ESTUDIO DE UN MODELO LINEAL ÁNGULO DE ROTACIÓN vs TIEMPO

Transcripción

1 ESTUDIO DE UN MODELO LINEAL ÁNGULO DE ROTACIÓN vs TIEMPO M. en C. Abraham Vilchis Uribe. OBJETIVOS Encontrar la relación matemática que existe entre el ángulo de rotación, A, y el tiempo, t, de una partícula que experimenta un Movimiento Circular Uniforme (MCU), escribiendo su ecuación experimental explícita. Identificar el significado físico de la pendiente, m, y de la ordenada al origen, b, en la relación que existe entre el ángulo de rotación, A, y el tiempo, t, de una partícula que experimenta un Movimiento Circular Uniforme (MCU), escribiendo sus valores experimentales explícitos. Estimar la velocidad angular, w, de una partícula que experimenta un Movimiento Circular Uniforme (MCU), escribiendo su valor experimental explícito. Describir las principales características del Movimiento Circular Uniforme (MCU) en base a las observaciones y análisis realizados durante el experimento. Habilidades a desarrollar. Al finalizar esta práctica, el alumno será capaz de: i) Distinguir entre variable dependiente, variable independiente y parámetros, en un modelo lineal. ii) Analizar datos experimentales utilizando el método de los mínimos cuadrados. iii) Determinar, en base al análisis efectuado, si el modelo matemático que relaciona a las variables es lineal o no. iv) Tomar datos experimentales atendiendo a criterios científicos. PREGUNTAS PRELABORATORIO 1. Cuáles son las condiciones físicas para que un objeto experimente un movimiento con velocidad angular constante? 2. Cita un ejemplo de un movimiento con velocidad angular constante que observes cotidianamente. 3. Es posible tener un movimiento circular uniforme (MCU)? 4. Cita un ejemplo de aplicación para un movimiento circular uniforme. 1

2 INTRODUCCIÓN Considere una partícula moviéndose en sentido antihorario, la cual experimenta un movimiento circular uniforme alrededor de un círculo de radio r, como se ve en el esquema. Este movimiento implica velocidad angular constante, y quedaría descrito mediante la ecuación: A = wt + A0; donde A es el ángulo de rotación, w es la velocidad angular, t es el tiempo y A0 es el ángulo inicial. La magnitud de la velocidad del móvil estará dada por v = wr, y cambiará de dirección constantemente. IMPORTANTE: los ángulos se miden en radianes y el tiempo en segundos. Material: Para llevar a cabo la observación del movimiento se necesitará: 1.- Máquina de movimiento circular. 2.- WebCam (se puede utilizar la cámara del celular a condición de poder bajar el video a la computadora del Laboratorio, el video debe tener extensión.mov o.avi para que lo pueda leer LoggerPro. 3.- Metro de madera. 4.- Opcional: Tripié o soporte con pinzas Fisher. 2

3 Actividad I: A fin observar el movimiento y adquirir los datos para estimar la función A(t). I.1. Predicción. Realiza un esbozo de cómo podría ser la gráfica del ángulo de rotación, A, en función del tiempo, t. Dibújala en tu bitácora. (Pista: NO es un círculo) A I.2. Observando el comportamiento experimental. t I.2.1 Arma un arreglo como lo muestra la imagen. La cámara debe estar perpendicular a la máquina de movimiento circular (más o menos a la altura del centro de giro). La toma completa debe hacer un close up del movimiento de la partícula donde se aprecie también el metro de madera sin dificultades. I.2.2 Para adquirir el video, observar el movimiento circular uniforme y tomar los datos necesarios, consulta el Apéndice I al final de este documento. Una vez que adquiriste los ángulos y sus tiempos correspondientes, realiza en tu Bitácora una tabla estándar con, al menos, once puntos diferentes. Discute en extenso con tus compañer@s de equipo y con tu profesor(a) cuáles de estos puntos se están seleccionando y por qué; por qué no otros? qué incertidumbre les corresponde? Por qué? Etcétera. #/cant t, ±?, s A, ±?, rad 1 t 1 A 1 2 t 2 A

