Modelos de distribuciones discretas

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1 Tema 4 Modelos de distribuciones discretas En este capítulo estudiaremos las distribuciones discretas más importantes. importancia es doble, por las aplicaciones y por su relevancia conceptual. De nuevo, esa 4.1 Distribución uniforme discreta Ejercicio Consideremos el conjunto E = {1, 2,...,n}. (a) Definid una variable discreta X que asigne a cada punto de E igual probabilidad. (b) Hallad su función de masa y su función de distribución. (c) Hallad E(X), 2, CV ylamediana. Problema Supongamos ahora que E = {x 1,x 2,...,x n },unconjuntoarbitrario,donde x i 2 R. Generalizadlosresultadosdelproblemaanterior. 4.2 Procesos de Bernouilli Definición Procesos de Bernouilli Sea un experimento aleatorio que cumple las siguientes propiedades: (a) El experimento solo puede dar dos resultados posibles, que llamaremos A y B. (b) La probabilidad p de obtener A no cambia con el tiempo. Un proceso de Bernouilli es una variable aleatoria X definida sobre este experimento tal que X toma el valor 1 si sale A y0sisaleb. Si una variable aleatoria X modeliza un proceso de Bernouilli se escribe X B(1,p). Con frecuencia, los resultados del experimento se interpretan en un sentido muy general como éxito yfracaso. Porejemplo,enelcontextodecontroldecalidad,A es una pieza que pasa los controles y B es una pieza defectuosa. 53

2 54 Modelos de distribuciones discretas Ejercicio Sea X B(1,p). (a) Hallad la función masa y la función de distribución de X. (b) Hallad E(X), 2 y CV. Definición Distribución binomial Consideremos un conjuntos de variables aleatorias X i B(1,p), con i =1,...,n. Si las variables X i son independientes entre sí, la variable X = X X n se llama distribución binomial y se escribe X B(n, p). En general, si tenemos dos variables aleatorias X B(n 1,p)eY B(n 2,p), la variable X + Y sigue una distribución B(n 1 + n 2,p). El resultado es falso si la probabilidad p no es común en ambas distribuciones binomiales. Problema Sea X B(n, p). (a) Si interpretamos A como el suceso tener éxito, qué mide la variable X? (b) Hallad su función de masa y probad que suma 1. (c) Hallad E(X), 2 y CV. (d) Sabiendo que el coeficiente de asimetría de Fisher es CA F = 1 2p p np(1 p) describid la asimetría de la distribución binomial. Dibujad aproximadamente la función de masa en cada caso. Las probabilidades de la binomial son tediosas de calcular a mano. En la práctica se calculan por vía del ordenador, con algún paquete estadístico (Statgraphics, Matlab, SPSS), obienmediantetablas. LastablassepuedenencontrarenelMoodle(ficheroFormularios y tablas). En la figura 4.1 se encuentra elementos de la tabla de la distribución binomial. Por ejemplo, si en una binomial X B(4, 0,15) queremos hallar la probabilidad de que X tome el valor 2, consultando la tabla encontramos que tal valor es 0,988. Ejercicio Un dado se tira 4 veces. Cuál es la probabilidad de obtener exactamente un 6? Resolved el problema usando una variable binomial. Problema Un examen, que consta de 10 preguntas, se aprueba si se contestan correctamente 6 o más. Cada pregunta tiene 3 apartados y la respuesta se considera correcta si se contestan bien 2 o más apartados. Sabiendo que la probabilidad de que un alumno estudioso conteste bien cada apartado es 0 0 7, independientemente de lo que conteste en el resto de los apartados, calculad: (a) La probabilidad de que dicho alumno apruebe el examen y la nota esperada. (b) Sabiendo que este alumno ha aprobado el examen, calculad la probabilidad de que haya contestado correctamente 7 preguntas.

3 4.3. Distribución geométrica 55 Figura 4.1: Tabla de la distribución binomial Problema En un huerto con 100 calabazas, la probabilidad de recolectar una sin pipas es (a) Calcular las probabilidades de los siguientes sucesos: (i) Obtener más de 6 calabazas con pipas al recolectar las 10 primeras. (ii) Encontrar la primera calabaza sin pipas al recolectar la décima. (iii) Recolectar en todo el huerto 10 calabazas sin pipas. (iv) Recolectar en todo el huerto más de 7 calabazas sin pipas. (b) Hallar el número esperado de calabazas sin pipas en el huerto. 4.3 Distribución geométrica Consideremos de nuevo un proceso de Bernouilli que se repite de modo independiente. Queremos medir el número de veces que hay que repetir el experimento antes de salir el primer éxito o sucesoa. Lacorrespondientevariablealeatoriasellamageométrica yseescribe X G(p), donde p es la probabilidad de que salga A. Problema Sea X G(p). (a) Hallad la función de masa de X yprobadquesuma1. (b) Hallad E(X). (c) Sabiendo que el coeficiente de asimetría de Fisher es CA F = 2 p p 1 p describid la asimetría de la distribución binomial. Dibujad aproximadamente la función de masa.

