Tienes una hora y media para resolver el examen. Suerte!

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1 No. de aciertos: XI OLIMPIADA INTERNACIONAL DE LÓGICA, 2014 FASE ELIMINATORIA NIVEL LICENCIATURA Nombre: Institución: Instrucciones Responde este examen en la Hoja de respuestas que se te ha proporcionado, teniendo en cuenta lo siguiente: Su elaboración se ha centrado en el uso apropiado de los principios de la lógica clásica formal. Por lo cual, no se requieren más habilidades que las derivadas del estudio de la lógica clásica formal para resolverlo. Los ejemplos son ficticios. Considera solamente las premisas que están explícitamente escritas. Cuando leas la frase: Qué se sigue?, el examen se refiere a seguirse según la lógica clásica formal. Las disyunciones expresadas en español deberán interpretarse como disyunciones inclusivas a menos que explícitamente se indique que son exclusivas (por ejemplo, incluyendo la expresión pero no ambas ). Las letras del abecedario latino (P, Q, R, etc.) se usan para representar proposiciones; las letras griegas se usan para representar esquemas proposicionales (α, β, etc.) o conjuntos de proposiciones (Γ, Δ, etc.) Los símbolos utilizados para las conectivas lógicas negación, conjunción, disyunción inclusiva, condicional material y bicondicional material son:, &,,,, respectivamente. Los símbolos utilizados para el cuantificador universal, el cuantificador existencial y la identidad son,, =, respectivamente. Otros símbolos usados son los signos de agrupación, paréntesis y llaves (,), {,}. Cada pregunta tiene una única respuesta correcta. Elige, por tanto, para cada pregunta solo una opción como respuesta de las cinco posibles. Cada acierto que tengas te dará un punto. Tienes una hora y media para resolver el examen. Suerte! 1. Cuál de los siguientes enunciados expresa una contradicción? a) La Luna es roja y el Sol brilla; o la Luna no es roja y el Sol no brilla. b) El Sol brilla y no es cierto que el Sol no brilla; o el Sol no brilla si y solo si brilla. c) La Luna es roja y la Luna no es roja; o si el Sol brilla, entonces brilla. d) El Sol brilla si y solo si el Sol no brilla; o la Luna no es roja si y solo si es roja. e) Si la Luna es roja entonces no es roja; o si la Luna no es roja, entonces es roja. 2. Cuando el rey Euristeo ordenó a Hércules robar las manzanas de oro del jardín de las Hespérides, el héroe fue a consultar a las Moiras, las tres hilanderas, para saber si tendría suerte en su empresa. Cloto le dijo: Sólo si matas al dragón Ladón robarás las manzanas. Láquesis agregó: O bien matarás al dragón y besarás a las Hespérides o bien no matarás al dragón ni besarás a las Hespérides. Hasta ese momento todo iba bien, pero en cuanto Átropos habló, Hércules supo que no cumpliría con su misión. Qué le dijo Átropos, la última Moira, a Hércules? a) Matarás al dragón Ladón. b) Besarás a las Hespérides. c) Si besas a las Hespérides, no robarás las manzanas. d) Matarás al dragón Ladón y besarás a las Hespérides. e) Es falso que: Robarás las manzanas y no matarás al dragón Ladón. 3. Suponiendo que una y sólo una de la siguientes oraciones es verdadera, cuál es? a) Hay un mexicano que no es guapo. d) Hay por lo menos un mexicano. b) Javier es mexicano. e) Javier es mexicano y es guapo. c) No todos los mexicanos son guapos. 1

2 4. Qué enunciado es equivalente a la negación de la siguiente proposición? Si hay un reloj que da todas las horas, entonces todos los relojes dan todas las horas. a) No es el caso que: todos los relojes dan todas las horas o no hay un reloj que da todas las horas. b) No hay un reloj que da todas las horas y no todos los relojes dan todas las horas. c) No es el caso que: si todos los relojes dan todas las horas entonces hay un reloj que da todas las horas. d) No es el caso que: hay un reloj que da todas las horas y todos los relojes dan todas las horas. e) Hay un reloj que da todas las horas y todos los relojes dan todas las horas. 