CAPÍTULO I: MÉTODOS DE CONTEO S01 CONCEPTOS BÁSICOS.

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1 CAPÍTULO I: MÉTODOS DE CONTEO S01 CONCEPTOS BÁSICOS. 1 Principios de Multiplicación Contenido: S01 Conceptos básicos. S02 Variaciones. S03 Permutaciones. S04 Combinaciones. S05 Coeficientes Binomiales. Imaginemos que una acción está constituida por dos etapas sucesivas. La primera etapa puede elegirse de m maneras distintas, y para cada una de esas posibilidades, la segunda etapa puede elegirse de n maneras distintas. Entonces, el número de posibilidades de efectuar la acción completa, en ese orden, es de: m n maneras. TAREA (Acción) Etapa 1 y Etapa 2 m n S06 Permutaciones y Combinaciones generalizadas. S07 Ejercicios de Aplicación. S08 Práctica Calificada. 1. Don Pablo es gerente general de una empresa de transportes, para ir a su oficina don Pablo tiene que cambiarse de camisa y pantalones todos los días. Él dispone de cuatro camisas y tres pantalones. De cuántas maneras puede cambiarse? 2. Para ir al estadio, Pedro desea usar un polo, una bermuda y un par de zapatillas. Sabiendo que dispone de cinco polos, tres bermudas tres pares de zapatillas, de cuántas maneras distintas puede vestirse Pedro?

2 3. En una heladería se ofrecen tres tipos de barquillo y helados de 31 sabores. Cuantos helados distintos se pueden comprar? 4. En el Perú, las placas de los automóviles tienen 3 letras seguidas de tres dígitos. 2 Cuántas placas se pueden tener si a) se permite repetir las letras? b) No se permite repetir letras? 5. Un vendedor de computadoras quiere presentar a sus clientes las diferentes opciones con que cuenta: una laptop de color negro o de color plomo, cualquiera de las laptops con discos duros de 320 Gb o 500 Gb. Cuántos diferentes arreglos de computadoras y discos duros puede ofrecer el vendedor? 6. Un profesor de dibujo pide a sus alumnos que pinten los cuatro cuadraditos presentados a continuación, usando sus colores rojo o verde. De cuántas maneras distintas se pueden pintar los cuadraditos? 7. Un examen de matemáticas consta de diez preguntas de tipo V o F De cuántas maneras puede ser resuelto?

3 Principios de Adición Si una tarea puede desarrollarse de m maneras, mientras que una segunda tarea puede realizarse de n maneras, y no es posible realizar ambas tareas simultáneamente, entonces una o la otra pueden llevarse a cabo de m + n maneras diferentes. Tarea 1 (Tarea independiente ) 1. Un repuesto de una impresora se vende en 6 tiendas en San Sebastián o en 8 tiendas de Wanchaq. De cuántas formas se puede adquirir el repuesto? m TAREA (Acción) o + n Tarea 2 (Tarea independiente ) 3 2. Suponga que para la elección de un delegado de un salón de clases se presentan tres candidatos de un grupo A, y dos candidatos de un grupo B, Si el delegado va a ser alguno de estos candidatos, cuántas posibilidades hay para el ganador? 3. La biblioteca de un instituto posee seis textos de matemática, cinco de programación y tres de diseño gráfico. De cuántas maneras un estudiante puede elegir un libro de uno de estos tres temas? 4. Juana, María y José desean ingresar al correo electrónico de Pedro, pero no conocen su contraseña de ingreso. Sin embargo cada uno de ellos tiene anotado en su cuaderno de apuntes, pero no saben quién, y tampoco saben cuál de las contraseñas anotadas es de Pedro. Si Juan tiene tres contraseñas anotadas, María tiene cuatro y José tiene dos, cuál es el máximo número de intentos para ingresar al correo de Pedro? 5. Un repuesto de una impresora se vende en 6 tiendas en San Sebastián o en 8 tiendas de Wanchaq. De cuántas formas se puede adquirir el repuesto?

