Al finalizar el estudio de Matemática del Ciclo de Nivelación usted deberá ser capaz de:

Transcripción

1 0 Objetivos Generales Al finalizar el estudio de Matemática del Ciclo de Nivelación usted deberá ser capaz de: 1. Utilizar una metodología adecuada para el estudio de la Matemática. 2. Alcanzar destreza operativa en temas básicos de Álgebra y Trigonometría como aplicación de conceptos teóricos. 3. Resolver problemas con procedimientos específicos Esquema Conceptual LÓGICA SIMBÓLICA NUMEROS REALES Y COMPLEJOS POLINOMIOS FUNCIONES ECUACIONES TRIGONOMETRÍA

2 Unidad 1. Lógica simbólica. Números Reales y Complejos 1.1 Proposiciones. Conectivos lógicos y tablas de verdad. Implicaciones y equivalencias lógicas. Tautologías, contradicciones y contingencias. Argumentos y modos de demostración. Cuantificadores. 1.2 Los números reales, operaciones y propiedades. Potencias y raíces de números reales. 1.3 Números complejos, operaciones en forma binómica. Unidad 2. Polinomios 2.1 Polinomios. Grado. Operaciones con polinomios. Adición, multiplicación y división. 2.2 Divisibilidad. Valuación. Teorema del resto. 2.3 Raíz de un polinomio. Orden de multiplicidad. Descomposición factorial de un polinomio. Unidad 3. Funciones 3.1 Conjuntos y subconjuntos. Operaciones con conjuntos. Par ordenado. Producto Cartesiano. 3.2 Correspondencia entre puntos de la recta y números reales. Pares ordenados de números reales. Conjuntos de puntos. Intervalos. 3.3 Relación y sus representaciones. Funciones. Definición. Funciones enteras de primer y segundo grado. 3.4 Funciones exponencial y logarítmica. Unidad 4. Ecuaciones. 4.1 Ecuación de primer grado con una y dos incógnitas. 4.2 Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. 4.3 Ecuación de segundo grado con una incógnita. 4.4 Sistemas mixtos. Método de sustitución. Unidad 5. Trigonometría 5.1 Longitud de un arco de circunferencia. Ángulos y su medición. 5.2 Funciones trigonométricas. Relaciones fundamentales. 5.3 Resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos. 5.4 Fórmulas de adición. 5.5 Representación trigonométrica de un número complejo. 5.6 Producto y cociente de números complejos en forma trigonométrica. 5.7 Potencia de números complejos. 5.8 Igualdad de números complejos. 5.9 Raíces de números complejos. 2

3 Bibliografía Como bibliografía se aconseja utilizar los textos de estudio del secundario, sin destacar ninguno en particular. Orientación del Aprendizaje Esta guía de enseñanza presenta una introducción a la lógica matemática o simbólica, los conceptos básicos del número real y del número complejo, sus operaciones y propiedades básicas. Considera los polinomios como entes abstractos y estudia sus operaciones y propiedades. Previo a la definición de función se estudian los conjuntos y sus propiedades. Hace hincapié en las funciones polinómicas de primer y segundo grado y en las funciones exponencial y logarítmica. Plantea la resolución de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, y de segundo grado con una incógnita. Estudia, también, la resolución de sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas y de sistemas mixtos. Desarrolla, en trigonometría, resolución de triángulos e identidades trigonométricas fundamentales. En cada caso se plantea una introducción teórica al tema, el desarrollo de ejemplos y la ejercitación correspondiente. El alumno deberá utilizar, además de esta guía, los textos específicos de Matemática que estudió en la escuela media, a fin de reforzar el aprendizaje. Recuerde... la ciencia matemática no es el fruto de la contemplación, no es descriptiva en ninguna de sus partes, es una actividad humana reducida a sus elementos intelectuales esenciales. Comprender un resultado matemático es saber utilizarlo. Conocer una teoría matemática es saber reconstruirla como si fuera su creador. Aprender una demostración de memoria sin comprenderla es una proeza que intentan algunos valientes ingenuos, pero es la que nunca he visto triunfar... Matemática Moderna. Matemática Viva, de A. Revuz. Por ello es recomendable estudiar Matemática teniendo a mano abundante papel borrador y lápiz. En consecuencia: 1. Lea la introducción teórica tratando de comprenderla. 2. Aclare los conceptos desarrollando personalmente los ejemplos. 3. Realice la ejercitación correspondiente. Si tiene dificultades, repita los puntos 1 y Si no tiene éxito, no desespere, solicite ayuda al docente. 3

4 1 Lógica Simbólica. Números reales y números complejos Objetivos Al finalizar esta unidad usted deberá ser capaz de: Operar con proposiciones simples para obtener proposiciones compuestas mediante operadores lógicos. Identificar tautologías, implicaciones lógicas y equivalencias lógicas. Comprender los argumentos y los modos de demostración. Operar con cuantificadores. Identificar números naturales, enteros, racionales, irracionales y complejos. Operar con números reales y complejos utilizando sus propiedades. Contenidos 1.1 Proposiciones. Conectivos lógicos y tablas de verdad. Implicaciones y equivalencias lógicas. Tautologías, contradicciones y contingencias. Argumentos y modos de demostración. Cuantificadores. 1.2 Números reales. Operaciones y propiedades. Potencias y raíces de números reales. 1.3 Números complejos. Operaciones en forma binómica. 4

5 Esquema conceptual LÓGICA SIMBÓLICA REALIDAD MENSURABLE SISTEMA NUMÉRICO NÚMEROS REALES NÚMEROS COMPLEJOS ÁLGEBRA Introducción En esta unidad se presenta una introducción a la lógica simbólica y se revisan los conceptos necesarios para trabajar las principales operaciones en el campo de los números reales y complejos, que ya se han visto en cursos de la escuela media. Orientación del aprendizaje Lea la introducción teórica de cada tema y desarrolle personalmente los ejemplos que le siguen. Realice la ejercitación correspondiente. Bibliografía de la unidad 5

