PAUTA C1. ] si z [x, , y] si z ( 2 )] si z [x, x ( x+y. 2 ] si z ( x ( x+y. )] si z [( ( y x+y

Transcripción

1 MA Optimización, Primavera 018 Profesores: J. Amaya, V. Acuña PAUTA C1 P1.a) Sea C un subconjunto de IR n. Se dice que es un convexo de punto medio si para cada par x, y C se tiene que 1 x + 1 y C. Demostrar que si C es convexo de punto medio y cerrado, entonces es convexo. HINT: Tome dos puntos x, y en C y λ [0, 1]. Divida el intervalo [x, y] en dos mitades iguales y vea dónde cae z = λx + (1 λ)y. Dependiendo de eso genere otro intervalo, más pequeño, que contiene a z y así sucesivamente. Solución P1.a) Supongamos que C IR n es un conjunto convexo de punto medio y cerrado. Sean x, y C y λ [0, 1] arbitrarios. El objetivo es probar que z = λx + (1 λ)y C. Usando la indicación construiremos una sucesión de conjuntos anidados (X n ) n IN que siempre contengan a z: Si X 1 = [x, ], entonces X = X 0 = [x, y] = {tx + (1 t)y : t [0, 1]} [x, ] si z [x, ] X 1 = (, y] si z (, y] [x, x + 1 ( )] si z [x, x + 1 ( )] ( x + 1 ( ), ] si z ( x + 1 ( ), ] Análogo, si X 1 = (, y], entonces X = (, ( y )] si z [( ), x + 1 y ] ( 1 ( ) + 1 ( y ), y] si z ( 1 ( ) + 1 ( y ), y] Así, siguiendo con la iteración dividiendo cada intervalo anterior y viendo donde está z, obtenemos una sucesión (X n ) n IN. Notamos que n IN z X n y el diámetro de X n tiende a cero, por lo que converge a {z}. Además cada extremo de X n pertenece a C dado que por construcción estos son el punto medio de dos elementos en C. En particular, el extremo derecho de cada X n es punto medio, y además este pertenece a X n (no necesariamente así el extremo izquierdo). Luego definiendo z n punto extremo derecho del intervalo X n, se tiene que (z n ) n IN C y z n z. Como C es cerrado, se concluye que z C. Por lo tanto, C es convexo. por encontrar z_n por usar cerradura y concluir

2 P1. b) Sean P y Q convexos en IR n. Entonces el conjunto P + Q = {x + y x P, y Q} también es un convexo. i) Demuestre que si z es punto extremo de P + Q entonces z es la suma de un punto extremo de P más un punto extremo de Q. HINT: Use contrarecíproca. ii) Muestre con un contraejemplo que la recíproca no es cierta. Es decir, que no podemos asegurar en general que si x es un punto extremo de P e y es un punto extremo de Q entonces x + y sea un punto extremo de P + Q. Solución P1. b) i) Por contrarecíproca, sea un punto z en P + Q que no es la suma de dos puntos extremos, uno de P y uno de Q. Es decir, z = x + y con x P e y Q y tal que al menos uno de los dos, x o y no es punto extremo de P y Q respectivamente. Sin pérdida de generalidad, supongamos que x no es punto extremo de P. Por lo tanto existen puntos x 1 y x en P y λ ]0, 1[ tales que Así, podemos escribir z como x = λx 1 + (1 λ)x z = λx 1 + (1 λ)x + y = λx 1 + (1 λ)x + λy + (1 λ)y = λ(x 1 + y) + (1 λ)(x + y) Como x 1 + y P + Q y x + y P + Q se concluye que z no es punto extremo de P + Q. Nota: la demostración por contradicción es bastante similar. ii) Hay muchos contraejemplos. Por ejemplo, si P = Q = B(0, 1) (es decir, si P y Q son la bola cerrada de radio 1) entonces P + Q = B(0, ). Claramente en P cualquier punto x de norma 1 es punto extremo. Si en Q se toma y = x, que es punto extremo de Q, entonces x + y = 0, que no es punto extremo de P + Q. Otro contraejemplo puede ser tomar en IR el poliedro cuadrado con (0, 0), (0, 1), (1, 0) y (1, 1) son puntos extremos. Si P y Q son este poliedro, entonces P + Q es el cuadrado de puntos extremos (0, 0), (0, ), (, 0) y (, ). Si tomamos la suma de (0, 0) P y (1, 1) Q obtenemos (1, 1) P + Q que no es un punto extremo de P + Q. Otro más: en IR la suma de dos intervalos cerrados [a, b] y [c, d] me da un intervalo cerrado con puntos extremos a + c y b + d. Los puntos a + d y b + c están en la suma pero no son puntos extremos. Notar que cualquier suma que convexos donde uno de ellos sea un sólo punto no resulta como contraejemplo. 1.5