4 I.3. Analizando los datos. I.3.1. A partir de la Tabla A vs t, encuentra la ecuación experimental del ángulo en función el tiempo, A(t). [De ser posible, deja un dato sin utilizar en el ajuste para probar la ecuación (ver I.4.)]. Describe en extenso en tu bitácora el proceso que utilizaste para encontrar la ecuación y, entonces, escríbela en su formato estándar. Tal vez te sea útil consultar el Apéndice II al final de este documento. Podrías utilizar también Excel o un programa similar. I.3.2. Identificando el Significado físico. De acuerdo con la información anterior (actividad I.3.1.) Cuál es el significado físico de la pendiente y de la ordenada al origen? Escribe las respuestas en tu bitácora recordando que debe tener el siguiente formato: Pendiente: m = Ordenada al origen: b = m S m unidades? b S b unidades? Significado físico: Significado físico: I.3.3. A partir de la ecuación generada en el inciso anterior, I.3.1, cómo se podría estimar el valor experimental de la velocidad angular, w, de la partícula? Realiza en tu bitácora los cálculos necesarios si es el caso- y escribe el valor experimental en el formato estándar. I.3.4. Analiza detenidamente las respuestas de los incisos I.3.1 a I.3.3, las respuestas son coherentes, son lógicas, concuerdan con lo esperado? De no ser así, revisa y corrige hasta obtener respuestas coherentes justificadas con el experimento; o bien, explica en extenso cómo se justifican las discrepancias, siempre apoyado con los resultados experimentales. I.4. Probando la ecuación. Realiza una comprobación de la ecuación hallada en I.3. Para hacer esto, toma uno de los valores medidos del tiempo (por ejemplo, el onceavo valor) y sustitúyelo en la ecuación. Escribe el valor del ángulo calculado, y compáralo con el valor medido. Son iguales o diferentes? Explica en extenso en tu Bitácora. 4

5 I.5. Obteniendo la magnitud de la velocidad. De acuerdo con las actividades anteriores, es posible estimar la magnitud de la velocidad, v, de la partícula en metros por segundo? En caso afirmativo, encuentra el valor correspondiente y escríbelo en el formato estándar. En caso negativo, explica en extenso por qué no se puede. Actividad de Reforzamiento observacional: En la Actividad I mediste ángulos de rotación de una partícula en función del tiempo. El reto en esta parte es que encuentres una forma para medir la velocidad de rotación de la Tierra. Por supuesto, también se debe obtener la ecuación del ángulo de rotación como función del tiempo, AT(t), y la velocidad angular de la tierra, wt. A continuación te damos algunas pistas por si te son de utilidad, sin embargo, siéntete libre de proponer tu propio experimento, los materiales necesarios, y el análisis correspondiente. Pista uno. Reflexiona detenidamente, junto con los miembros de tu equipo, sobre la manera en cómo se llevó a cabo la Actividad uno, asegúrate de entender a cabalidad cómo es que se desarrolló, desde la toma de ángulos y tiempos, hasta obtener la ecuación del ángulo en función del tiempo, A(t), y la velocidad angular, w. Pista dos. Haz una investigación cuidadosa, y explica cómo funciona un reloj de sol. Te sería útil para llevar a cabo las mediciones en tu nuevo experimento? Explica. Pista tres. Una vez que encontraste la nueva ecuación para, AT(t), y el valor para wt, compáralos con los valores ya conocidos y discute qué tan parecidos son, explicando las discrepancias si las hubiera, todo, en base al experimento, estableciendo los criterios de validez tanto experimentales como matemáticos, que apoyen tu discusión. Qué monto tendría la magnitud de la velocidad de rotación de la Tierra, vt, en un punto situado a nivel del mar? 5

6 PREGUNTAS POST-LABORATORIO: contéstalas en tu bitácora explicando ampliamente en base a los resultados experimentales y el análisis de los mismos. 1.- De acuerdo con los resultados del experimento y los diferentes análisis de los mismos: qué tipo de relación existe entre el ángulo de rotación en función del tiempo? Explica ampliamente en tu bitácora: a) Senoidal del tipo: y = Aseno(mx +) b) Exponencial del tipo: y = y0e mx c) De potencia del tipo: y = y0x m d) Lineal del tipo: y = mx + b 2.- De acuerdo con los resultados de este experimento y del análisis de los mismos: cuál es el significado físico de la pendiente y de la ordenada al origen? Cuáles son sus unidades? Explica en extenso. 3.- De acuerdo con los resultados de este experimento y del análisis de los mismos: son lógicos los valores encontrados para la pendiente y para la ordenada al origen? Cuáles son sus unidades? Explica en extenso. 4. De acuerdo con el análisis de este experimento: cuál es el valor para la velocidad de rotación? Es lógico este valor? Cuáles son sus unidades? Explica en extenso. 5.- Es lógico el valor encontrado para el ángulo en la actividad I.4? Cuáles son sus unidades? Explica en extenso. 6.- De acuerdo con el análisis experimental: cuál es el valor para la velocidad de rotación de la Tierra? Es lógico este valor? Cuáles son sus unidades? Explica en extenso. BIBLIOGRAFÍA 1. Baird, D. C. Experimentation. New Jersey. Prentice-Hall Taylor, J. R. (1997). An introduction to error análisis. Sausalito, Ca: University Science Books. 3. Holman, Jack P. Métodos experimentales para ingenieros. México. McGraw-Hill Young, H. D. et al. Física Universitaria volumen 1. Decimosegunda edición. Pearson Educación. México, Tal vez te sea útil la siguiente dirección: 6

