblar cierto producto. La experiencia indica que la distribución de los tiempos tanto para hombres como para mujeres es aproximadamente normal. Para una muestra aleatoria de los tiempos empleados por 11 hombres se obtuvo una media de 25,6 minutos con una desviación estándar de 6,1 minutos y para 13 mujeres se obtuvo una media de 28,4 minutos y una desviación estándar de 5,3 minutos. a) Construya un intervalo de confianza para el cociente de las varianzas. Utilice α=0,01. b) Utilizando la información del intervalo de confianza hallado en a) Se podría concluir que la varianza de los tiempos empleados por los hombres es diferente de la varianza de los tiempos empleados por las mujeres? REGRESIÓN LINEAL 29) Se está evaluando un nuevo resorte. Se han colgado 20 pesas resorte. Se registró el siguiente resumen estadístico: y i x 1.9 y S 26.6 S S xx xy yy x i y se mide para cada una la longitud del a) Estimar la recta de regresión lineal b) Estimar la varianza c) El fabricante del resorte afirma que la constante del resorte es de al menos 0.23 pulg/lb. Se puede concluir que la afirmación del fabricante es falsa? d) Calcule un intervalo de confianza de nivel 0.95 para la longitud media del resorte bajo una carga de 1.4 lb 30) Se quiere estudiar la relación entre la rentabilidad del trigo respecto del nivel de nitrógeno (N). Para ello, se plantó trigo en 7 parcelas de tierra de idénticas características y se les suministraron diferentes niveles de nitrógeno. Los resultados son los siguientes: Unidades (N/acre) (x) Rentabilidad (Tm/acre) (y) a) Ajustar una recta para predecir la rentabilidad del trigo en función del nivel de nitrógeno. Calcular el coeficiente de determinación e interpretar su valor. b) Estimar, utilizando el modelo ajustado en el apartado anterior, la rentabilidad del trigo cuando el nivel denitrógeno es de 60 unidades. Es fiable esta predicción?, explique su respuesta. Hallar el intervalo de predicción de nivel 95% para la rentabilidad del trigo cuando el nivel de nitrógeno es de 60 unidades. 31) Las siguientes son mediciones de la velocidad del aire (x) en cm/s y el coeficiente de evaporación (y) en mm2/s de gotas de combustible quemado en un motor de impulso: a) Estime la recta de regresión 6

7 b) Construya un intervalo de confianza del 95% para β 0. c) Pruebe la hipótesis H 0 : β 1 = 0 contra H 0 : β 1 0 con un nivel de significancia de x y d) Construya un intervalo de confianza del 95% para el coeficiente de evaporación medio cuando la velocidad del aire es de 190 cm/s 32) Con el fin de determinar la relación existente entre la resistencia de una determinada pieza de plástico y uno de sus componentes (componente A) se fabrican 10 piezas de prueba, cada una con una concentración distinta y se obtienen los siguientes resultados: pieza X(%A) Y(rotura) donde la variable rotura indica la fuerza empleada a tracción en el instante de su rotura. a) Realizar un ajuste lineal de la rotura en función del contenido en el componente A. Calcular el coeficiente de determinación y comentar la bondad del ajuste. b) Según nuestro modelo, cuál serıa la resistencia para un 3% de contenido de componente A? c) Un determinado comprador nos pide que le fabriquemos piezas con un 6% de componente A y nos exige que tengan una resistencia de 10 Nwt a tracción. Podemos afirmar que somos capaces de cumplir las especificaciones? Razonar la respuesta. 33) Se investiga la relación entre la exposición al ruido y la hipertensión. Los datos son los siguientes: y x y : aumento de presión sanguínea (mmhg) x : nivel de presión sonora (db) a) Ajuste el modelo de regresión lineal simple con el método de mínimos cuadrados. b) Encuentre el aumento en el nivel de la presión sanguínea asociado con un nivel de presión sonora de 85 db. Es confiable la estimación del aumento de presión sanguínea asociado con un nivel de presión sonora de más de 100 db? Explique. c) Estime σ2. d) Pruebe la significancia de la regresión, o sea H 0 : 1 0 contra H 0 : 1 0 con α = e) Encuentre un intervalo de confianza de 95% para el aumento medio de presión sanguínea cuando el nivel de presión sonora es 85 db. 7