ASTURIAS JUNIO 2004 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

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1 ASTURIAS JUNIO 004 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá contestar a cuatro bloques elegidos entre los seis que siguen. La contestación deberá ser siempre razonada. Cada uno de los bloques de preguntas puntúa por igual (,5 puntos). 1.- Un individuo realiza fotografías con una cámara digital. Sabe que cada fotografía de calidad normal ocupa siempre 0,0 megabytes de memoria. Cada fotografía de calidad óptima ocupa siempre una cantidad A de megabytes, pero el individuo no la conoce. Esta semana ha llevado a revelar 4 fotografías que le han ocupado un total de 9, megabytes de memoria. ( Plantea un sistema de ecuaciones (en función de A) donde las incógnitas sean el número de fotos de cada clase que ha realizado. Estudia la compatibilidad del sistema. (b) Hay alguna cantidad de megabytes que es imposible que ocupe cada foto de calidad óptima? (c) La semana pasada también hizo 4 fotos y ocupó 9, megabytes de memoria en total. Es posible que el número de fotos de cada tipo fuera diferente al de esta semana? x = nº de fotos de calidad normal y = nº de fotos de calidad óptima x+ y = ª Fila 0.0 1ª Fila 0.0x+ Ay = A 9. 0 A * Si A = 0.0 RgA < RgA Sistema incompatible * Si A 0.0 RgA = RgA Sistema compatible det er min ado 0 A b) Es imposible que ocupe 0.0 megabytes. c) * Si A 0.0 RgA = RgA Sistema compatible det er min ado 0 A ( A 0.0) y = 4.4 y = A A A 9. x+ y = 4 x= 4 = = A 0.0 A 0.0 A 0.0 El sistema tiene solución única, así que el nº de fotos ha de ser elmismo.

2 .- El jefe de seguridad de un museo estudia de seguridad de un museo estudia combinar nuevos sistemas antirrobo: cámaras de vigilancia en las salas, y alarmas en puntos estratégicos del edificio. Se quiere utilizar un mínimo de 6 cámaras para cubrir con ellas las salas más importantes, y un máximo de 15 cámaras, con las que quedarían todas las salas cubiertas. Igualmente, se necesitan al menos 6 alarmas para cubrir las más importantes entradas y salidas del edificio. Finalmente, se tiene un presupuesto máximo de 6000 euros, y cada cámara cuesta 1000 euros mientras que cada alarma cuesta 500 euros. ( Qué combinaciones de unidades de cada sistema se pueden instalar cumpliendo los requerimientos anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. Podría instalar 7 cámaras y 59 alarmas? (b) Si el objetivo es colocar el mayor número de dispositivos entre cámaras y alarmas cuántos ha de colocar de cada modalidad? En ese caso cuál será el coste total? x= nº de cámaras y = nº de alarmas Re stricciones : 6 x 15 6 x 15 6 y 6 y 1000x 500y x+ y 7 Las soluciones son todos los puntos (x, y) enteros que se encuentran en la región sombreada. No se pueden instalar 7 cámaras y 59 alarmas pues el punto (7,59) no está dentro de la región sombreada: x+ y = 7>7

3 b) Tenemos hallar el máximo de la función f ( x, y) = x + y Calculamos los vértices y valoramos f ( x, y): A= (6,6) f( x, y) = = 1 B= (15,6) f( x, y) = = 1 x+ y = y = 7 y = 60 C = (6,60) f( x, y) = = 66 x = 6 x+ y = y = 7 y = 4 D= (15,4) f( x, y) = = 57 x = 15 La solución será 6 cámaras y 60 alarmas y el coste total = 6000 euros..- El servicio de traumatología de un hospital va a implantar un nuevo sistema que pretende reducir a corto plazo las listas de espera. Se prevé que a partir de ahora la siguiente función indicará en cada momento (t, en meses) el porcentaje de pacientes que podrá ser operado sin necesidad de entrar en lista de espera: t t + t Pt () = 8t t > 10 0, 4t ( A partir de qué momento crecerá este porcentaje? Por mucho tiempo que pase a qué porcentaje no se llegará nunca? (b) Haz un esbozo de la gráfica de la función P a lo largo del tiempo. t 8t t 10 Pt () = 8t t > 10 t 8 0 t 10 t 8 = 0 t = 4 crece (4,10] P'( t) = 8 0.4(8t) 100 crece(4, ) = t > 10 siempre crece (0.4 t) 0.16t 8t 8 lim Pt ( ) = lim = = 95% t t 0.4

