Cuadrados Mínimos. Diego Luna. May 8, Laboratorio 1 Cuadrados Mínimos May 8, / 22

Transcripción

1 Cuadrados Mínimos Diego Luna May 8, 2017 Laboratorio 1 Cuadrados Mínimos May 8, / 22

2 Motivación Dado un número de observaciones, puede requerirse el ajuste a un modelo Ejemplo 1 : Parámetros: y 0, w, x C, A Curva roja: modelo Puntos azules: mediciones 1 Laboratorio 1 Cuadrados Mínimos May 8, / 22

3 Motivación Ejemplo: Caida libre Laboratorio 1 Cuadrados Mínimos May 8, / 22

4 Motivación Ejemplo: Bosón de Higgs Curva roja: modelo Puntos negros: mediciones e incertidumbres Laboratorio 1 Cuadrados Mínimos May 8, / 22

5 Usos Se busca la función que mejor ajuste a los valores Un buen proceso de ajuste debe incluir: 1 Parámetros de ajuste 2 Incertidumbres en los parámetros 3 Medida estadística de la bondad del ajuste Laboratorio 1 Cuadrados Mínimos May 8, / 22

6 Cuadrados mínimos Ejemplo: Tengo x i, y i, σ i mediciones y un modelo y(x, a 1, a 2,..., a M ) x i, y i : Mediciones σ i : Incertidumbres de las mediciones y i y(x, a 1, a 2,..., a M ) : Modelo físico que quiero verificar a 1, a 2,..., a M : Parámetros que quiero determinar D i : Distancia de la medición a la curva Laboratorio 1 Cuadrados Mínimos May 8, / 22

7 Cuadrados mínimos La idea central en la técnica de cuadrados mínimos es minimizar la suma del cuadrado de las distancias a la curva. Pero ponderando según la incertidumbre de medición que tenga cada punto Vamos a estudiar el caso en que las incertidumbres en x son despreciables frente a las de y. Ejemplo: Tengo x i, y i, σ i mediciones y un modelo y(x, a 1, a 2,..., a M ) La mejor aproximación se obtiene de minimizar: χ 2 = N ( Di σ i=1 i ) 2 = N ( ) yi y(x i, a 1, a 2,..., a M ) 2 (1) σ i=1 i Laboratorio 1 Cuadrados Mínimos May 8, / 22

8 Cuadrados mínimos: regresión lineal Tengo N mediciones x i, y i, σ i y un modelo y = a + bx La mejor aproximación se obtiene de minimizar: χ 2 (a, b) = N ( ) yi a bx 2 i (2) σ i=1 i 200 Height (cm) Weight (kg) Laboratorio 1 Cuadrados Mínimos May 8, / 22

9 Cuadrados mínimos: regresión lineal Condición para minimización: χ 2 (a, b) = 0 a Definiciones: S 1 σ 2 i S x x i σ 2 i S y y i σ 2 i χ 2 (a, b) b = 0 S xx x 2 i σ 2 i S xy x i y i σ 2 i SS xx S 2 x Pendiente y ordenada a = S xxs y S x S xy b = S xys S x S y (3) (4) Laboratorio 1 Cuadrados Mínimos May 8, / 22

10 Cuadrados mínimos: regresión lineal Incertidumbres en los parámetros σ 2 a = S xx σ 2 b = S (5) (6) Laboratorio 1 Cuadrados Mínimos May 8, / 22

11 Mediciones de la clase anterior ,2 1,2 1 1 Posición (m) 0,8 0,6 0,4 0,8 0,6 0,4 0,2 0, Tiempo (s) 0 Tengo estas mediciones. A priori, puedo no conocer la dependencia: Modelo 1: y(t) = Ae αt (exponencial) Modelo 2: y(t) = At α (ley de potencia) Laboratorio 1 Cuadrados Mínimos May 8, / 22

