Estadística II Ejercicios Tema 2

Transcripción

1 Estadística II Ejercicios Tema 2 1. Una empresa farmacéutica está preocupada por controlar el nivel de impurezas en uno de sus productos; su objetivo es que la concentración de las impurezas no supere el 3%. Se sabe que para un lote del producto la concentración de las impurezas sigue una distribución normal con desviación típica de 0.4%. Se ha seleccionado una muestra aleatoria de un lote del tamaño 64, y se ha obtenido que la concentración promedio de las impurezas en la muestra era de 3.07%. (a) Contraste a un nivel del 5% que la media de impurezas en la población es igual al 3%, frente a la alternativa de que sea mayor del 3%. (b) Encuentre el menor nivel de significación para el que se pueda rechazar la hipótesis nula. (c) Supongamos que la hipótesis alternativa fuese bilateral en vez de unilateral. Indique, sin llevar a cabo nuevos cálculos, si el p-valor del contraste sería superior o inferior al obtenido en 1b. Dibuje un gráfico que ilustre sus argumentos. (d) En el contexto de este problema, explique porqué una hipótesis alternativa unilateral puede ser más apropiada que una hipótesis bilateral. 2. Un profesor de Estadística está interesado en contrastar la capacidad de los estudiantes para determinar la dificultad de un examen una vez que lo han completado. Un número elevado de estudiantes han realizado un examen, con una nota promedio de Se pide a una muestra aleatoria de ocho estudiantes que predigan esta nota media, obteniendo los valores siguientes: Suponemos que la distribución de estas predicciones es normal. (a) Contraste la hipótesis nula de que la media de las predicciones en la población sería Utilice una alternativa bilateral y un nivel de significación del 10%. (b) Si se hubieran obtenido los mismos valores (media y desviación típica) de una muestra aleatoria de dieciséis estudiantes, sería la conclusión del contraste diferente de la obtenida en 2a? (c) Si llevar a cabo ningún nuevo cálculo y sobre la base de la respuesta a 2a, decida si un intervalo de confianza al 90% para la media de la población incluiría el valor 78.5 o no. Y en el caso de un intervalo de confianza para la media al 95%? 3. El alcalde de una ciudad cree que en una barriada especialmente deprimida al menos el 20% de todos los varones entre 18 y 65 años de edad están en paro. Una muestra aleatoria de 120 hombres de esta población incluyó a veinte desempleados. (a) Contraste la creencia del alcalde a un nivel de significación del 5%. (b) Calcule la potencia de dicho contraste. (c) Construya una gráfica de la curva obtenida en 3b usando Excel. (d) A partir del gráfico obtenido en 3c, para qué valores de p es la potencia del contraste mayor o igual que 0.8 (aproximadamente)? Para estos valores de p, cuál es una cota superior para la probabilidad de un error de Tipo II? (e) Cuál sería una cota superior para la potencia cuando p 0.2? 4. Una posible manera de evaluar la eficiencia de un profesor consiste en examinar las puntuaciones obtenidas por sus alumnos en el examen final. El valor medio de estas notas es por supuesto relevante, pero también lo es la varianza: algunos profesores trabajan muy bien con los estudiantes más brillantes, pero pueden obtener peores resultados con estudiantes menos brillantes o menos motivados. Para aplicar este procedimiento, el coordinador de la asignatura fija un examen estándar para todos los grupos de la misma. Este experimento se ha llevado a cabo durante varios años en una cierta asignatura, y la varianza observada ha estado típicamente próxima a 300. Un nuevo 1