6 Como bibliografía se aconseja utilizar los textos de estudio del secundario, sin destacar ninguno en particular. Aprender a calcular con exactitud, operar símbolos con facilidad y aplicar con seguridad las propiedades de los números reales y complejos es un objetivo fundamental para el estudiante de Ciencias Naturales y de Ingeniería. Contenidos 1.1 Proposiciones. Conectivos lógicos y tablas de verdad. Implicaciones y equivalencias lógicas. Tautologías, contradicciones y contingencias. Argumentos y modos de demostración PROPOSICIONES Sin pretender dar una definición filosóficamente irreprochable, diremos que una proposición es toda sucesión de palabras de la cual tiene sentido afirmar que es verdadera o falsa. Así por ejemplo: El sol es verde. (1) Un cuadrado es un rombo y un rectángulo. (2) son proposiciones: (1) es falsa y (2) es verdadera. En cambio, Venga! (3) Qué hora es? (4) no son proposiciones, pues no tiene sentido decir que sean verdaderas o falsas. Se debe notar que cuando tiene sentido decir que una expresión es verdadera, también tiene sentido decir que es falsa, y viceversa. Por ejemplo, si alguien afirmara que (1) es verdadera, no diríamos que esta afirmación carece de sentido, sino simplemente, que no corresponde a la realidad. Dada una proposición, si es verdadera, diremos que su valor de verdad es V (inicial de verdad ) y si es falsa diremos que su valor de verdad es F (inicial de falsedad ). Por ejemplo, el valor de verdad de (1) es F y el de (2) es V. Así como en álgebra elemental se usan letras tales como x, y, z, etc. para representar números, también en lógica se usan letras tales como p, q, r, etc. para representar proposiciones. Por ejemplo en álgebra suele decirse: Sea x un número cualquiera. En lógica por analogía, se usan expresiones tales como: Sea p una proposición cualquiera. 6

7 Si x es una letra que se usa para reemplazar números, en álgebra tiene sentido escribir: x = 2 De igual manera, en lógica, si p es una letra que se usa para reemplazar proposiciones, tiene sentido escribir: p = El sol es verde CONECTIVOS LÓGICOS Y TABLAS DE VERDAD Con los conectivos gramaticales y, o, no, si..., entonces..., se forman a partir de proposiciones dadas otras más complejas. Recíprocamente, estos conectivos nos permiten analizar ciertas proposiciones complejas expresándolas mediante otras más simples conectadas por ellos. Por ejemplo, la proposición Un cuadrado es un rombo y un rectángulo. Se puede escribir con las proposiciones p = Un cuadrado es un rombo, q = Un cuadrado es un rectángulo, en la forma: p y q. Una proposición de este tipo se llama conjunción. Además de conectar proposiciones, la palabra y tiene otros usos. Así la proposición Jorge y Raúl son hermanos indica una relación entre Jorge y Raúl que no es reducible a una conjunción. Esto muestra la necesidad de introducir un símbolo cuya única función sea la de conectar proposiciones. Adoptaremos, entonces, para la conjunción el símbolo. Con este símbolo (2) se escribe: p q. Teniendo en cuenta todo lo anterior damos la siguiente definición: Dadas dos proposiciones p, q, se llama conjunción o producto lógico de p y q, a la proposición que se obtiene enunciando q a continuación de p, unidas ambas por la palabra y. Se indica p q, y se lee p y q. Una conjunción es verdadera si ambas componentes son verdaderas, y falsa en caso contrario. Dadas dos proposiciones p, q, hay solamente cuatro conjuntos posibles de valores de verdad que se les pueden asignar. Estos cuatro casos posibles y el valor de verdad de la conjunción en cada uno de ellos se pueden expresar mediante una tabla llamada tabla de verdad de la conjunción: 7

8 p q p q V V V V F F F V F F F F Se puede considerar que esta tabla define el símbolo, ya que explica cuáles son los valores de verdad que asume p q en todos los casos posibles. La disyunción de dos proposiciones se forma enunciando una proposición a continuación de la otra, unidas ambas por la letra o. El uso habitual de esta palabra es ambiguo, pues si, por ejemplo, decimos: Comenzaré a estudiar hoy o mañana es obvio que queda excluida la posibilidad que se den ambas alternativas. En cambio, si decimos: Fort es el propietario o el gerente no queda excluida la posibilidad de que se den ambas afirmaciones parciales, a saber: y Fort es el propietario Fort es el gerente O sea que el lenguaje habitual admite dos usos diferentes de la palabra o que llamaremos exclusivo e inclusivo, respectivamente. Nosotros utilizaremos el uso inclusivo de la misma, que formalizamos mediante la siguiente definición: Dadas dos proposiciones p, q, se llama disyunción o suma lógica de p y q, a la proposición que se obtiene enunciando q a continuación de p, unidas ambas por la palabra o, considerada en su uso inclusivo. Se indica p q, y se lee p o q. De acuerdo con la definición anterior, una disyunción es falsa solamente si son falsas ambas componentes, y es verdadera en todos los demás casos. Esto se puede expresar mediante una tabla, llamada tabla de verdad de la disyunción: p q p q V V V V F V F V V F F F Al igual que para la conjunción, esta tabla se puede considerar como la definición del símbolo. Nos ocuparemos ahora de la negación de una proposición, considerando la siguiente definición: 8

9 Dada una proposición p, se llama negación de p, a la proposición que se obtiene colocando la palabra no y enunciando a continuación la proposición p. Se indica p, y se lee no p. Por ejemplo, si consideramos la proposición (1) p = El sol es verde. su negación es p = No el sol es verde. Este enunciado resulta chocante, al menos en idioma castellano. Por ello adoptaremos la convención de aceptar como equivalentes enunciados tales como: No el sol es verde, El sol no es verde y El sol es no verde. Es decir, cuando una proposición se exprese mediante palabras, seguiremos los usos corrientes del idioma; pero cuando la proposición se de en forma simbólica, por ejemplo mediante la letra p, formaremos su negación anteponiendo el símbolo en estricto acuerdo con la definición dada. La negación de una proposición verdadera es falsa, y la negación de una proposición falsa es verdadera. Esto se puede expresar mediante una tabla llamada tabla de verdad de la negación: p p V F F V la cual se puede considerar como la definición del símbolo. Conviene aclarar que es usual referirse a los símbolos,, introducidos para la conjunción, disyunción y negación, respectivamente, con el nombre de conectivos lógicos. En lógica, los paréntesis se usan con el mismo sentido que en aritmética y en álgebra, es decir, para indicar como deben agruparse los diferentes elementos de una fórmula. Por ejemplo, en la expresión 3.(4+5), lo que está dentro del paréntesis se debe agrupar y resolver antes de efectuar la operación de multiplicación indicada por el punto que se encuentra fuera del paréntesis. Teniendo en cuenta que el resultado de lo que está dentro del paréntesis es 9, la expresión dada también se puede escribir así: 3.9, lo cual da como resultado final 27. En cambio si colocamos los paréntesis de este modo (3.4)+5, hay que resolver lo que ahora se encuentra dentro del paréntesis, que es 3.4 = 12, y luego resolver la operación exterior al paréntesis, que en este caso es la suma: 12+5=17. En resumen, tenemos dos resultados diferentes, que dependen solamente del modo en que se han agrupado los elementos mediante el uso de paréntesis: 3.(4+5) = 27 (3.4)+5 = 17 En matemática, es habitual, en el segundo de los casos, no escribir los paréntesis, aunque se los sobreentiende; es decir, se suele escribir en lugar de (3.4)+5. Esto no es ninguna cuestión conceptual profunda, se trata solamente de una convención destinada a simplificar la escritura. En lógica la situación es similar: la expresión p q r es ambigua, ya que puede significar la conjunción de p con la disyunción de q y r, o puede significar la disyunción cuya primera componente es la conjunción de p y q, y cuya segunda componente es r. 9