4 b) t t + parábola 8 50 ( ) Decrece (0,4) P'( t) = t 8 t = 4 Crece (4,10] Mínimo P(4) = = (4,4) P ''( t) = > 0 siempre convexa P(10) = 70 8t ( hipérbola ) 8t lim = t t x= 0 asíntota vertical 8t lim = + t t 8t lim = 95 t y = 95 asíntota horizontal 8t lim = 95 t 100 P '( t) = siempre crece 0.16t 0.16t t Convexa (,0) P''( t) = = = 4 (0.16 t ) 0.056t 0.056t Cóncava (0, ) P(10) = 70

5 4.- ( Encuentra una primitiva de la función f ( x) 7 x e x 1 = + que en el 1 valga 6,75. (b) Dibuja la función x = - y x = 5. f ( x ) = 7 x y calcula el área limitada por la curva y el X entre 4 x 1 4 x 1 x e x x 1 F( x) = 7 x + e dx= 7x + = 7x + e + C F(1) = e+ C = e= 6.75 C = e x x 1 F( x) = 7 x + ( e e) 4 b) D = x= 0 y = 7 (0, 7) Puntos de corte : y = 0 x = (,0) lim 7 x x lim 7 x = x = f x = x < siempre decrece '( ) 0 Convexa (,0) f ''( x) = 6x = 0 x = 0 Cóncava (0, ) Punto de inf lexión (0,7) x x 7 xdx= 7 xdx+ 7 + xdx= 7x x+ 4 = = 44 u

6 5.- En un grupo de personas, al 50% les han puesto alguna vez una multa de tráfico. Por otro lado, al 1,5% no les han puesto nunca una multa pero sí han sufrido alguna vez un accidente. Finalmente, al 60% de quienes nunca han tenido un accidente no les han puesto nunca una multa. A= multa B = accidente ( Qué porcentaje no han tenido nunca un accidente ni les han puesto nunca una multa? (b) Qué porcentaje no han tenido nunca un accidente? (c) Entre las personas que nunca han tenido una multa, qué porcentaje no han tenido nunca un accidente? PA ( ) = 0.5; PA ( B) = 0.15; PA ( B) = 0.6 PB ( ) 0.5 = PA ( ) = PA ( B) + PA ( B) = PB ( ) PB ( ) = 0.65 PA ( B) = = = 7.5% b) PB ( ) = 0.65 PB ( ) = = 6.5% c) PA ( B) = = 75% PA ( )

7 6.- En los últimos años el consumo familiar de cierta ciudad en electricidad (en Kw) según una normal de media 6, con desviación típica de 1,. Sin embargo, desde hace unos meses las tarifas eléctricas han experimentado varias reducciones, y se piensa que esto ha podido repercutir en un aumento del consumo. Recientemente, para una muestra de 47 familias se ha obtenido un consumo diario de 6,8. Suponiendo que el consumo sigue siendo aproximadamente Normal y que la desviación típica se ha mantenido: ( Plantea un test para contrastar que el abaratamiento de las tarifas no ha influido en el consumo, frente a que ha tenido la repercusión que se piensa, como parecen indicar los datos. Si se concluyera que la media de consumo se ha mantenido y realmente subió cómo se llama el error cometido? (b) A qué conclusión se llega en el test planteado en el apartado anterior con un nivel de significación del 1%? (Algunos valores de la función de distribución de la normal de media 0 y desviación típica 1: F(6,8) = 1, F(,86) = 0,998, F(,) = 0,99, F(0,01)=0,504.) H H 0 1 : µ 6. : µ > 6. Si concluimos que la media del consumo se ha mantenido cuando realmente subió, se está acep tan do que la hipótesis nula es verdadera cuando realmente es falsa. Error de tipo II α = 0.01 Z =. α σ I =, µ + Zα = (,6.7) 6.8 (, 6.7) se rechaza la hipótesis nula n