4 56 Modelos de distribuciones discretas La varianza de la distribución geométrica es V (X) = 1 Otra variable asociada a los procesos de Bernouilli es el número de veces que se repite el experimento hasta que sale el primer éxito. Esta variable es similar a la anterior y sus momentos se calculan de modo análogo. Ejercicio Un dado se tira hasta que aparece un 4. Cuál es la probabilidad de tirar el dado 10 veces antes de sacar 4? Cuál es la probabilidad de sacar 4 en la décima tirada? Resolved el problema usando una variable geométrica. Teorema Sea X una variable aleatoria G(p). La probabilidad de repetir el experimento veces más antes de sacar el primer éxito no depende del número previo de veces que hayamos realizado el experimento. Problema Supongamos que en un juego de azar (que no sea hacer un examen de estadística), la probabilidad de ganar es p, con0<p<1. Cómo se interpreta el teorema anterior en el contexto de los juegos de azar? Problema En una red ATM los mensajes se envían en ráfagas de celdas de 53 octetos. Un mensaje tendrá tantas celdas como quiera y sabremos que hemos llegado al final del mensaje porque en los bits de control de la última celda así se indica. Se sabe que la variable aleatoria X que cuenta el número de celdas enviadas en la transmisión de un mensaje antes de la celda que marca el final del mensaje es geométrica de parámetro p. (a) Si sabemos que el número medio de celdas por mensaje sin incluir la última celda es 7, calculad la probabilidad de que el número de celdas enviadas en la transmisión de un mensaje, excluyendo la última, sea menor que 3. (b) Calculad la probabilidad de que el número de celdas enviadas en la transmisión de un mensaje, sin incluir la última celda, sea mayor que 7 si sabemos que es mayor que 4. (c) Se transmiten 10 mensajes de forma independiente. Obtened la probabilidad de que en 4mensajesomáselnúmerototaldeceldasenviadaspormensaje,sinincluirlaúltima celda, sea menor que 3. p 2 p 4.4 Distribución de Poisson La distribución se cuenta entre la más importantes entre las discretas, principalmente por su ubicuidad. Es capaz de modelizar eficazmente un gran abanico de situaciones muy dispares entre sí. Siméon Poisson ( ) la introdujo por primera vez como parte de su teoría de la probabilidad en Apareció en una obra suya en que investigaba la probabilidad de ciertos hechos en juicios penales y civiles. Poisson se preguntaba sobre el número de condenas injustas en un país, variable que sigue ciertamente la distribución que lleva su nombre. Por qué es tan ubicua la distribución de Poisson? Definamos primero qué es un experimento de Poisson yellonosharáentenderelporqué.

5 4.4. Distribución de Poisson 57 Definición Experimento de Poisson. Consideremos un experimento con las siguientes propiedades: (1) Los resultados del experimento se pueden clasificar en éxito o fracaso, esto es, solo hay dos resultados posibles. (2) Se observa el número de éxitos por unidad de cierta magnitud (tiempo, longitud, área, volumen, etc.). (3) El número medio de éxitos en una región dada es conocido; en otras palabras, se conoce la media de éxitos por unidad de magnitud. Además, este valor medio es constante en el tiempo. (4) La probabilidad de éxito es proporcional al tamaño de la región (aquí región se refiere a la magnitud en cuestión). (5) La probabilidad de éxito en intervalos extremadamente pequeños es cero. Esto asegura que la probabilidad de que dos sucesos ocurran a la vez es cero. (6) Los sucesos ocurren de manera independiente. Una objeción que se puede hacer a la definición anterior es que, en la práctica, esas condiciones son difíciles de comprobar exhaustivamente. Ello es cierto en muchas ocasiones. De lo que se trata entonces es de suponer que son razonablemente ciertas las hipótesis anteriores y ver cómo el modelo explica los resultados de ulteriores experimentos. Para que el lector tome consciencia de la importancia de la distribución de Poisson, he aquí una lista de modo alguno exhaustiva de situaciones en que aparece esta distribución: (a) El número de coces dadas por los caballos del ejército prusiano. Esta fue la primera aplicación de la distribución de Poisson de la que se tiene constancia histórica. (b) El número de partículas alfa emitidas por una sustancia radioactiva por unidad de tiempo. (c) El número de bombas lanzadas por bombarderos aéreos en el sur de Londres durante la Segunda Guerra Mundial. (d) El número de accidentes en cierto punto de una carretera por día. (e) El número de erratas por página. (f) El número de pasas por centímetro cúbico en un plumcae. (g) El número de cambios cromosómicos en una célula como consecuencia de la exposición a los rayos X. (h) El número de alumnos con verdadera pasión por la informática por grupo. (i) El número de pelos encontrados en las hamburguesas de McDonalds (o de cualquier otra cadena de comida basura). (j) El número de fallos en una máquina por mes. () El número de llamadas a un servicio de atención al cliente por hora.