10 Distinguimos los dos sentidos diferentes agrupando la expresión dada, ya sea así: p (q r), o así: (p q) r. En expresiones más complejas, además de los paréntesis se usan corchetes y llaves. Por ejemplo, si quisiéramos indicar la disyunción entre p r y la conjunción de p con (q) t, escribiríamos: p r p [( q) t] (1) Ahora bien, cuando se está habituado al uso de paréntesis, la distinción entre paréntesis, corchetes y llaves no es necesaria, y se usan solamente paréntesis. Así, la fórmula (1) se escribe: p r p q t (2) Con el fin de disminuir el número de paréntesis, convenimos en escribir q t en lugar de (q) t, entendiendo que el símbolo se aplica a q y no a la expresión completa q t. Con esta convención, (2) adopta la forma: p r p q t IMPLICACIONES Y EQUIVALENCIAS LÓGICAS (Tema desarrollado por la Ing. Especialista Laura Vargas orientado a la materia Informática.) Implicación Un concepto fundamental de la lógica y de la matemática es el concepto de deducción o implicación. En ésta la conexión de dos proposiciones p y q es tal que si se cumple p se cumple q. Este tipo de implicación, que es la que estudiaremos, recibe el nombre de causal y se puede pensar como un compromiso. La relación p implica a q, o q se deduce de p, o p sólo si q, se anota p q. El conectivo lógico se denomina implicación o condicional, p antecedente y q consecuente de la implicación. Establecemos la siguiente definición: Dadas dos proposiciones p, q, se dice que p implica a q, o que q se deduce de p, si no se verifica que p sea verdadera y q falsa. Vemos que en la implicación si es verdadero el antecedente p y falso el consecuente q estamos ante el único caso de falsedad. Podemos pensar que no se cumpe el compromiso. Si es verdadero el consecuente q, en cambio, nada sabemos del antecedente p, puede o no ser verdadero, por lo que el valor es verdadero. Finalmente es verdadero el valor cuando tanto p como q son falsas. Ejemplo 10

11 Si llueve, voy al cine. Donde p=llueve q=voy al cine Se verifica su falsedad sólo si es verdadero que llueve y falso que esté en el cine, puesto que afirmé que cuando llueve voy al cine. Se debe tener especial cuidado en evitar confusiones con el lenguaje natural, donde hay ambigüedad y la expresión del ejemplo se puede confundir con sólo voy al cine cuando llueve, en cuyo caso si estoy en el cine es verdadero que llueve y no puede ser de otra forma. En cambio en nuestro ejemplo puede ser que esté en el cine y haya sol, nada se afirma al respecto. También se observa que si no estoy en el cine, seguramente no llueve. La tabla de verdad de la implicación resulta entonces: p Q p q V V V V F F F V V F F V Otros ejemplos: Si cobro la herencia, pago la deuda. p=cobro la herencia q=pago la deuda Si llueve el baile se suspende. p= llueve q=el baile se suspende Si la oferta del producto sube, su precio baja. p=sube la oferta del producto q=baja el precio del producto También se puede expresar: Es suficiente que suba la oferta del producto para que su precio baja. O bien: El precio del producto baja si sube su oferta. Cuando se tiene p q, se dice también que p es condición suficiente para q, o bien que se cumple q si se cumple p (q si p). En la misma situación, es decir p q, se cumple p sólo si se cumple q (p sólo si q), se dice también que q es condición necesaria para p. Implicación Directa, Recíproca, Contraria, Contrarrecíproca. A partir de la implicación vista, llamada directa, surgen otras, de la siguiente manera: 11

12 Directa: pq Recíproca qp Contraria ~p~q Contrarrecíproca ~q~p En matemática corresponden a los teoremas directo, recíproco, contrario o inverso y contrarrecíproco respectivamente. Se demuestra que cualquier implicación directa tiene la misma tabla de verdad que la contrarrecípoca, es decir que son equivalentes. Si se verifica la directa se verifica la contrarrecíproca, esto es: si p entonces q equivale a si no es q entonces no es p. Veamos la tabla de verdad: P q pq ~q ~p ~q~p V V V F F V V F F V F F F V V F V V F V V F V V Ejemplo Directa: Si un número es racional, entonces es real (Verdadera). Recíproca Si un número es real entonces es racional. (Puede o no ser verdadera, depende del caso) Contraria: Si un número no es racional entonces no es real. (Puede o no ser verdadera, depende del caso) Contrarrecíproca Si un número no es real, entonces no es racional (Verdadera) Observación Se debe observar que: I) Del hecho que p qsea verdadera no se deduce necesariamente que su recíproca o su contraria sean verdaderas. Pueden serlo o no, según el caso particular de que se trate. II) De la veracidad de p qse deduce necesariamente la veracidad de su contrarrecíproca. III) De la veracidad de q p se deduce necesariamente la veracidad de p q. 12