2 profesor imparte un grupo con treinta estudiantes, y en el examen final estos estudiantes han obtenido calificaciones con una cuasi varianza muestral de 480. Consideraremos las notas de estos estudiantes como una muestra aleatoria simple de una población normal. (a) Para un nivel de significación del 5%, contraste la hipótesis nula de que la varianza de la población de todas las calificaciones es 300, frente a una alternativa bilateral. (b) Basándose en la respuesta a 4a, indique si un intervalo de confianza al 95% para la varianza de la población contendría el valor 300. (c) Calcule la potencia del contraste. (d) Dibuje la función de potencia para 4c en Excel. (e) A partir de la gráfica en 4d, cuál es la probabilidad de un error de Tipo II para σ 2 = 500 (aproximadamente)? 5. Indique cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: (a) El nivel de significación de un test es la probabilidad de que la hipótesis nula sea falsa. (b) Un error de Tipo I se produce cuando una hipótesis nula verdadera es rechazada. (c) Una hipótesis nula se rechaza al nivel de 0.025, pero se acepta al nivel Esto quiere decir que el p-valor del contraste está entre 0.01 y (d) La potencia de un contraste es la probabilidad de aceptar la hipótesis nula cuando es verdadera. (e) Si se rechaza una hipótesis nula frente a su alternativa al nivel del 5%, con los mismos datos se debería rechazar también frente a esa alternativa al nivel del 1%. (f) Si se rechaza una hipótesis nula frente a su alternativa al nivel del 1%, con los mismos datos se debería rechazar también frente a esa alternativa al nivel del 5%. (g) El p-valor de un contraste es la probabilidad de que la hipótesis nula sea verdadera. 6. Una compañía de seguros paga a sus agentes mediante comisiones. Asegura que en su primer año los agentes obtendrán unas comisiones de euros en promedio, y que la desviación típica de la población es menor o igual a 6000 euros. Para una muestra aleatoria simple de nueve agentes se han obtenido los valores siguientes, correspondientes a comisiones en su primer año, 9 x i = 333 y 9 (x i x) 2 = 312, donde x i está medida en miles de euros y la distribución de la población se supone normal. (a) Contraste a un nivel del 5% la hipótesis nula de que la media de la población es al menos de euros (utilice el p-valor). (b) Contraste a un nivel del 10% la hipótesis nula de que la desviación típica de la población es como máximo de 6000 euros (utilice el p-valor). 7. Un fabricante asegura que un aerogenerador en una localización concreta puede generar en promedio al menos 800 kwh de energía por día. Se supone que la generación de energía diaria del aerogenerador sigue una distribución normal con desviación típica igual a 120 kwh. Se recogen datos de una muestra aleatoria de 100 días para contrastar esta afirmación frente a la alternativa de que la media es inferior a 800 kw. Se acepta la afirmación si la media muestral es 776 kwh o más, y se rechaza en otro caso. (a) Cuál es la probabilidad α de un error de Tipo I aplicando la regla de decisión anterior si la media de la población es realmente igual a 800 kwh por día? (b) Cuál es la probabilidad β de un error de Tipo II aplicando esta regla de decisión si la media de la población es realmente de 740 kwh por día? (c) Supongamos que se aplica la misma regla de decisión, pero a una muestra de 200 días en lugar de 100 días. i. Sería el nuevo valor de α mayor, menor o igual que el obtenido en 7a? ii. Sería el valor de β mayor, menor o igual que el obtenido en 7b? 2

3 Supongamos ahora que se trabaja con una muestra de 100 observaciones, pero la regla de decisión se modifica para aceptar la afirmación siempre que la media de la muestra sea al menos igual a 765 kwh. (d) Para esta nueva regla de decisión: i. Sería el valor de α mayor, menor o igual que el obtenido en 7a? ii. Sería el valor de β mayor, menor o igual que el obtenido en 7b? 8. Queremos contrastar la hipótesis nula de que una proporción en una población es igual a 0.5 frente a una alternativa bilateral. Una complicación en estos casos es que para un nivel de significación dado, cuanto mayor es el número de observaciones en la muestra, más probable es que se rechace la hipótesis nula. Por qué es esto cierto, y en qué sentido puede plantear esta situación un problema para un profesional que quiera aplicar técnicas de contraste de hipótesis en estos casos? 9. Consideremos la población de todos los residentes en Getafe. Estamos interesados en estudiar el gasto semanal de estos residentes en pan, cantidad que suponemos sigue una distribución normal. Para una muestra aleatoria simple de diez residentes se obtuvieron los siguientes valores de gasto (en euros): que podemos resumir en las cantidades siguientes: n x i = 42.5 y n x 2 i = (a) Utilice un intervalo de confianza para contrastar la hipótesis nula de que la varianza de la población σ 2 es igual a 2, frente a la alternativa bilateral, a un nivel de significación del 5%. (b) Estudiamos ahora otro parámetro de la misma población, la proporción de residentes en Getafe que gastan una cantidad igual o menor a 4 euros en pan a la semana, p. Deseamos llevar a cabo un contraste unilateral, H 0 : p 0.75, a un nivel del 5%. Para ello, como necesitamos una muestra mayor, recogemos información de otras 25 personas, que combinada con los datos anteriores nos proporciona la muestra siguiente: Estime la proporción de residentes en Getafe que no gastan más de 4 euros en pan a la semana, y lleve a cabo el contraste indicado. 10. Los datos que se indican a continuación representan los tiempos de desplazamiento al trabajo (en minutos) para una muestra aleatoria simple de 15 personas que trabajan en una planta industrial: Suponemos que los tiempos de desplazamiento siguen una distribución normal. Hemos llevado a cabo un contraste unilateral para una muestra en Excel a un nivel del 5%, con el objeto de contrastar si la media de la población supera los 28 minutos Describa formalmente el contraste a llevar a cabo. A partir de los resultados mostrados, se rechazaría la hipótesis nula? Cuál sería su conclusión? (Nota: Excel no incluye una función para llevar a cabo un contraste sobre una muestra, por lo que hemos realizado un contraste para dos muestras como muestras emparejadas, donde la primera muestra corresponde a los valores de los que disponemos, y la segunda muestra está formada por n repeticiones de µ 0 ). 3

