PROGRAMA DE CURSO. Métodos Matemáticos de la Física. Horas de Cátedra. Competencias a las que tributa el curso

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1 PROGRAMA DE CURSO Código Nombre FI3002 Métodos Matemáticos de la Física Nombre en Inglés Mathematical Methods of Physics SCT Unidades Docentes Horas de Cátedra Horas Docencia Auxiliar Horas de Trabajo Personal ,5 5,5 Requisitos Cursos: Cálculo avanzado y aplicaciones MA2002 Elecromagnetismo FI2002 Carácter del Curso Obligatorio. Competencias a las que tributa el curso CE2: Formular y resolver ecuaciones que permiten describir y predecir el comportamiento de sistemas físicos, utilizando herramientas matemáticas y/o numéricas. Propósito del curso La física usa el leguaje de las matemáticas y en este curso se introducen los conceptos avanzados que permiten al estudiante formular y resolver problemas, utilizando distintas herramientas matemáticas específicas para la física, que permiten enfrentar problemas de mayor complejidad. Asimismo, da las bases matemáticas para los cursos que siguen en la licenciatura. Las herramientas entregadas en el curso Métodos Matemáticos permitirán al estudiante posteriormente desarrollarse en la física teórica como experimental, usando técnicas analíticas y fundamentos para el modelamiento y análisis de datos. La metodología del curso es activo participativa; se basa en el trabajo personal de resolución de problemas, el que desarrolla de manera rigurosa, para cada uno de los métodos vistos en el curso, siendo el docente un mediador que favorece el trabajo del estudiante revisando, corrigiendo y resolviendo dudas de los estudiantes. Resultados de Aprendizaje 1

2 Al término del curso demuestra que: 1. Resuelve ecuaciones diferenciales de la física matemática (como las ecuaciones de calor, ondas, Poisson, entre otras) a fin de comprender diferentes comportamientos de los fenómenos físicos. 2. Aplica los métodos de variable compleja (formula integral de Cauchy, cálculo de residuos y desarrollos en el plano complejo) a los problemas de la física matemática a fin de calcular integrales de líneas o obtener desarrollos asintóticos. 3. Aplica las transformadas integrales (transformadas de Fourier, Laplace, ), métodos empleados sobre todo en la análisis de señales, en problemas de condiciones iniciales o ecuaciones a derivadas parciales lineales, a fin analizar y obtener la solución de ecuaciones diferenciales. 4. Reconoce las funciones especiales (Bessel, ) y conoce sus propiedades para entender el comportamiento de las soluciones de ecuaciones diferenciales. 5. Reconoce las propiedades básicas del análisis tensorial (campos vectoriales y tensoriales) al fin de reconocer y emplear las generalizaciones de las estructuras algebraicas lineales y el uso de las simetrías espaciales. Metodología Docente La metodología será activa- participativa en donde se desarrollarán: Clase expositiva, con estructura de INICIO DESARROLLO CIERRE con apoyo de material audiovisual. Resolución por parte de los alumnos de ejercicios simples, guiados por el Profesor. Evaluación General La evaluación de proceso tendrá las siguientes instancias a desarrollar por el estudiante: Controles escritos (2 o 3). Examen escrito final. Controles extra, o tareas o Ejercicios, según modalidad de evaluación elegida por el Profesor. 2

3 Unidades Temáticas 1 Funciones Analíticas e Integración 1,5 semanas 1.1 Funciones analíticas. 1.2 Funciones multivaluadas. 1.3 Integración compleja. 1.4 Teorema de Cauchy. 1. Reconoce funciones analíticas y sus dominios de analiticidad. 2. Identifica propiedades principales de funciones complejas. [1]: 1 y 3 [3]: 1 y 3 [4]: 1 y 3 2 Series y Singularidades de Funciones Complejas 1.5 semanas 2.1 Series de Taylor. 2.2 Series de Laurent. 2.3 Singularidades de funciones complejas. 1. Reconoce singularidades de funciones complejas. 2. Aplica representaciones de funciones complejas. [1]: 1 y 3 [3]: 1 y 3 [4]: 1 y 3 3

4 3 Integrales, Distribuciones y Transformadas 1.5 semanas 3.1 Teorema del residuo de Cauchy 3.2 Integrales: Valores principales, Puntos rama, 3.3 Distribuciones, delta de Dirac 3.4 Transformadas de Fourier y Laplace. 3.5 Otras transformadas 1. Aplica técnicas integración en el plano complejo. 2. Utiliza transformadas integrales. 1]: 1 y 3 [3]: 1 [4]: 1 y 2 [5] 1 y 2 4 Aplicaciones de Funciones Complejas 2 semanas 4.1Transformaciones Conformes 4.2 Evaluación asintótica de integrales, métodos de fase estacionaria, punto silla. 1. Resuelve la ecuación de Laplace en 2D y geometrías relativamente complicadas. 1]: 1, 2 y Analiza el comportamiento asintótico de integrales. 4

5 5 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) 2 semanas 5.1 EDO s lineales de segundo orden en el plano complejo, propiedades generales. 5.2 Soluciones en serie, análisis de puntos singulares. 1. Reconoce propiedades de soluciones de una EDO lineal. 2. Analiza tipos de soluciones posibles a una EDO, y obtiene soluciones en serie. 1]: 2 y 3. [2]: 2 y 3 3. Reconoce formas estándar de EDO s. 6 Funciones Especiales 1.5 semanas 6.1 Funciones especiales y EDO s 6.2 Funciones hipergeométricas, de Gegenbauer, de Legendre, de Bessel, de Mathieu, Elípticas, 1. Comprende la clasificación de funciones especiales en relación a los tipos de EDO s. 1]: 2 y 3. [2]: 2 y 3 2. Aplica funciones especiales de ocurrencia frecuente en Física. 5

6 7 Vectores, Tensores, Diádicas 1 semana 7.1 Campos vectoriales 7.2 Coordenadas curvilíneas 7.3 Diádicas y tensores El estudiante demuestra que 1. Comprende campos vectoriales y tensoriales en el espacio físico. [1]: 2 [2]: 2 8 Ecuaciones a Derivada Parciales (EDP) 2 semanas 8.1 Resolución de EDP s por separación de variables 8.2 Esféricos armónicos 8.3 Resolución de EDP s usando transformadas integrales. 1. Resuelve EDP s mediante métodos prácticos. [1]: 2 y 3 [2]: 2 [3]: 2 y 3 9 Condiciones de Borde, Funciones Propias y de Green 2 semanas 9.1Tipos de ecuaciones y condiciones de borde. 9.2 Funciones propias y su uso 9.3 Teoría de Sturm- Liouville 9.4 Funciones de Green 1. Resuelve problemas de contorno simples (BVP) utilizando funciones propias o de Green. [1]: 2 y 3 [2]: 2 y 3 [3]: 2 y 3 [4]: 2 y 3 6

7 General [1] Complex variables, introduction and applications, M.J. Ablowitz, A.S. Fokas (2006). [2] Methods of theoretical physics, P. Morse, H. Feshbach (1953). [3] Mathematical methods of physics, J. Mathews, L.R. Walker (1970). Vigencia desde: Otoño 2016 Elaborado por: Rodrigo Arias Validado por: Revisado por: Área de Gestión Curricular, SGD 7