13 En los teoremas HT (directo) siempre se verifica que TH. Cuando esto último es lo que se prueba se dice que se usó el método de demostración por el absurdo. Equivalencia (o doble implicación o bicondicional) Dadas dos proposiciones p, q, se dice que p es equivalente a q si se verifica p q y q p. Se anota p q. En tal caso, p es el primer miembro y q el segundo miembro de la equivalencia. Cuando se tiene p qse dice que p es condición suficiente para q (se cumple q si se cumple p) y que q es condición necesaria para p (p sólo si q) ahora para la equivalencia p qse tienen las siguientes expresiones sinónimas: I) p es condición necesaria y suficiente para q II) se cumple q si y sólo si se cumple p Dadas dos proposiciones p, q, la proposición p es equivalente a q, que se anota p q, es por definición la siguiente: ( p q) ( q p). La proposición bicondicional es verdadera si y sólo si ambas proposiciones p y q tienen el mismo valor de verdad (o ambas son simultáneamente verdaderas o simultáneamente falsas). A partir de las tablas de verdad de la implicación y de la conjunción resulta la tabla de verdad de la equivalencia: p q p q q p p q q p V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V La tabla buscada es: p Q p q V V V V F F F V F F F V 13

14 Ejemplos de relación de equivalencia: Si r es una raíz del polinomio P(x) (o sea P(r) =0), entonces x-r es un factor de dicho polinomio. Si y sólo si llueve se suspende el baile. Si y sólo si la nota obtenida en el examen es mayor o igual a 4 se aprueba. Reglas de prioridad La conexión tiene siempre prioridad más alta. Por consiguiente p q debe ser comprendida como ( p) q, y no como ( p q). En el caso de las conexiones binarias, la prioridad más alta se le da a, seguida por, y, en ese orden. En la expresión pq r, debe ser entendida como ( p q) r. Similarmente, p q r debe ser entendida como p ( q r), porque toma prioridad sobre. La conexión recibe la prioridad más baja, lo que implica que p q r debe entenderse como p ( q r). Las reglas que involucran prioridad son, por supuesto, conocidas por las expresiones aritméticas. Por ejemplo, en el lenguaje de programación C++, * tiene prioridad sobre +, lo que significa que a+b*c debe ser interpretado como a+(b*c). En algunas expresiones, las reglas de prioridad no son suficientes para eliminar todas las ambigüedades. Por ejemplo, la expresión pq r podría ser comprendido como p ( q r) o como ( p q) r. La interpretación utilizada depende de la asociatividad de la conexión. Generalmente, es un operador, como lo son los operadores + y / en C++. Todas las conexiones lógicas binarias son asociativas por la izquierda. Por consiguiente, pq r debe ser comprendido como ( p q) r. Esto es consistente con lenguajes de programación tales como C++, donde a/b/c se interpreta como (a/b)/c en vez de a/(b/c). Por lo tanto, los operadores aritméticos binarios en C++ son también asociativos por la izquierda TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIONES Y CONTINGENCIAS Consideremos las siguientes proposiciones: Colón descubrió América. (1) Colón descubrió América o Colón no descubrió América. (2) Ambas son verdaderas. La verdad de (1) es un hecho empírico, que conocemos por la investigación histórica. Esta proposición podría ser falsa si los acontecimientos históricos hubieran sido diferentes. En cambio, (2) por su forma, es necesariamente verdadera; su verdad es independiente de todo hecho empírico, y subsistiría cualquiera hubiera sido el curso de la historia. La proposición (2) resulta de reemplazar p por Colón descubrió América en la fórmula p p (3) 14

15 Ahora bien, cualquier reemplazo en (3) da una proposición verdadera; por ejemplo, reemplazando p por Soy el rey de Inglaterra, se obtiene la proposición verdadera Soy el rey de Inglaterra o no soy el rey de Inglaterra. Una fórmula que sólo tiene ejemplos de sustitución verdaderos se llama tautología o verdad lógica. Para probar que (3) es una tautología construimos la siguiente tabla de verdad: p p p p V F V F V V La primera columna de esta tabla contiene los posibles valores de verdad de p, la segunda se forma a partir de la primera tabla de verdad de la negación, y la tercera a partir de las anteriores con la tabla de verdad de la disyunción. Como esta última columna contiene sólo valores V, se tiene que todos los ejemplos de sustitución de (3) son verdaderos, lo cual significa que (3) es una tautología. Las siguientes equivalencias: ( ( p q)) ( p q) ( ( p q)) ( p q)) llamadas leyes de De Morgan, también son tautologías. Las mismas formulan las relaciones entre la conjunción, la disyunción y la negación, motivo por el cual presentan especial interés. Otras tautologías de interés, son las siguientes leyes distributivas : ( p q) ( p r) p ( q r) ( p q) ( p r) p ( q r) Ejercicio: Demostrar, mediante tablas de verdad, que las fórmulas anteriores son verdades lógicas. Consideremos, ahora, las proposiciones: Hernández escribió el Quijote de la Mancha (4) Hernández escribió el Quijote de la Mancha y Hernández no escribió el Quijote de la Mancha (5) Ambas son falsas. La falsedad de (4) es un hecho empírico o contingente, en tanto la falsedad de (5) es independiente de los hechos; es una falsedad necesaria, consecuencia de la forma de (5). Esta proposición resulta de reemplazar p por Hernández escribió el Quijote de la Mancha en la fórmula p p (6) Ahora bien, cualquier reemplazo en (6) da una proposición falsa. Una fórmula que sólo tiene ejemplos de sustitución falsos se llama contradicción o falsedad lógica. Para probar que (6) es una contradicción construimos la siguiente tabla de verdad: 15

16 p p p p V F F F V F Como la última columna contiene sólo valores F, se tiene que todos los ejemplos de sustitución de (6) son falsos, lo cual significa que (6) es una contradicción. Las fórmulas que no son tautologías ni contradicciones se llaman contingencias. Una contingencia es, por consiguiente, una fórmula que tiene entre sus ejemplos de sustitución tanto proposiciones verdaderas como falsas. Así p q, p q y p q son contingencias; lo cual se puede ver por medio de sus tablas de verdad ARGUMENTOS y MODOS de DEMOSTRACIÓN. ARGUMENTOS Un argumento es una relación entre un conjunto de proposiciones p 1, p 2,, p n llamadas premisas y otra proposición q llamada conclusión; denotamos un argumento por: p 1, p 2,, p n q ( se lee por lo tanto) Se dice que un argumento es válido si las premisas dan como consecuencia la conclusión; más formalmente: Un argumento p 1, p 2,, p n q es válido si q es verdadero cada vez que las premisas p 1, p 2,, p n sean verdaderas. Un argumento que no es válido se llama falacia. Ejemplo 1: El argumento p, p q q es válido. Este argumento se llama modus ponendo ponens, o más corto, modus ponens. La demostración de esta regla se obtiene directamente de la tabla: P q p q V V V V F F F V V F F V Observe que en la primera fila de la tabla q es verdadero cuando p y p q lo son; el argumento es válido. Es importante notar que prácticamente todos los teoremas matemáticos están compuestos de condicionales del tipo (p 1 p 2 p n ) q 16