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8 Apéndice I: Adquisición del video y de los datos experimentales 1. Conecta la WebCam al puerto USB, la computadora la identificará sin problema. 2. Abre el programa LoggerPro3 siguiendo la ruta habitual: Inicio Programas Vernier Sofware Logger Pro 3 y va a aparecer la pantalla: 3. Toma video del movimiento (MCU). Para hacer esto: Activa la Webcam siguiendo la ruta: 3.1) Insert Video Capture, aparece un recuadro, selecciona USB Video Device OK. Aparecerá la imagen observada por la WebCam, recuerda: es una close up al movimiento de la partícula. 3.2) Enciende la máquina de movimiento circular; mueve el dial para que adquiera velocidad constante. 3.3) Inicia la captura de video dando clic en Start Video Capture. Basta con que filmes de dos a tres segundos (aprox. 1 ½ vueltas de la partícula). 3.4) Detén la captura haciendo clic en Stop; de inmediato aparecerá el video del movimiento. Cierra Video Capture. 4. A d 8

9 quiere los puntos. Para hacer esto: a. Habilita el menú de Análisis de Video haciendo clic en el icono (ver foto). b. Ordena las ventanas para que el trabajo sea más claro. En el menú Page selecciona Autoarrange. c. c1) Declara la escala haciendo clic en el icono de la regla horizontal, c2) coloca el cursor sobre la película, ahí donde colocaste el metro de madera, y arrástralo hasta completar, por ejemplo, 0.40 m. c3) Se abrirá una ventana donde te pedirá el monto en metros, escríbelo 0.40 m OK. d. Traslada el eje de coordenadas al centro de giro. Para hacer esto, selecciona el icono de los ejes, coloca el cursor en el centro de giro sobre el video y haz clic. e. Captura los puntos. e1) Haz clic en el icono del punto; e2) luego, lleva el cursor al video y haz clic sobre la partícula. Automáticamente anota el punto y avanza un cuadro. Repite este paso hasta agotar la película (siempre en el mismo punto elegido la primera vez). e3) Nota que van apareciendo en la gráfica los puntos y, en la tabla, los valores correspondientes (Por lo general son de 40 a 50 puntos). 9

10 f. Calcula el ángulo de giro. Para hacer esto: f1) Copia los valores del tiempo (Time), de X y de Y, y pégalos en una hoja de Excel o similar. f2) La sintaxis de la operación para obtener el ángulo en Excel es la siguiente: =atan(c2/b2) Enter, aparece el valor del ángulo en radianes. f3) Copia la fórmula para todos tus datos arrastrando el cursor. 5. Una vez que tienes tus datos de tiempo y ángulo, continúa con las actividades de la guía. NO olvides discutir con tus compañer@s y con tu profesor(a) el monto de la incertidumbre asociado a cada variable. 6. Adquirir video utilizando un celular. Para hacer esto, basta que enciendas la máquina y grabes el video del movimiento con el teléfono de forma similar a como se toma con la WebCam. 10

11 a. Una vez que tienes el video capturado en tu celular, bájalo a la computadora del laboratorio asegurándote de que tenga extensión.mov o.avi, de otro modo, LoggerPro no lo leerá. b. Desde LoggerPro adquiere el video siguiendo la ruta: Insert Movie, y aparece un recuadro donde te pide la dirección para seleccionar la película a insertar. Elígela y haz clic en Open. Se visualiza entonces como en el paso 3. c. Sigue los pasos 4. hasta adquirir los datos de ángulo y de tiempo. 11

12 APÉNDICE II: El método de los mínimos cuadrados. El método de los mínimos cuadrados ajusta la mejor recta de manera tal que ésta pasa a una distancia mínima de cualquiera de los puntos experimentales. A partir de este criterio, y en base a los datos experimentales, se obtienen los parámetros de la recta, de la siguiente manera: m n x i y i x i n x 2 i x i 2 y i S m S y n 2 n x i 2 x i b x i 2 y i x i n x i 2 x i 2 x i y i S b S y x i 2 2 n x i 2 x i Donde: S y y i m x i b 2 n - 2 Estas ecuaciones nos proporcionan la pendiente promedio, m ; su desviación estándar, Sm. La ordenada al origen promedio, b ; y su desviación estándar, Sb, con una confianza del 68 %. Para Obtener estos números, se utilizan los valores experimentales de la variable dependiente, yi, y los valores experimentales de la variable independiente, xi; así como el número de datos, n. (Si n es muy pequeño, una mejor descripción estará dada por la distribución t). Una vez que tenemos los parámetros del modelo, escribimos la ecuación explícita con su formato estándar, con un 68 % de probabilidad: VD = (pendiente) VI + ordenada al origen y = ( m ± Sm) x + ( b ± Sb); Donde y está medida en las unidades u, y x está medida en las unidades u. Por ejemplo, para una caída libre: v = (9.79 ± 0.02) t + (0.011 ± 0.005); donde v(m/s), y t(s). 12