12 Mediciones de la clase anterior Vamos a analizar el Modelo 2. Tareas: 1 Desplazar las mediciones para que partan del origen: y 0 = 0 y x 0 = 0 2 Linealizar los datos: y = αt β ln(y) = ln(α) + βln(t) ln(y) = ln(α) + βln(t) ln(t) = 1 β ln(y) 1 β ln(α) 3 Decidir qué valores van al eje vertical y cuáles al horizontal 4 Propagar incertidumbres. De y a (ln(y)) ó de t a (ln(t)) 5 Calcular pendiente y ordenada al origen con sus incertidumbres: Está dentro del valor esperado? 6 Agregar recta de ajuste en el gráfico Laboratorio 1 Cuadrados Mínimos May 8, / 22

13 Cuadrados mínimos: regresión lineal A calcular! Laboratorio 1 Cuadrados Mínimos May 8, / 22

14 Cuadrados mínimos: regresión lineal Coeficiente de correlación r σ xy σ x σ y Características del estimador r: 1 < r < 1 Suele usarse r 2 (xi x)(y i y) (xi x) 2 (yi y) 2 Cuánto mas cerca de 1 esté r 2, mejor (entre comillas) Laboratorio 1 Cuadrados Mínimos May 8, / 22

15 Cuadrados mínimos: regresión lineal Ojo con el r 2! Anscombe s quartet: Mismos valor medio y varianza de x. Casi mismos valores medios y varianzas de y. En los cuatro casos, r = Qué está fallando? Laboratorio 1 Cuadrados Mínimos May 8, / 22

16 Cuadrados mínimos: regresión lineal La distribución alrededor de la recta no es normal. Laboratorio 1 Cuadrados Mínimos May 8, / 22

17 Cuadrados mínimos: regresión lineal La distribución alrededor de la recta no es normal. Recordar: Siempre hay que graficar (y mirar) los valores CORRELACIÓN NO IMPLICA CAUSALIDAD: Laboratorio 1 Cuadrados Mínimos May 8, / 22

18 Cuadrados mínimos: regresión lineal Laboratorio 1 Cuadrados Mínimos May 8, / 22

19 Cuadrados mínimos: chi-test La expresión de χ 2 puede escribirse como: χ 2 = N (O i E k ) 2 i=1 (σ i ) 2 (7) O i el valor observado (medición) E i el valor esperado. Depende del modelo de medición que se tenga. Si es una recta, E i = a + bx i σ i la incertidumbre en cada medición Si uno hizo las cosas bien (O i E i ) 2 (σ i ) 2 1 Para un ajuste a una recta, χ 2 N 2 por los grados de libertad. Laboratorio 1 Cuadrados Mínimos May 8, / 22

20 Cuadrados mínimos: chi-test Tres casos para ajuste lineal: χ 2 N 2: El modelo es presumiblemente compatible con el experimento. χ 2 N 2: El modelo presumiblemente también es compatible con el experimento, pero las incertidumbres podrían estar sobreestimadas χ 2 N 2: Probablemente, el modelo no ajuste a las mediciones Laboratorio 1 Cuadrados Mínimos May 8, / 22

21 Cuadrados mínimos: chi-test 2 2 Fornasini: The Uncertainty in Physical Measurements Laboratorio 1 Cuadrados Mínimos May 8, / 22

22 Cuadrados 8.5: Laboratorio 1 Cuadrados Mínimos May 8, / 22

23 Cuadrados 8.5: Laboratorio 1 Cuadrados Mínimos May 8, / 22

24 Cuadrados 8.5: Laboratorio 1 Cuadrados Mínimos May 8, / 22

25 Referencias Baird, D. C. (1962). Experimentation: an introduction to measurement theory and experiment design. Prentice Hall. Fornasini, P. (2008). The uncertainty in physical measurements: an introduction to data analysis in the physics laboratory. Springer Science and Business Media. Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T., & Flannery, B. P. (1982). Numerical recipes in C (Vol. 2). Cambridge: Cambridge university press. Laboratorio 1 Cuadrados Mínimos May 8, / 22