4 PRINCIPIOS DE LA MULTIPLICACIÓN Y DE LA ADICIÓN 1. Un salón de clase contiene 8 estudiantes varones y 6 estudiantes mujeres. Hallar el número de maneras que la clase puedes elegir: a. 1 representante de la clase. b. 2 representantes de la clase, 1 varón y 1 mujer. 2. Una mujer tiene tres sombreros y cuatro brazaletes. Si piensa usar sombrero y brazalete para una fiesta, cuántas diferentes combinaciones puede llevar? 3. Una persona desea construir su casa, para lo cual considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa? 4 4. Tenemos tres diferentes lugares para comer pizza; dos para hamburguesa y cuatro para pollo. A cuántos diferentes lugares podemos ir a almorzar? 5. En una biblioteca hay 40 libros de texto sobre matemática discreta y 50 libros de texto sobre programación. Calcular de cuantas maneras distintas puede un estudiante escoger un libro de cualquiera de las dos asignaturas. 6. Se desea cruzar un río, para ello se dispone de 3 botes, 2 lanchas y 1 deslizador. De cuantas formas se puede cruzar el río utilizando los medios de transporte señalados? 7. Maribel la Coqueta tiene cinco sombreros distintos, cuatro camisas, dos faldas y tres pares de zapatos. De cuántas maneras se puede vestir? 8. Cuántos resultados son posibles al lanzar tres dados diferentes? 9. Una contraseña de computadora consiste en una letra del alfabeto seguida de 3 o 4 dígitos. Hallar el número total de contraseñas que pueden ser creadas. 10. Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cual ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora? Recuerde: 1) Si se desea que se realicen los eventos A y B, entonces se utiliza el principio de multiplicación (x). 2) Si se desea que se realicen los eventos A ó B, entonces se utiliza el principio de adición (+).

5 Diagrama de Árbol Definición.-Un diagrama del árbol es un gráfico formado por un conjunto de vértices y un conjunto de ramas y se utiliza para indicar todas las posibilidades asociadas a un conjunto completo de sucesos específicos. 1. Un repuesto de una impresora se vende en 6 tiendas en San Sebastián o en 8 tiendas de Wanchaq. De cuántas formas se puede adquirir el repuesto? 5 2. Un vagón de un tren posee tres puertas. De cuantas maneras distintas un pasajero puede entrar al tren y salir de él por una puerta diferente de la que entró? Factorial Definición.-Si n es un número entero, n! (se lee n factorial) es el producto de todos los números naturales consecutivos en forma decreciente, desde n hasta 1. Esto es: Si n=0, entonces: 0!=1, por convención. 1. Calcular: a. 5! 2! b. 6!/4! c. 9!/8! 7! 3! d. 4! 3! (7 7)! 2. Simplificar: a. (k + 1)!/k!; k ε N b. (n + 1)!/(n 1)!; n 1 n! = n (n 1) (n 2) Determinar el valor de n en cada caso: a. n! = 6 b. (n + 3)! = 120 c. (n+1)! n! = 5(n + 1) MATEMÁTICA DISCRETA

6 DIAGRAMA DE ÁRBOL 1. Renato quiere elegir una bicicleta y para eso dispone de 2 diferentes modelos (5 velocidades y 10 velocidades) y cuatro diferentes colores (rojo, blanco, azul o plomo). Cuántas opciones diferentes de elegir una bicicleta tiene Renato. Rpta Carlos tiene tres ternos y cuatro camisas. Usar el diagrama de árbol para hallar de cuántas maneras diferentes puede usar un terno y una camisa. Rpta Una mujer quiere elegir un automóvil. Ella tiene las opciones de 2 modelos (convertible o deportivo) y tres colores (rojo, azul o verde). Realizar un diagrama de árbol y encuentre cuántas opciones ella tiene. Rpta Un vagón de un tren posee cuatro puertas. De cuantas maneras distintas un pasajero puede entrar al tren y salir de él por una puerta diferente de la que entró? 6 5. Con cuatro varones y tres mujeres, cuántas parejas de casados diferentes se pueden formar? 6. Tres personas, A,B, y C compiten por una vacante de Administrador en una empresa, y cuatro personas compiten por la vacante de asistente. a) Con A como administrador, cuántos pares administrador-asistente pueden formarse? b) Cuántos son los posibles pares que se disputan la vacante administrador-asistente? FACTORIAL Simplificar a) 100! 99! 100 b) 100! 100 c) 100! 99! d) 1000! 999! 999! 998! e) f) g) n! (n 1)! (n+2)! n! 2(3n!) 3!(3n 2)! h) Determinar el valor de n en: (n + 2)! = 120 i) Determinar el valor de n en: (n 3)! = 5040