5. Te aseguro le dice Holmes a Watson que si Moriarty estuvo en Londres, asesinó accidentalmente a los leones del Palacio de Buckingham. Pues yo digo contesta Watson que si Moriarty no estuvo en Londres, asesinó accidentalmente a los leones del Palacio de Buckingham. Qué se sigue de lo dicho por Holmes y Watson? a) Moriarty no estuvo en Londres y asesinó premeditadamente a los leones. b) Moriarty sí estuvo en Londres pero no asesinó accidentalmente a los leones. c) Holmes asesinó premeditadamente a los leones o Moriarty lo hizo accidentalmente. d) Watson asesinó accidentalmente a los leones o Moriarty los asesinó premeditadamente. e) Ni Holmes ni Watson asesinaron accidentalmente a los leones del palacio de Buckingham. 6. Todas las orugas se arrastran y Katy es una oruga. Cuál es la negación de lo anterior? a) Todas las orugas no se arrastran y Katy no es una oruga. b) Katy se arrastra. c) Alguna oruga no se arrastra o Katy no es una oruga. d) Katy no se arrastra. e) Es falso que todas las orugas se arrastran pero es verdad que Katy es una oruga. 7. Qué proposición no se sigue de las siguientes premisas? Si Neo está en la Matrix, entonces no vive en el mundo real. Si Trinity vive en el mundo real, entonces Neo no está en la Matrix. Neo está en la Matrix o Trinity vive en el mundo real. a) Si Trinity vive en el mundo real, Neo vive en el mundo real. b) Si Trinity vive en el mundo real, Trinity vive en el mundo real. c) Si Neo no está en la Matrix, Trinity vive en el mundo real. d) Si Neo está en la Matrix, Neo está en la Matrix. e) Trinity no vive en el mundo real o Trinity vive en el mundo real. 8. Dadas estas dos premisas: Todos los hombres son animales y Todos los animales son fastidiosos. Cuál de las siguientes opciones se sigue de ellas? a) Hay animales y todos son fastidiosos. b) No todo animal no es fastidioso. c) No hay algo que no sea hombre ni tampoco animal. d) Toda cosa no es hombre o es fastidiosa. e) Todos los animales fastidiosos son hombres. 9. Alicia y el sombrerero se encuentran en el camino y sostienen una enigmática conversación. Alicia dice: Si las rosas son rojas, entonces los lirios no son azules. El sombrerero dice: Las rosas son blancas y amarillas; y los lirios son azules o son verdes. Considerando que Alicia siempre dice mentiras y el sombrerero siempre dice la verdad; podemos determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados, excepto de uno. Cuál es ese enunciado? a) Los lirios son verdes. b) Los lirios son azules. c) Las rosas son rojas. d) Las rosas son blancas. e) Las rosas son amarillas. 10. Suponiendo que una y sólo una de las siguientes oraciones es falsa, cuál es? a) Todos los filósofos están locos. d) Hay por lo menos un filósofo. b) Ningún filósofo está loco. e) No hay filósofos. c) No hay filósofos que estén locos. 11. Si la fórmula α es una tautología y β es una fórmula contingente. Cuál de las siguientes fórmulas es una contradicción? a) α & β d) (α α) & (β β) b) α (β & β) c) β α e) (α α) & β 2

3 12. Considera la siguiente información: Se descubrió una nueva especie de animales llamados garflexos. Los garflexos tienen un gran maxilar y no son herbívoros. Si los garflexos tienen un gran maxilar son omnívoros o carnívoros. Si los garflexos son carnívoros tienen un tracto digestivo de tipo B. Los garflexos tienen un tracto digestivo de tipo A si son omnívoros. Si los garflexos son herbívoros tienen un tracto digestivo de tipo A. Si y sólo si un animal es herbívoro tiene el estómago dividido en cámaras. Cuál de las opciones no se sigue? a) Los garflexos no tienen el estómago dividido en cámaras. b) Los garflexos o bien tienen un tracto digestivo de tipo A o bien de tipo B. c) Si los garflexos no tienen un tracto digestivo de tipo A entonces no son omnívoros. d) No es el caso que los garflexos no tengan un gran maxilar. e) Los garflexos no tienen un tracto digestivo de tipo A. 13. Supongamos que estamos en la isla de los caballeros y de los bribones. En esta isla todos son o caballeros o bribones. Los caballeros siempre dicen la verdad y los bribones siempre mienten. En una ocasión, hubo una epidemia que causaba que los caballeros enfermos siempre dijesen mentiras y que los bribones enfermos siempre dijesen la verdad. Cuál de las siguientes oraciones puede ser dicha por un caballero enfermo? a) Soy un caballero. b) Si soy un caballero, entonces estoy enfermo. c) Soy un bribón enfermo. d) O bien soy un caballero enfermo, o bien soy un bribón enfermo. e) Si estoy sano, entonces soy un caballero. 