4 11. A continuacio n se muestra una salida de Excel, correspondiente a los datos del problema 9b. Interprete sus contenidos, e indique como explicarı a a un compan ero suyo la manera de llevar a cabo el contraste del problema 9b en Excel. Sugerencia: emplee un contraste para muestras emparejadas. 12. Deseamos llevar a cabo el contraste de hipo tesis siguiente: H0 : µ = 10 vs. H1 : µ 6= 10. Se ha obtenido una muestra aleatoria simple con 700 observaciones, y un valor (estandarizado) para el 4

5 estadístico del contraste igual a El p-valor asociado a este contraste es: (a) (b) 0.05 (c) 1.96 (d) Ninguno de los anteriores. 13. Se quiere verificar si un dado está equilibrado. Para ello, se decide llevar a cabo el siguiente experimento: se tira el dado tres veces y se concluye que el dado está cargado si la suma de las tres tiradas es menor que 5. (a) Defina las hipótesis nula y alternativa para este contraste. (b) Defina la región crítica del contraste en función de los resultados de las tres tiradas. (c) Determine el nivel de significación del contraste. (d) De una expresión para la potencia de este contraste en función de las probabilidades de cada uno de los valores (p i, i = 1,..., 6, donde p i = P (X = i) con X = el resultado de una tirada ). (e) Determine la probabilidad de un error de Tipo II si p 1 = 1/2 y todas las demás probabilidades fueran iguales a 1/ Se ha observado que un cierto procedimiento de respuesta automática desarrollado para actuar cuando se detectan problemas de calidad (emergencias) en una linea de producción da lugar a respuestas inadecuadas en ciertos casos. Se desea determinar si el procedimiento ha de ser modificado, ya que en general ha funcionado adecuadamente. Se ha seleccionado una medida de calidad para utilizar como referencia en esta decisión. Se supone que la medida sigue una distribución normal con varianza igual a 1. Esta referencia se ha observado en n = 25 emergencias, obteniendo un valor promedio muestral de Si el valor promedio para el proceso (en ausencia de emergencias) es 15, responda a las preguntas siguientes: (a) Se dispone de evidencia suficiente para concluir que el procedimiento de respuesta aumenta el valor promedio de la medida de referencia, a un nivel α = 0.05? (b) La cuasi desviación típica muestral para las 25 observaciones fue 1.2. Implica este valor que la varianza de la población ha aumentado con el procedimiento? Lleve a cabo este contraste para un nivel de confianza del 10%. (c) Obtendría las mismas conclusiones si los contrastes anteriores fueran llevados a cabo a un nivel del 1%? 15. Dentro de una encuesta sobre la duración del empleo en un cierto sector económico, se ha recogido información de una muestra de 86 empleados (una vez que abandonaron el sector). Estos datos están disponibles en el fichero datos ej2.xlsx, medidos en años y meses de duración de los empleos. Utilice Excel para responder a las preguntas siguientes: (a) Es razonable suponer que estos datos siguen una distribución normal? Por qué? (b) Proporciona la información en la muestra suficiente evidencia para aceptar la afirmación (a un nivel del 5%) de que la media del tiempo que se permanece empleado en este sector es inferior a cinco años y medio? 16. Para mejorar las habilidades de sus vendedores y las ventas de la empresa, una compañía está considerando la posibilidad de ofrecerles cursos de formación en Técnicas de Venta. Como esta formación es cara, se ha seleccionado un grupo de nueve vendedores al azar para participar en una versión de prueba del programa de formación. Una vez completado el curso, y empleando las técnicas aprendidas en el curso, los nueve empleados consiguieron una media de 115 unidades vendidas en un cierto periodo de tiempo. El objetivo de la empresa es que sus vendedores realicen unas ventas en promedio superiores a 100 unidades en ese periodo de tiempo. Suponemos que la variable de interés sigue una distribución normal con una desviación típica de 20 unidades. (a) A un nivel de significación del 5%, contraste la eficacia del curso definiendo la región crítica del correspondiente contraste de hipótesis. (b) Obtenga el p-valor del contraste y haga una recomendación en relación con la implantación del curso, en función del nivel de significación deseado. 5

6 (c) Supongamos que µ = 120 tras el curso y el nivel de significación es del 5%. Determine la probabilidad de un error de Tipo II para este contraste. (d) Supongamos que la empresa desease que la probabilidad de un error de Tipo II para este contraste fuese inferior al 1%, si µ = 120 y el nivel de significación permanece en el 5%. Encuentre el menor valor de n para el que se cumpla esta condición. 6