17 A los p 1 p 2 p n se les llama hipótesis y a q se le llama conclusión. Demostrar un teorema significa probar que el condicional es verdadero. Observe que no se pretende demostrar que q (la conclusión) es verdadero, sino que q será verdadero siempre que los p 1 p 2 p n sean verdaderos. De aquí que las demostraciones matemáticas comienzan frecuentemente con el enunciado suponga que p 1 p 2 p n son verdaderos y concluye con el enunciado por lo tanto, q es verdadero. Cuando un condicional (p 1 p 2 p n ) q es una tautología, entonces es siempre verdadero, independientemente de los valores de verdad de los enunciados que componen los q o de los p i. En este caso el argumento p 1, p 2,, p n q p 1 p 2... P n q es universalmente válido, sin importar qué enunciados reales se sustituyan por las variables en q y en los p i. La validez depende de la forma de los enunciados y no de sus valores de verdad. Por ello estos argumentos universalmente válidos están representados por métodos generales de razonamiento correcto, llamados reglas de inferencia. Los pasos de la demostración matemática de un problema deberán seguirse de la aplicación de reglas de inferencia y una demostración matemática debe iniciarse con la hipótesis, seguir a través de varios pasos, cada uno justificado por alguna regla de inferencia, y llegar a la conclusión. El argumento p q, q r p r es universalmente válido y por lo tanto es una regla de inferencia. Damos a continuación algunas reglas de inferencia de gran utilidad: 1. p pq 2. p q p 3. p p q q adición simplificación modus ponens 17

18 4. p q q p modus tollens 5. p q p q silogismo disyuntivo 6. p q q r p r silogismo hipotético 7. p q pq conjunción CUANTIFICADORES El objeto fundamental de la lógica no es tanto el estudio de la verdad o falsedad de las proposiciones compuestas, como el de la validez o invalidez de los razonamientos deductivos. La validez de cierto tipo de razonamientos no se puede estudiar considerando las proposiciones que los integran como todos indivisibles, pues la misma depende de la estructura lógica interna de las proposiciones no compuestas que dichos razonamientos contienen. Es por ello que se crean técnicas para describir y simbolizar las proposiciones no compuestas de manera que quede manifiesta su estructura lógica interna. Entonces conviene que en las proposiciones separaremos los objetos o individuos de los predicados o propiedades a ellos atribuidos, y que procuremos explicitar ambos con un simbolismo adecuado. Un predicado como es azul (1) atribuido a objetos como el sol, la luna, el hambre (2) da en algunos casos proposiciones el cielo es azul, la luna es azul, (3) y en otros casos, expresiones que no son proposiciones: el hambre es azul (4) Para describir en general situaciones como ésta, recurrimos a los métodos del álgebra. 18

19 Una expresión como x + 4 = 7 (5) se llama ecuación, y no es una proposición, pues no tiene sentido afirmar que sea verdadera o falsa, ya que x no tiene en ella un valor determinado. La expresión (5) es un molde o esquema donde al reemplazar x por nombres de cosas, y si las cosas son números se obtienen proposiciones. Por ejemplo, al reemplazar x por 4 y por 3 se obtienen las proposiciones = = 7, (6) de las cuales la primera es falsa y la segunda verdadera. Pero no se obtienen proposiciones al reemplazar x por cosas distintas de números, por ejemplo la luna, en cuyo caso se obtiene la expresión la luna + 4 = 7 (7) que no es una proposición. De manera semejante, las proposiciones (3) y la expresión (4) se obtienen del esquema x es azul (8) reemplazando x por los nombres de objetos (2). Al igual que (5), (8) no es una proposición pues no puede decirse que sea ni verdadera ni falsa, ya que x no designa ningún objeto, sino que es una simple señal puesta para marcar un lugar. Pero cuando se reemplaza x por el nombre de un individuo o cosa de cierta clase o conjunto, (8) se transforma en una proposición verdadera o falsa. Todo esto nos lleva a la siguiente definición: Se llama esquema proposicional en la indeterminada x, a toda expresión que contiene a x y que posee la siguiente propiedad: existe por lo menos un nombre tal que la expresión obtenida sustituyendo la indeterminada por dicho nombre, es una proposición. Cuando no haya lugar a confusión, diremos simplemente esquema en lugar de esquema proposicional. A las indeterminadas las llamaremos también variables o incógnitas, y a los nombres de objetos particulares, constantes. Así, el cielo, la luna, 3, son ejemplos de constantes. Es usual referirse a los esquemas proposicionales con el nombre de funciones proposicionales. Ejemplos a) x es interesante es esquema, pues existe una constante, por ejemplo, Este libro, que colocada en lugar de la variable produce la siguiente proposición: 19

20 Este libro es interesante Que esta proposición sea verdadera o falsa dependerá de cuál sea el libro particular que se esté señalando. b) Qué x es? No es esquema, pues no hay ninguna constante que colocada en lugar de la variable produzca una proposición. En efecto, en algunos casos se obtienen expresiones carentes por completo de sentido, como Qué 3 es? y cuando se obtienen expresiones con sentido, tales expresiones son preguntas, como Qué hora es? Qué día es? Las cuales no son proposiciones. c) x x es esquema, pues cualquiera sea la constante que se coloque en lugar de la variable se obtiene una proposición, siempre falsa. d) x es un número impar Es esquema. Por analogía con lo que se hace en álgebra, utilizaremos símbolos como F(x), G(x), E(x), P(x), etc. para designar esquemas proposicionales de incógnita x, también llamados esquemas proposicionales en x; F(y), G(y), etc. para esquemas proposicionales de incógnita y, también llamados esquemas proposicionales en y; etc.. Se lee: F de x, G de x, F de y, G de y, etc. Sea F(x) un esquema en x y a una constante. Se dice que a satisface a F(x) si al reemplazar la variable x por a se obtiene una proposición verdadera. Ejemplo Sea el esquema en x F(x) = x es azul La constante el cielo satisface a F(x) pues la proposición F(el cielo) = el cielo es azul es verdadera. En cambio, la constante la luna no lo satisface, pues la proposición F(la luna) = la luna es azul 20