14. Qué no se sigue del siguiente conjunto de oraciones? Si Walter salva a Jesse, entonces Walter se enemista con Gustavo. Si Walter se enemista con Gustavo, entonces Jesse le hará algo malo a Gael. Pero no es el caso que: Si Jesse no le hace algo malo a Gael, entonces Jesse sale bien librado de todo. a) Si Walter salva a Jesse, entonces Jesse sale bien librado de todo. b) Walter salva a Jesse y Jesse sale bien librado de todo. c) Ni Walter salva a Jesse, ni Jesse sale bien librado de todo. d) Walter salva a Jesse si y solo si Jesse le hace algo malo a Gael. e) Si Jesse sale bien librado de todo, entonces Walter no se enemista con Gustavo. 15. Qué no se sigue de la siguiente afirmación: (α β) es una tautología? a) (α & β) es lógicamente equivalente a α. d) α implica lógicamente a (β γ). b) ( β α) es una tautología. e) (α α) es tautología. c) (β α) implica lógicamente a α. 16. Una invasión de zombies asola a la ciudad; pero sólo ataca a los que no saben lógica. Considerando que sucede lo siguiente: Si Juan sabe lógica, entonces Luz no sabe y Carlos tampoco. Carlos sabe lógica si y sólo si Pepe no sabe lógica. Luz sabe lógica o Pepe sabe lógica. Juan sabe lógica o Carlos no sabe lógica. No es el caso que: Pepe no sabe lógica o Juan no sabe lógica. Cuál de las siguientes opciones expresa una parte del ataque de los zombies? a) Atacan a Carlos, a Luz y a Juan. b) Atacan a Luz y a Carlos, pero no a Pepe. c) Atacan a Pepe y a Juan, pero no a Carlos. d) Atacan a Carlos y a Juan, pero no a Luz. e) Atacan a Carlos, a Luz y a Pepe. 17. Cuál es la mejor formalización para la siguiente oración? Sólo los justos, vivirán para siempre. Dominio de discurso: Los seres humanos. Diccionario: Px: x es justo, Vx: x vivirá para siempre. a) x (Jx Vx) d) x ( Vx Jx) b) x (Jx Vx) e) x ( Jx Vx) c) x (Vx Jx) 18. Considera el conjunto de premisas: {P Q, Q R, R S} Qué premisa hay que añadir para obtener una contradicción? a) R M d) M R b) S R e) P & S c) Q & R 3

4 19. Otra invasión de zombies asola a la ciudad; pero sólo ataca a los que no traducen sus dichos tal y como ellos lo requieren. Los zombies se encuentran a Juan y a Pepe en el camino y les dicen que si no quieren ser atacados, Juan debe decir un enunciado equivalente a: Si soy un zombie, entonces no estoy vivo y no estoy muerto, usando solo condicionales y negaciones; y Pepe debe decir el enunciado: Si soy un zombie, entonces estoy vivo y estoy muerto, usando solo disyunciones y negaciones. Qué deben decir Juan y Pepe para no ser convertidos en zombies? a) Juan: Si soy un zombie, entonces no es el caso que: si estoy vivo, estoy muerto. Pepe: Soy un zombie o no es el caso que: estoy vivo o estoy muerto. b) Juan: Si soy un zombie, entonces no es el caso que: si no estoy vivo, estoy muerto. Pepe: No soy un zombie o no es el caso que: no estoy vivo o no estoy muerto. c) Juan: Si no soy un zombie, no es el caso que: si no estoy muerto, no estoy vivo. Pepe: No soy un zombie o no es el caso que estoy vivo o no estoy muerto. d) Juan: Si no soy un zombie, no es el caso que: si estoy vivo, estoy muerto. Pepe: No soy un zombie o no es el caso que: estoy vivo o estoy muerto. e) Juan: Si soy un zombie, no es el caso que: si estoy vivo, no estoy muerto. Pepe: No soy un zombie o no es el caso que: no estoy vivo o no estoy muerto. 