Una permutación eficiente para minimizar la suma de los tiempos de acabado de "n" trabajos en "m" máquinas Freddy Abarca R.

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1 Una permutación eficiente para minimizar la suma de los tiempos de acabado de "n" trabajos en "m" máquinas Freddy Abarca R. El problema de la asignación de cargas de trabajo, a pesar de ser un problema fácilmente describible, se resiste a ser solucionado óptima y eficientemente. No por obra de la casualidad muchos de los escenarios planteados en la programación y control de la producción dentro del contexto de la asignación de cargas de trabajo, se catalogan con la etiqueta de "Problemas NP- Completos". El objetivo del presente artículo es la presentación de un heurístico que optimiza una medida de efectividad denominada "suma de los tiempos de acabado" 1 en un problema de asignación de "n" órdenes de producción a "m" máquinas Aunque a simple vista pareciera irrelevante la gestación de un nuevo heurístico, en el campo del asignamiento, es importante valorar un punto de vista... Palabras Claves: Permutación, problema de asignación, simulación, heurístico EXSPT. no de los problemas de la Ingeniería Industrial que más trabajo ha U demandado a investigadores es, sin duda alguna, el problema de cómo asignar eficientemente órdenes de producción a puestos de trabajo que, en términos generales, se denomina el problema de asignación de cargas de trabajo, "the sequencing and scheduling problem" 2. El problema en estudio 3 se refiere a la definición de la programación de un conjunto de trabajos que esperan ser procesados por una o por un conjunto de máquinas dispuestas en correcta secuencia tecnológica 4. Metodologías generales para resolver el problema MÉTODOS COMBINATORIALES. Consiste en el intercambio inteligente de trabajos a máquinas, de forma tal que el algoritmo en cuestión optimice una determinada medida de efectividad. En este conjunto, los algoritmos óptimos se basan -por lo general- en las metodologías de "ramificaciones y cotas" ("branch and bound") teniendo el inconveniente de que resultan metodologías de tipo exponencial, es decir, computacionalmente ineficientes. 1 En realidad se refiere a la expresión anglosajona de sum of completion times que bien se podría traducir por "suma de tiempos de acabado", "suma de tiempos de finalización" o "suma de tiempos de terminado. 2 No confundirlo con otro problema clásico de la Ingeniería Industrial denominado "asignación" ("the assignment problem ) 3 Para detalles de este planteamiento, véase Abarca, F., "El problema de la asignación de cargas de trabajo", en prensa. 4 En el transcurso de este trabajo se utiliza la expresión castellana de "asignación" para refererirse indistintamente a "sequencing" y "scheduling". Es importante anotar que, por lo general, en castellano se insinúa más un significado más cercano a la última expresión que a la primera. 30 Tiempo Compartido

2 PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA. Son aquellos algoritmos que cubren conocidas técnicas matemáticas, como, entre otros, de programación lineal y sus ramificaciones, programación dinámica, métodos lagrangianos y el extenso campo de redes. HEURÍSTICOS. Son aquellas metologías no necesariamente optimales que utilizan - por lo general- la técnica de las enumeraciones controladas y la eliminación inteligente de subconjuntos de soluciones que no prometen mejores soluciones al problema. SIMULACIÓN. Teniendo la simulación un gran campo de acción en la mayoría de los problemas de investigación de operaciones, la asignación no puede excluirse de ninguna manera 5. No obstante, los resultados aún no satisfacen la cantidad de recurso que necesita la técnica. Un nuevo heurístico Buscando una metodología para definir un orden (en el sentido de prioridad, rango, o importancia), dados un conjunto de trabajos (en el sentido amplio de la palabra) que esperan ser procesados por una o varias máquinas (o puestos, o centros), en correcta secuencia tecnológica [1] donde se optimice la "suma de los tiempos de acabado", es decir, el "promedio de tiempo" que requiere cada trabajo en una programación dada, se diseñó, experimentó y evaluó un heurístico denominado EXSPT, acroismo para la 5 Byung Park, utilizando simulación, ha evaluado soluciones generadas por heurísticos más citados y utilizados