I Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y sistemas de EDO 1. 2 EDO de primer orden 5

Transcripción

1 Resumen Índice general iii v I Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y sistemas de EDO 1 1 Introducción 3 2 EDO de primer orden EDO de primer orden resueltas respecto a la derivada EDO con variables separadas EDO que se reducen a ecuaciones con variables separadas Las EDO homogéneas EDO lineales 11 Ecuación de Bernoulli 15 5 Ecuaciones exactas La función potencial El factor integrante v

2 6 EDO de orden mayor que uno Reducción del orden EDO lineales de n-ésimo orden EDO lineales homogéneas con coeficientes constantes y ecuaciones de Euler EDO lineales homogéneas con coeficientes constantes Ecuaciones de Euler EDO lineales no homogéneas EDO lineales no homogéneas con coeficientes constantes y las ecuaciones de Euler EDO lineales no homogéneas con coeficientes constantes Las ecuaciones no homogéneas de Euler Anexos. Problemas propuestos EDO de variables separadas EDO que se reducen a las ecuaciones de variables separadas EDO homogéneas EDO lineales EDO de Bernoulli EDO exactas EDO sin clasificar EDO con coeficientes constantes Resolver las ecuaciones siguientes: Resolver los problemas de valor inicial: Utilizando el método de variación de parámetros hallar la solución de las ecuaciones siguientes Resolver las siguientes ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes: Sistemas de EDO: generalidades 59 vi 8.1 Integración de un SED por reducción a una ecuación de mayor orden Las formas integrables de un SED Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales SDL con coeficientes constantes Anexo. Álgebra Lineal 1: Matrices y sistemas Definiciones

3 8.5.2 Operaciones con matrices Proceso de escalonamiento de una matriz Sistemas de ecuaciones lineales algebráicas La regla de Cramer II Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales 91 9 Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales: generalidades Problemas simples que se reducen a ecuaciones del tipo parabólico Problema lineal de la propagación de calor La barra homogénea La ley de Newton Ecuación de difusión Propagación del calor o difusión en el espacio Problemas simples que se reducen a ecuaciones del tipo hiperbólico La ecuación de la cuerda vibrante Vibraciones longitudinales de las vigas La propagación de ondas en dos y tres dimensiones Planteamiento de los problemas de contorno Problemas de contorno del tipo parabólico Condición de Dirichlet Condición de Neumann Condición mixta Problemas de contorno Problemas de contorno degenerados La existencia y la unicidad de las soluciones Problemas de contorno del tipo hiperbólico vii

4 13 El método de Fourier El método de separación de las variables Justificación matemática Operadores en espacios euclídeos El contenido del método de Fourier La clase A de funciones y las series de Fourier La solución del problema de Cauchy (13.70, 13.71, 13.72) mediante el método de Fourier Propiedades básicas de las funciones propias y de los autovalores La ecuación no homogénea Solución de los problemas no homogéneos por el método de Fourier Las condiciones de contorno no homogéneas El método de las funciones de Green para las ecuaciones parabólicas Generalidades La función de Green La ecuación no homogénea El problema completo no homogéneo La función de Green por el método de separación de variables La función de Green de la ecuación de calor en el eje La transmisión de calor en el eje y en el semieje La ecuación homogénea Los problemas de Cauchy en el semieje Unos ejemplos importantes La ecuación de calor en el eje no homogénea Transmisión de calor en el espacio de dos y tres dimensiones El método de las funciones de Green para las ecuaciones hiperbólicas no homogéneas Solución general: el método de Fourier Función de Green: definición viii

5 17.3 Función de Green de frecuencias Construcción de la FGF Recomendaciones Problemas hiperbólicos especiales: Vibraciones de cuerdas, barras y vigas Problemas a resolver Problemas parabólicos unidimensionales Problemas hiperbólicos unidimensionales Problemas multidimensionales Tres problemas fundamentales de Mecánica Cuántica Anexos Álgebra Lineal 2. Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales Dependencia e independencia lineal. Bases Aplicaciones lineales Espacios euclídeos Funciones generalizadas Sucesiones fundamentales Sucesiones equivalentes y funciones generalizadas Sucesiones delta Propiedades de la función delta de Dirac Ejercicios La forma alternativa de hallar la función de Green de la ecuación parabólica sobre el eje ix

6 III Elementos de la teoría de funciones de variable compleja, las transformadas integrales de Fourier y de Laplace y su aplicación Funciones de variable compleja Límite. Continuidad Los ceros Analiticidad Series de potencias Integrales en el plano complejo. Teoremas de Cauchy Series de Laurent, singularidades, residuos Aplicaciones de la teoría de los residuos Principio del argumento. Teorema de Rouché Transformadas de Fourier y de Laplace Transformada integral de Fourier Transformada integral de Laplace Aplicación de la transformada de Laplace a las ecuaciones diferenciales Las EDO Un ejemplo sobre la propagación de calor en el semieje Los SDL con coeficientes constantes Bibliografía 321 x

7 Índice de figuras 3.1. La gráfica de la función 1 exp ( 2t) La función logcosh(t/t 0 ) Las tensiones en la cuerda flexible vibrante La forma inicial de la cuerda (13.3) La función x + tan x La función x + 0,01 tan x La función x tan x La forma inicial (18.13) y la primera armónica (la línea interrumpida) (18.17) La forma inicial de la viga empotrada-libre (18.19) La gráfica de la función cos ξ cosh ξ La forma inicial (18.19) y la primera armónica u 11 (x, 0) = λ 11 X 11 (x) La forma inicial (18.19) y la primera armónica u 12 (x, 0) = λ 12 X 12 (x) La función sin 5πx La función sin πx 5πy sin sin 7πy xi

8 Índice de figuras La función sin 7πx πy sin La gráfica de la función g 1 (x) La gráfica de la función f 1 (x) La gráfica de la función h 1 (x) La gráfica de las funciones (cos x) (cosh x) y (cos ix) (cosh ix), x R 269 xii