21 es falsa. Teniendo en cuenta lo dicho para esquemas proposicionales con una sola indeterminada, estamos en condiciones de definir qué se entiende por esquema proposicional con varias indeterminadas. Se llama esquema proposicional en las indeterminadas (o variables) x...,, 1 xn a toda expresión que contiene dichas indeterminadas y que posee la siguiente propiedad: existen por lo menos n constantes a...,, 1 a n tales que la expresión obtenida sustituyendo las indeterminadas x...,, 1 x n respectivamente por a...,, 1 an es una proposición. Utilizaremos símbolos como F( x 1..., x n ), G( x 1..., x n ), etc. para designar esquemas proposicionales en las indeterminadas x..., 1 x n. Ejemplo: F(x, y) = x es divisor de y es un esquema o función proposicional con dos indeterminadas, el cual, para x = 2, y = 6, produce la proposición F(2,6) = 2 es divisor de 6. (V), en cambio, para x = 12, y = 6, produce la proposición: F(12,6) = 12 es divisor de 6. (F) A partir de esquemas proposicionales es posible obtener proposiciones generales mediante un proceso llamado cuantificación. Asociados a la indeterminada x, introducimos los símbolos x y x, llamados cuantificadores universal y existencial en x, respectivamente. Las expresiones se denotan mediante: Para todo x, se verifica P(x). Existe x, tal que se verifica P(x). x : P( x) x P( x) y corresponden a una función proposicional P(x) cuantificada universalmente en el primer caso, y existencialmente en el segundo. Una función proposicional cuantificada adquiere el carácter de proposición. En efecto, considerando el siguiente ejemplo: Todos los números enteros son pares. 21

22 es claro que hemos enunciado una proposición general y relativa a todos lo números enteros, cuyo valor de verdad es F. Una traducción más detallada de esta proposición consiste en decir: Cualquiera que sea x, x es par. Es decir, x : x es par. Si cuantificamos existencialmente la misma función proposicional, se tiene: x x es par O sea, O bien, O más brevemente, Existe x, tal que x es par. Existen enteros que son pares. Hay enteros pares. El valor de verdad es V, y en consecuencia se trata de una proposición. El cuantificador existencial se refiere a, por lo menos, un x. Es obvio que una función proposicional cuantificada universalmente es V si y sólo si son V todas las proposiciones particulares asociadas a aquélla. Para asegurar la verdad de una función proposicional, cuantificada existencialmente, es suficiente que sea verdadera alguna de las proposiciones asociadas a la función proposicional. Un problema de interés es la negación de funciones proposicionales cuantificadas. La negación de es es decir Todos los números enteros son pares. No todos los enteros son pares. Existen enteros que no son pares. y en símbolos x P( x) Entonces, para negar una función proposicional cuantificada universalmente se cambia el cuantificador en existencial y se niega la función proposicional. La negación de Existen enteros que son pares. es es decir o lo que es lo mismo No existen enteros pares. Cualquiera que sea el entero, no es par. Todo entero es impar y en símbolos x : P( x) 22

23 Entonces para negar una función proposicional cuantificada existencialmente se cambia el cuantificador en universal, y se niega la función proposicional. Se tienen las siguientes equivalencias: Ejemplo 1. Sea la proposición: [ x : P( x)] x P( x) [ x P( x)] x : P( x) Todo el que la conoce, la admira. Nos interesa escribirla en lenguaje simbólico, negarla, y expresar la negación en lenguaje ordinario. La proposición dada puede enunciarse. Cualquiera que sea la persona, si la conoce, entonces la admira. Aparece clara la cuantificación de una implicación de las funciones proposicionales P(x) : x la conoce Q(x) : x la admira Se tiene x : P(x) Q(x) Teniendo en cuenta la forma de negar una función proposicional cuantificada universalmente y una implicación, resulta: x P(x) Q(x) Pasando al lenguaje ordinario: Hay personas que la conocen y no la admiran.. Ejemplo 2. Consideremos la misma cuestión en el siguiente caso: Todo entero admite un inverso aditivo. Es decir Cualquiera que sea el entero, existe otro que sumado a él da cero. Intervienen dos variables y la función proposicional P(x, y) : x + y = 0 La expresión simbólica es entonces Su negación es x y x + y = 0 23

24 x [y x + y = 0] Es decir, x y : x + y 0 su traducción al lenguaje ordinario es Existe un entero cuya suma con cualquier otro, es distinta de cero. (F) Ejemplo 3. Sea la proposición Hay alumnos que estudian y trabajan. Su enunciado sugiere un cuantificador existencial y dos funciones proposicionales: P(x) : x estudia Q(x) : x trabaja En forma simbólica se tiene x P(x) Q(x) Su negación es x : [P(x) Q(x)] Considerando las leyes de Morgan x : P(x) Q(x) Que en lenguaje ordinario se puede expresar como Cualquiera que sea el alumno, no estudia o no trabaja. 24