en la asignación de cargas de trabajo orientados hacia ambientes "flow shop". Con SLAM II, y concentrándose en planteamientos que buscan una minimización del tiempo de entrega, concluye que, en efecto, los heurísticos son una vía muy promisoria para solucionar problemas de asignación. Véase Byung Park, Y., "An Evaluation of Static Flowshop Scheduling Heuristics in Dynamic Flowshop Models via a Computer Simulation", COMPUTERS AND INDUSTRIAL ENGINEERING, 14(2): , expresión EXTended Shortest Proccessing Times [2]. Aunque a simple vista pareciera irrelevante la gestación de un nuevo heurístico, en el campo del asignamiento, es importante valorar un punto de vista de Sahni y Horowith. Ellos son del criterio de que, en donde se busca algoritmos polinomiales, la palabra solución requiere ser relajada de forma tal que, en vez de exigir soluciones 100% exactas a escenarios dados -que parecen imposibles de resolver- soluciones cercanas al óptimo han de ser muy apreciadas[3]. Un ejemplo Para cuantificar el efecto de esta medida de efectividad, supóngase una situación sencilla de flow shop con tres órdenes de producción y con dos máquinas tal y como se presenta en el Cuadro 1. La Figura 1 determina que la permutación A-B-C, en un auténtico ambiente de "flow shop", requiere una suma de los tiempos de acabado, de 121 unidades de tiempo ( ) mientras que la permutación A-C-B se muestra en la Figura 2 con una suma de los tiempos de acabado de 110 unidades de tiempo ( ). Nótese cómo las permutaciones A-B-C y la A-C-B, a pesar de tener un mismo tiempo total de procesamiento de todos los trabajos en todas las máquinas (makespan) igual a 52 unidades de tiempo, tienen diferente promedio de entrega. La primera permutación tiene un promedio de (121/3) unidades mientras que la segunda, (110/3) unidades por lo que, desde un punto de vista productivo, resulta más interesante enfocar la atención hacia la "suma de los tiempos de acabado" que hacia el "tiempo total de proceso": de Cuadro 1: Un ejemplo sencillo Figura 1: Gráfica para la permutación A-B-C Figura 2: Gráfica para la permutación A-C-B ahí nuestro interés en la medida de efectividad seleccionada para este trabajo. Marco de referencia del heurístico Como EXSPT está basado en el algoritmo "para el tiempo promedio" (Mean Flowtime Algorithm) de Smith [5], que también se denomina SPT (Shortest Processing Time), éste se ubica en la categoría de "ordenamiento" (sorts) 6 pues progresivamente selecciona cada trabajo para generar una 6 Más técnicamente, tanto al SPT como al EXTSPT debieran catalorgase en la categoría de la regla del mejor sucesor, o algoritmos voraces (greedy algorithms). Abril

3 secuencia que debe ser ordenada. EXSPT genera índices para cada secuencia que debe ser evaluada y ordenada en función de la decisión a optimizar: la suma de tiempos de acabado. La idea de Smith fue ampliada de la siguiente manera. Dados "n" trabajos y "m" máquinas, se busca un "tiempo de procesamiento representativo" (un índice para cada trabajo) de forma tal que el algoritmo SPT pueda ser utilizado. Los tiempos de procesamiento representativos Para entender nuestro concepto de "tiempos de procesamiento representativos", baste con un ejemplo. Dada la matriz de tiempos de procesamiento, de cuatro trabajos en tres máquinas mostrada en el Cuadro 2: Un ejemplo 4 x 3, el algoritmo SPT solamente aplicado a la máquina 3, asignando de primero el trabajo con el menor tiempo de procesamiento y así sucesivamente hasta conformar una secuencia, produce la secuencia { } mostrada en la Figura 3. Para esa asignación -y considerando sólo la máquina 3-, las sumas de los tiempos de acabado serán [13, 6, 21, 30] para los trabajos 1, 2, 3 y 4 respectivamente. Siguiendo el mismo razonamiento, para la máquina 1 y 2 se genera el Cuadro 3: Resumen de Indices, donde la variable "índice" es el promedio aritmético de los tiempos de acabado, tal y como se resume en dicha Tabla. Extendiendo el concepto de SPT a los índices del Cuadro anterior una nueva secuencia estaría dada por la permutación { }. Pasos del heurístico EXSPT Dada una secuencia de n trabajos a asignar en m máquinas, PASO 1: Defínase dos permutaciones vacías, S={ } y S'={ } y defínase un contador "i", i = 1. PASO 2: Selecciónese un trabajo no asignado, denominado semilla, digamos k i, y colóquelo en el conjunto S' de la