20. Hércules Poirot, Miss Marple y Sherlock Holmes sostienen una batalla de intelectos tratando de resolver un caso. Mientras que Holmes siempre dice la verdad; Miss Marple y Poirot siempre dicen mentiras. Poirot dice: El asesino es el mayordomo, y si el asesino no es el mayordomo entonces tampoco es el jardinero. Miss Marple dice: Si el asesino es el jardinero también lo es el ama de llaves, si y solo si no lo es el chofer. Holmes dice: Si el chofer es el asesino entonces el chofer no es el asesino. Cuál de las siguientes opciones se sigue de la resolución del caso? a) El jardinero es el asesino y el chofer no lo es. b) El jardinero y el mayordomo son los asesinos. c) El ama de llaves es el asesino y el jardinero no lo es. d) El chofer y el ama de llaves son los asesinos. e) El mayordomo es el asesino y el ama de llaves no lo es. 21. Qué se sigue del siguiente conjunto de fórmulas? { xpx x ((Px Qx) Rx), xpx, xqx} a) x y ( Rx Ry) d) x y ( Rx Ry) b) x y (Rx & Ry) e) x y (Rx & Ry) c) x y (Rx & Ry) 22. Supongamos que tenemos un conjunto de fórmulas y una fórmula, tales que. Cuál de las siguientes opciones no puede ser verdadera? a). d). b) El conjunto de fórmulas { } es inconsistente. e) El conjunto de fórmulas es inconsistente. c) El conjunto de fórmulas { } es consistente. 23. Cuál es la mejor formalización para la siguiente oración? Todo aquel que es amigo de Walter y no es químico, es un malhechor o es un ingenuo. Dominio de discurso: Los seres humanos. Diccionario: a: Walter, Qx: x es químico, Mx: x es un malhechor, Ix: x es ingenuo, Axy: x es amigo de y. a) x ((Axa Qx) (Mx Ix)) b) x ((Axa & Qx) (Mx Ix)) c) x ((Axa & Qx) (Mx & Ix)) d) x (Axa ( Qx (Mx Ix))) e) x (Axa ( Qx (Mx & Ix))) 24. Dado un conjunto de premisas, supón que una y sólo una de las siguientes oraciones no se sigue de, cuál? a) Todos los pegasos vuelan. d) Si hay pitufos azules, todos los pegasos no vuelan. b) Hay pitufos azules. e) Todos los pegasos no vuelan. c) Hay pegasos que vuelan. 25. Cuál es la mejor formalización para la siguiente oración? A lo más 2 personas acabarán el examen. Dominio de discurso: Los seres humanos. Diccionario: Ex: x acaba el examen. a) x y (x y & z(ez (z=x z=y))) d) x y z (Ez (z=x z=y)) b) x y z (Ez (z=x z=y)) z Ez e) x y (x y & (Ex & Ey)) z Ez c) x y (x y & (Ex & Ey)) 4

5 26. El señor Gómez un día sólo dice la verdad y el siguiente sólo dice mentiras y el siguiente sólo dice la verdad, etc. También puede ser que el señor Gómez no diga absolutamente nada en un día entero. Un día Juan visita al señor Gómez, pero Juan no sabe si ese día le toca decir la verdad o le toca mentir. Entonces el señor Gómez dijo algo, tal que Juan pudo inferir que ese día el señor Gómez sólo diría mentiras. Qué dijo el señor Gómez? a) Ayer dije una mentira. b) Ayer no dije ninguna mentira. c) Ayer no dije nada falso, hoy tampoco diré nada falso. d) Hoy no he dicho mentiras. e) Ayer dije algo verdadero y hoy sólo diré la verdad. 27. Hay un hombre que ríe y hay un hombre que llora. Uno de ellos es un payaso y el otro no lo es. Qué se sigue? a) Hay un hombre que ríe y es un payaso. b) Todos los que lloran ríen. c) No todos son unos payasos, pero hay alguien que sí lo es. d) No todos los que ríen lloran. e) Hay un hombre que llora y no es un payaso. 28. Al astronauta mexicano Neri Vela, después de realizar su misión a Marte, se le solicita que describa a los habitantes del planeta rojo. Sufriendo los efectos del viaje interestelar responde lo siguiente: No es cierto que: si los marcianos son verdes, entonces ellos tienen tres cabezas o ellos no pueden volar. Pero estamos seguros de que: ellos son verdes, si y solo si, son marcianos voladores que no tienen tres cabezas. Suponiendo que todos los marcianos tienen el mismo aspecto, qué características tienen? a) Los marcianos no son verdes. b) Los marcianos tienen tres cabezas. c) Los marcianos no pueden volar. d) Los marcianos son verdes y pueden volar. e) Los marcianos no son verdes o no pueden volar. 29. Dadas las fórmulas x (Ax Bx) y Ba Qué se sigue de ellas? a) x (Ax x a) b) Aa c) x (Ax & Bx) d) Ba e) x (Bx x a) 30. Los siguientes símbolos representan las operaciones lógicas conjunción, disyunción y negación respectivamente. Una bifurcación después de un punto grande indica que en las líneas subsecuentes debe leerse la misma proposición que se encuentra antes de dicho punto, esto es: Considerando el siguiente diagrama: Cuál de las siguientes fórmulas es la traducción del diagrama al lenguaje usual de la lógica proposicional? a) ( (P Q) & R) (R ( Q & S)) b) ((P Q )& R) (R ( Q & S)) c) ((P Q) & R) (R ( Q & S)) d) ( (P Q)& R) (R ( Q & S)) e) ( (P & Q) R) & (R & ( Q S)) 5