25 1.2.1 Números reales. Operaciones y Propiedades. Los procedimientos cuantitativos básicos de la ciencia comprenden las operaciones de contar y medir. Contar significa caracterizar una colección o conjunto de objetos mediante un número, en tanto que medir es asignar un número a alguna propiedad de un objeto. Las nociones de contar y medir, al igual que la de conjunto, distan de ser conceptos simples. Cada una de estas nociones ha sido objeto de muchos estudios en el campo de la metodología científica. Lo importante para nosotros en el presente estudio es el hecho de que tanto contar como medir conducen a números, y mediante el uso de números y conjuntos es posible lograr una buena compresión de los fenómenos de la naturaleza. Los niños aprenden primero a contar y se familiarizan con los números 1, 2, 3... (N). En los primeros estudios, el niño aprendió a sumar, restar, multiplicar y dividir dos números naturales. Aunque algunas divisiones, como 6:3 = 2 eran posibles, sin embargo fue necesario pasar a nuevos números para darle sentido a expresiones como 7:2 y 3:5. Para salvar estas situaciones, se introdujeron las fracciones y se desarrolló la aritmética de las fracciones. Más adelante el joven estudiante se familiarizó con el cero y con los números negativos tales como 7, -3, -5/3, etc., y aprendió a realizar operaciones con ellos. El conjunto constituido por los enteros positivos y negativos y las fracciones positivas y negativas recibe el nombre de conjunto de los números racionales (Q). La ventaja de utilizar este sistema en vez de usar únicamente los números positivos consiste en que podemos restar cualquier número racional de otro número racional. Si sólo dispusiéramos de los números positivos, entonces 3-5, por ejemplo, carecería de significado. Cuando se introducen los números irracionales tales como 2 y π se dice que estos números no se pueden representar como fracciones ordinarias, sino que se escriben como expresiones decimales infinitas, por ejemplo 1, y 3, Las expresiones decimales de los números racionales también son infinitas, por ejemplo, 1/4 = 0, /3 = 0, = /7 = 0, Estas últimas expresiones, sin embargo, se repiten periódicamente a partir de alguna cifra, mientras que las correspondientes a los números irracionales no tienen esta propiedad. El conjunto de todos estos números, los racionales y los irracionales, constituyen el conjunto de los números reales (R). Podemos decir entonces, que un número real es un número que se puede representar por una expresión decimal infinita. Si a y b son dos números reales cualesquiera, se pueden establecer las siguientes operaciones en el conjunto de los números reales (R): Adición : a b Multiplicación : a. b Sustracción : a b División : a: b, si b 0 25

26 Dos símbolos, a y b, que representan números reales, son números iguales si y solamente si representan el mismo número real. Si a, b y c representan números reales y si a b, entonces a c b c a. c = b. c a c b c a / c b / c (supuesto c 0 ) Propiedades operativas de los números reales I. La adición y la multiplicación son operaciones conmutativas; esto es, si a y b son dos números reales cualesquiera: a b b a a. b = b. a II. La adición y la multiplicación son operaciones asociativas; esto es, si a,b y c son números reales : (a + b) + c = a + (b + c) a. (b. c) = (a. b ). c III. La multiplicación distribuye sobre la suma; esto es, si a, b y c son números reales: a. (b + c) = a. b + a. c IV. El número real 0 es el elemento neutro en la adición; es decir, si a es un número real cualquiera: a0 a El número real 1 es el elemento neutro en la multiplicación; es decir, si a es un número real cualquiera: a. 1 = a V. Dado un número real a ; existe un número real que se denota con - a, que se llama opuesto de a y tal que: a ( a) 0 1 Dado un número real a diferente de cero, existe un número real que se denota a (o también 1/a) que se suele llamar inverso de a y tal que: a. a -1 = 1 Además es una consecuencia de las propiedades anteriores el hecho de que cualquiera sea el número real a : a. 0 = 0 Si a y b son números reales y a. b = 0, entonces a 0 o b 0. El conjunto de números reales es un conjunto totalmente ordenado, esto es, dados dos números reales distintos se puede establecer cuál es el mayor. Utilizando el lenguaje de las desigualdades podemos expresar que para cada par de números reales a y b, es verdadera, una, y solamente una de las proposiciones a b a b a b Se puede establecer una correspondencia biunívoca entre números reales y puntos de una recta (la recta numérica), de modo que a cada número real le corresponde un punto de la recta, y a cada punto de la recta le corresponde un número real Potencias y raíces de números reales Potencias de números reales. Definimos las potencias de un número real a de la siguiente forma: 26

27 1 a a; 2 1 a a a a a ; 3 2 a a a aa a ; En general, si n es un número natural: n a aa a... a (n factores) es decir que el símbolo a n (que se lee: potencia enésima de a ) significa el producto de n factores iguales a a. El número a se llama base y el número n, exponente de la potencia. La potencia 2 de un número se llama su cuadrado y la potencia 3 su cubo. Para todo número real a distinto de cero el concepto de potencia se amplía con las definiciones siguientes: a 0 1 1; a (P: número natural) a No damos significado alguno al símbolo 0 0. Si la base a es un número real no nulo, la potenciación queda así definida para todo exponente entero Propiedades de la potenciación Sean a, b ; números reales no nulos; m, n: números enteros, 1. Producto y cociente de potencias de igual base: n m n m a a a a n / a m a nm 2. Potencias de productos y cocientes: ( ab) n a n b n n n n a / b a / b 3. Potencias de potencias: ( a n ) m a nm Observación: La potenciación no es asociativa, es decir, en general c ( b ) b a no es igual a ( a ) Usamos el símbolo c c b a para indicar el número c ( b a ) Raíces de números reales Si n es un número natural y b un número real positivo, existe un único número n real positivo a tal que: a b. El número a se llama la raíz enésima de b (o también la raíz enésima aritmética de b ) y se denota con el símbolo n b. n b a es equivalente a n a b n El símbolo se llama radical ; el número n se llama índice y el número b radicando. Para n = 2, 3, 4, 5,... se dice que a es la raíz cuadrada, cúbica, cuarta, quinta, etc.; para n = 1 se tiene a = b; para n = 2 es costumbre suprimir el índice y escribir: b en vez de 2 b Propiedades de las raíces aritméticas. 1. Producto y cociente de radicales del mismo índice n n n a b a b 27

28 a / b a / b n n n En particular: m n m n a 2. Radicales superpuestos: a a a a m n mn n m 3. Se puede multiplicar por el mismo número natural el índice del radical y el exponente del radicando: n m np m p a a Esta propiedad permite: a) simplificar un factor común al índice del radical y exponente del radicando; b) reducir varios radicales al mismo índice. Ejemplo 1 Ejemplo 2 a a Los radicales 3 a; 6 b; 15 c se expresan también, respectivamente, en la forma: a ; b ; c Observaciones 1) Si n es impar, la raíz aritmética a n b es el único número real tal que n a b. Si n n es par, el número a b tiene la misma propiedad; se llama la raíz enésima negativa de b. 2) A menudo se usa el símbolo n afectando a un número negativo; por ejemplo: 3 8; 4 etc., en general: n b siendo b positivo. Si el índice n es impar existe un único número real cuya potencia enésima es igual a - b, es el número c n b Ejemplo