3 P.a) a) Resuelva el siguiente problema Solución P.a) (P ) mín 9x +x 3 x 5 x 6 5x +50x 3 +x 4 +x 5 = 10 x 1 15x +x 3 = x +x 3 +x 5 +x 6 = 6 x i 0 i = 1,..., 6 Escojamos las variables x 4, x 1, x 6 para la base. Como B = I y B 1 b = (10,, 6) T 0 entonces tenemos una base factible. La matriz N corresponde a las columnas de las variables no-básicas x, x 3, x 5. Los costos reducidos no básicos son c T N = (9, 1, ) (0, 0, 1)B 1 N = (10,, 1). La función objetivo evaluada en este punto extremo es -6. El tableau inicial de SIMPLEX y una iteración: - por encontrar base y justificar que es factible. - por completar los valores del tableu Como no hay costos reducidos negativos, llegamos a una solución óptima en una iteración, para la base x 4, x 1, x 5. El óptimo se alcanza en el punto (, 0, 0, 4, 6, 0) y la función objetivo en ese punto vale -1. P.b) Escriba (P ) como problema de canónico de programación lineal y resuélvalo usando los criterios del algoritmo Simplex. (P ) mín f(x 1, x ) x 1 + x 1 x 1, x 0 donde f(x 1, x ) = máx{x 1, x }. HINT: Considere que si z = f(x 1, x ) entonces z x 1 y z x Solución P.b) Transformar la primera restricción en dos: x 1 + x 1 y x 1 x 1, agregar la variable z y las restricciones z x 1 y z x y la función objetivo mín z. Luego agregar variables de holgura y se obtiene un tableau SIMPLEX para las variables x 1, x, z, y 1, y, y 3, y 4 con variables básicas y 1, y, y 3, y 4 : por introducir z y las restricciones asociadas - por cambiar restricción con valor absoluto - por función objetivo - por construir el tableu y concluir Como todos los costos reducidos no negativos, no es necesario iterar y se obtiene directamente el óptimo: (0, 0, 0, 1, 1,, 0). Esta solución corresponde en el problema original al punto x 1 = 0 y x = 0.

4 P3. Escriba un modelo para el problema descrito a continuación. La International Free Transportation Agency (IFTA) tiene dos categorías de azafatas (titulares y aprendices) y debe decidir un programa de formación y contratación para los próximos seis meses. Las exigencias a respetar son expresadas en horas de vuelo de azafatas: Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Horas La formación de una nueva azafata (aprendiz) se hace en un mes calendario. Esta formación comprende 80 horas de vuelo en líneas de la compañía. Estas 80 horas se pueden deducir de exigencias que en general las azafatas deben cumplir, es decir, sirven para satisfacer las exigencias de horas de vuelo de la compañía. Cada azafata titular puede entregar hasta 140 horas de vuelo por mes. La compañía dispone de 60 azafatas titulares al 1 de enero. Cada azafata titular recibe un sueldo de US$00 por mes, independientemente del número de horas que preste servicio. Cada fin de mes, el 10 % de las azafatas titulares deja su trabajo por diversas razones. Al cabo de un mes de formación una azafata aprendiz se convierte en azafata titular para el mes entrante. El costo de formación de una azafata depende del mes, según la tabla: Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Costo (US$) Nota: 1) No existe posibilidad de contratar azafatas por fuera, es decir, la única manera de ingresar a la empresa es el mes de formación. )Una azafata aprendiz deviene automáticamente titular al inicio del mes siguiente a su formación. Solución P3. Sean las variables: x 1,..., x 6 : número de azafatas titulares en cada mes, y 1,..., y 6 : número de azafatas aprendices en cada mes. Función de costo: Minimizar x i + K i y i i=1 i=1 Sean H i las horas requeridas de vuelo por cada mes: (1000, 9000, 8000, 11000, 9000, 1000) Sean K i los costos de formación de azafatas en cada mes: (300, 350, 350, 500, 550, 400) Restricciones. x i+1 0, 9x i + y i, i = 1,..,5 140x i + 80y i H i, i = 1,..,6

5 x 1 = 60 x i, y i IN, i = 1,..,6 NOTA: la primera restricción debería ser una igualdad, pero se pone para evitar problemas de factibilidad, pues se está usando variables enteras. De todas maneras como se busca los x i más pequeños, eso se arregla bien así. Si un alumno pone la igualdad, no está totalmente malo, pero debería relajar la condición de integridad de las variables x i y al final redondear hacia arriba la solución. OJO: en general, no es obvio que ambas formulaciones sean equivalentes.