siguiente forma: S' = {..., k i - 2, k i - 1, k i }. PASO 3: Exceptuando el trabajo seleccionado, ordénese los trabajos remanentes en función ascendente de sus tiempos de procesamiento. Para cada trabajo, calcúlese el tiempo de procesamiento acumulado, en forma separada y para cada máquina. PASO 4: Sume los valores acumulativos del PASO 3. Guárdense en un vector Z j, para "j" igual a 1,2,3,...n. PASO 5: Empleando la regla del SPT complétese el conjunto S' hasta disponer S' = {k 1, k 2, k 3, k 4,.. k n }. PASO 6: Dada una medida de efectividad, calcúlese los valores para el conjunto S' desarrollado en el PASO 5. PASO 7: Repítanse los PASOS 2, 3, 4, 5 y 6 para todos los otros trabajos no asignados. PASO 8: De todos los conjuntos S' definidos hasta el PASO 7, selecciónese Figura 3: SPT en la máquina 3 Cuadro 2: Un ejemplo 4 x 3 Cuadro 3: Resumen de Indices Cuadro 4: Un ejemplo 4 x 4 32 Tiempo Compartido

4 Cuadro 5: Asignación SPT cuando el trabajo 1 es semilla Cuadro 6: Búsqueda de la mejor asignación con i = 1 Cuadro 7: Búsqueda de la mejor asignación con i = 2 Cuadro 8: Búsqueda de la mejor asignación con i = 3 el mejor. Fíjelo en el conjunto S en la posición "i". Este trabajo ubicado en S debe ser excluido de consideraciones futuras. PASO 9: Increméntese el contador "i" en una unidad y repetir el procedimiento. PASO 10: Repítase el procedimiento completo hasta que en el PASO 3 no se tengan trabajos para asignar es decir, cuando i = n - 1. Una aplicación del EXSPT En este punto, un ejemplo es de rigor. Considérese la matriz de tiempos mostrada en el Cuadro 4: Un ejemplo 4 x 4. Con esta matriz se aplicará el algoritmo EXSPT. Paso 1 i = 1; S = { }; S' = { } Paso 2 k 1 = 1; S' = {1} Pasos 3 y 4 Véase Cuadro 5 Paso 5 Z = [----, , , ] Z = [ ----, 40, 52, 77 ] Paso 6 S' = { } Paso 7 La suma de los tiempos de acabado para { } es de 202 unidades de tiempo 7. Paso 8 Repitiendo todos los pasos anteriores para los trabajos 2, 3, y 4, se produce el Cuadro 6. Paso 9 Del Cuadro 6 la mejor secuencia es { }. Con base en ella, el conjunto S se inicia con el trabajo 4; S = {4}. Paso 10 Con i = 2, y con tres trabajos restantes, a saber: 1,2 y3, se repite el algoritmo en cuyo PASO 8, quedaría como sigue, tal y como se observa en el Cuadro 7. De dicho Cuadro se concluye que S ={4-1} Con i = 3, y con dos trabajos remanentes, 2 y 3, se repite el algoritmo en cuyo PASO 8, produce el Cuadro 8. El conjunto de S se conformaría por {4-1-2 }. Cuando i = 4, será obvio que S = { }, la solución de EXSPT, con una suma de tiempos de acabado de 183 unidades de tiempo. Por metodologías ineficientes de "ramificaciones y cotas" 8 se corrobora que la solución del EXSPT de 183 unidades de tiempo es la solución óptima, para este caso particular. El diagrama de búsqueda que efectúa EXSPT se representa en la Figura 4. 7 Se anexa una metodología sencilla para obtener la Gráfica de Gantt en forma de tabla". 8 En este caso concreto se utilizó la metología expuesta en Bansal, S.P., "Minimizing the Sum of Completion Times of n Jobs over m Machines in a Flowshop. A Branch and Bound Approach", AIIIE TRANSACTIONS, 9(3): , setiembre Abril

5 Un algoritmo de tipo polinomial Para el problema 4/4/P/SCT anteriormente resuelto, se necesitaron nueve iteraciones. Como regla general se puede decir que la cantidad de iteraciones que se necesitan, G( n k ), serán: (n) iteraciones para fijar la primera posición ( i = 1 ), (n-1) para definir la segunda posición ( i = 2 ), (n-2) cuando i = 3, y así sucesivamente hasta que i = n. Por tanto, la cantidad de iteraciones, G(n), sería: G(n 2 ) = n + (n-1) + (n-2) + (n-3) , G(n 2 ) = [n(n+1)] / 2 Pero como el proceso de búsqueda se detiene cuando i = n-1, entonces, G(n 2 ) = [ n (n+1) ] / 2-1, lo que da por resultado un algoritmo altamente eficiente que se ejecutaría en un tiempo eminentemente polinomial. Evaluación del heurístico 9 Obviamente el heurístico se sometió a más pruebas; para una evaluación más en detalle del algoritmo, véase Abarca, F., "An efficient heuristic that determines a schedule minimizing sum of completion times in a flow shop", Lehigh University, disertación doctoral, 1984, sin publicar. Cuadro 9: Evaluación parcial de EXSPT Como bien lo afirma Baker[4], evaluar un heurístico donde se optimiza la suma de los tiempos de acabado es difícil, pues la mayoría de los estudiosos