29 Si el índice n es par el radical no tiene sentido. Es importante destacar que para estas expresiones no son válidas, en general, las propiedades de los radicales aritméticos. Ejemplos 3 6 1) 8 no es igual a ) 1 2 no es igual a no tiene sentido. 3) no tiene sentido. 4) Si m y n son números naturales y a es un número real positivo, se definen las potencias de exponente p = m/n; -p = -m/n por medio de las fórmulas: m/ n n m a a m/ n 1 a m/ n a m/ n es decir, que a es otra notación para la raíz enésima aritmética de a m. m/ n Es importante observar que a depende del número racional p m/ n y no de la fracción que lo representa. Si se tiene: m/ n r / s (ó, equivalentemente: ms n r ) resulta: a a a m/ n n m ns ms r / s s r ns nr a a a Por la igualdad ms n r resulta: ns ms ns nr a a y por lo tanto m/ n r / s a a Las propiedades de la potenciación que hemos enunciado para exponentes enteros resultan válidas para exponentes racionales cuando la base es un número real positivo. m/ n La notación a no se extiende al caso en que a es un número negativo puesto que, m/ n r / s en este caso, puede tenerse a a, como vimos anteriormente, siendo m/ n r / s. Por ejemplo: 8 8 1/3 2/ NÚMEROS COMPLEJOS Hay muchos problemas que no se pueden resolver en el conjunto de los números reales. Por ejemplo, con sólo los números reales no podemos resolver 2 x 1 29

30 Para buscar una solución a esta dificultad introducimos un nuevo símbolo, i, que por definición, es tal que i 2 1. Después, escribimos expresiones de la forma a + bi, donde a y b son números reales, y a estas expresiones las llamamos números complejos. El número a es la parte real de a + bi, y b es la parte imaginaria. Para poder manejar estas expresiones como números, debemos definir con ellas las operaciones aritméticas usuales. Definiciones Las operaciones aritméticas en el conjunto de los números complejos se definen así: Igualdad: a bi c di si y solamente si a c y b d Adición: a bi c di a c b d i Multiplicación: a bic di ac bd bc ad i Obsérvese que la definición de multiplicación es consistente con la propiedad asignada a i, a saber, i 2 1. a bi c di usando el álgebra ordinaria, obtenemos En efecto, si multiplicamos 2 ac ibc ad i bd. Ahora, cuando sustituimos definición. Ejemplo 1 2 i por 1, llegamos a la fórmula de la a. 3 6i 2 3i 5 3i b. 7 5i 1 2i 6 3i c i3 4i 15 41i 28i i 13 41i d i 1 4i 2 11i 12i i 10 11i También debemos considerar la división. Queremos expresar 1/ a bi como un número complejo. El mejor modo de conseguirlo es utilizar el número complejo conjugado a bi. Definición de conjugado Los números complejos a bi y a bi se llaman conjugados. Ahora escribimos: 1 1 a bi a bi a bi a bi a bi a bi a b a b a b 1/ a bi. Extendiendo este método podemos calcular que es el número complejo igual a cualquier cociente de la forma general a bi / c di : a bi c di c dic di c d c d c d a bi c di ac bd bc ad i ac bd bc ad i 30

31 División: Para calcular el cociente a bi / c di, multiplicamos el numerador y el denominador por el número complejo conjugado c di y simplificamos el resultado. Ejemplo 2 4 i2 3i 4 i 4 i 2 3i 514i 5 14 g i 2 3i 2 3i 2 3i 2 3i 2 3i Por último, resolveremos algunas ecuaciones que contienen números complejos. El siguiente ejemplo sugiere el método general. Ejemplo 3 Resolver x yi 2 3i 4 i. Podríamos resolver la ecuación escribiendo x yi 4 i / 2 3i y calculando a continuación el cociente indicado en el miembro de la derecha. Sin embargo, utilizaremos otro procedimiento. Si efectuamos la multiplicación en el miembro de la izquierda obtenemos 2x 3y 3x 2y i 4 i Según nuestra definición de igualdad de dos números complejos, las partes reales de ambos miembros han de ser iguales y, del mismo modo, las partes imaginarias también han de serlo. Por lo tanto, 2x 3y 4 3x 2y 1 Resolvemos estas ecuaciones simultáneas multiplicando por 3 la primera ecuación y por 2 la segunda y sumando las dos ecuaciones, 6x 9y 12 6x 4y 2 13y y 13 Multiplicamos por 2 la primera ecuación y por 3 la segunda ecuación y sumando las dos ecuaciones: 4x 6y 8 9x 6y 3 13x 5 5 x 13 Este método, que consiste en igualar las partes reales e imaginarias, es de gran importancia en la aplicación de los números complejos a la ingeniería. Otra introducción 31

32 Nuestra definición de números complejos carece de recursos intuitivos. Dijimos que no existe 2 ningún número real x tal que x 1, pero, sin embargo, introdujimos i dotado de esta propiedad. Qué es, pues, i? Tanto inquietó esta pregunta a los matemáticos que al fin, dieron a i el nombre de número imaginario y a a bi el de número complejo, para indicar el contraste con los otros números de nuestro sistema, que son reales. Nuestro propósito actual es iniciar un nuevo desarrollo de los números complejos de una manera lógica y fuera de lo imaginario. Definiciones Número complejo Un número complejo es un par ordenado de números reales (a, b) Parte real de un número complejo El número complejo (a, 0) se llama parte real del número complejo (a, b). Veremos que, de una manera natural, se pueden identificar los pares (a, 0) con los números reales a. Número imaginario puro Un número complejo de la forma (0, b) se llama número imaginario puro. La aritmética de los números complejos viene dada por las siguientes definiciones básicas. Definiciones Igualdad Dos números complejos (a, b) y (c, d) son iguales si y solamente si a Adición ( a, b) ( c, d) ( a c, b d) Multiplicación ( a, b) ( c, d) ( ac bd, bc ad) c y b d. Es evidente que existe una correspondencia biunívoca entre, los números complejos (a, 0) y los números reales a, que está definida por ( a,0) a. Esta correspondencia es particularmente útil porque en ella las sumas corresponden a las sumas y los productos corresponden a los productos. Esto es: ( a, 0) ( c, 0) ( a c, 0) ( a, 0) ( c, 0) ( ac, 0) b b b b b b a c a c a c ac 32