6 58 Modelos de distribuciones discretas Si solo queremos centrarnos en ejemplos con sabor netamente informática, aquí va otra lista similar, más corta pero suficientemente representativa; el lector puede construir su propia lista: (a) El número de peticiones a un servidor por unidad de tiempo. (b) El número de errores de codificación que comete un equipo de programadores por semana. (c) El número de fallos de un disco duro por mes. (d) El número de mensajes que llegan a la unidad de proceso de un ordenador por segundo. (e) El número de cuelgues de un sistema operativo por semana. (f) El número de mensajes de correo basura que llegan por semana. (g) El número de programas compilados por un ordenador por día. La función de masa de la distribución de Poisson está dada por la expresión de más abajo P (X = ) =e! donde el rango de valores es 2 N (el número de sucesos por unidad de magnitud puede ser cualquier número natural). La figura 4.2 muestra la función de masa para distintos valores de. Figura 4.2: La función de masa de la distribución de Poisson Problema Comprobad que la función de masa dada anteriormente lo es efectivamente. Usad la siguiente fórmula, consecuencia del desarrollo de Taylor ( ah, qué tiempo aquellos de AM!) y que es válida para todo x 2 R:

7 4.4. Distribución de Poisson 59 e x = 1X n=0 El cálculo efectivo de una probabilidad en una distribución de Poisson se hace también a través de la consulta de tablas o del ordenador. Suponemos que el lector estará un tanto desorientado ante esa función de masa. De dónde sale una expresión tan complicada? Obviamente, Poisson no se la inventó de la nada ni tuvo un acceso de inspiración y dijo ah!, todos estos fenómenos siguen esta distribución con esta función de masa tan intricada. Poisson obtuvo esta distribución a partir de la binomial B(n, p) imponiendo las condiciones de más arriba en el experimento y haciendo tender n ainfinitoy p a cero con ciertas restricciones. El siguiente teorema que, excepcionalmente damos con demostración, muestra el trabajo original de Poisson y da, además, una explicación lógica y orgánica de dónde sale la función de masa. Teorema Sean X B(n, p) una variable aleatoria binomial. Supongamos que se dan las siguientes condiciones: (a) El parámetro n tiende a infinito; (b) np permanece constante e igual a. Entonces la función de masa de la binomial tiende a la de una Poisson. Prueba: : Teniendo en cuenta que en todo momento np =,tenemoslasiguientedemostración (consúltese las explicaciones de los pasos de los cálculos más abajo): n lím P (X = ) = lím p (1 p) n (1) n! = lím!(n )! p (1 p) n n (2) n! =lím!(n )! 1 n n (3) = (4) = (5) = (6) =! x n n! n (n 1)... (n ( 1)) lím n!! lím lím! 1 e 1= n (n 1)... (n ( 1)) n n (n 1)... (n ( 1)) n! e 1 n n lím 1 lím 1 n n n! n 1 n! donde: en (1) se ha aplicado la definición de número combinatorio; en (2) se ha sustituido p por /n; en(3)sehasacadofueradellímiteeltérmino! yreordenadoelrestodetérminos; en (4) se han separado en dos límites el producto de (3); en (5) se ha separado el segundo límite en dos productos para facilitar su cálculo; en (6) se han calculado los límites entre paréntesis. El primer límite de (6) da 1 puesto que en el numerador y el denominador hay factores en n. El siguiente límite da e por la definición de número e yelúltimolímitetiendeclaramentea 1.

8 60 Modelos de distribuciones discretas Problema Cómo se llega del teorema anterior a la definición de experimento de Poisson? Dad una explicación conceptual de esa relación. Problema Si X P ( ), calculad E(X), V (X) yelcoeficientedevariación. 1 Ejercicio El coeficiente de asimetría de la variable Poisson es p coeficiente.. Interpretad dicho Teorema Sean X 1 P ( 1 ) y X 2 P ( 2 ) dos variables aleatorias independientes con distribución de Poisson. Entonces la variable X = X 1 + X 2 sigue una distribución X P ( ). Ejercicio El número de peticiones que llegan a un servidor sigue una distribución de Poisson. Si la media de ese número es de 10 mensajes por segundo, cuál es la probabilidad de que no haya ninguna petición en un segundo? Y de que haya 15 o menos en un segundo? Problema Sabiendo que un ordenador compila, en promedio, 5 programas cada 10 minutos, calculad la probabilidad de que compile: (a) Más de 2 programas y menos de 6 en 10 minutos. (b) 25 programas en una hora. Problema Una fábrica suelta un vertido contaminante 2 veces al mes en promedio. La fábrica se revisa cuando hay más de 8 vertidos contaminantes en un trimestre. La fábrica se para si un trimestre hay más de 1 mes con al menos 4 vertidos. Calculad: (a) La probabilidad de que un trimestre haya que revisar la fábrica. (b) El número esperado de vertidos contaminantes en un trimestre. (c) La probabilidad de que la fábrica funcione 5 trimestres antes de ser revisada. (d) El número medio de trimestres que tienen que transcurrir antes de que la fábrica tenga que ser revisada. (e) La probabilidad de que un mes haya al menos 4 vertidos contaminantes. (f) La probabilidad de que un trimestre haya que parar la fábrica.