del problema del asignamiento se centran en el tiempo total de procesamiento (makespan) y en menor nivel, en el problema de los retrasos. No obstante, y a manera de ilustración, el Cuadro 9 presenta una evaluación netamente experimental que demuestra la alta calidad del heurístico EXSPT 9 cuando se minimiza la suma de los tiempos de acabado. Específicamente, para cada conjunto n/m mostrado en el Cuadro 9, se construyeron casos (se simulan escena- rios) utilizando números aleatoriamente distribuidos mediante una distribución uniforme [0,100] como tiempos de procesamientos. Se generaron 50 casos para evaluar problemas pequeños y 10 casos para problemas más grandes. Luego, a cada problema en todos y cada uno de los conjuntos, se le calculó la solución óptima para, posteriormente, cuantificar cuántos problemas son perfectamente acertados por EXSPT, cuántos se desvían un error promedio menor al 2.5% y cuántos se desvían un error promedio menor al 5.0% Por error se entiende la diferencia entre la respuesta del EXSPT y la respuesta óptima, dividido entre la respuesta óptima. El valor mostrado en cada conjunto n/m es el promedio aritmético de los errores. Figura 4: Búsqueda de soluciones Para finalizar, y siempre teniendo el contexto de las grandes limitaciones de disponer de soluciones óptimas en problemas de tamaño "medio", EXSPT se "corrió" con otras medidas de efectividad con excelentes resultados, inclusive para el ambiente job shop, las cuales en otra oportunidad examinaremos con detalle. 34 Tiempo Compartido

6 Cuadro 10: Acumulaciones en la primera fila y en la primera columna Cuadro 11: Cálculo del tiempo del Trabajo 3 en la máquina 2 Cuadro 12: Dos tiempos adcionales la MÁQUINA j y sea R[i, j] el resultado de alguna operación matemática en la celda definida por la fila "i" y la columna "j". Luego, la suma de los tiempos de acabado es la suma de los R[i,m] correspondentes a todos los trabajos "i" del sistema (Nótese como el makespan es R[n,m].). Ejemplo Supóngase la matriz de tiempos de procesamiento mostrados en el Cuadro 4, en la página 32. Supóngase además, que se está interesado en el cálculo de la suma de los tiempos de acabado para la permutación { } que según el Cuadro 6 anota un valor de 201 unidades de tiempo. Se adjunta un paso intermedio de la secuencia del cálculo; el Cuadro 13 muestra que la suma de tiempos de acabado es igual a ( ) = 201 unidades. Conclusión Cuadro 13: Representación numérica de la gráfica Gantt Se presentó un heurístico muy eficiente para resolver el problema de asignación de cargas de trabajo con "n" trabajos y "m" máquinas en un ambiente típico de flow shop y optimizando la suma de los tiempos de acabado. ANEXO 1: Representación numérica del Gantt Para calcular eficientemente resultados provenientes de una gráfica de Gantt, se desarrolló un esquema sencillo de trabajo que a continuación se muestra. Dada una secuencia de "n" trabajos: { J 1, J 2, J 3, J 4, J 5,..., J n } que es necesario programar en un conjunto de "m" máquinas: { M 1, M 2, M 3, M 4, M 5,..., M n }, supóngase que se está interesado en la permutación: { J P1, J P2, J P3, J P4,..., J Pn }, donde el vector: { P 1, P 2, P 3, P 4, P 5,..., P n } indica el ordenamiento de la permutación escogida. Por otra parte, sea "T[ J Pi,j ]" el tiempo de procesamiento del TRABAJO J Pi en Referencias [1] Elmaghraby, S.E., "The Machine Sequencing Problem. Review and Extensions"; NAVAL RESEARCH LOGISTIC QUARTERLY, 15(2): , junio de [2] Véase Abarca, F., "An efficient heuristic that determines a schedule minimizing sum of completion times in a flow shop", Lehigh University, disertación doctoral, 1984, sin publicar. [3] Smith, W., "Various Optimizers for Single Stage Production", NAVAL RESEARCH LOGISTICS QUARTERLY, 3(3):59-66, marzo [4] Baker, K..R., "Introduction to Sequencing and Scheduling", John Wiley and Sons, Nueva York, [5] Smith, W., "Various Optimizers for Single Stage Production", NAVAL RESEARCH LO- GISTICS QUARTERLY, 3(3):59-66, marzo Freddy Abarca R. Obtuvo su Ph.D. en Lehigh University, Bethlehem, PA. Posee además Un Major en Investigación de operaciones y un Minor en Sistemas de Información. Sus áreas de interés son la asignación de recursos, bases de datos e ingeniería de software. Actualmente labora como docente e investigador en el Departamento de Computación del I.T.C.R. Abril